AMORTIGUAMIENTO INTERNO EN ESTRUCTURAS. Grupo INME Universidad Industrial de Santander Iván Darío Gómez Araújo
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- Francisco José Zúñiga Piñeiro
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1 AMORIGUAMIENO INERNO EN ESRUCURAS Grupo INME Uversdad Idustral de Satader Ivá Darío Gómez Araúo
2 Cotedo Datos expermetales (Bbloteca de Mllka) y recomedacoes para amortguametos modales. Dámca estructural Ecuacó de movmeto lbre amortguado (SDF). Aálss dámco varos grados de lbertad (MDF) (o amortguado). Ortogoaldad de los modos aturales. Ecuacó de movmeto co amortguameto (MDF). Matrz de amortguameto clásco. Amortguameto de Raylegh. Eemplo Amortguameto de Caughey Eemplo Superposcó de las matrces modales de amortguameto. Eemplo 3 Matrz de amortguameto o clásca.
3 Datos Expermetales y Recomedacoes para amortguametos Modales Bbloteca de Mllka (Isttuto ecológco de Pasacadea Calfora). Cocreto reforzado. Costruda e 967 Plata de x.8m Altura de 43.8m por ecma de la grada, y de 48m por ecma de la fudacó (que cluye u pso de equpos de are acodcoado). 9 Psos 43.8 m
4 Sstema de ressteca a fuerzas laterales (Bbloteca Mllka) Muros de 3cm Muros de 3cm Vetaas de cocreto prefabrcadas Elevador y escalera de emergeca
5 Propedades de vbracó, perodos aturales, modos aturales y porcetaes de amortguameto. est de fuerzas de vbracoes armócas fb fa f (Geerador de vbracoes) Resultados Curva de respuesta de frecueca cerca de la frecueca atural de la estructura e la dreccó este-oeste e el pso 8 (Bbloteca de Mllka)
6 Medcoes e ssmos.. Ssmo de Lytle Creek de Septembre de 97 (Magtud 5.4 a 3 km de dstaca).. Ssmo de Sa Ferado de Febrero 9 de 97 (Magtud 6.4 a 64 km de dstaca epcetral). Dreccó orte sur (Sa Ferado) Dreccó este oeste (Sa Ferado) Resultados Desplazameto relatvo del echo (Sa Ferado)
7 Estmacó modal porcetae de amortguameto El porcetae de amortguameto modal debe ser estmado usado datos de medcoes e estructuras. Basados sobre datos de movmeto sísmcos regstrados, dode la estructura sea sacudda fuertemete pero o deformada e el rago elástco. Recomedacoes
8 Dámca Estructural Ecuacó de movmeto lbre amortguado (SDF) Solucó de la ecuacó: m x cx kx t t x( t) Ae Be () A y B depede de las codcoes cales Ecuacó característca: m c k Amortguameto crtco c c 4mk c c c 4mk m c 4mk m m m c c mk c c mk( ) Se defe como coefcete de amortguameto crtco c/c c c c c c m c c m dode k m
9 Aálss dámco varos grados de lbertad (MDF). Solucó modal caso o amortguado. M U K U () Solucó del sstema ateror de ecuacoes dferecales smultaeas ( ) U ( t) f ( t) Se derva dos veces ( ) U ( t) f ( t) (3) (4) Se remplaza las dos ultmas ecuacoes e () ( ) ( ) M f ( t) K f ( t) (5) Se tee ecuacoes del tpo ( ) ( ) m f ( t) k f ( t) Se guala arbtraramete a f ( t) f ( t) k m ( ) ( ) (6) ) ) Se coverte e dos ecuacoes Solucó f ( t) A se t B cos t f ( t) f ( t) ( ) ( ) k m ( ) k m K M Matrcal ( ) K M La seguda ecuacó solo tee solucoes o trvales s el determate de la matrz es gual a cero Del determate surge u polomo (ecuacó característca), las raíces so las frecueca aturales egevalues. Se remplaza las frecuecas para determar los valores de ampltudes modos de vbracó egevectores Normalzacó ( r) K M Solucó fal (7) ( r) ( r) ( r) ( r) M ( ) U( t) A se t B cos t (t)
10 Ortogoaldad de los modos aturales Cada modo se obtee de resolver el sstema de ecuacoes smultaeas ( r) K M r Equvalete ( r K ) M ( r) r Se multplca por otro modo traspuesto por eemplo s ( s) ( r) ( s ) ( r K M ) r S hubéramos cado el proceso al cotraro prmero el modo s y luego r ( r ) ( s ) ( r ) K M ( s) s (8) (9) () () Se le aplca traspuesta a ambos lados a, utlzado el prcpo de ([A][B][C]) = [C] [B] [A], además [K]=[K] y [M]=[M] ya que so smétrcas ( s ) ( r ) ( s ) K M ( r) () s Restado al ecuacó de la ecuacó ( s ) ( r M ) r s Por lo geeral las frecuecas so dferetes, por lo tato. r s Etoces. ( s) ( r) M La msma prueba puede carse co la ecuacó 8 expresada. Se llega. ( r ) ( r K M ) ( s) ( r) K r E resume el prcpo de ortogoaldad dce que s los modos se ormalzaro, etoces. ( s) ( M r ) s) ( r) K ( s s s r ss r (4) (6) s s r ss r (3)
11 Ecuacó de movmeto co amortguameto (MDF) M U C U K U (7) Utlzado el amortguameto hallado para u solo grado, la matrz de amortguameto queda M U M U K U (8) La solucó es del tpo Prmera dervada Seguda dervada U U U Remplazamos las ecuacoes 9 e 8 M M K (9) () Multplcamos por M M K I () I C C Matrces dagoales Sstema desacoplado co ecuacoes dferecales de u solo grado de lbertad
12 Matrz de Amortguameto Cuado es ecesaro la matrz de amortguameto?.. Aálss de sstemas o leales y,. Amortguameto o clásco. La matrz de amortguameto o debe ser calculada de las dmesoes estructurales, tamaño de los membros de la estructura y del amortguameto de los materales. Matrz de amortguameto clásca Amortguameto de Raylegh. Se cosdera. a M a K y C C
13 Desacoplado la matrz de amortguameto C a M a C a K a a a () () La varacó del porcetae de amortguameto co la frecueca atural presetada e la fgura o so cosstetes co datos expermetales, por lo tato ua matrz de amortguameto u poco cosstetes co los datos expermetales es cosderar. a M a K C
14 Porcetae de amortguameto para las frecuecas aturales (Raylegh) a a E forma matrcal a a Las ecuacoes algebracas se resuelve para determar los coefcetes a y a s el amortguameto es gual e dferetes modos a a (3)
15 Eemplo Supogamos que teemos u edfco como el mostrado e la fgura. Estamos teresados e la respuesta del edfco e la drecco x ucamete. La rgdez de cada uo de los psos es gual y se deoma k. La masa de los dos psos ferores es el doble, para cada uo, que la de cuberta, la cual se deoma m. m= 9.7kN*s /m, k=687.38kn/m. Derve la matrz de amortguameto de Raylegh para u porcetae de amortguameto del 5% para el prmer y segudo modo. Compute el porcetae de amortguameto para el tercer modo. Solucó
16 Amortguameto de Caughey Para especfcar valores de porcetaes de amortguameto para de dos modos. Eemplo c m N l Para el sstema del eemplo evaluar la matrz de amortguameto s el porcetae de amortguameto es de 5% para los tres modos. a l m Los prmeros tres térmos de la sere so a o m( m k) a m El porcetae de amortguameto modal es dado por (ver dervacó Al Chopra dyamcs of structures) l alw (5) l k l a m( m k) ak (4) a m( m k) a km k
17 Superposcó de las matrces modales de amortguameto. U procedmeto alteratvo para determar ua matrz de amortguameto clásco es a partr de los porcetaes de amortguameto modales, empezado co la ecuacó. Dode C esta determada por. C ( M ) La ecuacó 6 puede ser reescrta como (8) c C Por otro lado la matrz de masa modales. (9) m M (7) c C (6) La ateror ecuacó se puede mostrar como y M m mm Susttuyedo las ecuacoes aterores e 8 c ( mm ) C ( M m) Susttuyedo 7 e 8 queda. c m N M m
18 Eemplo 3 Determar ua matrz de amortguameto para el sstema del eemplo por superposco de las matrces de amortguameto para los tres modos co =5% Matrz de amortguameto o clásca. a M a K C a M a K C Estructura Suelo f f f f f
19 Referecas. Al K. Chopra, Dyamcs of Structures heory ad applcatos to earthquake egeerg, Pretce Hall, Uversty of Calfora at Berkeley. Garca R. Lus Damca estructural aplcada al dseño sísmco, Uversdad de los ades. K. Caughey ad M. E. J. O'Kelly Effect of Dampg o the Natural Frequeces of Lear Dyamc Systems, Calfora Isttute of echology. S. Adhkar, Dampg modellg usg geeralzed proportoal dampg Departmet of Aerospace Egeerg, Uversty of Brstol, Quees Buldg, Uversty Walk, Brstol BS8 R, UK
20 Perodos de vbracó atural y porcetaes de amortguameto de la Bbloteca De Mllka Exctacó Aceleracó e el techo (g) Perodo (seg) Modo fudametal Amortguameto (%) Dreccó orte sur Geerador de Vbracoes 5x -3 a x Dreccó este oeste Geerador de Vbracoes 3x -3 a x
21 Perodos de vbracó atural y porcetaes de amortguameto de la Bbloteca De Mllka Exctacó Geerador de Vbracoes Aceleracó e el techo (g) Dreccó orte sur Perodo (seg) Modo fudametal Amortguameto (%) 5x -3 a x Ssmo Lytle Creek Ssmo Sa Ferado Dreccó este oeste Geerador de Vbracoes 3x -3 a x Ssmo Lytle Creek Ssmo Sa Ferado
22 Recomedacoes de valores de amortguameto Nvel de Esfuerzos po y codcoes de estructuras Porcetade de amortguameto (%) No mas de la mtad del puto de flueca U poco por debao del puto de flueca Acero Soldado, Cocreto pretesado, Cocreto be reforzado (solo agretameto lgero) Cocreto reforzado co cosderable agretameto Acero remachado, Estructuras de madera co uoes clavadas o remachadas. Acero soldado, Cocreto pretesado (s completa perdda e preesfuerzo) Cocreto pretesado co perdda de preesfuerzo Cocreto reforzado 7- Acero remachado, Estructuras de madera co uoes remachadas. Estructuras de madera co uoes clavadas Para estructuras de mampostería o reforzada 3% y reforzadas 5% Fuete: N., M., Newmark. y W. J. Hall. Berkeley Calfora
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