INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO DECANATURA DE CIENCIAS JEFATURA DE CIENCIAS BÁSICAS

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1 NSTTUTO TECNOLÓGCO METROPOLTANO ECANATURA E CENCAS JEFATURA E CENCAS BÁSCAS NVELATORO E MATEMÁTCAS BÁSCAS Guí 6 Rzones Proporiones y Porentjes. COMPETENCA Utilizr deudmente ls regls de proporionlidd en ls pliiones prolems del mundo rel. NCAORES E LOGRO nterpret, plnte y resuelve situiones prolem relionds on proporiones. RAZONES Y PROPORCONES. Un rzón es l omprión de dos números por medio de un oiente. Se epres omo:, on 0 quí, se llm nteedente y, onseuente. Ejemplo: Crlos ompr un doen de nrnjs y oserv que hy 4 mls. L rzón que se otiene es 4, simplifindo l rzón, qued: y se interpret omo: un nrnj de d tres est ml. e Un proporión es l equivleni entre dos o más rzones., on, d, y f 0 d f En l proporión, on, d 0, y d son los etremos y y d son los medios. En l proporión, on, d 0, el produto de los etremos es igul l produto de los d medios. Es deir:, si y sólo si d d Ejemplo: Roerto ompró.5 m. de tel y pgó por ell $ Si neesit m. de l mism tel, uánto deerá pgr?

2 Aplindo l propiedd fundmentl de ls proporiones y efetundo ls operiones se.5m m tiene: m($8000).5m Los m de tel uestn $ 000 $8000 En un proporión o en un serie de rzones igules, l sum de los nteedentes entre l sum de los onseuentes es igul un ulquier de ls rzones, es deir: e e d f d f En un proporión, el urto proporionl es uno ulquier de los términos de un 5() proporión, ejemplo: 5() 8. ó 5 5() 5() 8. ó 5 (7) (7) Un proporión es ontinu si tiene los dos medios igules. Pr lulr el medio proporionl de un proporión ontinu se etre l ríz udrd del produto de los etremos, es deir; 4 4(). En un proporión ontinu, se denomin terero proporionl d uno de los términos desigules. Un terero proporionl es igul l udrdo de los términos igules, dividido () 4 por el término desigul, es deir; Mgnitudes diretmente proporionles. os mgnitudes son diretmente proporionles undo, l multiplir o dividir un de ells por un número ulquier, l otr qued multiplid o dividid por el mismo número. Se estlee un relión de proporionlidd diret entre dos mgnitudes undo: A más orresponde más y menos orresponde menos Ejemplo: Son mgnitudes diretmente proporionles, el peso de un produto y su preio. Si un doen de nrnjs uest $000, doens ostrán $000 y ½ doen ostrá $500. Es deir: A más doens de nrnjs más pesos. A menos doens de nrnjs menos pesos. Tmién son mgnitudes diretmente proporionles: el espio reorrido por un móvil y el tiempo empledo, el volumen de un uerpo y su peso, l longitud de los ldos de un polígono y su áre.

3 entro de ls pliiones de l proporionlidd diret, tenemos l regl de tres simple, los reprtos diretmente proporionles y los porentjes. L regl de tres simple y diret onsiste en que dds dos ntiddes orrespondientes mgnitudes diretmente proporionles, hy que lulr l ntidd de un de ests mgnitudes orrespondientes un ntidd dd de l otr mgnitud. Ejemplo de mgnitudes diretmente proporionles. Jime reorre en su utomóvil 60 km en hors. Cuántos kilómetros hrá reorrido en hors? 60 km h km h 60 60() 540 km. Los reprtos diretmente proporionles, onsisten en que dds uns mgnitudes de un mismo tipo y un mgnitud totl, hy que lulr l perte orrespondiente d un de ls... n. mgnitudes dds.... n... Ejemplo Un uelo reprte $ entre sus tres nietos de 8, y 6 ños de edd; proporionlmente sus eddes. Cuánto orresponde d uno? efinimos, y, z ls ntiddes que le orresponde d uno. El reprto proporionl es 8 y z 6 Por l propiedd de ls rzones igules Cd nieto reiirá 8 y z y z y z (8) $ () y $ (6) z $ STUACONES E APLCACÓN

4 . Cuál es el preio de 40 Kg de fé 78 dólres 85 kilos A. $45 B. $68 C. $7. $44.5. Siendo que 6 litros de vino uestn 4 dólres, uál es el vlor de 85 litros de l mism lidd?. A. $44. B. $40 C. $85. $570. Pr her un or, 8 oreros hn empledo 45 dís. Cuántos dís emplerán pr her otr or semejnte l nterior 5 oreros? A. 84 B. 45 C Un udrill de oreros emple 4 dís, trjndo 8 hors diris, en relizr iert or. Si huiern trjdo un hor menos l dí, En uántos dís hrán termindo l or? A..5 B. 6 C Gnndo $.5 en d metro de tel, Cuántos metros se hn vendido si l gnni h sido $945? A. 00 m B. 645 m C. 5 m. 945 m 6. A l veloidd de 0 Km por hor, un utomóvil emple 8 4 hors en ir de un iudd otr. Cuánto tiempo menos se huier trddo si l veloidd huier sido el triple? A. 4,7 B. 5/ C. /4. 5/4 7. os piezs de pño de l mism lidd uestn, un $450 y otr $00. si l primer tiene 5M más que l segund, Cuál es l longitud de d piez? A. 45m y 0m B. 55m y 5 m C. 5m y 0m. 0m y 5m 8. Un fuente d 0 delitros de gu en 0 minutos. Cuántos litros más drá en minutos? A. 50 B. 50 C Un gurniión de.00 homres tiene víveres pr 4 meses. Si se quiere que los víveres duren 0 dís ms, uántos homres hrá que rejr de l gurniión? A..00 B. 00 C Un gndero ompr.40 reses on l ondiión de reiir por d que ompre. Cuánts reses dee reiir? A..5 B..400 C Al vender ierto número de llos por $4.500 gno $6 en 4

5 d $00. Cuánto me ostron los llos? A.4.0 B..450 C Al vender ierto número de llos por $960 pierdo $8 en d $00. Cuánto me ostron los llos? A. $.0 B. $ C. $.450. $.450. os números están en rzon de 5. Si el myor es 655, Cuál es el menor? A. 5 B. 5 C os números están en relión de 9 7. Si el menor es 89 Cuál es el myor? A. 89 B. C.. 98 PORCENTAJES. Se llm tnto por iento de un número, un o vris de ls ien prtes igules en que se puede dividir diho número, es deir, un o vrios entésimos de un número. El signo de tnto por iento es %. Así: El 4% de 80, o 4/00 de 80, equivle utro entésims prtes de 80, es deir, que 80 se divide en ien prtes igules y de ells se tomn utro. Un porentje es un tipo de regl de tres diret en el que un de ls ntiddes es 00. Ejemplo. El preio de un ordendor es de sin VA. Cuánto hy que pgr por él si el VA es del 6%? os to finl (6) os to iniil (00 % inremento ) El 75%. Qué frión represent? A. /4 B. /5 C. /5. /4 6. Cuál es l quint prte de los 5/6 de los /4 del dole de l terer prte del 0% de 00? A. 0 B. 0 C

6 7. Luís gnó el 5% l orr un deud de $8400. Cuánto gnó? A. $540 B. $5784 C. $6440. $97 8. Al pgr un ftur de $6890 me hn desontdo el.75% Qué rej he otenido? A. $70. B. $840.5 C. $ $ En un fin se hn plntdo 8900 fetos, hiéndose perdido el 6%. Cuántos quedron? A B. 074 C Un hto ontiene 5560 reses, deido un epidemi murió el 5%. Cuánts reses quedron? A. 84 B. 700 C Al pgr un ftur de $7894 me dieron el desuento de un 5.6%. Cuánto tuve que pgr? A. $54 B. $696.7 C. $96.9. $ Compré 90 liros, vendí el 60%. Cuántos me quedn? A. 6 B. 45 C Un ojeto fue vendido por $9000, hiendo otenido un 6% de enefiio. Cuál es el preio totl del ojeto? A. 00 B C Un deud de $850 se redue 86. Qué porentje se h desontdo? A. 96% B. 4% C. 8%. 5% 5. Qué número umentdo en su % equivle 79? A. 800 B. 50 C Qué número disminuido en su 8% equivle 7? A. 00 B. 900 C Vendiendo un liro por $. se pierde el 0% del osto. Cuánto ostó el liro? A. $.0 B. $.60 C. $.0. $ A ómo hy que vender lo que h ostdo $.8 pr gnr el 5% de l vent? A. $.0 B. $.40 C. $.80. $.6 6

7 entro de ls pliiones de l proporionlidd invers, tenemos l regl de tres simples inverss y los reprtos inversmente proporionles. os mgnitudes son inversmente proporionles undo, l multiplir o dividir un de ells por un número ulquier, l otr qued dividid o multiplid por el mismo número. Hy un relión de proporionlidd invers entre dos mgnitudes undo: A más orresponde menos y menos orresponde más. Ejemplo: l veloidd y el tiempo son mgnitudes inversmente proporionles A más veloidd orresponde menos tiempo. A menos veloidd orresponde más tiempo. Un vehíulo trd en relizr un tryeto 6 hors si su veloidd es de 60 km/h, pero si dolmos l veloidd el tiempo disminuirá l mitd. Es deir, si l veloidd es de 0 km/h el tiempo del tryeto será de hors. L regl de tres simple invers onsiste en que dds dos ntiddes orrespondientes mgnitudes inversmente proporionles, hy que lulr l ntidd de un de ests mgnitudes orrespondientes un ntidd dd de l otr mgnitud. Ejemplo: Un grifo que mn 8 l de gu por minuto trd 4 hors en llenr un depósito. Cuánto trdrí si su udl fuer de 7 l por minuto? Son mgnitudes inversmente proporionles, y que menos litros por minuto trdrá más en llenr el depósito. 8 l/min 4h 7 l/min h 7 4 8(4) 6h 8 7 Ejemplo: Pr onstruir un muro, oreros onstruirlo 6 oreros? requieren hors, uánto trdrán en Son mgnitudes inversmente proporionles, y que más oreros trdrán menos hors. oreros h 6 oreros h 6 () 6h 6 7

8 Los reprtos inversmente proporionles, onsisten en que dds uns mgnitudes de un mismo tipo y un mgnitud totl, deemos her un reprto diretmente proporionl ls inverss de ls mgnitudes. Ejemplo: Crlos, Hétor y vid yudn l mntenimiento fmilir entregndo dirimente $5900. Si sus eddes son de 0, 4 y ños y ls portiones son inversmente proporionles l edd, uánto port d uno? Pr resolver el prolem tommos los inversos de ls eddes omún denomindor , 480 5, 480 h d y z numerdores: 4, 0 y (4) 400 ; Crlos port $ h (0) h 000; Hétor port $000 y d (5) d 500 ; vid port $ , 0 4, y lo llevmos y relizmos el reprto diretmente proporionl los L regl de tres ompuest se us undo se relionn tres o más mgnitudes, de modo que prtir de ls reliones estleids entre ls mgnitudes onoids otenemos l desonoid. Un regl de tres ompuest tiene vris regls de tres simples plids suesivmente. Entre ls mgnitudes se pueden estleer reliones de proporionlidd diret o invers, por lo que podemos distinguir tres sos de regl de tres ompuest: Regl de tres ompuest diret d d d Ejemplo: Nueve grifos iertos durnte 0 hors diris hn onsumido un ntidd de gu por vlor de 0 (euros). Averigur el preio del vertido de 5 grifos iertos hors durnte los mismos dís. A más grifos, más euros A más hors, más euros iret. iret. 9(0) 5() 0(80) Regl de tres ompuest invers 8

9 d d d Ejemplo: 5 oreros, trjndo 6 hors diris onstruyen un muro en dís. Cuánto trdrán 4 oreros trjndo 7 hors diris? A menos oreros, más dís nvers. A más hors, menos dís nvers. 5 oreros 6 hors dís 4 oreros 7 hors dís (0) Regl de tres ompuest mit. d d d Ejemplo: Si 8 oreros relizn en 9 dís trjndo rzón de 6 hors por dí un muro de 0 m. Cuántos dís neesitrán 0 oreros trjndo 8 hors diris pr relizr los 50 m de muro que fltn? A más oreros, menos dís nvers. A más hors, menos dís nvers. A más metros, más dís iret. 8 oreros 9 dís 6 hors 0m 0 oreros dís 8 hors 50m Oho homres hn vdo en 0 dís un znj de 50 m de lrgo, 4m de nho y m de profundidd. En uánto tiempo huiern vdo l znj 6 homres menos? A. 5 dís B. 5/4 dís C. 50 dís. 80 dís 0. Un lle de 50 metros de lrgo y 8 metros de nho se hll pvimentd on doquines. Cuántos doquines serán neesrios pr pvimentr otr lle del dole de lrgo y uyo nho es los ¾ del nho interior? A B C

10 iez homres, trjndo en l onstruión de un puente, hen /5 de l or en 8 dís. Si se retirn 8 homres, Cuánto tiempo emplern los restntes pr terminr l or? A. 6 B. 6 C os homres hn ordo 50 olivres por un trjo relizdo por los dos. El primero trjó durnte 0 dís rzón de 9 hors diris y reiió 50 olívres. Cuántos dís rzón de 6 hors diris, trjó el segundo? A. 9 dís B. 40 dís C. 45 dís. 5 dís. os gllins ponen dos huevos en dos dís; 0 gllins. Cuántos huevos ponen 0 dís? A. huevos B. 0 huevos C. 00 huevos. 50 huevos 4. Se emplen 4 homres en her 45 m de un or, trjndo durnte 0 dís. Cuánto tiempo emplerá l mitd de esos homres en her 6 m de l mism or, hiendo en est or triple difiultd que en l nterior? A. 0 B. 8 C homres hn semrdo en 0 dís un terreno de 50 km de lrgo por 5 km de nho. En unto tiempo huiern semrdo el mismo terreno 6 homres menos? A. B. C.. 6. Un prquedero de 00 m de lrgo y 60 m de nho se hll pvimentdo on doquines. Cuántos doquines serán neesrios pr pvimentr otr lle del dole de lrgo y uyo nho es l mitd del nho nterior? A B

11 C homres hn semrdo en 5 dís un terreno de 0 km de lrgo por 5 km de nho. En unto tiempo huiern semrdo otro terreno de km de lrgo por km. e nho 4 homres menos? A. 4.5 B. 9 C Pedro tení $80. Si gstó el 0% y dio su hermno el 5% del resto. Cuánto le qued? A. 5 B. 5.4 C e un fin de 50 hetáres se vende el 6% y se lquil el 4%. Cuánts hetáres quedn? A. 5 B. 0 C Se inendi un s que est segurd por el 86% de su vlor y se orn $400 por el seguro. Cuál er el vlor de l s? A B C Un pisin se gst 40m de gu pr llenrl en un tiempo de hors, utilizndo 4 mnguers. Cuánts mnguers se neesitn pr llenr l mitd de l pisin on hors? A. B. 8 C homres, trjndo en l onstruión de un puente hen 5/8 de l or en dís. Si se ñden homres más. Cuánto tiempo emplerá l nuev ntidd de homres pr terminr l or? A. 5. B. ½ C

12 4. Un homre dispuso de $600 invirtiendo el 0% en liros, el % en pseos, el 8% en rop, el 5% en limosns y el resto lo dividió en prtes igules entre los prientes. Cuánto reiió d uno de éstos? A. $50 B. $00 C. $00. $ Qué porentje del osto se gn undo se vende en $8 lo que h ostdo $6? A. 5% B. 7% C. 5%. 8 ½% 45. Qué % de l vent se gn undo se vende en $8 lo que h ostdo $6? A. 0% B. 5% C. 50%. 70% 46. Un omerinte ompr rtíulos on un desuento del 5% sore el preio de list y lo vende en un 5% más que el preio de list. Cuál es su % de gnni sore el osto? A. % B. 45% C. /%. 50% 47. No quise vender un s undo me ofreín por ell $840, por lo ul huier gndo el 8% del osto y lgún tiempo después tuve que venderl por $750. Qué porentje del osto gné l her l vent? A. 8% B. 0% C. 5%. 5%