Transformada Z. Ejemplos. Ejemplos de cálculo [ ] = [ ] ( ) ( ) 1. Transformada Z. α = α α α si α. α α α

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1 Trasformada Ejemplos Ejemplos de cálculo. Trasformada... Calcular la trasformada, por defiició, idicado la regió de coergecia p u [ ] h h p u cos u Solució: Para calcular la Trasformada por defiició, resulta útil recordar el desarrollo de la serie geométrica y las codicioes de coergecia de la misma. si <... E base al resultado aterior, puede calcularse las series co distitos límites iferiores o superiores de las sumatorias, restado los térmios que correspoda e cada caso... < si si < si < Para el primer ejemplo si < H h pu p p Cosiderado el resultado de la serie geométrica para desde a y tomado p - H p p Esta serie coerge para <, es decir, p - <, o bie, p < H ; p < p dode p es ua raí del deomiador o polo de H. Para el segudo ejemplo H h p u p p p m dode se hio el cambio de ariable m- co el correspodiete cambio e los límites de la sumatoria. Cosiderado la serie geométrica para desde a y tomado p - m m p m m p p H p Esta serie coerge para <, es decir, p - <, o bie, < p H ; < p p dode p es ua raí del deomiador o polo de H. Obsérese que H y H tiee la misma epresió y por ede, el mismo polo, pero las regioes de coergecia so opuestas. Puede obserarse que la Regió de Coergecia está limitada por circuferecias del tipo p. So las codicioes de coergecia de la sumatoria las que impoe la forma de dicha ROC si es el iterior o el eterior de la circuferecia mecioada. Para el tercer ejemplo cos u cos Escribiedo al coseo co la forma de Euler y calculado las series geométricas j j j e e j j j e e e e Fialmete m

2 ; >.. Calcular la trasformada de las secuecias utiliado las propiedades cos cos cos u u u Solució: Utiliado la propiedad de desplaamieto e el tiempo ; < < Utiliado la propiedad de refleió ; < Utiliado la propiedad de escalado e el domiio ; 6 <. Atitrasformada... Determiar la secuecia uilateral derecha [] calculado la atitrasformada de... Utiliado la propiedad de difereciació e el domiio.... Por desarrollo e series de potecias.... Por epasió e serie de ± mediate diisió decreciete de poliomios. Solució:... Utiliado ua fució auiliar W co W u w W por propiedad de difereciació e la frecuecia u w W Si a la fució aterior la llamamos V W/, etoces puede escribirse e la forma V, y por propiedad del desplaamieto e el tiempo u V... Tomado ua ariable itermedia! 6 '' '! u... Calculado el biomio al cuadrado e el deomiador y diidiedo u

3 . Característica de los sistemas de tiempo discreto... Calcular H para determiar la catidad de retardos que requeriría la implemetació de u oscilador discreto cuya respuesta impulsia sea [] {,,,,,,... } h Solució: h[] toma los siguietes alores para si si h δ [ ] [ ] si si Para >, h[]h[-]. Etoces la respuesta impulsia puede epresarse e forma recursia [] δ δ[ ] δ[ ] h[ ] h Su trasformada puede escribirse como producto de térmios que represeta dos sistemas H y H e cascada, el primero co u retardo - y el segudo co dos - y - H H.. U promediador móil de putos es defiido por la ecuació e diferecias siguiete. Determiar u sistema recursio equialete. y [ ]... [ ] Solució: Calculado la trasformada de y[]... Y H a trasferecia del sistema, es la relació etre la salida y la etrada epresada e el domiio El poliomio etre corchetes es ua serie de potecias de -i para i hasta -, por lo que H tambié puede escribirse usado la epresió de la serie H i i Iicialmete, se partió de u poliomio H y se llegó a ua epresió racioal poliómica equialete. Esto idica que H represeta a u sistema o recursio que puede realiarse tambié mediate u sistema recursio equialete. Factoriado la última epresió racioal poliómica se obtiee las raíces del umerador que so los ceros del sistema, y las raíces del deomiador que so los polos del sistema: u cero de orde e, u polo de orde e y otro de orde - e. Puede obserarse que la cacelació etre polo y cero e coduce a la epresió origial Y H p i i p Atitrasformado la epresió iicial que epresa la relació etre y[] y [] e el domiio, se puede obteer la ecuació e diferecias del sistema o recursio Y y... [ ]... [ ] De la última epresió obteida para la trasferecia H puede despejarse la relació etre y[] y [] e el domiio H Y Procediedo del mismo modo co la última epresió se llega a obteer la ecuació e diferecias del sistema co recursiidad [ ] Y y y Y... H 5

4 Escribiedo a e la forma fasorial e jω, como debe suprimirse dos frecuecias agulares, debe haber dos pares complejos cojugados de ceros ± j ± j,, C e ; C e Co estos ceros se puede compoer el umerador de la fució de trasferecia H j j j j ke e e e k k Como el umerador es u poliomio de orde, para que el sistema sea causal, el deomiador debe ser u poliomio de mayor o igual grado. Para o modificar la respuesta, el deomiador puede compoerse por u polo de orde situado e D Escribiedo a H como el cociete de los poliomios mecioados H k D El fasor e jω puede cosiderarse como u úmero complejo de módulo uitario. a tercer compoete tiee frecuecia agular digital ω. Etoces, impoiedo la codició de que la trasferecia sea uitaria para esa compoete, He jω ω, se puede despejar k Figura : Trasformada, diagrama de polos y ceros, respuesta espectral y respuesta impulsia de u sistema promediador móil de orde putos... Diseñar u sistema causal que, ate la etrada [] siguiete, elimie las dos primeras compoetes ω±/ y ω±/ y deje ialterada la magitud de la tercera ω± pudiedo sufrir u desplaamieto de fase H e k k k e j j j j j e e e e j [] cos cos cos Solució: a fució de trasferecia del sistema se puede compoer partiedo de los ceros y polos deseados. os ceros debe situarse e las frecuecias agulares a suprimir. 6

5 Ejemplos de simulació. Trasformada de Fourier de Tiempo Discreto... Simular u sistema promediador móil de logitud 5, a partir de los coeficietes b y a de la trasferecia. Calcular la respuesta al impulso, graficar la trasferecia y el diagrama de polos y ceros y [ ]... [ ] Solució: %Programa para el calculo y grafica de la T %Ejemplo de Simulacio.: Sistema promediador moil clc, clear, close all format log %Especificacioes 5; %logitud del promediador %Coeficietes de la ecuacio e diferecias del sistema b:/; a; %Respuesta al impulso del sistema [h,]impb,a; %Trasferecia y respuesta e frecuecia del sistema [H,Hw,,w,c,p]tb,a,,; %Graficos figure stem,h,'k.-' label'' ylabel'h[]' title'respuesta al impulso del sistema' %Grafica de los polos y ceros figure plaec,p title'diagrama de polos y ceros' 7

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