4.- Series. Criterios de convergencia. Series de Taylor y Laurent

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1 4.- Series. Criterios de covergecia. Series de Taylor y Lauret a) Itroducció. Series de fucioes reales. b) Covergecia de secuecias y series. c) Series de Taylor. d) Series de Lauret. e) Propiedades adicioales de las series. i. Cotiuidad de ua serie de potecias. ii. Itegració y derivació de series de potecias. iii. Multiplicació y divisió de series de potecias a).- Itroducció. Series de fucioes reales. Las series de potecia so, a meudo, ua suma ifiita de térmios. U ejemplo de ua serie de potecias es y c x c c x c x De forma más geeral, se dice que ua serie de potecias cetrada e a es ua serie de potecias e (x a) de la forma ( ) ( ) ( ) y c x a c c x a c x a E estas series de potecias, los coeficietes c so costates que más adelate veremos cómo se determia. U problema importate que puede represetar ua serie ifiita de potecias es que esta puede divergir, esto es, podría resultar ifiita coforme se le añade cada ve más térmios; este tipo de series o so fucioales y e lo que sigue, buscaremos que las series que usemos sea covergetes. Se dice que ua serie coverge para u valor particular de x si su límite es fiito, es decir lim de lo cotrario, se dice que la serie o coverge. Se dice que ua serie coverge absolutamete si la sumatoria de los valores absolutos de sus térmios coverge, es decir cx lim cx Si ua serie coverge absolutamete, tambié coverge. 4-

2 La preguta ahora es: cómo sabemos si ua serie coverge o o? La respuesta es secilla, podemos usar el criterio del cociete (ratio test), pero ates geeralicemos y ampliemos las ideas ateriores. Si ahora cosideramos la expresió geeral para ua serie de potecias, a saber y c ( x a) etoces, la serie coverge si existe el siguiete límite de las sumas parciales: lim S ( x) lim c ( x a) N N N Se llama itervalo de covergecia al cojuto de úmeros reales x o itervalo para los que la serie coverge. Se llama radio de covergecia al úmero positivo (o cero), tal que la serie coverge absolutamete si y diverge si La regió e la que N xa, xa. xa (dode la serie coverge) se llama itervalo de covergecia. Detro de su itervalo de covergecia, ua serie de potecias coverge absolutamete =. Si = la serie coverge solo para x = a, si la serie coverge para todo x, etoces escribimos Cosiderado la serie Prueba de covergecia (criterio del cociete o ratio test ) y c ( x a) y supoiedo que c para todo, podemos escribir el siguiete cociete c ( x a) c lim x a lim L c ( ) x a c Si L <, la serie coverge absolutamete; si L >, la serie diverge; y si L =, el criterio o es cocluyete. 4-

3 U ejemplo secillo. E qué itervalo, si es que existe, la siguiete serie coverge absolutamete? es decir y ( x 3) El primer paso es costruir el cociete de los térmios + y, es decir c x a L lim x 3 ( ) lim c ( ) x a x 3 L x 3 x 3 Lo cual se cumple si x se ubica e el itervalo < x < 4, fuera de este itervalo, la serie diverge. Otro ejemplo. E qué itervalo, si es que existe, la siguiete serie coverge absolutamete? k 5 y x k! E este caso, el cociete de los térmios + y es k 5 k x k! 5 L lim lim x k k 5 k k k x k! Lo cual se cumple para toda x, por lo tato, la serie coverge absolutamete para todos los reales. k k U ejercicio. E qué itervalo, si es que existe, la siguiete serie coverge absolutamete? y k x k k Ajustado los ídices e ua serie. Ua herramieta útil cuado trabajamos co series es el llamado cambio de ídices e ua serie. U ejemplo. Supogamos que se tiee la siguiete serie que iicia e = 3: y x

4 Para que iicie e = bastará hacer el siguiete cambio: se sustituye por k + 3 y y luego se regresa a : y k 33 x ( k 3) x ( 3) k 3 3 Otro ejemplo. Supogamos que se tiee la siguiete serie: k 5 y x k! Para que iicie e = bastará hacer el siguiete cambio: k se sustituye por + y luego se regresa a k: y y k k k 5 x ( )! k 5 x ( k )! k Derivado series de potecias Ua serie de potecias defie ua fució y(x) dada por y( x) cx cuyo domiio es el itervalo de covergecia de la serie, e el cual es cotiua, derivable e itegrable, lo que permite escribir la primera derivada como la seguda derivada como y así sucesivamete. y '( x) cx y ''( x) ( ) c x 4-4

5 Series de Taylor de variable real Uo puede expresar cualquier fució cotiua f(x) como ua serie: la serie de Taylor. Defiició. La expasió o desarrollo de Taylor de ua fució f(x) alrededor del puto x se expresa como f ( x ) f x x x ( ) ( ) ( )! Si ua fució f(x) posee ua expasió e series de Taylor e el puto x = x co u radio de covergecia diferete de cero, se dice que es aalítica e x = x. El caso particular de la Serie de Taylor e el que se toma x = recibe el ombre de Serie (o Expasió) de Maclauri. b).- Covergecia de secuecias y series. A cotiuació hagamos ua extesió de las ideas ateriores (y alguas uevas) a fucioes de variable compleja, f(). Para ello veamos alguas defiicioes. Defiició. La sucesió ifiita de úmeros complejos complejo, si para todo > existe u úmero etero positivo N tal que siempre que > N. tiee u límite o coverge a u úmero Geométricamete, lo aterior sigifica que para valores suficietemete grades de, los putos se ubica e ua vecidad alrededor de. Debido a que podemos escoger ta pequeño como queramos, se sigue que los putos se ubica arbitrariamete cercaos a coforme su subídice se icremeta; lo que permite escribir que lim etoces se dice que dicha sucesió diverge. Esto sigifica que cuado el límite de la sucesió existe y es, etoces se dice que coverge a. Si la sucesió o tiee límite 4-5

6 Teorema para la covergecia de ua sucesió. Sea x iy (para =,,,...), para x y úmeros reales. Etoces, si y sólo si lim lim x x y lim y y y úmeros reales, y x iy para x y y Ejemplo. Determie si la sucesió ( ) i Ejercicio. Aalice la covergecia de la sucesió ( ) i Si la sucesió es covergete, halle el límite de la sucesió. coverge y halle el límite si es el caso. Defiició. Ua serie ifiita Suma de ua serie 3 de úmeros complejos coverge a u úmero complejo S, llamado suma de la serie, si la sucesió S N N (N =,,,...) de sumas parciales coverge a S; etoces se escribe N S Cuado la serie o coverge, decimos que dicha serie diverge. Teorema para la covergecia de ua serie. Sea x iy (para =,,,...), para x y úmeros reales. Etoces, y úmeros reales, y S X iy para X y Y si y sólo si S 4-6

7 x X y De hecho, este teorema os dice que podemos escribir y Y x iy x i y Si ua serie de úmeros complejos coverge, etoces el -ésimo térmio ( x iy ) coverge a cero cuado tiede a ifiito, lo que obliga a que las partes real e imagiaria, lo haga por separado, es decir lim lim x i lim y i De lo aterior se sigue que los térmios de ua serie covergete está acotados, es decir, cuado la serie coverge existe ua costate positiva M tal que M para cualquier etero positivo. Otra propiedad importate de las series de úmeros complejos es la que establece que ua serie es absolutamete covergete si la serie x y x iy de úmeros reales x y coverge. La covergecia absoluta de ua serie de úmeros complejos garatia la covergecia de la serie. La preguta ahora es: cómo sabemos si ua serie coverge absolutamete o o? La respuesta es secilla, al igual que para series reales, podemos usar el criterio del cociete (ratio test), que e este caso se reescribe de la siguiete forma. Cosiderado la serie podemos escribir el siguiete límite S u () ( ) lim u ( ) u ( ) Etoces Si () <, la serie coverge absolutamete; si () >, la serie diverge; y si () = o o existe, el criterio del cociete o es cocluyete e cuato a la covergecia absoluta de la serie. 4-7

8 Ejemplos: Use el criterio del cociete para aaliar la covergecia absoluta de las siguietes series: a).- e! b).- ( i) c).- ( i) ( i) d).-! Remaete de ua serie Defiició. Al establecer que la suma de ua serie es u úmero dado S, a meudo es coveiete defiir el remaete N después de N térmios, usado la suma parcial S N, de tal forma que N = S - S N Co esto, vemos que S N - S = N -, lo que os permite establecer que ua serie coverge a u úmero S si y solo si la secuecia de remaetes N tiede a cero. c).- Series de Taylor. A cotiuació defiimos ua serie de potecias como ua serie de la forma a a a a a dode y los coeficietes a so costates complejas y puede ser cualquier puto de ua regió dada que cotiee a. E estas series que ivolucra la variable, deotaremos las sumas, sumas parciales y remaetes, defiidas ateriormete, como S(), S N() y N(), respectivamete. Teorema de covergecia de ua serie de potecias Sea la serie de potecias defiimos lim a /, etoces, a 4-8

9 si =, la serie es covergete e el úico puto = ; si < <, la serie es absolutamete covergete e el círculo - < (/) y es divergete e el exterior de este círculo; y si =, la serie es absolutamete covergete e todo el plao complejo. Lo aterior permite establecer que cuado < < existe u círculo co cetro e el puto =, e el iterior del cual la serie es absolutamete covergete y e el exterior del cual la serie es divergete. Este círculo se llama círculo de covergecia de la serie de potecias y su radio R (= /) recibe el ombre de radio de covergecia de la misma. E los casos límites, cuado = el círculo de covergecia se reduce al puto =, mietras que cuado = el círculo de covergecia se extiede a todo el plao, de modo que puede cosiderarse que R es igual a. El resultado aterior se cooce como teorema de Cauchy-Hadamard, y fue publicado por primera ve e 8 por Augusti Louis Cauchy, pero pasó relativamete desapercibido hasta que Jacques Hadamard lo redescubrió, al publicarlo por primera ve e 888. U resultado muy útil al aplicar el teorema aterior es el siguiete límite lim! e Ejemplo: Halle el círculo y radio de covergecia de la serie!. Criterio del cociete para la covergecia de ua serie de potecias E muchos casos resulta coveiete determiar el radio de covergecia de ua serie de potecias mediate el criterio de cociete, para ello se cosidera la serie a ( ) y supoiedo que a para todo, podemos escribir el siguiete cociete a ( ) a lim lim a ( ) a de dode el círculo de covergecia resulta co R R lim a a 4-9

10 Ejemplo: Usado el criterio del cociete, halle el círculo y el radio de covergecia de la serie!. Dada ua fució aalítica es siempre posible ecotrar ua serie de potecias cuya suma sea dicha fució e algú domiio? Dicho de otro modo es posible represetar cualquier fució aalítica por medio de ua serie de potecias? La respuesta es afirmativa, como veremos e el siguiete teorema. Teorema de Taylor Sea f() ua fució aalítica e todo puto del disco C, co cetro e y radio R. Etoces, e cada puto del disco C, f() se expresa como ( ) f ( ) f ( )! (4.) es decir, la serie de potecias f ( )! ( ) coverge a f() cuado - < R. La serie (4.) se deomia desarrollo e serie de Taylor, o simplemete, desarrollo de Taylor de f() alrededor del puto. Serie de Maclauri Si =, el desarrollo de Taylor (4.) adquiere la forma y se deomia desarrollo de Maclauri de f(). f f ( ) ()! ( ) Ejemplo. Dada la fució f()=e, halle a).- el desarrollo de Maclauri de f() b).- el desarrollo de Taylor de f() alrededor de = -i. Ejercicio. Ecuetre la serie de Maclauri para las fucioes f() dadas: a).- f() = se b).- f() = cos El siguiete teorema os garatia que el desarrollo de Taylor alrededor de de ua fució f(), es la úica serie de potecias que coverge a f() e u disco cetrado e. 4-

11 Teorema de uicidad del desarrollo de Taylor El desarrollo e serie de Taylor alrededor de de ua fució f() es la úica serie de potecias de ( ) que coverge a f() e todo puto de u disco cetrado e. El siguiete teorema os permite calcular el radio de covergecia del mayor círculo para el cual la serie de Taylor de ua fució f() coverge a f(). Teorema de covergecia del desarrollo de Taylor para ua fució co sigularidades Cosideremos el desarrollo e serie de Taylor de ua fució f() alrededor de dado por la expresió (4.). El mayor círculo detro del cual esta serie coverge a f() e cada puto es = r, dode r es la distacia etre y el puto sigular de f() más cercao. Es importate otar que este teorema o afirma que la serie de Taylor o coverja fuera del círculo = r, sólo afirma que éste es el mayor círculo de todos los putos para los cuales la serie coverge a f(). Ejemplo. Si determiar el desarrollo de Taylor, calcule el radio del círculo máximo e dode el desarrollo idicado es válido: f ( ) a d).- Series de Lauret. Si ua fució f o es aalítica e, o podemos aplicar el teorema de Taylor e ese puto. No obstate, muchas veces es posible hallar ua represetació de f() e forma de ua serie que cotiee tato potecias positivas como potecias egativas de -. Defiició. El desarrollo e serie de Lauret o, simplemete, desarrollo de Lauret de ua fució f() alrededor del puto es de la forma (4.) f () a dode la serie coverge a f() e cierto domiio o regió. La preguta aquí es: Qué clase de fucioes puede represetarse por medio de series de Lauret y e qué regió del plao complejo será válida dicha represetació? Normalmete los desarrollos de Lauret se obtiee a partir de los desarrollos de Taylor, para lograr lo aterior, es ecesario euciar el teorema de Lauret. 4-

12 Teorema de Lauret Sea f() ua fució aalítica e el aillo R < - < R, cetrado e. Sea C cualquier cotoro cerrado simple, orietado positivamete, que rodea a y está coteido por completo e ese domiio aular. Etoces, e todo puto de ese domiio aular, f() admite la represetació (4.3) f ( ) a b y dode a f ( ) d (,,,...) i (4.4) b C f ( ) d i (,,...) (4.5) C dode El desarrollo (4.3) se escribe, co frecuecia, de maera compacta como c (4.6) f ( ) c f ( ) d (,,,...) i (4.7) C Esta última represetació es similar a la dada e (4.); si embargo, e cualquiera de las dos formas (4.3) o (4.6), el desarrollo e serie de potecias, así defiido, se llama serie de Lauret. Cosideracioes acerca del Teorema de Lauret Si f() es aalítica e todos los putos de la regió - R, etoces el desarrollo de Lauret de f() se covierte e el desarrollo de Taylor de f() alrededor de, ya que el itegrado de los coeficietes b, dados por (4.5), se hace cero; mietras que los coeficietes a, dados por (4.4), se reduce a la fórmula itegral de Cauchy extedida, a saber ( )! f ( ) f ( ) d i c Si f() es aalítica e la regió - R excepto e el puto, etoces el desarrollo de Lauret es válido e toda la regió - R. Si f() es aalítica e todo puto del plao complejo que o perteeca a cierto círculo, etoces es posible ecotrar u desarrollo de Lauret de f() que sea válido e ua regió aular cuyo radio exterior R es ifiito. 4-

13 Es importate mecioar que, e geeral, los coeficietes de ua serie de Lauret se calcula por métodos más ecoómicos que las propias represetacioes itegrales, siedo el camio más usado, partir de los desarrollos de Taylor (o de Maclauri). Ejemplo. Ecuetre la Serie de Lauret para alrededor del orige. f () e Solució. Para ecotrar el desarrollo de Lauret de esta fució f(), alrededor de =, vamos a cosiderar el desarrollo de Maclauri de e s, a saber e s / s! después, se hace s = / e la ecuació aterior para obteer e!! que es, efectivamete, el desarrollo de Lauret de e / alrededor de = y es válido e todo el plao complejo excepto e =. Hay fucioes que por sí mismas ya correspode a ua Serie de Lauret. Por ejemplo, si aaliamos la fució f( ) i vemos que ya tiee la forma de ua serie de Lauret, co = i. (4.8) E efecto, usado la represetació (4.6) f ( ) c al comparar co la forma de f(), vemos que c - = y todos los demás coeficietes c so cero. Si a cotiuació retomamos la expresió (4.7) para los coeficietes c de la serie de Lauret para la fució f() defiida e la ecuació (4.8), podemos escribir c d (,,,...) 3 i i C dode C es, por ejemplo, cualquier circuferecia - i = R orietada positivamete e toro al puto = i. Co lo aterior, podemos escribir 4-3

14 C d si si 3 i i Ejercicios.. Ecuetre la serie de Lauret alrededor de la sigularidad idicada para cada ua de las siguietes fucioes: a) f ( ) ; b) c) d) e) f ( ) ; e f ( ) ; 3 7 cos f ( ) 3 ; si f ( ) 3 ; f ( ) 3 si 4 ; 4 f ( ) 3 ; f) g) h) f ( ) ;. Expada las siguietes fucioes e ua serie de Lauret para las potecias idicadas y ecuetre el domiio de valide. a) f ( ) ; ( 3) b) c) f ( ) ; ( i) ( ) f ; ( i ) Para resolver estos problemas puede resultar útiles las siguietes series de Maclauri: w w w w w w w 3w 4w 5w 6w w (Válidas para w < ) 4-4

15 e).- Propiedades adicioales de las series. Para termiar uestro estudio de las series de potecias para fucioes complejas, vamos a revisar alguos teoremas y resultados que os puede ser útiles al trabajar co series de potecias, ya sea desarrollos de Taylor o de Lauret para ua fució f(). i. Cotiuidad de ua serie de potecias. El siguiete teorema es ua cosecuecia importate de la covergecia uiforme de ua serie de potecias. Ua serie de potecias c represeta ua fució cotiua S() e el iterior de su disco de covergecia, es decir, e todo tal que - < R, dode R es el radio de covergecia. Este teorema está e líea co el teorema (demostrado ateriormete) que establece que ua fució poliomial de es aalítica y cotiua e su domiio de defiició. ii. Itegració y derivació de series de potecias. Como se estableció e el teorema aterior, ua serie de potecias de la forma (4.9) S( ) c represeta (es decir, tiee como suma) ua fució cotiua e el iterior de su disco de covergecia, icluso se puede demostrar que la suma S() es aalítica e dicho disco. Lo aterior permite euciar los siguietes dos teoremas. Teorema de itegració. Sea C u camio iterior al disco de covergecia de la serie de potecias (4.9) y g() ua fució cotiua e C. Etoces, la serie formada multiplicado cada térmio de la serie de potecias por g() se puede itegrar térmio a térmio sobre C, esto es, g( ) S( ) d c ( )( ) C g d (4.) C Teorema de difereciació. La serie de potecias (4.9) se puede derivar térmio a térmio. E otras palabras, e todo puto iterior al disco de covergecia de la serie se tiee que la derivada S () está dada por (4.) S '( ) c ( ) 4-5

16 Los dos teoremas ateriores os permite afirmar que si ua fució f() está represetada co ua serie de potecias e ua regió R, la serie que se obtiee por difereciació térmio a térmio coverge a f () detro de R. Este procedimieto puede repetirse u úmero idefiido de veces. Tambié es cierto que si se itegra térmio a térmio la represetació e serie de f() a lo largo de ua trayectoria coteida e R, la serie que resulta de esta operació coverge a la itegral de f() efectuada a lo largo de la misma trayectoria. iii. Multiplicació y divisió de series de potecias Para revisar la multiplicació y divisió de series de potecias podemos, si pérdida de geeralidad, supoer que cada ua de las series de potecias coverge detro de cierta circuferecia = r. f ( ) a y g( ) b Las sumas f() y g() so etoces fucioes aalíticas e el disco < r, y el producto de esas sumas tiee u desarrollo e serie de Maclauri, que es válido e ese disco, dado por dode f ( ) g( ) c (4.) c k k k a b (4.3) La serie (4.) es igual a la serie que se obtiee al multiplicar las dos series de f() y g() etre sí térmio a térmio y agrupado los térmios que resulte co potecias iguales de ; a dicha serie se le llama producto de Cauchy de las dos series dadas. Por otra parte, para aaliar el cociete de dos series de potecias, supogamos que la serie g() e cierta vecidad del orige. El cociete h() = f()/g() es aalítico e esa vecidad y por eso admite u desarrollo de Maclauri dado por dode d = h(), d = h (), d = h ()/!, etc. h( ) d (4.4) 4-6

17 Alguos de estos primeros coeficietes se puede ecotrar e térmios de los coeficietes a y b de las series de f() y g(), al difereciar sucesivamete el cociete f()/g(). Los resultados so los mismos que los que se ecuetra al efectuar la divisió de la serie de f() etre la serie de g(). Tambié podemos ecotrar estos primeros térmios mediate el siguiete procedimieto. Se tiee que a b d de dode d b a de esta forma, d b a d b d b a d b d b d b a De la primera ecuació de este sistema de ecuacioes, teemos d a b, e itroduciedo este resultado e la seguda ecuació obteemos d a ab. b b Estos resultados os permite despejar d de la tercera ecuació: d a a b a b a b. 3 b b b El procedimieto aterior puede repetirse para obteer cualquiera de los coeficietes d, dode es ta grade como deseemos. Este es u ejemplo de procedimieto recurrete o iterativo, e el que se usa los valores de d, d,..., d ya calculados, para ecotrar la siguiete icógita d. 4-7

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