Sistemas de ecuaciones no lineales

Transcripción

1 Sistemas de ecuaciones no lineales Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: web: Universidad: ITESM CEM

2 Tópicos 1 INTRODUCCIÓN Sistema de ecuaciones no lineales 2 ITERACIÓN DE PUNTO FIJO Condición de convergencia 3 NEWTON-RAPHSON

3 Tópicos 1 INTRODUCCIÓN Sistema de ecuaciones no lineales 2 ITERACIÓN DE PUNTO FIJO Condición de convergencia 3 NEWTON-RAPHSON

4 Sistema de ecuaciones no lineales Qué es un sistema de ecuaciones no lineales? f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0, f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0,. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Qué es un sistema de ecuaciones no lineales? x i, i = 1, 2,..., n Incógnitas f i, i = 1, 2,..., n Funciones no lineales con respecto x i Ejemplos u(x, y) = x 2 + x y 10 = 0 v(x, y) = y + 3x y 2 57 = 0

5 Sistema de ecuaciones no lineales Solución Si x s = [x s 1, xs 2,..., xs n], es la solución del sistema de ecuaciones Entonces: f i (x s ) = 0, para i = 1, 2,..., n Solución exacta Los sistemas de ecuaciones no lineales no tienen solución exacta o analítica. Soluciones numéricas son necesarias

6 Tópicos 1 INTRODUCCIÓN Sistema de ecuaciones no lineales 2 ITERACIÓN DE PUNTO FIJO Condición de convergencia 3 NEWTON-RAPHSON

7 Métodos de iteración de punto fijo El método de iteración de punto fijo estudiado anteriormente puede modificarse para resolver un sistema de ecuaciones no lineales simultaneas.

8 Ejemplos I Busquemos la solución del sistema de ecuaciones no lineales: u(x, y) = x 2 + x y 10 = 0 v(x, y) = y + 3x y 2 57 = 0 Hallar la función g x (x, y): Hallar la función g y (x, y): g x (x, y) = 10 x2 y g y (x, y) = 57 3xy 2

9 Algoritmo x i+1 = g x (x i, y i ) y i+1 = g y (x i+1, y i ) Algoritmo: Ejemplos I x i+1 = 10 x2 i y i y i+1 = 57 3x i+1 y 2 i

10 function p u n t o f i j o s e n v 1 ( gx, gy, x0, y0,ee) % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % puntofijosenv1 : Nombre de la funcion % Valores de entrada % gx : funcion matematica de entrada >x=gx ( x, y ) % gy : funcion matematica de entrada >y=gy ( x, y ) % x0 : Valor de i n i c i a l de x % y0 : Valor de i n i c i a l de y % EE: E r r o r Estimado % Valores de s a l i d a % Salida : Raiz x, EA x, Raiz y, EA y % IM : Iteracion Maxima % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % IM=1; x ( IM ) =x0 ; y ( IM ) =y0 ; EAx( IM ) =10ˆ3; EAy( IM ) =10ˆ3; while EAx ( IM )>EE EAy ( IM )>EE x ( IM+1)=gx ( x ( IM ), y ( IM ) ) ; y ( IM+1)=gy ( x ( IM+1), y ( IM ) ) ; EAx( IM+1)=abs ( ( x ( IM+1) x ( IM ) ) / x ( IM+1) ) 100; EAy( IM+1)=abs ( ( y ( IM+1) y ( IM ) ) / y ( IM+1) ) 100; IM=IM+1; end Salida1 =[ Iteracion Maxima=,num2str ( IM 1) ] ; Salida2 =[ x ( 2 : size ( x, 2 ) ) EAx ( 2 : size ( x, 2 ) ) y ( 2 : size ( y, 2 ) ) EAy ( 2 : size ( y, 2 ) ) ] ; disp ( ) disp ( Salida1 ) disp ( ) disp ( Raiz x EApro x Raiz y EApro y ) disp ( Salida2 )

11 >> p u n t o f i j o s e n v 1 (@( x, y ) (10 x ˆ 2 ) / y,@( x, y ) 57 3 x y ˆ 2, 1. 5, 3. 5, ) I t e r a c i o n Maxima=106 Raiz x EApro x Raiz y EApro y 1.0e I n f NaN

12 Ejemplos II Busquemos la solución del sistema de ecuaciones no lineales: Hallar la función g x (x, y): Hallar la función g y (x, y): u(x, y) = x 2 + x y 10 = 0 v(x, y) = y + 3x y 2 57 = 0 g x (x, y) = 10 xy g y (x, y) = 57 y 3x

13 Algoritmo x i+1 = 10 x i y i y i+1 = 57 yi 3x i+1

14 >> p u n t o f i j o s e n v 1 (@( x, y ) (10 x y ) ˆ 0. 5,@( x, y ) ((57 y ) /(3 x ) ) ˆ 0. 5, 1. 5, 3. 5, ) I t e r a c i o n Maxima=11 Raiz x EApro x Raiz y EApro y

15 Condición de convergencia Convergencia g x x + g x y < 1 g y x + g y y < 1

16 Tópicos 1 INTRODUCCIÓN Sistema de ecuaciones no lineales 2 ITERACIÓN DE PUNTO FIJO Condición de convergencia 3 NEWTON-RAPHSON

17 Métodos de Newton-Raphson El método de Newton-Raphson estudiado anteriormente puede modificarse para resolver un sistema de ecuaciones no lineales simultaneas.

18 Serie de Taylor de multiples variables u i+1 = u i + (x i+1 x i ) u i x + (y i+1 y i ) u i y v i+1 = v i + (x i+1 x i ) v i x + (y i+1 y i ) v i y Considerando u i+1 = v i+1 = 0, para las raíces aproximadas, llegamos a un sistema de ecuaciones para determinar x i+1 y y i+1 : Serie de Taylor de multiples variables u i x i+1 x + y u i i+1 y = u u i i + x i x + y u i i y x i+1 v i x + y i+1 v i y = v i + x i v i x + y i v i y

19 Fórmula de Newton-Raphson x i+1 = x i u i v i y v i u i y u i v i x y u i y v i x y i+1 = y i v i u i x u i v i x u i x v i y u i y v i x

20 function newtonraphsonsenv1 ( u, v, x0, y0,ee) % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % newtonraphsonsenv1 : Nombre de la funcion % Valores de entrada % u, v : funciones matematicas de entrada % x0 : Valor de i n i c i a l de x, y0 : Valor de i n i c i a l de y0, EE: E r r o r Estimado % Valores de s a l i d a % Salida : IM : Iteracion Maxima, Raiz y Error Aproximado % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % syms x y dux=@( xx, yy ) subs ( d i f f ( u, x ),{x, y},{xx, yy }) ; duy=@( xx, yy ) subs ( d i f f ( u, y ),{x, y},{xx, yy }) ; dvx=@( xx, yy ) subs ( d i f f ( v, x ),{x, y},{xx, yy }) ; dvy=@( xx, yy ) subs ( d i f f ( v, y ),{x, y},{xx, yy }) ; IM=1; rx ( IM ) =x0 ; ry ( IM ) =y0 ; EAx( IM ) =10ˆ3;EAy( IM ) =10ˆ3; while (EAx ( IM )>EE) (EAy ( IM )>EE) rx ( IM+1)= rx ( IM ) (u ( rx ( IM ), ry ( IM ) ) dvy ( rx ( IM ), ry ( IM ) ) v ( rx ( IM ), ry ( IM ) )... duy ( rx ( IM ), ry ( IM ) ) ) / ( dux ( rx ( IM ), ry ( IM ) ) dvy ( rx ( IM ), ry ( IM ) )... duy ( rx ( IM ), ry ( IM ) ) dvx ( rx ( IM ), ry ( IM ) ) ) ; ry ( IM+1)= ry ( IM ) (v ( rx ( IM ), ry ( IM ) ) dux ( rx ( IM ), ry ( IM ) ) u ( rx ( IM ), ry ( IM ) )... dvx ( rx ( IM ), ry ( IM ) ) ) / ( dux ( rx ( IM ), ry ( IM ) ) dvy ( rx ( IM ), ry ( IM ) )... duy ( rx ( IM ), ry ( IM ) ) dvx ( rx ( IM ), ry ( IM ) ) ) ; EAx( IM+1)=abs ( ( rx ( IM+1) rx ( IM ) ) / rx ( IM+1) ) 100; EAy( IM+1)=abs ( ( ry ( IM+1) ry ( IM ) ) / ry ( IM+1) ) 100; IM=IM+1; end Salida1 =[ Iteracion Maxima=,num2str ( IM 1) ] ; Salida2 =[ rx ( 2 : size ( rx, 2 ) ) EAx ( 2 : size ( rx, 2 ) ) ry ( 2 : size ( ry, 2 ) ) EAy ( 2 : size ( ry, 2 ) ) ] ; disp ( ) ; disp ( Salida1 ) disp ( ) ; disp ( Raiz x EApro x Raiz y EApro y ) disp ( Salida2 )

21 >> newtonraphsonsev1 x, y ) xˆ2+x y 10,@( x, y ) y+3 x yˆ2 57,1.5,3.5,0.001) I t e r a c i o n Maxima=4 Raiz x EApro x Raiz y EApro y