DISEÑO DE UNA PÁGINA WEB PARA EL APRENDIZAJE JUST-IN-TIME DEL ÁLGEBRA LINEAL EN UN ENTORNO NO-PRESENCIAL

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1 DISEÑO DE UNA PÁGINA WEB PARA EL APRENDIZAJE JUST-IN-TIME DEL ÁLGEBRA LINEAL EN UN ENTORNO NO-PRESENCIAL Juan Carlos Soto (1), Izaskun Bayo (2) y Fernando Badiola (3) Departamento de Matemática Aplicada, EUITI, Universidad del País Vasco, Plaza de la Casilla, 3, Bilbao (1) mepsomej@lg.ehu.es, (2) mapbarei@lg.ehu.es, (3) mapbaarf@lg.ehu.es Resumen La nueva normativa europea referente a la enseñanza universitaria trae consigo profundos cambios a todos los niveles. Además, los modelos educativos vigentes muestran deficiencias de diversa naturaleza. Sobre la reflexión de tales ideas se ha realizado una página web que tiene por finalidad facilitar al alumno el aprendizaje de la enseñanza de diversos conceptos algebraicos básicos en un entorno no presencial (o bien como refuerzo a la enseñanza presencial). El alumno es el centro del proceso, en el que el profesor no adopta el papel tradicional, sino que guía al alumno de forma personalizada (cuando aquél lo demanda o éste lo considera oportuno). En este ambiente, se hace uso de las técnicas de programación en entornos web para diseñar un entorno no lineal que favorezca el desarrollo del currículum del alumno en interacción con los diversos elementos del proceso de aprendizaje. La estrategia se enfoca hacia la investigación más que hacia la enseñanza. 1. ESTADO DEL TEMA La investigación en educación matemática es una disciplina relativamente joven. Desde el punto de vista de sus objetivos se puede resumir de forma muy sencilla: el reto pedagógico es explicar cómo ayudar al alumno para llegar a una comprensión matemática auténtica [3, 7]. En particular, los modelos de abstracción del álgebra lineal (por ejemplo, el espacio vectorial, la teoría de la aproximación, etc.) no son triviales y de hecho requieren tiempo y esfuerzo para ser aprehendidos. En este sentido, se han llevado a cabo diferentes estudios que han puesto de manifiesto las deficiencias del sistema educativo, y en particular en lo relativo al currículum de Matemáticas [6, 10, 13]. Desde este punto de vista, parece claro que hay que distinguir dos fases: cómo llega el alumno a la universidad?, y cómo se desenvuelve en el entorno universitario? La enseñanza de las matemáticas no es ajena al declive general que está experimentando la civilización (conocido fenómeno de regresión a la media ) [3]. Tres grupos de razones han sido consideradas como base teórica para centrar la justificación del objetivo final de este artículo (ver la Figura 1). En este sentido, se pone de manifiesto que la calidad de las habilidades matemáticas de los alumnos que acceden a la universidad está empeorando [21, 26]. Es más, la madurez matemática alcanzada por la mayor parte de los alumnos (desde el comienzo de la escolarización hasta el bachillerato) es el resultado de una serie de sucesos aleatorios conseguidos fuera del entorno

2 familiar [14]. Así pues, se ha llegado a la conclusión que se hace preciso introducir un mayor rigor en los conceptos y en las herramientas matemáticas que se abordan en los niveles educativos anteriores a la universidad [1]. Por otra parte, se hace necesario discriminar claramente entre pensamiento y proceso de cálculo, porque si bien las calculadoras (y equivalentes) son herramientas excelentes para muchas cosas, hacen, a menudo, que el pensamiento se distraiga [4]. Figura 1.- Mapa conceptual de la estructura del artículo. A las razones anteriores se añaden razones de tipo estratégico que afectan a la política educativa de toda la Unión Europea. En efecto, la Declaración de Bolonia ha introducido un marco específico que se tendrá que aplicar en un futuro no muy lejano. La educación, el aprendizaje, la investigación y la gestión de la educación superior de Europa habrán de girar en torno al estudiante, ya que en él se centra por completo el objetivo final de la estrategia planificada. En consecuencia, el papel del profesor cambia por completo: será una especie de guía que dirigirá al alumno a conseguir los objetivos curriculares que se hayan predefinido con anterioridad. Además, se potencia el trabajo personal y del trabajo en equipo, tanto a nivel individual, como a nivel docente, como a nivel institucional [12, 17]. Aún pueden considerarse un tercer tipo de razones. Muchos de los alumnos que acceden a la universidad se encuentran con el fracaso escolar [20]. Se advierte también cierta pasividad por parte del alumno cuando desarrollan los diversos aspectos del aprendizaje dentro del currículum de las matemáticas, que al final desemboca en tal fracaso. Parece ser que el alumno no desarrolla habilidades y opiniones adecuadas para conseguir los objetivos que se planifican [24, 25]. Dentro del contexto expuesto, este artículo presenta una propuesta que trata de abordar las carencias detectadas más arriba al tiempo sugiere

3 estrategias para resolverlas haciendo uso de las TIC por medio de Internet, al tiempo que se concreta su aplicación al campo de la Matemática Aplicada (desde el enfoque del Álgebra Lineal). Este proyecto se desarrolla en la actualidad en la E.U.I.T.I. de Bilbao (UPV-EHU). En la sección 2 se exponen las ideas en las que se basa el proyecto; en la sección 3 se comenta la estructura del proyecto, cuyas características más relevantes se aportan en las conclusiones (según el esquema general del mapa conceptual de la Figura 1). 2. BASES TEÓRICAS DE LA IMPLEMENTACIÓN Se hace evidente lo equivocado que se está si se piensa que la enseñanza consiste en mostrar claramente a los alumnos lo que uno quiere que ellos aprendan. Diversos estudios acerca de las carencias que detecta el alumno en relación con el proceso educativo y el profesor ponen de manifiesto que el alumno desearía que el profesor fuera mejor oyente [6, 11, 13] (es decir, se demanda del profesor que se tome el tiempo necesario para observar y atender al proceso de aprendizaje de cada alumno individualmente). Si se procede de este modo se considerarán las ideas falsas del alumno [8, 9]. Con el fin de que el alumno pueda obtener las mejores habilidades dentro de su aprendizaje es necesario reflexionar sobre cómo aprende el alumno universitario (procesos epistemológicos) y cómo hay que enseñarle (procesos didácticos); para ello habrá que establecer la correspondiente secuencia lógica de contenidos y actuaciones en el sentido del paradigma de Bloom (Conocimiento-Habilidades- Aptitudes) [1, 20], como posteriormente se propone en la Figura 5. En consecuencia, el proyecto debe basarse en algún modelo psicopedagógico de referencia teórica que suministre un aprendizaje efectivo y una respuesta didáctica acorde, que siga y respete la personalidad del alumno. El proceso de aprendizaje es un continuo, que no depende de los resultados finales, sino que a de ser visto desde los resultados pasados, actuales y futuros [5]. En los últimos años se percibe dentro del proceso de aprendizaje del alumno cierta pasividad (cuyas causas son de diversa naturaleza: ideas preconcebidas erróneas, material inadecuado, formación matemática precedente inadecuada, objetivos mal planteados, etc.). Ello ha llevado a una profunda revisión de la didáctica a la que la Psicología Cognitiva a proporcionado interesantes propuestas a los modelos de aprendizaje precedentes [8, 19]. Más concretamente, el paradigma constructivista aplicado al currículum del aprendizaje. Dicho cambio implica cambios, posicionales [6] y metodológicos [9]. En pocas palabras, el proyecto (al que se refiere este artículo) hace énfasis en los siguientes principios metodológicos: (a) el estudiante es el personaje principal del proceso de aprendizaje (el conocimiento se construye en torno a cuatro pilares: los modelos de los que parte el sujeto, las interacciones con los demás sujetos, la propia experiencia del sujeto y la adecuación con el resto del propio conocimiento del sujeto), (b) el profesor juega el papel de un guía a través del proceso de enseñanzaaprendizaje, (c) el conocimiento (de naturaleza procedural) se obtiene de un modo no memorístico, pero sí retentivo,

4 (d) el modelo de enseñanza-aprendizaje descansa sobre la transmisión y la asimilación mejoradas del conocimiento elaborado en el sentido que el trabajo de los estudiantes se organiza por medio del aprendizaje (entendido éste como un proceso de investigación continuo y orientado), y (e) la importancia de los esquemas conceptuales de los estudiantes en los que el nuevo conocimiento debe de integrarse activamente. En pocas palabras, ha de considerarse no solo el dominio académico (conocimiento -cognitivo) sino también el dominio de las competencias (habilidades psicomotor), así como el dominio de la gestión (aptitudes afectivo) a la hora de ser desarrollados [26, 27]. El sistema europeo de educación superior se verá sometido a cambios muy profundos. Sobre todo, el nuevo sistema de créditos ECTS va a implicar una reorganización conceptual de los sistemas de enseñanza de forma que se adapten a nuevos modelos de aprendizaje, porque la estructura de todos los niveles universitarios tendrá que ser revisada. Ello llevará a currícula diferentes que estarán basados en tales nuevos conceptos y dominios, para lo que habrá que analizar el perfil académico y profesional. Además, los resultados del aprendizaje serán la base de la nueva evaluación que deberá llevarse a cabo [16, 24]. Este proceso de mejora implica una buena oportunidad de recorrer los currícula para detectar sus puntos débiles en orden a mejorarlos, de caminar con Europa de modo coordinado, al tiempo que se optimizan los esquemas de aprendizaje, de investigación y de gestión. Se han propuesto muchos proyectos para encarar estos nuevos retos. En esta línea, este artículo describe uno de ellos: las ideas que se han destacado en esta sección aparecen en el aprendizaje de las Matemáticas, por lo cual habrá que suministrar al alumno las herramientas apropiadas para encarar los nuevos retos [21, 27]. 3. EL ESQUEMA DE IMPLEMENTACIÓN DEL PROJECTO 3.1. El modelo del proyecto El constructivismo se basa en tomar al alumno como centro del proceso de enseñanza-aprendizaje. Por ello, la estrategia que se emplea en el desarrollo de este proyecto es la de un aprendizaje por investigación guiada [3, 5, 8] (ver la Figura 5): 1. Para proponer situaciones interesantes que faciliten un punto de partida al alumno para posteriormente construir el cuerpo de conocimiento procedural correspondiente. 2. Las situaciones clave han de ser tratadas cualitativamente (una vez que han sido abordadas) para convertirlas en problemas unívocamente definidos. Será necesario, entonces, activar los esquemas conceptuales del alumno para que comience a tomar sus primeras decisiones. 3. Una vez que el problema ha sido acotado el enfoque cinético buscará su solución (introducción de los nuevos conceptos, establecer las hipótesis necesarias, planificación de las diversas estrategias de resolución, evaluación de los objetivos estratégicos, análisis de resultados y resolución de conflictos).

5 4. Proponer situaciones variadas en las que se pueda elaborar la nueva información y obtener un desarrollo más armónico en el proceso de enseñanza-aprendizaje. La tecnología de los mapas conceptuales ha demostrado que es un proceso que da al mismo tiempo búsquedas adecuadas y mejores organizaciones del conocimiento [18]. Por esta razón, se han empleado los mapas conceptuales para llevar a cabo el diseño de la estructura del proyecto. El objetivo final del proyecto es doble en el aprendizaje de un currículum de matemáticas: (A) como un proceso natural relacionado con la clase magistral pero desde una perspectiva just-in-time [19], (B) como un recurso para conducir al alumno en su autoaprendizaje (teniendo en cuenta las diferentes aptitudes que se pretenden implantar: trabajo cooperativo, aprendizaje electrónico y cooperativo). Figura 2. Estructura modular de la página web La topología del proyecto La implementación lógica de la página web implica los siguientes módulos interactivos (ver la Figura 2): 1. El AULA VIRTUAL, que suministra un acceso no lineal a los contenidos teóricos, a los ejercicios y a las cuestiones clave sobre distintos tópicos del Álgebra Lineal (concretamente, espacios vectoriales, álgebra matricial y determinantes, matrices invertibles, sistemas de ecuaciones algebraicas, espacios vectoriales euclídeos, teoría de la aproximación,

6 vectores y valores propios y formas cuadráticas). Además incluye dos áreas complementarias: una para la introducción (básica) y la avanzada (ver la Figura 3). 2. El LABORATORIO VIRTUAL, se tratan los mismos contenidos que en el aula virtual pero usando Mathematica y Matlab para resolver diversos modelos que han sido seleccionados por el alumno. 3. La INTERFAZ DE ENTRADA-SALIDA, proporciona el acceso a diferentes módulos de la página web y facilita la comunicación entre la web y el alumno. 4. El MONITOR DE CONTROL, realiza las presentaciones principales, el módulo de las interconexiones y la actividad de tipo tutorial no presencial de la página web. 5. El CONTROL DE EVALUACIÓN, que desarrolla las labores de adquisición de los datos para llevar a cabo la estimación, el control y la corrección del proceso de enseñanza-aprendizaje tanto interna como externamente. El usuario dispone de diversos niveles de ayuda en cada uno de los módulos, que le permiten navegar por la página web de una modo seguro. La Figura 3 muestra la ventana de acceso principal al mapa de la página web. Figura 3. Entrada principal a la página web. Tanto el Aula Virtual como el Laboratorio Virtual comparten la misma lógica funcional ya que está herramienta está pensada sobre todo para ser utilizada en un entorno de enseñanza-aprendizaje no presencial. Por consiguiente, la información que va a estar disponible para el alumno se presenta en distintos formatos (documentos WORD, documentos TEX/DVI, documentos PDF, presentaciones PowerPoint, animaciones Dreamweaver y JavaScript, ficheros Matlab y ficheros Mathematica, ficheros ZIP, etc.). Con el fin de organizar la estructura topológica de toda la información (enlaces de los módulos y base de conocimiento) se ha utilizado también la metodología de

7 los mapas conceptuales para definir la herramienta de navegación a través de la página web (ver la Figura 4). El diseño lógico implementado permite al alumno alcanzar cada módulo según las necesidades que se le planteen, siempre y cuando trabaje en modo no dirigido (ya que entonces es el sistema quien propone el camino que mejor se adecua al progreso del alumno). Como se observa, esta tarea se lleva a cabo por medio de hiperenlaces a casi todos los módulos del proyecto, desde un nodo dado. "! Figura 4. Estructura de un nodo cualquiera del mapa de la página web. Cualquier concepto (ya sea tema, contenido,...) parte de un núcleo central relacionado con otros conceptos preliminares y posteriores. En el desarrollo del mismo se centra en tres ejes de coordenadas principales: discriminación, profundización y aplicabilidad (ver la Figura 5) [2, 15]. Planteados los objetivos de ese concepto, se establecen una serie de cuestiones fundamentales para que el alumno las examine de modo que mediante ejercicios guiados pueda elaborar un esquema adecuado de autoevaluación para comparar sus logros en relación con los objetivos planteados. Para analizar si es capaz de aplicar dichos resultados a situaciones reales se plantean problemas aplicados a modelos teóricos típicos (de esta manera el alumno puede elaborar estrategias de investigación, bien de modo individual bien de forma grupal), al tiempo que se plantean problemas reales de modo que el trabajo en el laboratorio le permita relacionar las tareas de simulación con los contenidos de los que inicialmente se partía [21, 22]. La evaluación juega un importante papel en todo el desarrollo a dos niveles: la autoevaluación por parte del alumno (en cada una de las diferentes etapas del proceso de aprendizaje) y la evaluación externa que se le pueda efectuar. Estas características son más interesantes, si cabe, en un entorno no presencial como es el que puede llegar a tenerse en un futuro no muy lejano en el contexto europeo.

8 #$%#"&$'()*+,"- '9+BBCBB -B BD -BD B E 2%$ "4$31$4 $0&($1 ;< %/#$ *= 2&$2#(6% A= (%1&(.#(6% 1"#83(#'9+ "4$:#&$"(##(6% '+ 1(2#(6% $$1% $4&$4($ #21&($% 32%%&1 04#(#($1 '+ "4$1 "4$32%(5#(6%, $$1&64(#$1 "47#&(#1 $4&$4($ '+ #$%#"&$'(,*+.,"- "- Figura 5. Etapas del aprendizaje por investigación guiada. La interacción entre los estudiantes hace del aprendizaje cooperativo una herramienta poderosa para la enseñanza. Mientras se trabaja en grupos, los alumnos tienen que intercambiar ideas, hacer planes y proponer soluciones para llevar a buen fin las tareas que el grupo tiene planteadas. El acto de pensar es una tarea intelectual e implica el crecimiento intelectual de la persona. Si la tarea del profesor es estimular tales cambios y estructurar el trabajo de los estudiantes, el intercambio de ideas y de puntos de vista alternativos intensifica el crecimiento intelectual [5] El proceso de evaluación La evaluación se entiende a dos niveles: la evaluación del alumno (ver la Figura 5) y la evaluación del proyecto en sí mismo (ver la Figura 2), ya sea interna (mejora de la estructura interna de la página web) o externamente (optimización del proyecto según los objetivos iniciales planteados). Ello siguiendo el modelo de los cuatro pasos de Kirkpatrick para cualquier modelo de aprendizaje experimental para un alumno dado [12,16, 23]: F L1: Está el alumno satisfecho? F L2: Progresa el alumno en la adquisición objetiva de nuevas habilidades o conocimiento procedural? F L3: Aplica el estudiante las nuevas estrategias en su currículum de modo apropiado? F L4: Los cambios en el proceso de enseñanza-aprendizaje del alumno mejoran el sistema educativo que se está considerando?

9 Se hace preciso prestar atención al estudiante: en efecto, su capacidad para dar respuestas no siempre es un indicador adecuado de un alto nivel de comprensión conceptual. Por ello, el profesor debe refinar sus técnicas de escucha, de preguntar y de análisis, tanto para guiar el flujo del aprendizaje matemático como para dar al alumno modelos de diálogo. Se percibe el cambio del papel del profesor (guía) y del alumno (centro) en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Conclusiones Hay diversos papeles que la tecnología puede jugar en el aprendizaje, en general, desde la eliminación del trabajo pesado en las aplicaciones reales hasta proporcionar entornos para explorar de modo activo las propiedades de las estructuras y de los objetos matemáticos. Lo importante en el aprendizaje del currículum de matemáticas no son las fórmulas sino conocer la estructura conceptual de la materia. El artículo presenta la implementación y la discusión del diseño de una página web para desarrollar el currículum de la asignatura de Fundamentos Matemáticos II (es decir, Álgebra) de un modo no presencial (y/o bien como refuerzo de la enseñanza presencial) a través de Internet haciendo uso de de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación. En primer lugar se establecen las bases que justifican el punto de partida del proyecto; a saber: (a) el fracaso detectado en el estudiante, y (b) la adecuación de las diversas asignaturas a los planteamientos de mejora propuestos por la Declaración de Bolonia, entre otras. A continuación, se enuncian las características que definen los objetivos instruccionales inherentes al diseño: (b) el enfoque constructivista global como modelo teórico de partida, (b) carácter no lineal del aprendizaje basado en técnicas hipermedia, (c) sistema basado en módulos que incluyen los aspectos teóricos, prácticos, de laboratorio y de investigación, (d) se lleva a cabo una política just-in-time con el fin de buscar de modo eficiente la inmediata realimentación positiva del alumno, (e) desarrollo de la acción tutorial no presencial, y (f) sistema bidireccional (alumno profesor, alumno alumno y alumno profesor alumno) en el proceso de comunicación. Finalmente, se discuten los criterios de calidad (interna y externa) que se han de tener en cuenta para evaluar la gestión, el desarrollo y la implementación del mencionado proyecto de innovación educativa. Los objetivos de este proyecto pueden resumirse en: No dar demasiada importancia a la lección magistral. Dar al alumno una relación personalizada con el profesor (tutor). No recargar en exceso el horario del alumno. Optimizar al máximo el poco tiempo de estudio del alumno. Desarrollar las habilidades del alumno. Mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje del alumno.

10 El aprendizaje es crecimiento simultáneo en todos los campos del paradigma de Bloom (conocimiento-habilidades-aptitudes), y se trata de que el alumno se sienta responsable en mayor medida de su propio currículum. Por su parte, el profesor tendrá que fomentar la escucha activa, las actividades de investigación, proporcionar estímulos, construir esquemas adecuados, crear un ambiente de confianza no mostrándose como juez, ser objetivo, estimular el trabajo cooperativo en grupo, etc. [16]. Agradecimientos Este proyecto está financiado por la Universidad del País Vasco a través del proyecto de innovación educativa UPV/EHU PIE 20/2004. Referencias [1] J.A. Bernad, Estrategias de enseñanza-aprendizaje en la universidad, Instituto de Ciencias de la Educación, Universidad de Zaragoza, Zaragoza, [2] A. Bettencourt, The construction of knowledge: A radical constructivist view, en The Practice of Constructivism in Science Education, K. Tobin (Ed.), Washington, DC: AAAS Press, 1993, pp [3] J.D. Birdwell, Mathematics Training. IEEE Control System Magazine, 24(2), 2004, pp [4] P. Cobb, Where is the mind? Constructivist and sociocultural perspectives on mathematical development, Educational Researcher, 23(7), 1994, pp [5] E. Dubinsky, Reflective abstraction in advanced mathematical thinking, en Advanced Mathematical Thinking, D. Tall (Ed.), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp [6] R. Duschl, D. Gitomer, Epistemological perspectives on conceptual change: implications for educational practice. Journal of Research in Science Teaching, 28(9), 1991, pp [7] P. Ernest, The Philosophy of Mathematics Education, Londres: Falmer Press. [8] C.J. Furió, La enseñanza-aprendizaje de las ciencias como investigación: un modelo emergente. En Investigaciones en didáctica de las ciencias experimentales basadas en el modelo de enseñanza-aprendizaje como investigación orientada, J. Guisasola, L. Pérez de Eulate (Eds.), Servicio Editorial, Universidad del País Vasco, Bilbao, [9] D. Gil, J. Carrascosa, Science learning as a conceptual and methodological change, European Journal of Science Education, 7(3), 1985, pp [10] D. Gil, C. Furió, P. Valdés, J. Salinas, J. Martínez-Torregrosa, J. Guisasola, J., J. González, A. Dumas-Carré, M. Goffard, A.M. Pessoa, Tiene sentido seguir distinguiendo entre aprendizaje de conceptos, resolución de programas de lápiz y papel y realización de prácticas de laboratorio?, Enseñanza de las Ciencias, 17(2), 1999, pp [11] G.A. Golden, Epistemology, constructivism, and discovery learning of mathematics, en Constructivist Views on the Teaching and Learning of

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