1.1 Integral doble de una función acotada en un rectángulo.

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1 Tem Integrl doble Tods ls definiiones y resultdos que preen en este Tem son un so prtiulr de ls definiiones y resultdos más generles del Tem siguiente. in embrgo, el so de l integrl doble permite un mejor visulizión de los oneptos y present un menor omplejidd en l notión, por lo que usremos este tem pr introduirlos y relizr ls demostriones. Omitiremos entones ls demostriones nálogs del so generl. L integrl en dos vribles se onstruye de mner prlel omo se hizo on l integrl de Riemnn de un vrible, on oneptos nálogos y resultdos similres obtenidos del so de un vrible. sí, l prueb de muhos de los resultdos es prátimente identi l so de un vrible y omitiremos dih prueb, remitiéndonos l prueb del so simple.. Integrl doble de un funión otd en un retángulo. Definiión. Llmremos retángulo errdo de ldos [, b] y [, d] l intervlo errdo de IR = [, b] [, d] = (x, y IR : x b, y d}, y diremos que el áre del retángulo es ( = (b (d. Definiión. en P ==x < x < < x n =b} y P = =y < y < < y m =d} dos prtiiones ulesquier de los intervlos [, b] y [, d] respetivmente. Llmremos prtiión del retángulo = [, b] [, d] l onjunto P = P P = (x, y, (x, y,..., (x i, y j,..., (x n, y m }. Est prtiión onst de (n + (m + puntos y desompone el retángulo en m n subretángulos ij = [x i, x i ] [y j i, y j ]; on i n, j m. i P es un prtiión de, esribiremos P P(. Definiión.3 Dds dos prtiiones P = P P y Q = Q Q del retángulo, se die que P es más fin que Q, y lo denotremos por Q P, si, y sólo si, Q P y Q P, es deir, si, y sólo si, P es más fin que Q y P es más fin que Q. Not: Dds dos prtiiones P = P P y Q = Q Q, l prtiión R = P Q = (P P (Q Q = (P Q (P Q = R R es más fin que ls prtiiones P y Q, pues R es más fin que P y Q, y R que P y Q. Definiión.4 e f: = [, b] [, d] IR un funión otd y P P(. Entones, pr d subretángulo ij de l prtiión, sen m ij = inff(x, y : (x, y ij } M ij = supf(x, y : (x, y ij } Integrles Múltiples.

2 . Integrl doble de un funión otd en un retángulo. y se ( ij el áre del subretángulo ij. Definimos entones l sum inferior y l sum superior de l funión f respeto de l prtiión P omo respetivmente. L(f, P = n,m i,j= m ij ( ij y U(f, P = n,m i,j= M ij ( ij M ij m ij ij Fig... Volumen por eseso y por defeto. Propieddes.5 en = [, b] [, d] y f: IR un funión otd, entones L(f, P U(f, P, pr tod P P(. b i P y Q son dos prtiiones de tles que P Q, (es deir, Q es más fin que P, entones: L(f, P L(f, Q y U(f, P U(f, Q. L(f, P U(f, Q pr todos P, Q P(. Demostrión: Es nálog l de un vrible. Como, pr un funión otd f en un retángulo errdo, el onjunto de ls sums inferiores está otdo superiormente por ulquier sum superior y el onjunto de ls sums superiores está otdo inferiormente por ulquier sum inferior, existen el superior del primero de estos onjuntos y el extremo inferior del segundo y se verifi que sup L(P, f inf U(P, f. P P( P P( Estos números se llmn, respetivmente, integrl inferior e integrl superior de l funión f en y, tmbién se utiliz pr esribirlos l notión f = sup L(P, f P P( f = inf U(P, f P P( Definiión.6 e f: = [, b] [, d] IR un funión otd. e die que f es integrble en si, y sólo si, sup L(f, P = inf U(f, P. P P( P P( Integrles Múltiples. 3

3 . Integrl doble de un funión otd en un retángulo. En este so, el número rel I = sup L(f, P = inf U(f, P se llm integrl de f en y se design por f o bien por f(x, y dx dy. Pr poner de mnifiesto que integrmos sobre un onjunto de IR suele usrse l notión f ó f(x, y dx dy Condiión de integrbilidd de Riemnn..7 e f: = [, b] [, d] IR un funión otd. Entones f es integrble en si, y sólo si, pr d ε >, existe un prtiión P ε de tl que U(f, P ε L(f, P ε < ε. Demostrión: Es nálog l de un vrible. Ejemplo.8 L funión f(x, y = x + y es integrble en = [, b] [, d]. En efeto, sen P = = x < x < < x n = b} y P = = y < y < < y m = d}. En d ij, se verifi que x i x x i y que y j y y j, luego sumndo miembro miembro, x i + y j x + y x i + y j y, por tnto, m ij = x i + y j y M ij = x i + y j. i hemos n = m y tommos prtiiones P y P equiespids de l form e y j = + j(d } n, (es deir, divididiendo d intervlo en prtes igules, se tiene que x i = + i(b n } Entones M ij m ij = (x i + y j (x i y j i = b n U(f, P L(f, P = ( ij = (x i x i (y j y j = b n = n,n (M ij m ij ( ij i,j= n ( b n i,j= + d n = n (b +d (b (d n 3 + d n d n. n b d n n = (b +d (b (d n 3 i,j= = (b +d (b (d n pr n sufiientemente grnde. En onseueni, f es integrble en. < ε Propieddes.9 en f, g: = [, b] [, d] IR dos funiones otds e integrbles en y λ R. Entones, ls funiones f + g, λf y f son integrbles en y se verifi: ( f(x, y + g(x, y dx dy = f(x, y dx dy + g(x, y dx dy. b λf(x, y dx dy = λ f(x, y dx dy. i f g en, entones f(x, y dx dy g(x, y dx dy. d f(x, y dx dy f(x, y dx dy. Integrles Múltiples. 4

4 . Integrl doble de un funión otd en un retángulo. e i el retángulo es l unión de otros dos retángulos y, uy interseión es un segmento, entones: f(x, y dx dy = f(x, y dx dy + f(x, y dx dy. Demostrión: Ls demostriones son semejntes ls de un vrible... Integrles reiterds. Teorem de Fubini. Teorem débil de Fubini. en = [, b] [, d] y f: IR un funión integrble en tl que, pr d x [, b], l funión g x : [, d] IR definid por g x (y = f(x, y es integrble en [, d], y se G(x = d g x (y dy = Entones l funión G(x es integrble en [, b] y b G(x dx = ( b d d f(x, y dy. g x (y dy dx = f(x, y dx dy #Demostrión# en P = =x < x < < x n =b} y P = =y < y < < y m =d} dos prtiiones rbitrris de [, b] y [, d] respetivmente. Entones, pr d prtiión P = P P de, donde d subretángulo ij es de l form [x i, x i ] [y j, y j ], se tiene n,m n m L(f, P = m ij (x i x i (y j y j = m ij (y j y j (x i x i. i,j= i= j= n,m n m U(f, P = M ij (x i x i (y j y j = M ij (y j y j (x i x i. i,j= i= j= i llmmos m gx j = infg x (y : y [y j, y j ]} y M gx j = supg x (y : y [y j, y j ]}, pr d x [x i, x i ], omo ij ontiene l onjunto x} [y j, y j ], se tiene que m ij m g x j y que M ij M g x j y, por tnto, m m m ij (y j y j j= j= m m M ij (y j y j j= j= d m gx j (y j y j = L(g x, P g x (y dy = G(x d M g x j (y j y j = U(g x, P g x (y dy = G(x por ser g x integrble en [, d]. Como ésto es ierto pr ulquier x [x i, x i ], se tiene que m m ij (y j y j infg(x : x [x i, x i ]} = m G i j= m M ij (y j y j supg(x : x [x i, x i ]} = Mi G j= Integrles Múltiples. 5

5 . Integrl doble de un funión otd en un retángulo. on lo que n m n L(f, P = m ij (y j y j (x i x i i= j= i= n m n U(f, P = M ij (y j y j (x i x i i= j= i= Reuniendo mbs desigulddes, y, entones sup P Por ser f es integrble en, [ ] m G i (x i x i = L(G, P [ M G i L(f, P L(G, P U(G, P U(f, P ] (x i x i = U(G, P. L(f, P sup L(G, P inf U(G, P inf U(f, P.. P P P sup L(f, P = inf U(f, P = f(x, y dx dy, P P luego l den de desigulddes de. es un den de igulddes y G es integrble en [, b] y b G(x dx = De un mner nálog se prueb que f(x, y dx dy. Proposiión. en = [, b] [, d] y f: IR un funión integrble en tl que, pr d y [, d], l funión h y : [, b] IR definid por h y (x = f(x, y, es integrble en [, b]. Entones ( d b h y (xdx dy = f(x, y dx dy. Corolrio. i f: IR es un funión integrble y ontinu en, entones ( b d ( d b f(x, y dx dy = f(x, ydy dx = f(x, ydx dy. Demostrión: Por ser f ontinu, ls funiones g x y h y son integrbles en sus onjuntos respetivos. Ejemplo.3 e f(x, y = x + y definid en = [, ] [, ]. Hllr f(x, y dx dy. oluión: Como f es integrble en, y g x (y = f(x, y = x + y es integrble en [, ] (es ontinu, el teorem de Fubini segur que f(x, y dx dy = = ( x dx = x ] g x (y dy dx = = ( (x + y dy dx = ( xy + y ] dx Integrles Múltiples. 6

6 . Integrl doble de un funión otd en un retángulo. Tmbién es h y (x = f(x, y integrble en [, ], luego ( ( f(x, y dx dy = h y (x dx dy = (x + y dx dy = + y dy = En relidd, el teorem de Fubini es más generl que l versión demostrd, del uál l versión débil es un orolrio. ontinuión, exponemos el teorem en su versión fuerte (sin demostrión, unque est prueb es similr l nterior pero más omplej. Teorem de Fubini.4 en = [, b] [, d] y f: IR un funión otd e integrble en. Pr d x [, b], se g x : [, d] IR l funión definid por g x (y = f(x, y y onsideremos ls funiones L(x = d g x (ydy y U(x = d g x (ydy. obtenids de su integrl inferior y superior. Entones ls funiones L(x y U(x son integrbles en [, b] y ( b d ( b d g x (ydy dx = f(x, y dx dy = g x (ydy dx.... Integrles dependientes de un prámetro Proposiión.5 en IR un intervlo errdo, I = [, b] IR y ψ: I IR un funión tl que l integrl b ϕ: IR definid por ϕ(x = ψ(x, t dt existe pr d x. b ψ(x, t dt. Entones: i ψ es ontinu en I, l funión ϕ es ontinu en. Consideremos l funión b i ψ x (x, t existe y es ontinu en I, tmbién existe ϕ (x, pr d x int(, y se verifi que ϕ (x = #Demostrión# b ψ x (x, t dt. L funión ψ es ontinu en un errdo y otdo luego es uniformemente ontinu en I y, por tnto, pr d ε > existe un δ > tl que, si (x, t (x, t < δ se verifi que ψ(x, t ψ(x, t < ε b. Entones, pr d x, se tiene que si x x = (x, t (x, t < δ, entones b b b ϕ(x ϕ(x = ψ(x, t ψ(x, t dt ε ψ(x, t ψ(x, t dt dt = ε, b luego ϕ es ontinu en x y por onsiguiente en. b e x int(, entones ϕ ϕ(x + h ϕ(x (x = lim = lim h h h h b ( ψ(x + h, t ψ(x, t dt por el teorem del vlor medio de l derivd, existe l entre y h tl que Integrles Múltiples. 7

7 . Integrl doble de un funión otd en un retángulo. y por l prte (, b = lim h h = b lim h ψ b (x + l, t h dt = lim x h ψ x (x + l, t dt = b ψ (x, t dt. x ψ (x + l, t dt x.. Conjuntos de ontenido ero y medid ero. Definiión.6 e die que un onjunto B IR tiene ontenido ero si, y sólo si, pr d ε >, existe un número finito de retángulos errdos,,..., n, tles que n B i i= y n ( i < ε. i= Not: Es lro que los onjuntos que tienen ontenido ero son otdos, pues están ontenidos en l unión finit de onjuntos otdos. Proposiión.7 i g: [, b] IR es un funión integrble en [, b], entones su gráfi G = (x, y IR : x b, y = g(x} es un onjunto de ontenido ero de IR. Demostrión: e ε >. Como g es integrble en [, b], existe P ε = = x < x < < x n = b} prtiión de [, b], tl que U(g, P ε L(g, P ε < ε. M i i =[x i, x i ] [m i, M i ] m i x i x i b Fig... i, pr d i =,..., n, los vlores m i y M i son respetivmente el inferior y el superior de g en [x i, x i ], es lro que l prte de l gráfi (x, y : x i x x i, y = g(x} está ontenid en el retángulo i = [x i, x i ] [m i, M i ] y, por tnto, G n i= i. Como, n n ( i = (M i m i (x i x i i= i= n n = M i (x i x i m i (x i x i = U(g, P ε L(g, P ε < ε, i= i= el onjunto G tiene ontenido ero. Integrles Múltiples. 8

8 . Integrl doble de un funión otd en un retángulo. Definiión.8 e die que un onjunto B IR tiene medid ero si, y sólo si, pr d ε >, existe un suesión n } n= de retángulos errdos tl que B n n= y ( n < ε. n= Ejemplo.- IN, tomdo omo el onjunto (n, IR : n IN}, es de medid ero en IR. Pr d n IN, tommos el retángulo n = [n, n + ] [ ε n+ n+, ε ]. Como, pr ( ( d n IN, el punto (n, n y ( n = n + (n ε n+ n+ 4 ε 4 = ε n = ε, n+ se verifi que ε IN n y ( n = n+ = ε < ε. n= n= Not: i un onjunto B IR tiene ontenido ero, entones B tiene medid ero, pero el reíproo no es ierto. Bst tomr un onjunto de medid ero no otdo, por ejemplo el onjunto IN en IR. in embrgo, es ierto el siguiente resultdo: Proposiión.9 i B IR es errdo y otdo y tiene medid ero, entones tiene ontenido ero. Proposiión. i B n } n= es un suesión de onjuntos de IR de medid ero, entones el onjunto B = n= B n tiene medid ero. Demostrión: e ε >, entones pr d k IN, existe un suesión k, k,..., kn,... de retángulos errdos que reubren B k y tl que ( kn < ε, entones l oleión de todos los n= k kn } k,n IN es un reubrimiento numerble de B y demás ( ε ( kn = ( kn < n= k = ε, n,k= luego B tiene medid ero...3 Teorem de Lebesgue. k= Teorem de Lebesgue.. en = [, b] [, d] y f: IR un funión otd. Entones f es integrble en si, y sólo si, el onjunto de los puntos de disontinuidd de f en tiene medid ero. Demostrión: L demostrión esp l nivel de este urso, pero puede enontrrse en el libro Cálulo en vrieddes de M. pivk. Corolrio. i f: IR es ontinu, entones f es integrble en. Corolrio.3 i f y g son integrbles en, entones fg es integrble en. Demostrión: En efeto, sen D f, D g y D fg los onjuntos de disontinuidd de ls funiones f, g y fg en. Clrmente D fg D f D g. Por el teorem de Lebesgue, D f y D g tienen medid ero, luego D f D g tiene medid ero y, por tnto, D fg tiene medid ero. En onseueni, fg es integrble en. n= k= Integrles Múltiples. 9

9 . Integrión sobre onjuntos otdos. Ejemplo.4 Clulr sen x sen y dx dy, on = [, π] [, π]. oluión: L funión es ontinu en luego integrble en y, por el orolrio del teorem de Fubini, se tiene que (sen x sen y dx dy = = = π ( π ( π ( π π sen x sen y dy dx = π sen y dy sen xdx = os x ( π dx =. ( π ( π sen x sen x dx sen y dy dx e tx y Ejemplo.5 Clulr dx dy, on = [, t] [, t] siendo t >. y 3 oluión: L funión es ontinu en luego integrble en y, por el orolrio del teorem de Fubini, se tiene que e tx y 3 y dx dy = t ( t e tx y 3 y dy dx = t ( = y y 3 t e t x] t t y dy = = e t y t 3 + ty t t ( t ( y y 3 t e t y y t e tx t y 3 y dx dy = ( t y 3 t e t y dy = ty ty dy e t y x dx dy = et e t t 3 + t t.. Integrión sobre onjuntos otdos. e IR. Pr d funión f: IR, onsideremos l funión f: IR IR definid por f(x, y = f(x, y, si (x, y, si (x, y / Definiión.6 Un funión otd f: IR definid sobre un onjunto otdo IR es integrble en si, y sólo si, f es integrble en lgún retángulo errdo que onteng y, esribiremos, f(x, y dx dy = f(x, y dx dy. Proposiión.7 L integrl f(x, y dx dy no depende del retángulo elegido. Demostrión: en y dos retángulos que ontengn. Entones, es un retángulo que tmbién ontiene y, omo f es ero fuer de, es ero en y en (ver figur.3. Luego f(x, y dx dy = f(x, y dx dy + dx dy = f(x, y dx dy f(x, y dx dy = f(x, y dx dy + dx dy = f(x, y dx dy y oiniden. Por tnto, l integrl no depende del retángulo elegido. Integrles Múltiples.

10 . Integrión sobre onjuntos otdos. Fig..3. Independeni del retángulo... Conjuntos medibles. Definiión.8 e llm funión rterísti de un subonjunto de IR, l funión X : IR IR definid por, si (x, y X (x, y =, si (x, y /. Definiión.9 e die que un subonjunto de IR es medible undo es otdo y su funión rterísti es integrble. En este so, se define el áre de, omo el número rel ( = X (x, y dx dy. Proposiión.3 Un subonjunto otdo IR es medible si, y sólo si, su fronter fr( tiene ontenido ero. Demostrión: e tiene que IR = int( fr( ext( y l funión rterísti X es ontinu en int( ext( y disontinu en fr(. Luego, por el teorem de Lebesgue, es medible si, y sólo si, fr( tiene medid ero. hor bien, omo fr( es un onjunto errdo y es otdo por ser otdo, entones fr( tiene medid ero si, y sólo si, tiene ontenido ero. Proposiión.3 en g y g dos funiones de [, b] en IR ontinus y tles que g g. Entones: } El onjunto = (x, y IR : x b, g (x y g (x es medible. b i f: IR es un funión otd en y ontinu en int(, entones (i f es integrble en y [ b ] g (x (ii f(x, y dx dy = f(x, ydy dx. g (x En prtiulr: ( = X (x, y dx dy = b [g (x g (x]dx. Integrles Múltiples.

11 . Integrión sobre onjuntos otdos. Demostrión: es otdo y su fronter es unión de ls gráfis de ls funiones g y g en [, b] G = (x, y : x b, y = g (x} y los segmentos en IR G = (x, y : x b, y = g (x} } [g (, g (] = (, y : g ( y g (} b} [g (b, g (b], todos ellos de ontenido ero, luego fr( tiene ontenido ero y, por tnto, es medible. b i l funión f: IR un funión otd en y ontinu en int(, onsideremos l funión f(x, f(x, y, si (x, y y =, si (x, y /. (i Todo punto de disontinuidd de f es un punto fronter de y que, en int(, f = f ontinu por hipótesis y, por su definiión, f es ontinu en ext(. Luego, el onjunto de disontinuiddes de f está ontenido en fr( que tiene ontenido ero. Entones, f es integrble en ulquier retángulo que onteng y, por tnto, f es integrble en. (ii e = [, b] [, d] un retángulo que ontiene, onsidermos pr d x [, b] l funión g x : [, d] IR definid por g x (y = f(x, y. Como dih d y = g (x y = g (x b Fig..4. funión es disontinu lo sumo en g (x y en g (x; es integrble en [, d] y d g (x g x (ydy = = g (x y, por el teorem de Fubini, En prtiulr f(x, y dx dy = ( = X (x, y dx dy = g (x f(x, ydy + g (x g (x dy + f(x, ydy + g (x f(x, y dx dy = ( b g (x g (x ( b d dy d f(x, ydy + d g (x f x (ydy dx = b g (x dy = dx = f(x, ydy g (x g (x ( b g (x f(x, ydy g (x ( g (x g (x dx. f(x, ydy dx. Integrles Múltiples.

12 . Integrión sobre onjuntos otdos. Proposiión.3 en h y h dos funiones de [, d] en IR ontinus y tles que h h en [, d]. El onjunto T = (x, y : y d, h (y x h (y} es medible y si f: T IR es un funión otd en T y ontinu en int(t entones f es integrble en T y T f(x, y dx dy = ( d h (y h (y f(x, ydx dy. En prtiulr: (T = T X T (x, y dx dy = d ( h (y h (y dy. Ejemplo.33 Probr que l región limitd por l elipse x + y = es medible y lulr b su áre. oluión: El onjunto es = (x, y IR : x, b x b } x. Ls funiones b b Fig..5. g (x = b x y g (x = b x son evidentemente ontinus en [, ] y por l proposiión nterior es medible. ( = = π = b π [g (x g (x] dx = b x dx = b sen t os t dt = b [ t + ] π sen t π = bπ. π π } x = sen t dx = os tdt + os t dt Ejeriio.34 Un pirámide, en el primer otnte, está limitd por los plnos oordendos y el plno x + y + 3z = 6. Representr el sólido y lulr su volumen medinte un integrl doble. oluión: Tomndo l funión que represent l plno, f(x, y = z = 6 x y 3, sobre l bse,, de l pirámide se tiene que V(P = f(x, y dx dy. Como el onjunto en el plno XY está en el primer udrnte y limitdo por los ejes y l ret x + y = 6, es medible y puede esribirse en l form = (x, y : x 6 y, y 3} Integrles Múltiples. 3

13 .3 Cmbio de vribles. luego 6 x y V(P = 3 dx dy = 3 3 ( 6 y (6 x y dx dy = 6..3 Cmbio de vribles. Definiión.35 e IR un onjunto bierto. Un funión g: IR de lse se die C -inversible en undo es inyetiv y su determinnte jobino, det(g (x, y, es distinto de ero en todo punto (x, y. Definiión.36 e IR un onjunto medible. Un funión f: IR se die dmisible undo es otd y el onjunto de puntos de disontinuidd de l funión f: IR IR dd por f(x, f(x, y, si (x, y y =, tiene ontenido ero., si (x, y / Observión: Evidentemente, si un funión es dmisible en, entones es integrble en. Teorem del mbio de vribles..37 en U un onjunto bierto de IR, g: U IR un funión de lse en U y IR un onjunto medible tl que fr( U. i g es C -inversible en int( y f: g( IR es un funión dmisible en g(, entones l funión ompuest f g es dmisible en y f(x, y dx dy = (f g(u, v det(g (u, v du dv. g(.3. Coordends polres. en el bierto U = IR, l funión g: U IR = (r, θ IR : r, θ π} U. e tiene, definid por g(r, θ = (r os θ, r sen θ y L funión g es de lse en U : Cd omponente es produto de funiones de lse en IR, luego g es C en IR = U. fr( U : Es lro, pues tnto omo fr( son subonjuntos de IR, luego fr( IR = U. g( = IR. En efeto, d (x, y IR se puede desribir tmbién medinte l distni, r, del punto l origen y el ángulo, θ, que form el segmento entre mbos puntos on el semieje positivo de biss. Luego existe (r, θ tl que g(r, θ = (x, y. L funión g es inyetiv en int( = (r, θ IR : r >, < θ < π}: r os θ i g(r, θ = g(r, θ = = r os θ r = os θ = r os θ r sen θ = r sen θ r sen θ = r y sumndo sen θ mbs euiones se tiene que r = r, de donde r = r y que r, r >. Por tnto, os θ = os θ y sen θ = sen θ ; de l primer, θ = θ ó θ = π θ y, sustituyendo en l segund, se tiene que en int( debe ser θ = θ. Integrles Múltiples. 4

14 det(g os θ rsenθ (r, θ = sen θ r os θ.3 Cmbio de vribles. = r, que es myor que pr todo (r, θ int(. De lo nterior, g es C -inversible en int( y verifi tods ls ondiiones pr ser un funión de mbio de vribles. Entones, si B es ulquier subonjunto medible de y f es un funión dmisible en = g(b, se verifi siempre el mbio de vribles polres. Es deir: Cmbio polres.38 en IR medible, f: IR dmisible en y B medible tl que g(b =, entones f(x, y dx dy = rf(r os θ, r sen θdrdθ. B Ejemplo.39 Clulr l integrl de l funión f(x, y = x + y en el semiírulo de IR = (x, y : x + y x, y }. oluión: Como x + y = x = (x + y =, el onjunto viene ddo por = (x, y : x, y } x x y es medible. L funión f(x, y = x + y es dmisible en puesto que por ser ontinu en, ls disontinuiddes de l funión f(x, y = x + y, si (x, y, si (x, y / están en l fronter de, que tiene ontenido ero por ser medible. r y y = x x r = os θ = g(b B x π θ Fig..6. Conjuntos y B. Hiendo x = r os θ e y = r sen θ, obtenemos de l euión rtesin x + y = x l euión en polres r = r os θ y = g(b donde B = (r, θ : θ π }, r os θ. Por onsiguiente x + y dx dy = rr dr dθ = B = 83 3 = 83 3 π [ ( π os θ r dr dθ = sen θ = t os 3 θ dθ = os θdθ = dt os θ = t ] t t3 3 π = 83 3 [ ] r 3 os θ dθ 3 ( t dt = Integrles Múltiples. 5

15 .3 Cmbio de vribles..3. Ejemplos de otros mbios de vribles. Ejemplo.4 e = (u, v : u, v }. Determinr l imgen de en el plno XY por l pliión g(u, v = (u v, uv. dx dy b Comprobr que en l integrl I = se puede efetur el mbio de vribles x + y x = u v, y = uv ddo por g. Clulr el vlor de I. oluión: x = u Como los puntos (x, y = g( verifin que v, vemos en que se trnsform y = uv d un de ls línes que formn l fronter de. Pr u = y v, tenemos y 4. Pr u = y v, tenemos 4 y 8. x = v y = v x = 4 v y = 4v, on v, luego x = y 4, on, on v, luego x = 4 y 6, on Pr u y v =, tenemos y 4. x = u y = u, on u, luego x = y 4, on Pr u y v =, tenemos 4 y 8. x = u 4 y = 4u, on u, luego x = y 6 4, on v 8 x= y 6 4 x=4 y 6 4 u x= y x= y 4 Fig..7. Conjuntos y = g(. e verifin ls hipótesis del teorem del mbio de vrible: L funión f es de lse en U = IR, porque sus omponentes tienen derivds priles ontinus en todo punto. Integrles Múltiples. 6

16 .3 Cmbio de vribles. El onjunto es medible, y que fr( tiene ontenido ero, y, evidentemente, fr( U. g es C -inversible en int(, pues g es inyetiv en int(: g(u, v = g(u, v = u v = u v u v = u v elevndo l udrdo mbs euiones y sumndo l segund l primer, se tiene (u v = (u v (u + v = (u + v u v = u v u + v = u + v u = u v = v = u = u v = v y que en int(, los vlores u, u, v y v son positivos. det(g u v (u, v = v u = 4(u + v > pr todo (u, v int(. es dmisible en g( =, porque ls dison- Finlmente, l funión f(x, y = tinuiddes de l funión f(x, y = x +y, x +y están en l fronter de que tiene ontenido ero. si (x, y, si (x, y / Por onsiguiente, I = dx dy x + y = 4(u + v dudv (u v + (uv = 4dudv = 4. Ejemplo.4 Trnsformr l integrl ( 3x x f(x, ydy dx introduiendo ls nuevs vribles u = x + y, uv = y. oluión: Tomndo = (x, y IR : x, x y 3x} tenemos que ( 3x x f(x, ydy dx = f(x, y dx dy = I y, despejndo, tenemos x = u y = u uv = u( v on y = uv. Luego podremos trnsformr l integrl en ls nuevs vribles si l funión g: IR IR dd por g(u, v = (u( v, uv es un mbio de vribles válido en un onjunto on g( =. i y = x y x, se tiene uv = u( v, luego u = y v IR ó u y v = 3. Como u = x + y = 3x, u = sólo pr x =, luego tenemos los dos sos: i y = x y x =, es deir, en (,, se tiene u = y v IR. i y = x y < x, se tiene v = 3 y u = x + x = 3x (, 3]. Integrles Múltiples. 7

17 .3 Cmbio de vribles. i y = 3x y < x, se tiene uv = 3u( v, luego v = 3 4 y u = x + y = 4x (, 4]. i x = y y 3, se tiene u = v y v [ 3, 3 4 ]. En onseueni, = (u, v IR : 3 v 3 4, < u } } (u, v IR : u =. v y 3 v y = 3x u = y = x u = v 3 4 u x Fig..8. in embrgo, omo no es un onjunto otdo, no es medible y, por tnto, no es un onjunto de integrión válido. hor bien, omo no es medible porque ontiene l ret infinit u = pero todos los puntos de dih ret verifin que g(, v = (,, si sustituimos tod l ret por un prte otd de ell obtendremos un onjunto, B, que será medible y verifirá que g(b = g( =. Por ejemplo, el onjunto B = (u, v IR : 3 v 3 4, u }. v v = 3 4 v = 3 B u = v Fig..9. Vemos que g es C -inversible en int(b = det(g (u, v = v u v u u = 3 u = 4 = u( v + uv = u >. } (u, v IR : 3 < v < 3 4, < u < v : Integrles Múltiples. 8

18 .4 pliiones de l integrl doble l meáni. u + u i g(u, v = g(u, v = v = u + u v, restndo mbs euiones se tiene u v = u v u = u y, omo u > en int(b, tmbién v = v y g es inyetiv en int(b. Luego I = f(u( v, uvu du dv = B ( v f(u( v, uvu du dv..4 pliiones de l integrl doble l meáni. Consideremos un lámin delgd que teng l form de un región IR y supongmos que su densidd (ms por unidd de áre en d punto viene dd por un funión integrble f: IR. Entones l ms totl M de l lámin es M = f(x, y dx dy. El entro de mss de l lámin es el punto (ξ, η de oordends ξ = M xf(x, y dx dy, η = M y el momento de ineri respeto de l ret L es I L = δ (x, yf(x, y dx dy, yf(x, y dx dy donde pr d punto (x, y, δ(x, y represent l distni del punto (x, y l ret L. Ejemplo.4 En un lámin udrd de ldo, l densidd en d punto es proporionl l udrdo de l distni de ese punto uno de los vérties. Hllr el momento de ineri de dih lámin respeto uno de los ldos que psn por ese vértie. oluión: Consideremos el udrdo de vérties (,, (,, (, y (,. i l densidd f(x, y en el punto (x, y es proporionl l udrdo de l distni de (x, y l vértie (,, pr d (x, y será f(x, y = k(x + y, on k un vlor onstnte. i girmos l lámin respeto l eje OX, tenemos que δ(x, y = y y el momento de ineri I L respeto l eje OX será.5 Ejeriios. Clulr I L = k y (x + y dx dy = k. Probr que ( x y + xy dx dy, on = [, ] [, ]. y (x + y dy dx = 4k6 45 dx dy x + y 6, on = [, ] [, ]. +.3 Clulr el volumen, V, enerrdo por l superfiie z = x + y sobre el retángulo = [, ] [, ]. Integrles Múltiples. 9

19 .5 Ejeriios.4 L integrl de l funión f(x, y = x +y sobre un región IR se redue l integrl reiterd ( + y f(x, y dx dy. y Determinr l región e invertir el orden de integrión pr lulrl..5 Clulr e x+y dx dy donde = (x, y : x + y }..6 Clulr.7 Clulr.8 Clulr.9 Evlur. Hllr (x y dx dy donde = (x, y : x π, y sen x}. ( ( ( ln x x (x + y dx y (x + y 3 x dx dy diretmente y mbindo el orden de integrión. (x + e y dy dy diretmente y mbindo el orden de integrión. dx. y( os xπ 4 dx dy, siendo = (x, y : x, x y }.. en f: IR IR un funión ontinu y g: IR IR un funión derivble. e l funión h: IR IR definid por e pide: h(t = t ( t x g(y dy f(x dx. Expresr h(t omo un integrl doble extendid un ierto reinto IR e invertir el orden de integrión. b Probr que l funión h es dos vees derivble y lulr h (t.. Considerr l pliión definid por ls euiones: x = u + v e y = v u. Clulr el determinnte de l mtriz jobin de l pliión. b Un triángulo T en el plno UV tiene por vérties (,, (, y (,. Representr medinte un dibujo, l imgen en el plno XY. Clulr el áre de medinte un integrl doble extendid y tmbién medinte otr integrl doble extendid T. d Clulr (x y + dx dy. Integrles Múltiples.

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