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1 Capítulo 4 Convexidad 1. Conjuntos convexos En este capítulo estudiaremos el concepto de convexidad, el cual es sumamente importante en el análisis. Estudiaremos conjuntos convexos y funcionesconvexas enr n,asícomolaspropiedadesyrelaciones entresuspuntos y valores extremos. En esta sección estudiaremos los conjuntos convexos. Recordemos que un conjunto K R n es convexo si, para todo x,y K y t [0,1], Ejemplo 4.1. Un semiespacio es convexo: Si x,y H, t [0,1], (1 t)x+ty K. H = {x R n : x x 0 c} ((1 t)x+ty) x 0 = (1 t)x x 0 +ty x 0 (1 t)c+tc = c, así que (1 t)x+ty H. Proposición 4.2. La intersección de conjuntos convexos es convexo. Demostración. Sea {K α } α una colección de conjuntos convexos, y sean x,y α K α. Entonces x,y K α para todo α y, si 0 t 1, (1 t)x+ty K α para todo α. Por lo tanto (1 t)x+ty α K α. 65

2 66 4. Convexidad Definición 4.3. Decimos que Ω R n es un polítopo convexo si es la intersección de un número finito de semiespacios cerrados. Es decir, m Ω = H i, H i = {x x i c i }. La proposición 4.2 justifica el adjetivo convexo en la definición anterior. Definición 4.4. Sea K un conjunto convexo cerrado. Un hiperplano de apoyo para K es un hiperplano tal que P K y P = {x R n : x x 0 = c} K H P = {x R n : x x 0 c}. Es decir, el hiperplano P interseca al convexo K, y K se encuentra de un solo lado de P. El siguiente teorema establece que un conjunto convexo cerrado tiene un hiperplano de apoyo en cada punto de su frontera. Teorema 4.5. Sea K un conjunto convexo cerrado y x 0 frk. Entonces existe un hiperplano de apoyo P para K tal que x 0 P. Demostración. Sea (y k ) una sucesión en R n \ K tal que y k x 0. Para cada k, sea z k K un punto más cercano a y k en K, es decir z k y k x y k para todo x K. Tal punto existe por la proposición Sea u k = z k y k z k y k. Como (u k ) es acotada, entonces existe una subsucesión que converge por el teorema de Bolzano-Weierstrass. Para simplificar, supongamos que u k u. Sea P = {x R n : (x x 0 ) u = 0}. Vamos a demostrar que P es un hiperplano de apoyo para K. Es decir, tenemos que mostrar que K {x R n : (x x 0 ) u 0}. Sea x K y ε > 0. Vamos a mostrar que (x x 0 ) u ε Demostraremos primero que (x z k ) u k 0 para todo k. Si t [0,1] y entonces y K y y = (1 t)z k +tx, y y k z k y k.

3 1. Conjuntos convexos 67 En otras palabras, y y k 2 z k y k 2. Además y y k 2 = (1 t)z k +tx y k 2 = t(x z k )+(z k y k ) 2 por lo que, si t 0, = t 2 x z k 2 +2t(x z k ) (z k y k )+ z k y k 2, t x z k 2 +2(x z k ) (z k y k ) 0. Como t (0,1] es arbitrario, obtenemos 2(x z k ) (z k y k ) 0. Por lo tanto (x z k ) u k 0. Dado ε > 0, tomamos k tal que ε u k u < 2( x x 0 +1) Entonces, como u k = 1, (x x 0 ) u (x z k ) u k y y k x 0 < ε 4. (x x 0 ) u (x x 0 ) u k + (x x 0 ) u k (x z k ) u k x x 0 u u k + u k z k x 0 < ε 2 + z k y k + y k x 0 ε 2 +2 x 0 y k < ε 2 +2ε 4 = ε, donde también hemos usado el hecho que z k y k x y k. Por lo tanto, como (x z k ) u k 0, (x x 0 ) u (x x 0 ) u (x z k ) u k ε. Por lo tanto, como ε > 0 es arbitrario, (x x 0 ) u 0. Corolario 4.6. Sea K un conjunto convexo cerrado no vacío y tal que K R n. Entonces K es la intersección de semiespacios cerrados. Demostración. Para cada x frk, tomamos un hiperplano de apoyo P x con x P x K. Dejamos como ejercicio (ejercicio 2) verificar que K = H Px. x frk

4 68 4. Convexidad 2. Combinaciones convexas y simplejos Definición 4.7. Una combinación convexa de x 1,...,x m R n es una combinación lineal t i x i tal que t i 0, i = 1,...,m, y t i = 1. Ejemplo 4.8. El vector (1 t)x+ty, t [0,1], es una combinación convexa de x y y: t,1 t 0 y (1 t)+t = 1. Proposición 4.9. K R n es convexo si, y solo si, es cerrado bajo combinaciones convexas. Demostración. Si K es cerrado bajo combinaciones convexas, entonces es convexo simplemente por la definición de convexidad y el ejemplo 4.8. Sea K convexo, x 1,...,x m K, y t 1,...,t m 0 tales que t i = 1. Queremos demostrar que m t ix i K. Esto lo haremos por inducción en m: si m = 2, (1 t)x 1 +tx 2 K por la definición de convexo. Sea m > 2 y suponemos que el resultado es cierto para m 1. Si t m = 1, m t ix i = x m K. Supongamos entonces que t m < 1. Sabemos que t 1 +t t m 1 = 1 t m. Entonces y, por inducción, t 1 1 t m + t 2 1 t m t m 1 1 t m = 1 x = t 1 1 t m x 1 + t 2 1 t m x t m 1 1 t m x m 1 K. Entonces, como K es convexo y x,x m K, t 1 x t m 1 x m 1 +t m x m = (1 t m ) x+t m x m K. La siguiente proposición implica que, en toda combinación convexa, solo n+1 puntos son suficientes. Proposición Sea S R n, y sea x la combinación convexa de puntos en S. Entonces x es la combinación convexa de a lo más n+1 puntos de S

5 2. Combinaciones convexas y simplejos 69 Demostración. Supongamos que x = t i x i, t i 0, t i = 1, y m > n+1. Vamos a demostrar que x es la combinación convexa de a lo más m 1 de las x i. Claramente podemos asumir que todo t i > 0. Como m 1 > n, x 1 x m,x 2 x m,...,x m 1 x m son linealmente dependientes, así que existen c 1,c 2,...,c m 1, no todos cero, tales que c 1 (x 1 x m )+c 2 (x 2 x m )+...+c m 1 (x m 1 x m ) = 0. Sea c m = (c 1 +c c m 1 ). Entonces c 1 x 1 +c 2 x c m 1 x m 1 +c m x m = 0 y c i = 0. Sea α tal que 1 α = máx{c 1,..., c m }, t 1 t m y s i = t i αc i. Observamos que α > 0. Como αc i t i para todo c i 0, s i 0 y s i = t i α c i = 1. Además, s i0 = 0 para algún i 0. Entonces s i x i = (t i αc i )x i = t i x i α c i x i = x, i 0 0 por lo que x es combinación convexa de los m 1 i, i i 0. Definición Sean x 0,x 1,...,x r R n tales que x 1 x 0,x 2 x 0,...,x r x 0 son linealmente independientes. El r-simplejo generado por x 0,x 1,...,x r es el conjunto de todas las combinaciones convexas de x 0,x 1,...,x r. Véase la figura 1. Si K es el r-simplejo generado por x 0,x 1,...,x r y x K, entonces existen únicos t 0,t 1,...,t r tales que x = r i=0 t ix i (ejercicio 4.) A las coordenadas del vector (t 0,t 1,...,t r ) se les llama coordenadas baricéntricas de K. Elsimplejo estándar enr n eseln-simplejogeneradopor0,e 1,e 2,...,e n.

6 70 4. Convexidad. x 0 x 0 x 1 0 simplejo x 2 1 simplejo x 2 x 3 x 0 x 1 2 simplejo x 0 x 1 3 simplejo Figura 1. r-simplejos con r = 0,1,2,3. 3. Funciones convexas En esta sección estudiaremos a las funciones complejas y algunas de sus propiedades analíticas. Definición Sea K R n convexo y f : K R. Decimos que f es convexa si, para x 1,x 2 K y t [0,1], f(tx 1 +(1 t)x 2 ) tf(x 1 )+(1 t)f(x 2 ). Es fácil verificar que si f : K R es convexa y m t ix i es una combinación convexa de x 1,...,x m K, entonces Véase el ejercicio 8. ( m ) f t i x i t i f(x i ). Ejemplo f : R n R, f(x) = x es una función convexa: tx 1 +(1 t)x 2 t x 1 +(1 t) x 2, por la desigualdad del triańgulo y el hecho que t,1 t 0. Para f : K R, definimos el conjunto K + R n+1 como K + = {(x,z) K R : z f(x)}. K + es entonces el conjunto de puntos en R n+1 que están arriba de la gráfica de f. Proposición f : K R es convexa si, y solo si, K + es convexo.

7 3. Funciones convexas 71 Demostración. Supongamos que f es convexa y sean (x 1,z 1 ),(x 2,z 2 ) K +. Entonces z 1 f(x 1 ) y z 2 f(x 2 ), y queremos mostrar que, para t [0,1], es decir, t(x 1,z 1 )+(1 t)(x 2,z 2 ) = (tx 1 +(1 t)x 2,tz 1 +(1 t)z 2 ) K +, Pero, como f es convexa, tz 1 +(1 t)z 2 f(tx 1 +(1 t)x 2 ). f(tx 1 +(1 t)x 2 ) tf(x 1 )+(1 t)f(x 2 ) tz 1 +(1 t)z 2. Entonces K + es convexo. Supongamos ahora que K + es convexo. Tomamos x 1,x 2 K. Entonces (x 1,f(x 1 )) K + y (x 2,f(x 2 )) K +. Como K + es convexo, para t [0,1] t(x 1,f(x 1 ))+(1 t)(x 2,f(x 2 )) = (tx 1 +(1 t)x 2,tf(x 1 )+(1 t)f(x 2 )) K +. Pero esto quiere decir Por lo tanto f es convexa. tf(x 1 )+(1 t)f(x 2 ) f(tx 1 +(1 t)x 2 ). La siguiente proposición nos será de utilidad más adelante. Primero definimos, para c R, el conjunto K c = {x K : f(x) c}, el corte de f a la altura c. Véase la figura 2. y c c x K c Figura 2. El conjunto de las x tal que f(x) queda por debajo de c es K c. Proposición Si f es convexa en K, entonces cada K c es convexo. Demostración. Sean x 1,x 2 K c. Entonces f(x 1 ) c, f(x 2 ) c. Como f es convexa, para t [0,1], f(tx 1 +(1 t)x 2 ) tf(x 1 )+(1 t)f(x 2 ) tc+(1 t)c = c, por lo que entonces tx 1 +(1 t)x 2 K c.

8 72 4. Convexidad La inversa de la proposición 4.15 es falsa. Ejemplo Consideremos f : R R dada por f(x) = x 3. Entonces K = R y cada K c es el intervalo (, 3 c), así que es convexo. Sin embargo, f no es convexa. Ejemplo Sea A R n un conjunto cerrado tal que A. Definimos f : R n R como f(x) = mín{ x y : y A}. Tal mínimo existe por la proposición Demostraremos que f es convexa si, y solo si, A es convexo. Sif esconvexa, entonces, comoa = K 0,Aesconvexo, porlaproposición Supongamos ahora que A es convexo. Sean x 1,x 2 R n y t [0,1]. Tomamos y 1,y 2 A tales que f(x 1 ) = x 1 y 1, f(x 2 ) = x 2 y 2. Como A es convexo, ty 1 +(1 t)y 2 A, así que f(tx 1 +(1 t)x 2 ) tx 1 +(1 t)x 2 (ty 1 +(1 t)y 2 ) Entonces f es convexa. t x 1 y 1 +(1 t) x 2 y 2 = tf(x 1 )+(1 t)f(x 2 ). Ahora estudiaremos la continuidad de las funciones convexas. Primero, observemos que no todas las funciones convexas son continuas. Ejemplo Sea f : [0,1] R dada por { 1, x = 0,1 f(x) = 0, 0 < x < 1 Entonces f es convexa, pero no es continua en 0 ni en 1. Sin embargo, notemos que la función f no es continua precisamente en los extremos de [0,1]. Teorema Sea K R n convexo y abierto, y f : K R convexa. Entonces f es continua. Lema Sea R un rectángulo cerrado. Entonces R es el conjunto de todas las combinaciones convexas de sus vértices. En otras palabras, si R = [a 1,b 1 ] [a n,b n ], el conjunto V de sus vértices es el conjunto V = {(c 1,c 2,...,c n ) : c i = a i o b i }. Entonces R es el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en V. La demostración del lema 4.20 la dejamos como ejercicio (ejercicio 7).

9 3. Funciones convexas 73 Demostración. Sea x 0 K y R K un rectángulo con centro en x 0 y de lado 2r, como se muestra en la figura 3. Sea B la bola cerrada B r (x 0 ) y x + u 0 x r x 0 2r x u 0 Figura 3. El rectángulo de la demostración del teorema x B. Entonces la recta que pasa por x 0 y x corta a frb en dos vectores, digamos x 0 + u y x 0 u, con u = r. Entonces, si t = x x 0, x y x 0 r satisfacen las siguientes relaciones convexas: x = (1 t)x 0 +t(x 0 +u), x 0 = 1 t+1 x+ t t+1 (x 0 u). Sea V el conjunto de vértices de R, y M = máx{f(y) : y V}. Comof esconvexa, ellema4.20 implicaque,paraz R,f(z) M.Además (4.1) f(x) (1 t)f(x 0 )+tf(x 0 +u) y (4.2) f(x 0 ) 1 t+1 f(x)+ t t+1 f(x 0 u). De (4.1) obtenemos f(x) (1 t)f(x 0 )+tm, por lo que De (4.2), así que Entonces f(x) f(x 0 ) t(m f(x 0 )). f(x 0 ) 1 t+1 f(x)+ t t+1 M, t(f(x 0 ) M) f(x) f(x 0 ). f(x) f(x 0 ) t M f(x 0 ) = M f(x 0) x x 0. r

10 74 4. Convexidad Dado ε > 0, escogemos δ = mín { rε } r,. M f(x 0 ) +1 Entonces x x 0 < δ implica que f(x) f(x 0 ) < ε. El siguiente teorema establece un criterio para la convexidad de funciones diferenciables. Teorema Sea f diferenciable en K. Entonces f es convexa si, y solo si, (4.3) f(x) f(x 0 )+Df(x 0 )(x x 0 ) para todo x,x 0 K. Demostración. Supongamos que f es convexa, y sea h = x x 0. Como f es convexa, para t (0,1] por lo que f(x 0 +th) (1 t)f(x 0 )+tf(x 0 +h), f(x 0 +th) f(x 0 ) t(f(x 0 +h) f(x 0 )). Restamos Df(x 0 )(th) = tdf(x 0 )(h)) de la desigualdad, dividimos entre t y obtenemos f(x 0 +th) f(x 0 ) Df(x 0 )(th) t f(x 0 +h) f(x 0 ) Df(x 0 )(h). Como f es diferenciable, el lado izquierdo de la desigualdad va a 0 cuando t 0. Entonces f(x 0 +h) f(x 0 ) Df(x 0 )(h) 0, es decir f(x) f(x 0 )+Df(x 0 )(x x 0 ). Supongamos ahora que la desigualdad (4.3) es cierta para todo x 0,x K. Sean x 1,x 2 K, x 1 x 2, t (0,1) y x = (1 t)x 1 +tx 2. Demostraremos que f(x) (1 t)f(x 1 )+tf(x 2 ). y Tenemos f(x 1 ) f(x)+df(x)(x 1 x) f(x 2 ) f(x)+df(x)(x 2 x),

11 4. Puntos y valores extremos 75 así que (1 t)f(x 1 )+tf(x 2 ) (1 t) ( f(x)+df(x)(x 1 x) ) +t ( f(x)+df(x)(x 2 x) ) = f(x)+df(x) ( (1 t)x 1 +tx 2 x ) = f(x). Como f(x 0 )+Df(x 0 )(x x 0 ) es la aproximación lineal de f en el punto x 0, entonces el teorema 4.21 establece que una función diferenciable es convexa si, y solo si, su gráfica se encuentra arriba de la gráfica de su aproximación lineal en cada punto. 4. Puntos y valores extremos En esta sección estudiaremos los puntos extremos de conjuntos convexos, y su relación con los valores extremos (máximos y mínimos) de las funciones convexas. Definición Sea K R n convexo. Decimos que x K es un punto extremo dek si noexisten x 1,x 2 K, t (0,1) tales quex = (1 t)x 1 tx 2. Es decir, los puntos extremos de un conjunto convexo K son aquéllos que no son combinaciones convexas no triviales de puntos en K. No es difícil ver que los puntos extremos de K se encuestran en su frontera (ejercicio 14). Proposición Sea K R n convexo y compacto. Entonces todo punto de K es combinación convexa de puntos extremos de K. Demostración. Demostraremos esta proposición por inducción en n. Cuando n = 1, K es un intervalo cerrado, y la proposición es cierta porque, si x [a,b], entonces x = b x x a a+ b a b a b. Suponemos entonces que el resultado es cierto para n 1. Sea K R n convexo y compacto. Primero, tomemos x 0 frk. Sea P un hiperplano de apoyo a K tal que x 0 K P. Pero K P puede ser identificado con un subconjunto convexo en R n 1 (ejercicio 15). Por inducción, x 0 es combinación convexa de puntos extremos de K P, que a su vez son puntos extremos de K (ejercicio 16). Si x 0 K 0, sea L una recta que contiene a x 0. Entonces, como K es convexo y compacto, L frk = {x 1,x 2 }, y x 0 es combinación convexa de x 1 y x 2, que a su vez son, cada uno, una combinación convexa de puntos extremos de K.

12 76 4. Convexidad Corolario Si f : K R es continua y convexa en el conjunto convexo compacto K, entonces su máximo ocurre en algún punto extremo de K. Demostración. Si x K, entonces x = t i x i, donde i t i = 1 y los x i son puntos extremos de K. Entonces f(x) t i f(x i ) t i M = M, donde M = sup{f(y) : y es punto extremo de K}. Como f es continua, f toma su máximo, y entonces lo debe tomar en un extremo. La hipótesis de continuidad en el corolario fue utilizada para garantizar que f toma su máximo en K, aunque no siempre es necesaria esta hipótesis. Por ejemplo, si K es un polítopo convexo compacto, entonces tiene solamente un número finito de puntos extremos (ejercicio 17). Así que el máximo de f sobre K es simplemente M = máx{f(y) : y es punto extremo de K}, el cual siempre existe porque {f(y) : y es punto extremo de K} es finito. Si f : R n R es lineal, entonces claramente es convexa. Si K R es convexo y compacto, sea M el máximo de f en K y definimos K = {x K : f(x) = M}. Corolario x K si, y solo si, x es combinación convexa de puntos extremos de K contenidos en K. Demostración. Sea x K, y x = i t ix i, t i > 0, i t i = 1, donde los x i son puntos extremos de K. Si f(x j ) < M para algún j, entonces, como t j > 0, M = f(x) = t i f(x i ) t i M +t j f(x j ) < M, i i j una contradicción. Entonces f(x i ) = M para todo i, es decir, x i K para todo i. Si x = i t ix i, con x i K para todo i, f(x) = k t i f(x i ) = M,

13 Ejercicios 77 porque f es lineal y i t i = 1. Ejercicios 1. MuestraquesiP esunhiperplanodeapoyodelconjuntoconvexocerrado K, entonces P K frk. 2. Termina la demostración del corolario Sea K R n un conjunto convexo cerrado no vacío tal que R n \K es convexo. Muestra que K es un semiespacio cerrado. 4. Muestra que si x se puede representar como combinación convexa de x 0,x 1,...,x r de dos formas distintas, entonces los vectores son linealmente dependientes. x 1 x 0,x 2 x 0,...,x r x 0 5. Sea x una combinación convexa de x 1,...,x m, y cada x j una combinación convexa de y j1,...,y jmj. Muestra que x es una combinación convexa de de todos los y jk. 6. Sea S R n. Sea Ŝ la cerradura convexa de S: el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en S. a) Muestra que Ŝ es convexo; y b) Muestra que si K es convexo y S K, entonces Ŝ K. 7. Demuestra el lema Muestra que si f : K R es convexa y r t ix i es una combinación convexa de x 1,...,x r K, entonces ( r ) r f t i x i t i f(x i ). 9. Sean f,g : K R convexas y sea h : K R dada por Muestra que h es convexa. h(x) = máx{f(x),g(x)}. 10. Sea f : K R continua tal que 1 ) f( 2 (x 1 +x 2 ) 1 ( f(x1 )+f(x 2 ) ) 2 para todo x 1,x 2 K. Muestra que f es convexa. 11. Sea f : (a,b) R doblemente diferenciable. Entonces f es convexa si, y solo si, f (x) > 0 para todo x (a,b).

14 78 4. Convexidad 12. Sean a,b > 0 y 0 < t < 1. Muestra que a 1 t b t (1 t)a+tb. (Sugerencia: Muestra que la función t a(b/a) t es convexa utilizando el ejercicio anterior.) 13. Muestra la desigualdad de Hölder: si x,y R n, y p,q > 1 son tales que 1 p + 1 = 1, entonces q n ( n x i y i x i p) 1/p( n y i q) 1/q. (Sugerencia: Utiliza el ejercicio anterior.) 14. Muestra que si x es un punto extremo del conjunto convexo K, entonces x frk. 15. Sea P un hiperplano en R n y x 0 P. Muestra que existe una isometría ψ : P R n 1 tal que ψ(x 0 ) = Muestra que si P es un hiperplano de apoyo del conjunto convexo K y x es un punto extremo de K P, entonces x es un punto extremo de K. 17. Sea K un polítopo convexo. Muestra que K tiene un número finito de puntos extremos. 18. Muestra que un polítopo compacto es la unión finita de simplejos. Si el polítopo tiene r vectores linealmente independientes, muestra que es la unión finita de r-simplejos.

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