TAD CONJUNTOS Y MULTICONJUNTOS

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1 TAD CONJUNTOS Y MULTICONJUNTOS INTRODUCCIÓN Qué es un conjunto? Un conjunto en matemática es una colección de objetos. Los objetos no mantienen ninguna relación aparente entre ellos y tampoco están obligados a compartir atributos comunes, es decir, no necesitan pertenecer a la misma clase, sencillamente están agrupados en una misma estructura. En computación, la noción de conjunto se restringe, ya que se define como una agrupación finita de objetos con características comunes, que no presentan relación alguna entre sí. Esto quiere decir que los elementos que pertenecen a un conjunto deberán compartir al menos el atributo de tener el mismo tipo de datos. Existen dos tipos de conjuntos en base al tipo de datos: los conjuntos que contienen elementos atómicos o primitivos y los conjuntos de elementos estructurados. CONJUNTOS DE ELEMENTOS ATÓMICOS Son Conjuntos de elementos primitivos (simples, indivisibles y enumerables). Estos elementos son: enteros, caracteres, reales, cadenas (strings) y tienen un orden lineal natural. Los elementos NO se repiten. Las operaciones básicas de este TDA son las conocidas en matemáticas: - Pertenencia ( ) - Conjunto Vacío ( ) - Subconjunto ( ) - Unión ( ) - Intersección ( ) - Diferencia (-) - Insertar un elemento (es la Unión con un elemento) - Eliminar (Es la diferencia del conjunto con el elemento a eliminar) - Igualdad de Conjuntos. CONJUNTOS DE ELEMENTOS ESTRUCTURADOS Todos los elementos pertenecen a la misma clase y cada uno de ellos tendrá un componente que lo distinguirá de manera única del resto de los elementos. A este componente se le denomina CLAVE o ATRIBUTO PRIMARIO. 1

2 Las operaciones básicas de este TDA, dependen directamente de la clave de los elementos, ya que no hay relación definida entre ellos_ - Buscar-clave - Insertar-elemento - Borrar-elemento - Modificar Dado que se hace referencia a cada uno de los elementos a través de su clave, se puede pensar en almacenarlos secuencialmente y hacer una búsqueda secuencial. También se podrían guardar ordenadamente con respecto al valor de su clave y hacer una búsqueda binaria. Otra forma más eficiente, es guardar de manera esparcida en una Tabla y usar un acceso directo utilizando una técnica llamada HASHING. Esta técnica consiste en convertir cada valor de la clave en una dirección válida dentro de la tabla, aplicando a la clave una función de conversión. REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS 1) Mediante un vector de bits Cuando todos los conjuntos del dominio en cuestión son subconjuntos de un pequeño conjunto universal cuyos elementos son los enteros 1,2,,n, para algún n fijo, se puede usar una representación basada en un vector de bits (arreglo booleano). Por ejemplo, suponer el conjunto universal formado por los enteros entre 0 y 4: U = 0, 1, 2, 3, 4, y el conjunto C = 1, 2. Se representará de esta manera: : indica que el elemento pertenece al conjunto. 0 : indica que el elemento no pertenece al conjunto. Por ejemplo, en C se define un tipo que ocupa 8 bits: unsigned char conjunto8; Si todos los bits de conjunto están a 1 entonces se tiene el conjunto: U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y su cardinal es 8. Si todos los bits están a 0 se tiene el conjunto vacío. El bit más significativo señalará al elemento de mayor valor, el bit menos significativo al de menor valor. Ejemplos (bit más significativo a la izquierda): 2

3 > U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, > U = 0, 4, 5, 6, > U = 0, 2, 4, > U = vacío A continuación se implementa un TAD sobre conjuntos en C mediante array de bits. - Unión: Se realiza mediante la operación de OR inclusivo. Ejemplo (con 8 bits en lugar de 32): > A = 2,3,6,7 Or > B = 2,4, > C = 2,3,4,6,7 y se codifica así: tconjunto unircjto(tconjunto A, tconjunto B) return (A B); - Intersección: Se realiza mediante la operación AND. Ejemplo: > A = 2,3,6,7 And > B = 2,4, > C = 2,7 y se codifica así: tconjunto interseccion(tconjunto A, tconjunto B) return (A & B); - Diferencia: Para obtener C = A-B se invierten todos los bits de B y se hace un AND entre A y B negado. Ejemplo: 3

4 > A = 0,2,3,4, > B = 1,4,5,7 B negado: > B(negado) = 0,2,3, And > C = 0,2,3 y se codifica así: tconjunto diferencia2(tconjunto A, tconjunto B) return (A & ~B); - Pertenencia: Determinar si un elemento pertenece a un conjunto requiere efectuar una operación de desplazamiento a nivel de bits y una posterior comprobación del bit de signo resultante. Como siempre, un ejemplo o dos lo aclaran: Sea x = 0 y A = 0,1,2,5. Determinar si x pertecene a A > A. Primero se desplazan los bits de A tantas veces a la derecha como valga x, en el ejemplo no se desplazan; se obtiene A'. A continuación se aplica el test del bit de signo sobre A', que consiste en obtener el resto de la división entera entre dos. Si el resto es uno, entonces x pertenece a A. En caso contrario no pertenece a A. En el ejemplo: A' mod 2 = 1, luego x pertenece a A. Otro ejemplo: x = 3, A = 0,1,2,5. Se desplazan los bits de A tres posiciones a la derecha: > A'. Se hace el test de signo: A' mod 2 = 0. x no pertenece a A. La codificación es la siguiente: int pertenece(tconjunto A, int x) return ((A >> x) % 2); 2) Mediante arreglos 4

5 Los elementos del conjunto se guardan uno a continuación de otro empleando una lista densa representada mediante un array. Ejemplo: Sea el conjunto C = 3,5, 2. Se representará de esta manera: Tipo de datos empleado: typedef int ttipo; typedef struct ttipo elems[maxelem]; int cardinalidad; tconjunto; - Definición de conjunto vacío: Un conjunto está vacío si su cardinal es cero. Para inicializar un conjunto a vacío basta con una instrucción: A->cardinal = 0 - Pertenencia: Para determinar si un elemento x pertenece al conjunto basta con recorrer el array hasta encontrarlo. Se devuelve True si se encuentra. Codificación: int pertenece(tconjunto *A, ttipo x) int i; for (i = 0; i < A->cardinal; i++) if (A->elems[i] == x) return 1; return 0; 5

6 - Unión: Para hacer C = A Unión B, se introducen en C todos los elementos de A y todos los elementos de B que no pertenezcan a A. Codificación: void unircjto(tconjunto *A, tconjunto *B, tconjunto *C) int i; *C = *A; for (i = 0; i < B->cardinal; i++) if (!pertenece(a, B->elems[i])) insertar(c, B->elems[i]); - Intersección: Para hacer C = A intersección B, se hace un recorrido sobre A (o B) y se insertan en C los elementos que estén en B (o A). El pseudocódigo es: C = vacío para cada x elemento de A si x pertenece a B entonces insertar x en C. En C: void interseccion(tconjunto *A, tconjunto *B, tconjunto *C) int i; C->cardinal = 0; for (i = 0; i < A->cardinal; i++) if (pertenece(b, A->elems[i])) insertar(c, A->elems[i]); - Diferencia: Para hacer C = A-B, se hace un recorrido sobre A (o B) y se insertan en C los elementos que no estén en B (o A). 6

7 El pseudocódigo es: C = vacío para cada x elemento de A si x no pertenece a B entonces insertar x en C. En C: void diferencia(tconjunto *A, tconjunto *B, tconjunto *C) int i; C->cardinal = 0; for (i = 0; i < A->cardinal; i++) if (!pertenece(b, A->elems[i])) insertar(c, A->elems[i]); 3) Mediante lista enlazada Esta representación tiene las siguientes ventajas: - No necesita ser subconjunto de algún conjunto universal finito (como vector de bits) - Espacio proporcional al tamaño del conjunto Pueden darse dos casos para realizar las operaciones de conjuntos: 1) La lista no está ordenada. En el caso de intersección, por ejemplo, es necesario parear cada elemento de L1 con cada elemento de L2 en proceso de orden n 2 para listas de longitud n. 2) La lista está ordenada, Se facilitan las operaciones. Por ejemplo, en el caso de la intersección, por cada elemento e1 de la lista L1 se parean con cada elemento e2 de L2 hasta encontrar en la lista L2 un elemento f tal que f > e1. Se sigue entonces desde f. Definición y tipo de datos empleado: 7

8 Los tipos de datos se declaran así: typedef struct lista int elem; struct lista *sig; lista; typedef struct tconjunto lista *cabecera, *centinela; int cardinal; tconjunto; - Pertenencia: Para determinar si un elemento x pertenece al conjunto basta con recorrer la lista hasta encontrarlo o llegar al final de ésta. Se devuelve True si se encuentra antes del centinela. int pertenece(tconjunto cjto, int x) lista *actual; actual = cjto.cabecera->sig; cjto.centinela->elem = x; while (actual->elem!= x) actual = actual->sig; if (actual == cjto.centinela) return 0; else return 1; - Unión: A partir de los conjuntos A y B se crea un nuevo conjunto C. Se supone que el conjunto C no ha sido inicializado antes. En cada paso se añade siempre un nuevo elemento. Por último se comprueba que no queden elementos sin copiar. void unioncjto(tconjunto A, tconjunto B, tconjunto *C) 8

9 lista *c1, *c2, *c3, *aux; crearcjto(c); c3 = C->cabecera; c1 = A.cabecera->sig; c2 = B.cabecera->sig; while (c1!= A.centinela && c2!= B.centinela) if (c1->elem < c2->elem) aux->elem = c1->elem; else if (c1->elem > c2->elem) aux->elem = c2->elem; else aux->elem = c1->elem; /* tambien vale: aux->elem = c2->elem */ /* copia los elementos restantes si los hubiera */ if (c1!= A.centinela) while (c1!= A.centinela) aux->elem = c1->elem; else if (c2!= B.centinela) while (c2!= B.centinela) aux->elem = c2->elem; 9

10 - Intersección: C = A Intersección B, es el nuevo conjunto que se crea. Se añade un elemento cuando coincide en ambas listas a la vez (c1->elem == c2->elem). void interseccion(tconjunto A, tconjunto B, tconjunto *C) lista *c1, *c2, *c3, *aux; crearcjto(c); c3 = C->cabecera; c1 = A.cabecera->sig; c2 = B.cabecera->sig; while (c1!= A.centinela && c2!= B.centinela) if (c1->elem < c2->elem) else if (c1->elem > c2->elem) else aux->elem = c1->elem; /* tambien vale: aux->elem = c2->elem */ - Diferencia: C = A-B. Se añade un nuevo elemento sólo cuando (c1->elem < c2->elem). void diferencia(tconjunto A, tconjunto B, tconjunto *C) lista *c1, *c2, *c3, *aux; crearcjto(c); c3 = C->cabecera; c1 = A.cabecera->sig; c2 = B.cabecera->sig; while (c1!= A.centinela && c2!= B.centinela) if (c1->elem < c2->elem) 10

11 aux->elem = c1->elem; else if (c1->elem > c2->elem) else c1 = c1->sig, /* aniade lo que quede de A */ while (c1!= A.centinela) aux->elem = c1->elem; Bibliografía: - AHO HOPCROFT, Estructuras de Datos y Algoritmos 11