Decimos que un objeto se mueve con un movimiento circular si su trayectoria es una circunferencia.

Transcripción

1 Movimiento circular La trayectoria de un móvil sabemos que puede tener formas muy diversas. Hasta ahora hemos estudiado el caso más simple de trayectoria, la rectilínea. Ahora vamos a dar un paso más y vamos a estudiar de entre los movimientos cuya trayectoria no es recta, el más sencillo de todos. Sabes a qué movimiento nos referimos? Algunos derechos reservados por robokow Pues sí, nos referimos al movimiento circular. Estamos seguros de que si haces un poco de memoria podrás recordar muchas movimientos en los que la trayectoria es una circunferencia o parte de ella. Desde el movimiento de las manecillas de un reloj, hasta la noria que ves en la fotografía pasando por la rueda de una bicicleta. En todos estos casos hay un punto del objeto que se mueve mantiendo fija su distancia a otro punto. En los ejemplos que te acabamos de comentar ese punto sobre el que se gira es el eje del reloj, de la rueda o de la noria. Actividad Decimos que un objeto se mueve con un movimiento circular si su trayectoria es una circunferencia. En este tema vamos a estudiar de entre los movimientos circulares, el más sencillo de todos. Se trata del movimiento circular uniforme (en adelante MCU) que se caracteriza por tener una

2 velocidad angular constante. Pero no adelantemos acontecimientos. Pregunta Verdadero-Falso Un movimiento circular es aquel en el que la trayectoria es una curva. Verdadero Falso Un movimiento circular es un tipo particular de movimiento curvilíneo. Verdadero Falso El MCU además de tener una trayectoria en forma de circunferencia, tiene una velocidad constante. Verdadero Falso

3 1. La posición en los móviles que giran Cómo podemos saber dónde se encuentra en un momento concreto un móvil que lleva movimiento circular? Si sabemos situar un punto en el plano, la tarea es sencilla. Recuerda que el vector de posición se puede expresar en función de sus componentes cartesianas. En este caso, el móvil se mantiene siempre a una distancia r del centro de giro, precisamente el radio de la circunferencia que describe. Por eso en este caso particular de trayectoria circular, es más útil utilizar las coordenadas polares. La posición en coordenadas polares se describe utilizando la distancia del punto al origen de coordenadas y el ángulo que forma dicho vector de posición con la parte positiva del eje x. Ambas descripciones guardan relación. Podemos pasar de las coordenadas "x" e "y" a las coordenadas polares "r" y " " ( se lee teta según la Real Academia de la Lengua) y viceversa. Para ello necesitamos recordar las definiciones de seno y coseno. Tanto el seno como el coseno son razones trigonométricas. De este modo usando las expresiones anteriores podemos determinar las coordenadas x e y conociendo r y : O al revés, conociendo r y podemos determinar x e y: Importante La unidad de ángulo en el Sistema Internacional es el radián. En la descripción de los movimientos circulares también se suelen emplear otras unidades como el grado sexagesimal o la revolución (vuelta).

4 Imagen de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes: 1. rad 2. rad 3. rad 4. rad

5 En una calculadora científica es muy fácil calcular el seno y el coseno de un ángulo. Por ejemplo imagina que queremos calcular el seno y el coseno de 60º. Para calcular el seno basta con escribir 60 y luego pulsar la tecla sin. Del mismo modo, pero pulsando la tecla cos, se calcula el coseno. Y al revés? Si sé que el seno de un ángulo es 0,25, cómo puedo calcular dicho ángulo? Pues basta con escribir 0,25 en tu calculadora y luego pulsar las teclas INV y sin sucesivamente. Supongamos que tenemos rueda de una bicicleta cuyo radio mide 50 cm. Cuáles son las coordenadas cartesianas y polares de los puntos marcados en la fotografía? Estima aproximadamente los ángulos a partir de la fotografía. Algunos derechos reservados por José Antonio Galloso Actividad

6 distancia al centro y el ángulo entre el lado positivo del eje x y el vector de posición de nuestro móvil.

7 2. La velocidad en los móviles que giran Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons Observa los dós móviles de la animación. Describen el mismo tipo de movimiento? Ambos describen una trayectoria circular pero, qué ocurre con su velocidad? Si te fijas el de la derecha da vueltas siempre al mismo ritmo mientras que el de la izquierda unas veces va más rápido y otras más lento, incluso se para y cambia de sentido. El engranaje de la derecha tiene un MCU mientras que el de la izquierda es un movimiento circular variado. Observa con el siguiente simulador el movimiento de un cuerpo con velocidad angular constante. Modifica el radio de la trayectoria y la velocidad angular para observar distintos movimientos. Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons Haciendo pruebas con el simulador anterior hemos tomado nota del ángulo (medido en radianes) en diferentes momentos. Tiempo (s) Ángulo (rad) 0,0 3,14 6,28 9,42 12,56 15,70 18,84 21,98 25,12 Si observas cómo va cambiando el ángulo te darás cuenta de que lo hace a un ritmo constante. Representando el ángulo frente al tiempo podemos comprobarlo definitivamente.

8 Está claro que en este caso el ritmo de cambio del ángulo es constante y precisamente a eso le debe el nombre el movimiento circular uniforme. Pero, qué magnitud medirá el cambio en el ángulo? La velocidad angular que se mide en radianes por segundo. En el caso de nuestros datos, obtenemos un valor constante de 3,14 rad/s para la velocidad angular cualquiera que sea el intervalo de tiempo que seleccionemos. Dado que en los MCU la valocidad angular es constante, podemos calcular podemos calcular el ángulo recorrido en un cierto tiempo operando en la ecuación anterior: Si empezamos a estudiar el movimiento con el cronómetro a cero segundos y sustituimos t 2 por t, La ecuación de la velocidad angular en un MCU es: que recuerda mucho a la ecuación velocidad de un MRU pero ahora el papel de las posiciones lo juegan los ángulos y la velocidad angular ha sustituido a la velocidad. Más adelante veremos si existe alguna relación entre estas magnitudes angulares y lineales.

9 Es la velocidad constante en un MCU? Ya sabemos que la velocidad de un móvil es una magnitud vectorial y por tanto no basta para describirla con dar el espacio recorrido cada segundo sino que necesitamos indicar la dirección y el sentido con que se mueve. Es decir, la velocidad tiene dos componentes: por un lado su módulo que indica cómo de rápido se mueve el objeto y por otro la dirección y sentido. En un MRU sabemos que no cambia el módulo de la velocidad porque siempre se mueve con el mismo ritmo y además como la trayectoria es recta, la componente vectorial tampoco. Podemos decir que en un MRU la velocidad, tanto en módulo como en dirección y sentido es constante. En un MCU sabemos que no cambia el ritmo con que da vueltas pero al describir una circunferencia, la dirección y el sentido cambian continuamente. Por lo tanto, estrictamente la velocidad no es constante es un MCU y cuando decimos que es uniforme queremos decir que el módulo de la velocidad no varía. AV - Pregunta Verdadero-Falso Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En un MCU, el módulo de la velocidad lineal es constante. Verdadero Falso En un MCU, el vector velocidad varía. Verdadero Falso En un MCU, la velocidad angular es variable. Verdadero Falso

10 3. La aceleración en los móviles que giran Hemos indicado anteriormente que la velocidad tiene carácter vectorial. Como tal vector podemos distinguir en ella su módulo y la dirección y el sentido. Cuando la velocidad de un objeto varía con el tiempo puede hacerlo bien porque varíe el módulo, porque varíe la dirección y sentido del movimiento o porque varíen ambos aspectos. Ya sabemos que la magnitud que mide la variación de la velocidad es la aceleración. Es posible definir la aceleración como suma de otras dos: 1. La aceleración tangencial (a t ) que informa del cambio en el módulo de la velocidad. 2. La aceleración normal (a n ) que informa del cambio en la dirección y en el sentido de la velocidad. En el siguiente cuadro resumimos qué valor tendría cada una de estas dos componentes de la velocidad en los movimientos que hemos estudiado hasta ahora y en el MCU. Tipo de movimiento Aceleración tangencial Aceleración normal Aceleración Reposo MRU MRUA MCU En un MCU, lógicamente la aceleración tangencial es nula porque no varía el ritmo con el que gira el móvil (siempre da las mismas vueltas por segundo). Sin embargo la normal es distinta de cero puesto que la dirección y el sentido cambian constantemente para dibujar la trayectoria circular. Piensa en un movimiento circular pero en el que la velocidad angular varía con el tiempo. Serán nulas las componentes tangencial y vectorial de la aceleración? Del mismo modo que en su momento definimos la aceleración lineal como el ritmo del cambio de la velocidad, podemos definir una magnitud que mida el cambio en la velocidad angular. Como la velocidad angular se mide en radianes por segundo, la aceleración angular se mide en radianes por segundo cada segundo, o lo que es lo mismo en radianes por segundo al cuadrado. En el siguiente apartado veremos que esta aceleración guarda una relación con la aceleración tangencial. En el caso de un MCU esta aceleración es nula puesto que la velocidad angular se mantiene constante. Del mismo modo que dedujimos la ecuación velocidad-tiempo para los MRUA, ahora podríamos

11 hacer lo propio con la velocidad angular. Basta despejar de la definición de aceleración angular. Si consideramos que en el instante inicial nuestro crónometro estaba puesto a cero, Puedes observar el parecido de esta ecuación con la ecuación velocidad-tiempo de los MRUA. En lugar de velocidades aparecen velocidades angulares y en lugar de la aceleración, la aceleración angular.

12 4. Magnitudes lineales y angulares Vamos a mostrar a modo de resumen las ecuaciones de los diferentes movimientos que hemos estudiado hasta ahora así como las de los MCU y del movimiento circular uniformemente variado. Podrás observar que son muy similares. Movimiento rectilíneo y uniforme Movimiento circular uniforme. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Movimiento circular uniformemente acelerado Una partícula cuando se mueve sobre una circunferencia describe un ángulo pero también recorre un espacio sobre su trayectoria. Existe alguna relación entre ambas magnitudes? Sí y es muy sencilla de obtener. Vayamos a un caso particular. Imagina que el móvil ha dado una vuelta completa. El espacio que habrá recorrido es justo la longitud de la circunferencia, es decir: Como vemos el espacio es el producto del ángulo completo por el radio. Si en vez de haber dado una vuelta completa, hubiera dado media entonces el espacio recorrido sería: De nuevo el producto del ángulo correspondiente a media circunferencia por el radio. En el caso de que se haya batido un ángulo cualquiera, el espacio recorrido será: Esta misma relación se da entre las velocidades y las aceleraciones: En el caso de la aceleración podemos distinguir entre la tangencial y la normal:

13 Algunos derechos reservados por swisscan Un tractor se mueve con velocidad constante de 5 m/s en línea recta. 1. Qué tipo de movimiento lleva un punto de la cubierta del neumático de una de sus ruedas? 2. Si las ruedas traseras tienen un diámetro 1,60 metros, con qué velocidad angular girarán? 3. Y las ruedas delanteras si su diámetro es de 1 metro? 4. Mientras las ruedas traseras dan una vuelta, cuántas vueltas dan las ruedas delanteras?

14 5. Movimiento circular uniforme Algunos derechos reservados por The Knowles Gallery En el caso de un movimiento circular uniforme, en el que la velocidad angular no cambia, podemos definir dos magnitudes que pueden ayudarnos a describir el movimiento.

15 Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons El período es el tiempo que invierte un objeto que describe un MCU en dar una vuelta completa. Se mide en segundos y se representa por una T. La frecuencia es el número de vueltas por segundo que da un objeto que se mueve siguiendo un MCU. Se mide en ciclos por segundo o Hertzios y se representa por la letra f. Por la forma es que están definidas, período y frecuencia son una la inversa de la otra: La velocidad angular se puede expresar en función de la frecuencia y del periodo. Como el período es el tiempo que tarda un objeto en dar una vuelta, la velocidad angular de ese objeto será: Usando la relación entre frecuencia y periodo también podemos escribir que: AV - Pregunta de Elección Múltiple Determina con el simulador la velocidad angular si el periodo del movimiento es 3s y señala la respuesta correcta: 2.09 rad/s 0.69 rad/s 1 rad/s La posición de este móvil quedará perfectamente descrita si damos la distancia al eje de giro (r) y el ángulo que forma el vector de posición y eje x (su parte positiva concretamente). Este ángulo varía con el tiempo según la ecuación: En este caso particular de movimiento circular, no cambia el módulo de la velocidad, sólo lo hace su dirección y sentido. Por eso la aceleración tangencial es cero pero la normal no.

16 Algunos derechos reservados por Johan J.Ingles-Le Nobel Sabiendo que la distancia entre la Tierra y Luna es de Km y que tarda en dar una vuelta alrededor de la Tierra 27 días 7 horas y 43 minutos, calcula: 1. El período y la frecuencia de giro. 2. La velocidad angular. 3. La velocidad lineal. 4. La aceleración angular y normal. 5. El ángulo rotado durante un día. Nota: supón que el movimiento de la Luna es un MCU.