OPCIONES FINANCERAS EN TITULOS DE RENTA FIJA TES. Nicolás Vega Zajaropulos Pablo Cepero Londoño Andrés Fernando Moncada Velázquez

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1 OPCIONES FINANCERAS EN TITULOS DE RENTA FIJA TES Nicolás Vega Zajaropulos Pablo Cepero Londoño Andrés Fernando Moncada Velázquez Colegio de Estudios Superiores de Administración CESA- Administración de Empresas Bogotá 2014

2 OPCIONES FINANCERAS EN TITULOS DE RENTA FIJA TES Nicolás Vega Zajaropulos Pablo Cepero Londoño Andrés Fernando Moncada Velázquez Director: Santiago Stozitzky Trader senior de opciones en la mesa de derivados Colegio de Estudios Superiores de Administración CESA- Administración de Empresas Bogotá 2014

3 CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN OPCIONES FINANCIERAS TIPOS DE RIESGO RIESGO DE MERCADO RIESGO DE CREDITO RIESGO DE LIQUIDEZ TIPOS DE OPERACIÓN DERIVADOS DE COBERTURA INVERSION O ESPECULACIÓN ARBITRAJE DESARROLLO LA COMPOSICIÓN DE LOS MERCADO DE DERIVADOS A NIVEL G GLOBAL PARTICIPACIÓN DE LOS PRODUCTOS FINANCIEROS EN TASA DE DE INTERES INVERSION EXTRANJERA EN COLOMBIA OPCIONES SOBRE BONOS CONCLUSIONES BIBLIOGRAFIA... 23

4 LISTA DE GRAFICAS 1. Opciones Financieras La composición de los mercados derivados La composición de los mercados derivados Comportamiento de la inversión extranjera LISTA DE TABLAS 1. Distribución de productos Valor Nominal Valor Bruto Inversión Extranjera en Colombia... 20

5 1. Introducción En las últimas décadas, hablar de derivados en el mundo de las finanzas se ha convertido en un tema cada vez más cotidiano. Cada día se incrementa la cantidad operada en el mercado OTC 1 (Over-the.Counter) y esto permite que el mercado, dinámico, crezca en cuando a volumen y producto. Uno de estos mercados es el de derivados cuyo producto se puede como un instrumento financiero que tiene como base un activo subyacente, el cual fija su precio determinado en una fecha futura. Dentro de los productos de los derivados OTC encontramos los Swaps 2, Forwards 3 y Opciones 4. Estas últimas se caracterizan principalmente por atribuirle un derecho, más no una obligación, de comprar o vender un producto en el futuro a un precio pactado en el presente en contraprestación al pago de una prima. Los derivados tiene 3 razones funciones principales: cobertura, especulación o arbitraje. Las cuales se pueden negociar sobre tasas de interés, monedas y acciones, principalmente. Colombia en los últimos años ha venido consolidando su economía como una de las más importantes de la región y pasa por un momento de auge económico, el cual muchas empresas del exterior buscan aprovechar invirtiendo en el país y aumentando los flujos de capital. Esto, sin duda alguna, incrementa el volumen en las operaciones financieras y los inversionistas offshore 5 comienzan a ver el mercado Colombiano con una perspectiva 1 OTC: Un mercado donde los traders negocian por teléfono o pantallas de manera no estandarizada. Los traders son por lo general las instituciones financieras, empresas y gestores de fondos. 2 Swaps: Acuerdo de intercambio de flujos en el futuro, que responden a un preacuerdo de tasa y tiempo. 3 Forward: la obligación de comprar o vender un activo a fecha futura, a un precio pactado previamente 4 Opciones Financieras: el derecho de comprar o vender un active a fecha futura, a un precio pactado previamente y asumiendo una prima. 5 Offshore: empresas que operan fuera del países y no pertenecen al mercado local.

6 distinta. Desde luego, al incrementar los flujos de capital, la exposición a los diferentes riesgos varían y es ahí donde surge la necesidad de utilizar cada vez más los derivados. Este cambio, trae consigo la posibilidad de operar nuevos productos en el mercado financiero y permite a los derivados ganar una mayor participación en el mercado local y otorgándole una mayor relevancia respecto a los mercados tradicionales. 2. Opciones Financieras Las opciones financieras, como se mencionó anteriormente, son contratos en donde se compra o se vende el derecho (más no la obligación) de comprar o vender un activo en el futuro a un precio determinado por medio del pago de una prima. Existen dos tipos de opciones: la opción Call que le otorga al tenedor del contrato el derecho a comprar el activo subyacente en una fecha específica por un precio previamente pactado. Por el otro lado, la opción Put le ofrece al tenedor el derecho de vender este activo, también a un precio determinado en una fecha específica. En cualquiera de los dos casos, existe un precio que desde el principio es pactado y es coyuntural para ejercer o no la opción, el strike. Para dejarlo un poco más claro vamos a tomar los siguientes parámetros para el siguiente ejemplo. Existe una empresa importadora que tiene como política de pago a proveedores un plazo de 90 días. Este pago debe hacerlo en dólares (USD) y esto le genera una exposición de riesgo

7 de mercado 6, en donde existe una incertidumbre con respecto a la tasa de cambio que regirá ese día el mercado. Imaginemos ahora el siguiente escenario: La empresa importadora recibe hoy mercancía equivalente a 1,000,000 USD y la TRM 7 hoy está a 1,900 COP. Para el negocio esta tasa de cambio es favorable, pero si el dólar llegase a estar por encima de 1950, el margen comenzaría a verse afectado y poner en riesgos la utilidad esperada. Asumamos ahora que este importador, conocedor del mercado, considera que la TRM va a subir en los siguientes 3 meses y este aumento va a dejar la tasa de cambio en 2,000 COP (un precio que la estructura de su negocio no puede asumir). Es aquí donde le conviene entonces al importador tener una Opción Call (derecho de comprar) de divisas, que le permita reducir la incertidumbre y asegurar sus costos. Se firmará con una contraparte un contrato en donde se especifique que: El monto sea equivalente a 1 millón de dólares El cumplimiento sea en 3 meses El strike sea por 1950 COP Y la prima de este contrato sea de un valor X 6 Riesgo de mercado: riesgo que se produce ante el cambio en el precio de una inversión. 7 TRM: Tasa Representativa del Mercado

8 Opciones Financieras (Grafica1) Como podemos observar en la gráfica, vamos a encontrar 3 momentos en este PyG. En la parte roja podemos observar que si el precio del dólar se mantiene por debajo de 1950, el importador únicamente va a perder el valor de la prima, pero sus costos estarán por debajo de 1950 cumpliendo así el cometido de estabilizar sus flujos futuros. En el segundo momento (la parte azul de la gráfica) encontraremos que se superó el Strike, es decir que podré ejercer la opción a mi favor, pero al no ser un crecimiento tan marcado, esta ganancia que acumulo sirve únicamente para pagar la prima (de igual manera en este caso, estaré recibiendo los dólares a 1950 y cumpliendo mi cometido). Finalmente en la parte Verde de la gráfica podemos observar que la variación fue muy alta y no solamente haber comprado la opción call me genero una cobertura sobre la tasa de cambio, sino que también me permitió tener una utilidad de esta operación y definitivamente debería ejercer esta opción.

9 Este ejemplo nos permite ilustrar como una cobertura ante un tipo de riesgos de mercado, específicamente cambiario. Puede brindar beneficios y estabilidad a las empresas e inversionistas. 3. Tipos de Riesgos Cuando nos referimos a riesgos financieros, estamos hablando específicamente de la posibilidad que ocurra un evento negativo que perjudique el funcionamiento de la empresa o los flujos esperados de la inversión. Tomando como referente estos últimos, siempre que hacemos una inversión se está asumiendo un riesgo. Existen diferentes riesgos que afectan de manera distinta al inversionista y a continuación expondremos los riesgos más comunes: Riesgo de Mercado: Se refiere a una posible pérdida que puede sufrir un inversionista cuando los precios varían. Principalmente, los productos financieros dependen de la variación de los precios de tasas de interés o tipos de cambio. Riesgo de Crédito: Este riesgo se refiere básicamente a la posible perdida que se puede incurrir por el impago o incumplimiento de una contraparte. Riesgo de Liquidez: es un riesgo bastante característico de las crisis, en donde se presentan muchos vendedores pero pocos compradores y los precios tienen a bajar. Esto lleva a que los productos no líquidos deban ser vendidos a precios desfavorables para poder financiar sus activos. En cualquiera de los casos lo que se busca es administrar estos riesgos para mejorar el desempeño financiero y económico. Buscando así de evitar al máximo perdidas

10 inaceptables. Ante una evidente necesidad del mercado nacen métodos de coberturas en donde buscamos minimizar los riesgos. Tipos de Operaciones Los derivados han venido evolucionando con las necesidades del mercado y forman parte importante del mismo. Existen tres grandes factores por los cuales los derivados forman parte esencial del mercado, se pueden usar como cobertura para mitigar o eliminar los riesgos de las inversiones de otros activos, como activos de inversión basados en la especulación o como arbitraje. Derivados de cobertura: La cobertura se entiende como la reducción, mitigación o transformación de unos riegos determinados y la eliminación de la incertidumbre a través de unos productos financieros. De esta misma forma, estos productos financieros usados para la cobertura permiten gestionar los riesgos del inversor de forma separada, creando o modificando el perfil de riesgos del inversor. La cobertura también busca, que con los productos financieros, cubrir una posición que puede generar una potencial perdida por un movimiento adverso en los factores de mercados que afectan el activo en el que se está invertido. Para entender estas posibles variaciones que generan perdida o menores beneficios, tenemos que entender tres factores de riesgos en el mercado por los cuales se busca una cobertura. El primer factor es el que causa el riesgo de tipo de interés, esto nos muestra la variación del precio del activo por cambios en las tasas de interes. El riesgo en esta variable se ve efectivo para una posición abierta, es decir que el plazo del activo, o fecha de vencimiento

11 del mismo, no es acorde al plazo que tiene el pasivo con el cual se financia el mismo. Si el inversor se encuentra en una posición larga, es decir que el plazo del activo es mayor al del pasivo, y los tipos de interés aumentan, se crean perdidas, pero si los tipos de interés disminuyen se crean beneficios. Estos resultados son de forma contraria si la posición es corta. El siguiente factor se basa en el riesgo creado por el tipo de cambio, es decir que nos muestra la variaciones, pérdidas o beneficios, que puede tener el activo en el momento en que la tasa de cambio, en la que esta denominado el activo o el pasivo, cambia. En este caso, la posición larga se da en el momento en que los activos superen a los pasivos, donde una apreciación de la moneda nacional frente a la extranjera producirá una pérdida o disminución de beneficios y en el sentido contrario en caso de ser una posición corta. Por último está el riesgo por el cambio en los precios de los valores de los activos de renta variable, donde el aumento o disminución de los mismos modifica los beneficios del inversor. Después de identificar los factores por los cuales motivaría hacer una cobertura con productos financieros, debemos ver los pasos a seguir de esta. Para cualquiera de los factores de riesgo explicados anteriormente, la meta de cobertura es la misma y consiste en lograr disminuir los riesgos y la incertidumbre a través de operaciones de derivados como las opciones, swaps o los futuros. Con esto se lograra cerrar la posición previamente abierta al asegurar el precio de la operación que se realizara en el futuro para cerrar la posición. Para que esto se logre con mayor exactitud, se deben tener en cuenta: los importes, las fechas o plazos y la correlación entre la posición y el derivado. La efectividad de la cobertura depende de la correlación entre el cambio del precio del activo por el cual se hace

12 la cobertura y el cambio del precio del derivado de cobertura. Por esto es que el cambio en un mercado, ya sea por pérdida o ganancia, se ve repercutido de forma contraria en el otro mercado. Por ende en la mayoría de ocasiones se busca que el activo subyacente a la operación de cobertura sea el mismo que el activo que genera el riesgo, en caso que este no sea el mismo, se busca uno que sea similar y que cumpla con los factores ya explicados anteriormente. Este procedimiento se llevara a cabo en caso de que algunos de los riesgos mencionados se puedan cumplir. Estas son las mismas razones por la cuales se crearon los mercados principales de opciones y futuros: mercado de valores o índices bursátiles, mercado de divisas y mercado de tipos de interés. Con esto queda claro que las coberturas buscan reducir, mitigar o eliminar el riesgo y la incertidumbre que se deriva de los cambios en los precios del activo subyacente del mismo derivado y que siempre que los mercados del activo que desee cubrirse y el activo subyacente del derivado estén suficientemente integrados, pueden realizarse operaciones de cobertura para disminuir los riesgos derivados de posiciones abiertas en otros instrumentos diferentes. Derivados de inversión o especulación: A diferencia de la cobertura, la especulación se usa para obtener beneficios de capital sobre la inversión del derivado que dependerá del cambio de precios, de únicamente el mercado relacionado con el activo subyacente del mismo. Lo interesante de especular con el derivado y no especular directamente con el activo subyacente, es el hecho de que la

13 inversión inicial es muy baja, debido al apalancamiento, es decir que por invertir un peso, puedes ganar o perder sobre 12 pesos o más, teniendo un efecto multiplicador en la inversión. Aun así las posiciones en el caso de la inversión funcionan de la misma manera, un posición larga significa que el inversor tiene expectativas alcistas y por ende compra los futuros en espera que el precio del activo subyacente suba y le de beneficios económicos. Por el otro lado está la posición corta, donde el inversor tiene expectativas bajistas y está esperando que el precio del activo subyacente disminuya, pero en esta posición el inversor vende el activo para después comprarlo y cerrar su posición con ganancias. Los dos derivados más comunes para especulación son los futuros y las opciones. Los futuros permiten especular sobre un precio futuro, ya sea con una posición larga o corta, buscando una alta ganancia basada en una baja inversión. Pero como mencionamos anteriormente, dado al apalancamiento y su factor multiplicador, las altas ganancias también se pueden ver reflejadas en altas perdidas. Por otro lado están las opciones, que tienen los mismos benéficos que los futuros con la diferencia que a través de la paga de una prima, el inversor puede limitar su perdida al no ejercer el derecho de compra o venta de la opción. Con esto podemos ver que el inversor no le interesa el uso del derivado para cubrir el riesgo que tomo sobre otro activo, sino que le interesan las posibles ganancias que el derivado le puede generar por cambio en los precios del activo subyacente.

14 Arbitraje El arbitraje es la práctica que consiste en sacarle provecho a la diferencia de precios de un activo en dos mercados diferentes, por ende el arbitrajista busca comprar el activo en el mercado más barato y venderlo en el más caro. Esto lleva a que los mercados se equilibren y muestren los mismos precios. El arbitraje implica asegurar una ganancia sin riesgo mientras que al mismo tiempo se hace una transacción en dos mercados distintos. Un ejemplo para explicar esto es el mercado de las acciones, si tomamos una acción que se transa tanto en la bolsa de Nueva York como en la bolsa de Colombia, supongamos un precio de $ pesos en la bolsa de Colombia y $100 dólares en la bolsa de Nueva York. Sabemos que la tasa de cambio es de pesos por dólar, un arbitrajista puede simultáneamente comprar 100 acciones en Colombia y venderlas en Nueva York, obteniendo así una ganancia de: 100*((2.100 * 100) ) = 3,000,000 Sin tener en cuenta los costos de la transacción. Es probable que para un pequeño inversor los costos eliminen las ganancias del arbitraje, pero para los grandes inversores estos costos no son mayor problema. Como lo mencionábamos anteriormente, el arbitraje equilibra los mercados, en el momento en que los arbitrajistas empiezan a hacer estas transacciones, la demanda de las acciones en la bolsa de Colombia impulsaran la acción a un mayor precio y de forma contraria para la acción en la bolsa de Nueva York. Un ejemplo de arbitraje en el mercado de derivados puede ser explicado con los costos que trae hacer un derivado y como el arbitraje le saca provecho a la inequidad de los mercados en el precio. Normalmente se da que el precio futuro es mayor al precio spot y esto debido

15 al costo de llevar la operación a futuro, mejor llamado Costo carry. Estos costos conllevan costos financieros, de almacenamiento y de seguros. Precio futuro = Precio Spot + Costo Carry Precio Futuro Precio Spot= Costo Carry Precio Futuro Precio Spot = Base Base = Costo Carry (coste neto de financiación) Por otro lado está el precio cash and carry (PCC) que es el pecio de comprar y llevar, que en un mercado de equilibrio seria igual al precio futuro. Por ende en el momento que hay un desequilibrio entre estos dos precios, se da cavidad para el arbitraje. Ya sea un Arbitraje directo, donde el precio del futuro es mayor al precio Cash and carry, o por arbitraje inverso, donde el precio futuro es menor al precio cash and carry. Este tipo de arbitraje se puede ver en distintos derivados en el momento en que el precio de un derivado dentro de un mercado es diferente al precio del derivado que pueda crearse bajo las mismas condiciones pero encontrando diferencia en el precio dentro de otro mercado. Este proceso se puede ver de la misma forma en el momento en que el arbitraje se hace a través del activo subyacente con el que está relacionado el derivado.

16 Desarrollo La composición de los mercados de derivados a nivel global El mercado de los derivados OTC a nivel global, está incrementando de forma continua. Sí nos referimos al valor equivalente de los contratos, en términos nominales, para el segundo semestre de 2013; podemos observar en la Grafica #1 que el valor supera los 700 trillones de dólares (aproximadamente 41 veces el PIB de EEUU). Este monto, se refiere a las operaciones realizadas cuyo subyacente yace en los siguientes productos financieros: Divisas, Tasas de Interés y Acciones. Según los datos proporcionados por el BIS (Bank for International Settlements), estos productos financieros representaron en el segundo semestre de 2012 un valor equivalente, en términos nominales, a 633 trillones de dorales y 693 trillones para el primer semestre de Esto, corresponde a un aumento de 12% y 2.5%, respectivamente, si lo comparamos con los 710 trillones correspondientes al segundo trimestre de Grafica # 2 Grafica # 3

17 Como podemos observar en la gráfica de arriba, el mayor componente de los derivados OTC corresponde a los productos que tienen como subyacente las tasas de interés. El gran volumen que se deriva de este producto (584 trillones de dólares para el segundo semestre de 2013), puede ser explicado principalmente por un contexto global en el cual hay un incremento en el endeudamiento combinado con tasas en un nivel bajo. Las tasas de interés son la principal herramienta con la cual cuentan los bancos centrales para regular la economía. Dependiendo de la situación de un país, la decisión de los bancos podrán apuntar hacia mantener, subir o bajar las tasas de interés. Esto genera una exposición en los tenedores de los bonos y los obliga a buscar instrumentos financieros que bien les permita reducir la incertidumbre o aumentar los rendimientos de sus activos. Si dentro del contexto agregamos continuas crisis mundiales, nos encontramos actualmente con un escenario en el cual es posible tener muchos países aumentando su deuda y ofreciendo en sus intereses relativamente bajos. Esto llevará a una alta demanda por mantener fijas las tasas actuales y cubrirse ante las posibles subidas en el futuro. Generando así una dinámica superior respecto a eventos pasados. Cuando nos referimos a los derivados de tasas de interés, específicamente estamos hablando de las FRA 8, IRS 9 y Opciones. En la Tabla #1 podemos observar la distribución de estos productos según el volumen nominal de los contratos y el valor bruto del mercado expresado en billones de dólares: 8 FRA: Forward Rate Agreement. Acuerdo en el cual una tasa de interés será aplicada a un monto determinado en el futuro 9 IRS: Interest Rate Swap: intercambio de una tasa fija por una variable sobre un monto determinado, componiendo flujos futuros.

18 DISTRIBUCION DE PRODUCTOS - Tabla # 1 Tomado del Bank For International Settlements (BIS) Participación porcentual de los productos financieros en tasa de Interés. A. Valor Nominal - Tabla # 2 B. Valor Bruto Tabla # 3

19 Como podemos observar, a nivel global, el comportamiento tiende a ser bastante horizontal en cuanto a la participación de las opciones. Sin embargo, el crecimiento en términos nominales sigue incrementando. Basándonos en esta información, podríamos afirmar que conforme el monto que se opera en derivados aumenta, el mercado tiene una leve preferencia hacia los Swaps y esto podría ser explicado mediante algunas razones. Operar una opción implica pagar una prima Existe un mayor mercado en Swaps Desinversión en países desarrollados Eventos macroeconómicos (situación de tasas bajas en general) que ofrecen una mejor oportunidad para operar Swaps Dado que la inversión en los países desarrollados tuvo una caída en los últimos años. Los flujos de capital comenzaron a emigrar hacia países emergentes, entre estos, Colombia. Desde luego, esto genera impactos en la forma de invertir dentro de un pais y de cómo se compone la inversión extranjera de éste.

20 Inversión Extranjera en Colombia Inversión Extranjera en Colombia - Tabla # 4 Tomado del International Monetary Fund World Economic Outlook La presencia de inversionistas extranjeros en Colombia en los dos ultimos años ha venido aumentando de manera sostenida. Esto responde a un desgaste en las potencias economicas y unos resultados no muy convincentes en paises emergentes de otras regiones. Este aumento, puntualmente, se ha dado en contraposicion a la perdida de participacion de otros agentes locales y principales tenedores de titulos TES, los bancos comerciales. Adicionalmente, la inversion extranjera tuvo un aumento acelerado y muy marcado en marzo de este año, cuando el indice de bonos globales para la referencia de mercados emergentes de JP Morgan, publicara un aumento notable en la participacion de Colombia en este indice. Permitiendo asi, que no solo inversionistas extranjeros, sino tambien fondos de pensiones, aumentaran su participacion en la posicion de bonos locales, TES.

21 A continuacion podemos observar como lo mencionado en parrafos anteriores, se evidencia en la Grafica # 3, en donde no solo se observa un aumento notable en los fondos de capital extranjero y los fondos de pension. Sino que tambien se puede evidenciar la caida en la participacion de los bancos comerciales. Comportamiento de la inversión extranjera Grafica #4 Comportamiento de la inversión extranjera Al tener un aumento en el fondo de capital extranjero, se generan beneficios como: mayor dinamismo en el mercado y se podria llegar incluso a asumir que se percibe mayor estabilidad al tener mayores participantes en el mercado. Sin embargo, este aumento en la inversion conlleva a unos costos, los cuales responden a un aumento en la exposicion del sistema financiero a una posible salida de flujos.

22 Es aquí donde surge una necesidad de cobertura por medio de los tenedores de los titulos de renta fija, TES. Ya que les permita suavizar el movimiento acelerado de los flujos extranjeros, reduciendo la incertidumbre y buscando obtener el mayor beneficio ante un escenario de alta volatilidad. CONCLUSIONES El presente trabajo tiene como objetivo realizar una descripción del mercado de derivados a nivel global. Una vez realizada la descripción, plantea una propuesta de evolución en la dinámica del mercado local, la cual busca demostrar que el mercado colombiano se encuentra en las condiciones apropiadas para operar opciones financieras sobre títulos de renta fija TES. Las opciones sobre títulos de renta fija ofrecen lo mismo beneficios que las opciones aplicadas a los riesgos cambiarios o de moneda que expusimos anteriormente, con la única diferencia que el activo subyacente deja de ser una divisa y se convierte en un bono de estado, en este caso un TES. Existen unas particularidades adicionales en estas opciones, puesto que al tener el activo subyacente una fecha de vencimiento definida, estas opciones deberán tener una fecha de cumplimiento previa al vencimiento de los TES. Colombia es un mercado con alta influencia macroeconómica y estabilidad en sus políticas de política monetaria. Esta confianza es la que genera que en los últimos años las inversiones extranjeras vengan incrementando de forma constante, gracias a esto, la posibilidad de operar nuevos productos financieros dentro del mercado de capitales, como opciones financieras o un mercado de renta fija.

23 4. BIBLIOGRAFIA Bolsa de valores de colombia Disponible en línea: Consultado, octubre 15 del 2014 Biblioteca virtual Luis ángel Arango. Disponible en línea: Economia. Consultado, octubre 15 del 2014 Farshid Jamshidian and Yu Zhu, Replication of an Option on a Bond Portfolio, Review of Futures Markets, Vol. 9 No.1, 1990, PP Discussion, by Theodore Day and Jay Feuerstein, PP George Benston and Shehzad Mian, Financial Reporting of Derivatives: An Analysis of the Issues, Evaluation of Proposals, and Suggested Solution, Journal of Financial Engineering, September 1995, pp John Hull and Alan White, Bond option pricing based on a model for the evolution of bind prices, Advances in futures and options research, Vol.6, 1992, pp.1-14 John Marshall, Derivatives and Risk Management, Journal of financial Engineering, September 1995, pp

24 Martyn Turner, Break-Even Analysis of Knock-out options, Corporate Finance, September 1993,pp Paul Wilmott on Quantitative Finance.2014 Disponible en línea: +%28R,T;TB%29+FOR+THE+VALUE+OF+THE+BOND&source=bl&ots=sKngnkgg2H &sig=fwek29mdojwibf6wngmtb0m3yd0&hl=es- 419&sa=X&ei=011vVMeOJcuhgwSz_YLwAw&ved=0CBsQ6AEwAA#v=onepage&q&f =false. Consultado, octubre 15 del 2014 Robin Brenner and Robert Jarrow, A simple Formula for options on Discount Bonds, Advances in futures and options Research, Vol. 6, 1992, pp

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