I. Distribuciones discretas

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1 Probabilidades y Estadística (M) Funciones de densidad o probabilidad puntual, esperanzas, varianzas y funciones características de las variables aleatorias más frecuentes I. Distribuciones discretas Distribución Binomial Bi(n, p) µ n p X (k) = p k ( p) n k k k =,,...,n y <p< E (X) = np var (X) = np( p) ϕ X (t) = +p e it n Un caso particular de la distribución binomial es cuando n =. Esta distribución suele denominarse Bernoulli de parámetro p, Be (p) =Bi(, p). Distribución Geométrica Ge(p) p X (k) =p ( p) k si k =,,... y <p< E (X) = p var (X) = p p Distribución Binomial Negativa (o de Pascal) BN(r, p) µ k p X (k) = p r ( p) k r k = r, r +,... y <p< r E (X) = r p var (X) = r( p) p La distribución geométrica es un caso particular de la distribución binomial negativa: Ge(p) = BN(,p). Distribución Poisson P(λ) p X (k) = λk k! e λ si k =,,,... y λ> E (X) = λ var (X) = λ ϕ X (t) = e λ(ep(it) )

2 Distribución Hipergeométrica H (N,r,m) N : total poblacional r : cantidad de buenos en la población m : cantidad de elementos etra ídos (tamaño de la muestra) µ µ r N r p X (k) = k m k µ N si k es entero con ma(r + m N,) k min (r, m) m E (X) = m r N var (X) = m r N II. Distribuciones continuas Distribución Normal N(µ, σ ) (N r) (N m) N (N ) f X () = σ π e ( µ) /σ con σ>o E (X) = µ var (X) = σ ϕ X (t) = e itµ e (σt) / La distribución Normal estándar corresponde a la elección de parámetros N(, ). y Densidad de la normal estándar Distribución Gama Γ (α, λ) f X () = λα Γ (α) α e λ I (,+ ) () con λ>, α>

3 E (X) = α λ var (X) = α λ ϕ X (t) = it λ Recordemos que el s ímbolo Γ (α) representa a la función gama que se define por Γ (y) = Satisface las siguientes propiedades: Z α y e d si y> Γ () = Γ (α) = (α ) Γ (α ) Γ (n) = (n )! para n =,, 3,... Γ (/) = π En el gráfico siguiente figuran las funciones de densidad de la gama para distintos valores de los parámetros: la función de la l ínea fina corresponde a α =3, λ =3, la de l ínea sólida de grosor intermedio corresponde a α =, λ =, y la de l ínea punteada corresponde a α =5,λ=. Con l ínea punteada están las esperanzas en cada caso. y Densidad de la gama Distribución Eponencial Ep(λ) f X () =λe λ I (,+ ) () con λ> E (X) = λ var (X) = λ ϕ X (t) = λ λ it 3

4 y Densidad Eponencial con λ =/5 La distribución eponencial es un caso particular de la distribución gama: Ep(λ) = Γ (,λ). Distribución Beta β (a, b) f X () = Γ (a + b) Γ (a) Γ (b) a ( ) b I (,) () con a, b > E (X) = var (X) = a a + b ab (a + b) (a + b +) En el gráfico siguiente figuran las funciones de densidad de la betaparadistintosvaloresde los parámetros: la función de la l ínea fina corresponde a a =3, b =6, la de l ínea sólida de grosor intermedio corresponde a a =, b =, y la de l ínea punteada corresponde a a =,b=3. Con l ínea punteada están las esperanzas en cada caso. y Densidad de la beta Distribución Uniforme U [a, b] f() = b a I [a,b] () 4

5 E (X) = a + b (b a) var (X) = ϕ X (t) = eitb e ita i (b a) t La distribución uniforme en el (, ) es un caso particular de la distribución beta: U [, ] = β (, ). Distribución T de Student con n grados de libertad t n f X () = Γ((n +)/) Γ(n/) πn (n+)/ µ+ n E (X) = n n var (X) = n> n Distribución Chi cuadrado con n grados de libertad χ n = χ (n) La distribución Chi cuadrado con n grados de libertad es un caso particular de la distribución gama: χ n = Γ n, (n N). E (X) = n var (X) = n Distribución F de Snedecor con n y m grados de libertad F n,m f X () = Distribución de Cauchy C (,λ) Γ((m + n)/) ³ n n/ ³ (n/) + n (n+m)/ I(, ) (). Γ(n/)Γ(m/) m m f X () = λ π λ λ> + ϕ X (t) = e λ t La esperanza de esta distribución no está definida pues R + f X ()d =+. La distribución Cauchy C (, ) coincide con la distribución T de Student de un grado de libertad, C (, ) = t. 5

6 III. Propiedades - X Bi(n, p), Y Bi(m, p) independientes X + Y Bi(n + m, p). Más aún X = P n i= W i con W i Bi(,p) independientes. - X Ge(p), Y Ge(p) independientes X + Y BN(,p). Más aún, si W BN(r, p) eisten W i Ge(p) independientes tales que W = P r i= W i. - X P(λ ),Y P(λ ) independientes X + Y P(λ + λ ). - Bi(n, p) P(λ) con λ = np y p<<. - H (N,r,m) Bi m, r N cuando N es muy grande, y m<<n. - X Γ (α,λ),x Γ (α,λ) independientes Y = X + X Γ (α + α,λ) yes X independiente de Y = β (α,α ). X + X - X Γ (α, λ),c R cx Γ α, λ c. - X N(µ, σ ), a,b R ax + b N(aµ + b, a σ ). En particular, (X µ) σ N (, ). Esta transformación se conoce como estandarización de la normal. - X N(µ,σ ), Y N(µ,σ ) independientes, a, b, c R ax + by + c N(aµ + bµ + c, a σ + b σ ). -SeaZ N(, ),X χ (n) y X χ (m), variables aleatorias independientes. Entonces U = Z p X /n t n V = X /n X /m F n,m -SeaX χ (n), entonces eisten Z,...,Z n N(, ) independientes tales que X = Z + + Z n. En particular, Z χ (). -SeanX N(, ) y X N(, ), variables aleatorias independientes. Entonces V = X X t = C (, ) -SeanX C (,λ ) y X C (,λ ), variables aleatorias independientes. Entonces X + X C (,λ + λ ) y ax C (,aλ ), a R. 6