Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre.

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1 Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre. EstadísTICa Curso Primero Graduado en Geomática y Topografía Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía. Universidad Politécnica de Madrid Capítulo III DISTRIBUCIONES DISCRETAS Manuel Barrero Ripoll. Mª Ángeles Castejón Solanas. Mª Luisa Casado Fuente. Luis Sebastián Lorente. Departamento de Ingeniería Topográfica y Cartografía Universidad Politécnica de Madrid

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3 III. DISTRIBUCIONES DISCRETAS 3. Distribución uniforme discreta 4 3. Experimento de Bernouilli. Distribución binomial. B(n, p) Propiedades de la variable aleatoria B(n, p) 3.. Características de las variables binomiales 3.3 Distribución de Poisson. P(λ ) Propiedades de la variable aleatoria P(λ) 3-III

4 3. Distribución uniforme discreta. Una variable aleatoria discreta que toma todos sus valores se dice que tiene una distribución uniforme discreta. x, x,..., x con igual probabilidad, La función de probabilidad de una variable aleatoria uniforme discreta está dada por f(x) = con x = x, x,..., x siendo >0, y xi x j para i j La media y varianza de la distribución uniforme es μ= y i i= x σ = (x ). i μ i= En el caso particular de que x i =i (los valores son enteros consecutivos), y la función de probabilidad se transforma en: f(x) = para x=,,, siendo en este caso la media y varianza: + μ= y σ =. Ejemplo. El temario para un examen consta de 35 temas, de los cuales se elegirá uno al azar. Si un alumno no ha estudiado los 0 últimos temas Cuál es la probabilidad de que el alumno sepa el tema elegido para el examen? Hallar la media y varianza. Sea X la variable aleatoria que representa el número de tema seleccionado para el examen, como todos los temas tienen la misma probabilidad de ser seleccionado, X sigue una distribución uniforme de parámetros a= y b=35. El alumno aprueba el examen si le toca un tema del al 5; así pues: = = P X 5 = = 0.748, por i= tanto, el alumno tiene una probabilidad de de saber el tema del examen. - La probabilidad de salir el tema es P( X ) - La probabilidad de salir un tema estudiado es ( ) - La media y varianza son los valores 35 + μ = = 8 35 y σ = = Experimento de Bernouilli. Distribución Binomial. B(n, p). Consideremos un experimento aleatorio que solo admite dos resultados excluyentes, A y A, uno de ellos es denominado A=éxito y el otro A =fracaso. La probabilidad de éxito se designa por P(A)=p, por consiguiente, la probabilidad de fracaso es P( A) = p= q. lu_seb.topografia.upm.es 4-III

5 III. DISTRIBUCIONES DISCRETAS Supongamos que se realizan n pruebas sucesivas e independientes tales que la probabilidad de que ocurra A permanece constante a lo largo del experimento (experimento de Bernouilli). A la variable aleatoria discreta X= número de veces que ocurre el suceso A (éxito) en las n pruebas se la denomina variable binomial de parámetros n y p B(n,p). Para calcular la distribución de probabilidad, fijamos en primer lugar que el suceso favorable A (éxito) se obtenga veces y el suceso A, n- veces en este orden: ) n ) con probabilidad: p...p.q... q = n p.q por ser sucesos independientes. ) n ) A A... A A A... A, En segundo lugar, contamos el número de ordenaciones distintas que podemos hacer con los n elementos, donde A se repite veces y A, n- veces, esto es n n! =! (n )! por tanto n n P( X= ) = p q =0,,,,n Esta expresión recibe el nombre de función de probabilidad de la variable binomial de parámetros n, p y se designa por B(n, p). Fx n = pq x La función de distribución correspondiente es ( ) n Con la función de EXCEL DISTR.BINOM podemos obtener las probabilidades anteriores. B(n, p) P(X=x) P( X x) = F(x) DISTR.BINOM(x;n;p;0) DISTR.BINOM(x;n;p;) 3.. Propiedades de la variable B(n, p). Una distribución binomial: - Queda caracterizada cuando se conocen los parámetros n y p, se escribe B(n, p). - Su media y varianza son EX [ ] μ= = npy V[X]=n p q respectivamente. - Si tenemos s variables aleatorias independientes entre sí, todas ellas con distribución Xi Bi( n i,p), entonces la variable aleatoria Y= X i tiene una distribución Y B ni,p. Es decir, la suma de s variables aleatorias binomiales i=...s independientes entre sí, y todas ellas con igual probabilidad de éxito, resulta ser otra manuel.barrero@topografia.upm.es 5-III i=...s

6 variable binomial, con la misma probabilidad de éxito y número de pruebas la suma de las s pruebas. 3.. Características de las variables binomiales. Algunas distribuciones de probabilidad se ajustan a un modelo matemático. Conocido el modelo, podemos escribir directamente las probabilidades de esas distribuciones. Si se observa que una variable estadística, obtenida experimentalmente a partir de una muestra, satisface las condiciones que conducen a una distribución binomial, tendrá una distribución empírica que se aproximará a una distribución binomial teórica. El problema radica en determinar si nos encontramos efectivamente frente a una distribución binomial, y si es así cuáles son los parámetros de la distribución binomial que mejor se ajusta. Algunas características que definen a una variable aleatoria binomial son: El experimento consiste en n pruebas idénticas e independientes. Cada prueba tiene únicamente dos posibles resultados A (éxito) y A (fracaso). P(A)=p y P( A )=-p=q que se mantiene constante a lo largo del experimento. La variable aleatoria binomial X es el número de éxitos en las n pruebas. Se demuestra que la distribución binomial que mejor se ajusta es la que tiene la misma media. Para ello calculamos la media muestral X y la hacemos coincidir con X la de la población n.p X, de donde p siendo n el número de elementos de n X la muestra. Por tanto, ajustamos la distribución binomial Bn,. n Ejemplo. Un dado se lanza siete veces; en un lanzamiento llamamos éxito si sale un múltiplo de tres. Calcular: a) La probabilidad de que un múltiplo de tres salga 4 veces exactamente (o sea, =4). b) La probabilidad de que no salga un múltiplo de tres (o sea, todos fracasos). c) La probabilidad de que como máximo salgan cuatro veces un múltiplo de tres. d) El número esperado y la desviación típica del número de veces que se obtiene un múltiplo de tres en siete lanzamientos. Primeramente, observamos que tenemos una distribución Binomial, cuya variable aleatoria es el número de veces que sale múltiplo de tres al lanzar un dado siete veces, esto es B7, 3 siendo n=7=número de lanzamientos, p= 3 la probabilidad de que salga múltiplo de tres. a) P(X 4) III

7 III DISTRIBUCIONES DISCRETAS b) P(X 0) c) P(X 4) F4 = 3 d) EX n.p r 7 p.q r nr 7 = r4r r0 r. 3 3 r 4 VX n.p.q Distribución de Poisson. P( ) Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson de parámetro, si toma los valores naturales 0,,..., n con probabilidad: P(X ) e si >0.! La función de distribución correspondiente es: F(X x) e.! x Mediante EXCEL obtenemos las probabilidades anteriores con la función POISSON P(λ) P(X=x) PXx F(x) =POISSON(x;λ;0) =POISSON(;λ;) 3.3. Propiedades de la variable P(). Una distribución de Poisson: Queda caracterizada cuando se conoce el parámetro y se escribe P(). Su media es: EX Su varianza es: = V[X]= Si en la distribución binomial B(n,p) n es muy grande y p muy pequeña se puede aproximar mediante la distribución de Poisson, haciendo n.p =. En general es una buena aproximación de la distribución binomial para valores de n 50y p 0. ó n p 5. Si tenemos s variables aleatorias independientes entre sí, todas ellas con distribución X P, entonces la variable aleatoria Y Xi tiene una distribución i i i YP i...s i...s i. Es decir, la suma de s variables aleatorias de Poisson independientes entre sí y cada una de ellas con su parámetro i, resulta ser otra variable de Poisson con parámetro dado por la suma de los s parámetros i. Universidad Politécnica de Madrid manuel.barrero@topografia.upm.es 7-III

8 Es una distribución que se presenta cuando tenemos una población n grande y la probabilidad de que ocurra un suceso determinado, tiene una probabilidad muy pequeña (ley de casos raros). Ejemplo. El director de una compañía de alquiler de coches compra neumáticos en lotes de 000 para aprovechar los descuentos ofrecidos por compras al por mayor. Por experiencias anteriores, se sabe que el % de los neumáticos adquiridos salen defectuosos y se deben reemplazar al primer mes de uso. Calcular la probabilidad de que en un lote de 000 neumáticos: a) Haya solamente dos defectuosos. b) No haya defectuosos. c) No haya más de cuatro defectuosos. Sea la variable aleatoria X= número de neumáticos defectuosos en el lote de mil neumáticos. El número de neumáticos existentes en el lote es de 000, así pues n=000. El % de los neumáticos salen defectuosos, por tanto, p=0.0. Así pues el número medio de neumáticos defectuosos es n p= =0=λ, entonces X sigue una distribución de Poisson de parámetro λ=0. Nos piden: a) b) c) 0 0 P(X = ) = e 0.007,! resultado obtenido con la función POISSON(;0;0) P(X = 0) = e , 0! resultado obtenido con la función POISSON(;0;0). F4 () = P(X 4) = P(X = 0) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 3) + P(X = 4) , resultado obtenido con la función POISSON(4;0;). 8-III