D I F E R E N C I A L

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1 D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil y, cuy notción es dy = f (). Como el incremento de l vrile independiente es igul su diferencil tenemos que = d, entonces dy = f () d Oservndo l figur vemos que y dy = µ = ε = εd 0 más rápido que dy en l medid que = d 0 (por ser un infinitésimo de orden superior) Definición: L diferencil de un función en un punto es el incremento de l ordend de l tngente en ese punto. Por lo tnto l vrición de un función se puede epresr como el producto de su derivd en el punto por vrición de su vrile independiente en dicho punto. Ejemplo: Ddo un prism recto de se rectngulr de dimensiones: lrgo: 4 +, ncho: y ltur: +5. Clculr cuánto vrí su volumen cundo vrí en 0,0. V() = (4 +) () ( + 5) = V () = dv = V () d = ( ) 0,0 Pr fijr ides, si el vlor de fuer originlmente 5, el volumen serí V(5) = 4950 Ahor incrementmos en 0,0 = 5, por lo tnto el umento de volumen será dv = V (5) 0,0 = 5,5 Esto quiere decir que el volumen umentó en 5,5 V(5,0) 4975,5 (4975,54) Cunto más pequeño se el incremento de, más ecto será el vlor del incremento dy clculdo. (error de proimción) 55

2 INTEGRALES Durnte el curso hemos visto que dd un función f podemos encontrr su derivd f, en cmio hst hor no nos hemos preguntdo cuál es l función F cuy derivd es f. Dich función F es l primitiv de f o se que se cumple que F = f. Si ien encontrr l derivd de un función es un proceso sencillo, no sí lo es el proceso inverso l que llmremos integrción. Ejemplo: si f() = F() = + C donde C es un constnte. (compruee derivndo F ) NOTACIÓN d = F() = + C (integrl indefinid) L constnte C puede determinrse si se conocen dtos complementrios, pues vemos que culquier se el vlor de l constnte, si derivmos l función primitiv otenemos l función integrndo. d es lo que llmremos diferencil y epres l vrile con respecto l cuál se integr. Ejemplo: ) y d = y + C sin emrgo y dy = y + C ) + y + d = + y + + C + y + dy = y + y + y + C OBSERVACIÓN: recordndo que dy d = y' dy = y' d si integrmos mos miemros de l iguldd tendremos dy y' d y + C = y + C y = Asumiremos como válids ls siguientes propieddes: ) k u d = k u d (k = constnte) u + vd = u d + vd ) ) ' vd uv u v' u = d (integrción por prtes) = y Ejemplo: + = + = + 5 d d 5 d d 5 d = C'' siendo C = C + C (propieddes y ) + C C' = L ( )d =.L( )d = L( ). d = L( ) + C (propiedd ) 56

3 Nociones sore Integrl definid Deo clrr que lo hremos en form intuitiv y nos permitiremos lguns liertdes con el fin de fcilitr su comprensión. Nos proponemos clculr el áre jo l curv f, el eje horizontl y desde hst. O se el áre del trpezoide (, 0) (, f()) (, f()) (, 0) l que llmremos A Como no eiste ningun fórmul sencill que pued clculrl optmos por hcer un prtición del intervlo [,] en n intervlos igules (pr hcerlo más sencillo) y hllr el áre de ls fjs como l y sumrls. Nuevmente nos encontrmos que no eiste un fórmul sencill pr dicho cálculo. Sin emrgo vemos que podemos clculr el áre de rectángulos como el, f( i ) (áre por defecto) o de rectángulos como el, f( i + ) (áre por eceso). El áre uscd estrí comprendid entre l sum de ls áres de los rectángulos por defecto ( l que llmremos s) y l sum de ls áres de los rectángulos por eceso ( l que llmremos S). O se s < A < S. Con un poco de imginción intentremos chicr l intervlo (como se ve en l figur de l izquierd), podemos oservr que l diferenci de áres entre los rectángulos por defecto y por eceso v disminuyendo y cundo 0. O lo que es lo mismo decir: s A y S A cundo 0. Puede pensrse entonces que si l se fuer infinitmente fin tendrímos que s = A = S, que es lo que estmos uscndo. Si llmmos d (diferencil ) (se) y f() l ltur de cd rectángulo (infinitmente fino) y summos dichs áres otenemos l epresión: 57

4 + f ( ) = f ( ) i i Y se clcul como: f ( ) d = F( ) d = áre del trpezoide = integrl definid de f entre y = F() F() (regl de Brrow) siendo F l primitiv de f. L integrción se llm definid cundo se epres en qué intervlo se integr y represent l áre jo l curv (número rel). Es importnte oservr que l integrl definid es un número rel diferenci de l integrl indefinid o primitiv que es un función. Ejemplo : Clculremos el áre jo l rect y = y el eje o en el intervlo [,] B A Si plicmos nuestros conocimientos de integrl definid podemos escriir: d = + C 9 = 4 = F() F() = Otr mner de otener el resultdo es usndo fórmuls sencills (cos que en grl. no sucede) pr verificr el resultdo otenido. En este cso el áre jo l curv es A + B, donde B = y A = ½( ) A + B = 4 como y vimos. Ejemplo : Clculremos el áre jo l práol dd y el eje o en el intervlo [0,] Se f: f() = Clculmos por lo tnto l primitiv de f() F() = hllmos F(0) =C y F() = /+C + C y Hcemos F() F(0) = / es el áre uscd. O directmente escriimos 0 d = 0 = 0 = 58

5 Ejemplo : Clculremos el áre somred, comprendid entre ls curvs: f() = + y f() = Pr ello será necesrio hllr ls sciss de los puntos de corte y de ls misms. Hcemos + = = 0 Resolviendo l ecuciones tenemos que: 5 = + 5 = Hllremos el áre jo l rect [] y le restremos el áre jo l práol [] en [,], oteniendo sí el áre uscd. [] [] + d d = + + d = C 5, ( 0, 4) =, 85 59

6 COMPLEMENTO PARA SERIES DE TERMINOS POSITIVOS Teorem (Criterio integrl de Cuchy) f monóton decreciente en [,+ ), demás primitiv de f en [,+ ) + ) n C lim F( ) = R + lim + + f ( ) = 0 +, n = f(n) y F es l ) n D lim F() = + + Demostrción: En cd intervlo (n, n+) podemos plicr Lgrnge F, porque es derivle y por lo F( n + ) F( n) tnto continu, entonces c n (n, n+) / = F '( c n ) = f(c n ) n + n Pero f(n+) f(c n ) f(n) pues f es monóton decreciente; podemos escriimos ls siguientes desigulddes: = f() F() F() f() = = f() F() F() f() = n+ = f(n+) F(n+) F(n) f(n) = n Si summos miemro miemro ls desigulddes nteriores y recordndo que A n es l reducid de l serie: A n+ F(n+) F() A n Teniendo en cuent ests desigulddes demostrremos el teorem. + n ) ( ) C n N A n k F(n+) F() k F(n+) k + F() Ddo, como (n+) +, n 0 / n+, demás F es monóton creciente estrict por tener derivd positiv entonces F() F(n+) k + F() Por lo tnto F es monóton creciente y cotd superiormente en [,+ ) tiene límite finito en + (su etremo superior). ( ) lim F( ) = R F(n+) + n n 0, F(n+) + por lo tnto n n 0 A n+ F(n+) F() F() o se que A n+ F() + y como A n+ es monóton creciente y cotd superiormente, tiene límite finito. ) ( ) (A n+ ) + p/c k >0 n 0 N / n n 0, A n+ > k. Como F(n+) A n+ + F() > k + F() > k Eligiendo k decudmente se prue que F(n+) +, como F es monóton creciente y tiene límite en +, dicho límite no puede ser finito porque entonces el límite de F(n+) serí finito. ( ) F(n+) + n n 0, F(n+) > k + F() A n F(n+) F() > k y esto quiere decir que (A n ) + 60

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