SERIE # 3 CÁLCULO VECTORIAL

Transcripción

1 SERIE # 3 ÁLULO VETORIAL

2 ÁLULO VETORIAL Página 1 1) Sea el campo vectoial F (x,y,)=( 3x+ y)i+( x+ y ) j ( x) k. alcula lago de la cuva : 4 5 x = + y y =, del punto A ( 3, 1, 1) al punto B ( 3, 1, -1). F d a lo ) Sea el campo de fueas F (x,y,)=( 3x+ y )i+( x - ) j ( ax) k. alcula el valo de la constante a de modo que F d evaluada del punto A ( 1, 1, 0) al punto B (, 1, 4) a lo lago de la ecta que los une sea igual a ) Sea el campo vectoial tayectoia del plano XY dada po (4 ) 3 F ( x, y, )= x i + y j y k. alcula F d x, del punto A (0,0,0) al punto B (,,0). a lo lago de la 4) alcula c F d, donde F es el campo vectoial F x, y, y i x e j 1 y e k y es la cicunfeencia x 1 y 9 F d 0

3 ÁLULO VETORIAL Página 5) alcula y dx x dy donde es la elipse x=a cost, y = b sent, ecoida en sentido positivo. ab 6) alcula la integal de línea I (3 x y) dx ( x 5 y) dy x= cost ; y = sent ; 0 t. sobe la cicunfeencia de ecuaciones 7) alcula F d, paa el campo vectoial x cos t y 3sent cuva : t0, SOLUION F d F( x, y) ( xy x )i ( x y x y )j y la, ecoida en sentido negativo. 8) alcula F d, paa el campo vectoial x 3cos t y sent cuva : t0, 3 3 F( x, y) ( x xy )i ( y x y x)j y la, ecoida en sentido negativo. SOLUION F d 1 9) alcula c F d paa el campo vectoial F( x, y, ) ( x y 4 ) i (x 3 y ) j (4x y ) k y la tayectoia fomada po los segmentos de ecta que unen al punto A(0,0,0) con B(1,0,0), B con (1,0,1) y con D(1,1,1).

4 ÁLULO VETORIAL Página 3 c F d 5 10) Paa el campo vectoial F y las tayectoias 1,, 3 y 4 que se muestan en la figua, indica si el valo de espuesta. F d sobe cada una de las cuvas es positivo o es negativo. Justifica su A citeio del pofeso. 11) alcula figua: c x y x dx dy, donde es el aco de cicunfeencia que se muesta en la c 0

5 ÁLULO VETORIAL 1) alcula c Página 4 x y dx y dy, donde es la tayectoia que se muesta en la figua: 18 c 13) alcula el tabajo que ealia el campo de la fuea patícula a lo lago de la tayectoia mostada en la figua. F (x,y)=(x y)i+(y) j, al move la 5 3 u.t. 3 14) alcula el tabajo que ealia el campo de fueas F (x,y)=(4xy )i+(y+x ) j al move una patícula del punto (, 0) al punto (, 0), a lo lago de la tayectoia mostada en la figua. omente el esultado.

6 ÁLULO VETORIAL Página 5 0; omentaio a citeio del pofeso. -y x 15) alcula el tabajo que ealia el campo de fueas F (x,y)= -e i+e j, cuando una patícula se mueve a lo lago de la cuva de ecuaciones; x 3 ln t, y ln t, paa 1t u.t. 16) Evalua el tabajo ealiado po el campo F (x,y)= yi+(y+1- x ) j a lo lago de la tayectoia c, que consiste en los segmentos de ecta que unen los puntos (5, 1) con (5, ) y luego (5, ) con (0, ). 161 u.t. 17) alcula el tabajo que desaolla el campo de fueas F = i+( x+6) k paa move una patícula a lo lago de la cuva : 3 u.t. x + x + y + = y del punto A (1, 1, 0) al punto B (0, 1, 1).

7 ÁLULO VETORIAL Página 6 18) alcula el tabajo que efectúa el campo de fueas F( x, y, )= i+3x j+x k sobe una patícula que se desplaa del punto P (0, 0, 0) al punto Q (3,, 1) sobe la cuva : x = 0 y 0 3 u.t. 19) alcula el tabajo ealiado po el campo: -y -x - -y x - F(x, y,)=(e - e )i+(e - xe )j +(e - ye )k al desplaa una paticula desde el punto A (0, 0, 0) hasta el punto B (1, 1, 1), a lo lago de la cuva cuya ecuación vectoial es 3 (t)= ( t ) i+( t ) j +( t ) k. 3 e u.t. 0) alcula el tabajo efectuado paa desplaa una patícula en el campo de fueas epesentado po F(x,y,)=(x)i+(y)j+()k, a lo lago de la cuva de ecuaciones x= 5cost, y = - 5cost, = 5sent, desde el punto paa el cual t = 0 hasta el punto deteminado po t=. Explique el poqué del esultado. 0 u.t. Explicación a citeio del pofeso. 1) alcula el tabajo que ealia el campo de fueas F(x,y,)=(3y)i -(4)j+(6x)k cuando una patícula se desplaa a lo lago de la elipse de ecuaciones 4x +9y = 36 4, del punto A(3, 0, 4) al punto B(0,, 4), siguiendo un sentido de ecoido contaio al de las manecillas del eloj. 9 3 u.t.

8 ÁLULO VETORIAL Página 7 3 ) alcula el tabajo que ealia el campo de fueas F (x,y)=(x +y)i+(y +4x) j al move una patícula a lo lago de la tayectoia ceada mostada en la figua. 6 u.t. 3) alcula el tabajo que ealia el campo de fueas F=(x)i+(xy) j ( y) k cuando una patícula se desplaa a lo lago de la tayectoia ceada definida po la intesección de las supeficies = 4 - x, x=0, = 0, y = - 3, y = u.t. 4) Sea el campo vectoial cuya ecuación es: e y e x F ( x, y, ) = i+ j ( e ang tan xy) k alcula F d 1x y 1x y a lo lago de una vuelta completa a la cuva de ecuaciones 0. x + = 16, x+ y+ = 10. 5) alcula el tabajo que ealia el campo de fueas F ( x, y, ) =(cosy - y senx - ) i+(-x seny+y cosx - ) j (1 x) k

9 ÁLULO VETORIAL Página 8 al move una patícula a lo lago de la cuva : B ( -,, 1). y = - x y = sen del punto A (0,0,0) al punto 1 6) Sea el campo consevativo x v= x i+(4 sen y - sec y) j tan y k. Detemina su coespondiente función potencial. x ( x, y, ) x 4cos y tan y. 7) Sea el campo vectoial F( x, y, ) ( x y ) i ( x 3 y ) j (4x y ) k donde, β,. a) Detemina los valoes de, β, paa los cuales F es consevativo. b) Obtene una función potencial del campo consevativo F. a) 4, 1,. b) x 3y f ( x, y, ) xy 4x y c 8) Detemina si el campo cuya ecuación en coodenadas polaes es F (, ) = sen( )e cos( )e tiene función potencial, en caso afimativo, calcula la difeencia de potencial ente el polo y el punto A cuyas coodenadas catesianas son (1, 1). 1 u.t.

10 ÁLULO VETORIAL 9) alcula el valo de F d -y x donde F (x, y) = i+ j. x y x y Página 9 a lo lago de la cicunfeencia de adio 1 con cento en el oigen, 30) alcula ecuación 0. F d siendo F (, ) = 6 sen( )eˆ 6 cos( )eˆ y la cicunfeencia de x - 4y+ y = 0. 31) alcula el tabajo efectuado po el campo de fueas F (, ) = eˆ ˆ e,dado en coodenadas polaes, al desplaa una patícula a lo lago de la cuva : x +4y = 4 desde el punto A (,0) hasta el punto B ( 0, 1), dados en coodenadas catesianas. u.t. 3) alcula el tabajo que efectúa el campo de fueas F,, sen e cos e sen e en el movimiento de una patícula desde el punto A,, 1 4 hasta el punto 3 B,, 1 4 a lo lago de la cuva : 1 Todos los datos están dados en coodenadas cilíndicas ciculaes. 4 u. de t.

11 ÁLULO VETORIAL Página 10 33) Sea F el campo vectoial cuya ecuación en coodenadas polaes es B F (, ) =(- sen )e ˆ ( cos ˆ )e. alcula F d a lo lago de la cuva de ecuación A x + y - 4x = 0 del punto A (0,0) al punto B ( 4, 0) paa y ) Sea el campo vectoial V cuya ecuación en coodenadas cilíndicas es 3 3 V (,, ) = 8 eˆ 8 eˆ 1 eˆ, calcula V d a lo lago de una vuelta completa a la cuva de ecuaciones 0 u.t. x + = 5, x+ y+ = ) El campo vectoial F en coodenadas cilíndicas está dado po: 3 3 F (,, ) = ( sen) e (cos ) e 3 ( sen ) e alcula el tabajo que desaolla el campo F al move una patícula del punto A1,,1 al punto B (, 0, -1), a lo lago de la ecta que los une. Los puntos están dados en coodenadas cilíndicas. -1 u.t. 36) alcula el tabajo que ealia el campo de fueas 3 F(,, ) (4 ) e e (3 ) e al move una patícula alededo de la cicunfeencia de ecuaciones x + y = 9, = 9 - x - y. 36 u.t. 37) Detemina si la expesión en coodenadas polaes d f 3 d 3 ln3d, es una difeencial exacta. En caso de selo, obtenga la función de la cual se obtiene.

12 ÁLULO VETORIAL Página 11 f 3 cos sen 38) Sea el campo vectoial F(,, ) e e 3 3 en coodenadas cilíndicas ciculaes. Detemina si el campo es consevativo; en caso afimativo, obtene una función potencial de F. cos F es consevativo, f (, ) c 39) Sea el campo consevativo F. Detemina la función potencial de F. f Ln 40) Utilia coodenadas esféicas paa detemina si el campo vectoial epesentado po xi y j k F x, y, es consevativo. Si lo es, obtene su función potencial. x y El campo vectoial,, es f ln x y. F x y es consevativo y su función potencial en coodenadas catesianas