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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PRIMER EAMEN FINAL RESOLUCIÓN SEMESTRE 0 - TIPO DURACIÓN MÁIMA.5 HORAS JUNIO, 0 NOMBRE Apelldo Paterno Apelldo Materno Nombre(s). Los datos que se muestran en la tabla de recuencas, obtendos por la observacón de una cámara oculta, corresponden a las velocdades, para una muestra aleatora de 7 coches que recorren el crcuto nteror en CU, donde se permte crcular hasta 40 klómetros por hora. Velocdad km/h Fronteras de Clase Número de coches Marcas de Clase x Frecuenca Acumulada Absoluta F Frecuenca Relatva Frecuenca Acumulada Relatva F a) Completar la tabla de recuencas con los datos altantes e dentcar la ampltud (o longtud) de clase y la undad de precsón de los datos. b) Calcular la meda. c) Determnar la desvacón estándar. d) Interpretar el coecente de varacón. 0 Puntos a) La tabla de recuencas completa es: Velocdad Fronteras Número Marca Frecuenca Frecuenca Frecuenca Km/h de de de Acumulada Relatva Acumulada Clase coches Clase Absoluta Relatva x La ampltud de cada clase es de 5 km/h. La precsón de los datos es b) La meda de la velocdad en klómetros por hora es: 6 6 x = x = x n m= m= F F PyE_ EF_TIPO_0-

2 susttuyendo: x = ( )( ) ( 8) ( )( 5) ( 8)( 0) ( )( 7) ( 8)( 0) km / h = 7 c) La desvacón estándar de la muestra en klómetros por hora, está dada por: 6 s( n ) = ( x x) n m= susttuyendo se tene: s( n ) = ( 9.6) ( ) + ( 8 9.6) + ( 9.6) ( 5) + ( 8 9.6) ( 0) + ( 9.6) ( 7) + ( 8 9.6) ( 0 ) 7 s( n ) = ( 0.70 ) km / h 6 d) El coecente de varacón se dene como: Sn CV = susttuyendo la meda y desvacón estándar de la muestra, se tene: cv = Del resultado anteror, la varabldad de la velocdad de los autos que crculan por el crcuto nteror en CU, es relatvamente alta, ya que 9.9% nos ndca que cada persona conduce a la velocdad que quere, es muy dsperso.. En una determnada gasolnería, el 5% de los clentes utlzan gasolna Premum para sus vehículos, el 55% usan gasolna Magna, y el resto utlzan gasolna Alternatva (Etanol). De los clentes que consumen gasolna Premum sólo el 0% de ellos llenan sus tanques, de los que usan gasolna Magna el 60% llenan sus tanques, en tanto que los que preeren gasolna Alternatva el 50% llenan los tanques de sus automóvles. a) Cuál es la probabldad de que el sguente clente pda al servdor llenar su tanque? b) S el sguente clente llena su tanque, qué probabldad hay de que solcte al servdor gasolna Magna? c) S el sguente clente no llena su tanque qué probabldad hay de que pda al servdor gasolna Alternatva? 5 Puntos Sean los eventos que representan a: A : Los clentes que utlzan gasolna Premum. A : Los clentes que utlzan gasolna Magna. A : Los clentes que utlzan gasolna Alternatva (Etanol). B : Los clentes que llenan el tanque. Del enuncado se tene los sguentes datos: P( A ) = 0.5 P( A ) = 0.55 P( A ) = P B A = 0.50 P( B A ) = P( B A ) = a) Se pde obtener P ( B ), que es la Probabldad Total, entonces: P ( B) = P( A B) + P( A B) + P( A B) = + + ( ) ( ) P B P A P B A P A P B A P A P B A P( B ) = ( 0.5)( 0.0) + ( 0.55)( 0.60) + ( 0.0)( 0.50) b) S el sguente clente llena su tanque con gasolna, cuál es la probabldad de que solcte gasolna Magna, aplcando Teorema de Bayes, entonces: PyE_ EF_TIPO_0-

3 ( B) P( B) P( B A) ( 0.55)( 0.60) P A P A P( A B) = = = 0.65 P B c) Determnar la probabldad de que un clente pda gasolna alternatva, dado que no llena su tanque, entonces del Teorema de Bayes, del enuncado se sabe que: P( B A ) = 0.70 P( B A ) = 0.40 P A B P( A) P( B A) P( B) P B A = P( A B) = = = = 0.0 P B En un examen de Probabldad y Estadístca el promedo de calcacones ue de ses con desvacón estándar de 0.8. El proesor conjetura que el examen ue dícl. Qué transormacón del tpo a+ b debe hacer para que la meda sea de sete y la desvacón estándar gual a uno? ( es la varable aleatora que representa las calcacones del grupo). 5 Puntos Sea la varable aleatora que representa las calcacones de los estudantes. El ajuste que el proesor quere realzar es: C = a + b Del valor esperado y la varanca, se quere E( C ) = 7 y Var ( C ) = E ( C) = E( a + b) = ae( ) + b susttuyendo: 7= 6a+ b Aplcando propedades de la varanca, se tene: = ar ( + ) = Var C V a b a Var susttuyendo: = a 0.8 Despejando y determnando los valores buscados para el ajuste: a = ( 0.8) 5 a =± =± =± ( 0.8) De lo que, sólo se trabaja la parte postva, entonces: Susttuyendo el valor calculado: = + b 4 Se tene el valor de: 5 0 b = = = 4 5 a = 4, por lo que: PyE_ EF_TIPO_0-

4 Por lo tanto el ajuste a realzar por parte del proesor es: 5 C = =.5x El % de los tornllos abrcados por una máquna presentan deectos. S se tene un lote de 000 tornllos, cuál es la probabldad de que haya menos de 50 tornllos deectuosos? 5 Puntos Sea la varable aleatora que representa el número de tornllos deectuosos que se tenen cuando se selecconan para revsón. ( = = ) ~ Bnomal n 000, p 0.0 Se pde determnar la probabldad de que haya a lo más 50 tornllos deectuosos, esto es: ( 50) = ( = 0) + ( = ) + ( = ) ( = 50) P P P P P 50 x= x 000 x P( 50) = ( 0.0) ( 0.98) x O ben, aproxmando con dstrbucón normal ya que np aproxmacón, entonces: σ Y ~ Normal μ = np = = 40, = npq = = 9. ( = = ) Y ~ Normal μ 40, σ 9. por aproxmacón se tene: Y μ ( 50) PY P = P Z = PZ (.68) FZ (.68) = npq De otra orma, al usar calculadora con dstrbucón normal se tene: ( = = ) Y ~ Normal μ 40, σ 9. PY ( 50) μ = = = 40 0 es una buena Tambén podría darse el caso, de no usar el actor por contnudad de un medo, entonces: Y μ PY ( 50) P = P Z = PZ (.60) = FZ (.60) = npq Supóngase que los tempos requerdos por un certo autobús para alcanzar uno de sus destnos a una cudad grande, tene dstrbucón normal con desvacón estándar de un mnuto. S se elge al azar una muestra aleatora de 7 tempos. Obtener la probabldad de que la varanca muestral sea mayor que dos e nterpretar el resultado. 5 Puntos Se pde determnar la probabldad de que la varanca de la muestra aleatora S ( n ), sea mayor que ( ), esto es: P S( n ) > PyE_ EF_TIPO_0-4

5 Por lo tanto, transormando en J cuadrada, se tene: ( n ) S 6 n P( S > ) P > = P ( Χ (6, ) n α > ) = α σ De tablas de la dstrbucón J cuadrada con 6 grados de lbertad y abscsa : α = 0.0 En caso de utlzar calculadora: ( α ) P Χ (6, ) > = 0.0 es poco probable que la varanca sea la establecda. 6. Dos otalmólogos se asocaron para poner una clínca en la que, por la subespecaldad, él puede atender hasta cnco pacentes por día y ella puede atender hasta tres pacentes por día. S (, Y ) es un vector aleatoro, sea la varable aleatora que representa el número de pacentes atenddos por el doctor y, sea Y la varable aleatora que representa el número de pacentes atenddos por la doctora, según la tabla que muestra la uncón masa de probabldad conjunta a) Determnar las uncones margnales masa de probabldad de y Y b) Obtener la probabldad de que entre los dos especalstas atendan al menos a ses pacentes en un día cualquera. c) Determnar la uncón de probabldad para el número de pacentes que atende la doctora, s se sabe que el doctor atende a lo más tres pacentes. d) Son varables aleatoras conjuntas estadístcamente ndependentes? 0 Puntos Sea la varable aleatora que representa el número de pacentes atenddos por día por el doctor. Sea Y la varable aleatora que representa el número de pacentes atenddos por día por la doctora. Los recorrdos de las varables aleatoras son: R = { 0,,,, 4,5 } y RY = { 0,,,} a) Las uncones margnales se denen como: y = RY = R (, ) x x y Y (, ) x y x Y y Y (, ) y x y entonces: Y x x y la otra uncón margnal está dada por: PyE_ EF_TIPO_0-5

6 Y y 0 y b) La probabldad a calcular es: P( + Y 6) entonces por extensón es: P + Y 6 = Y, + Y 4, + Y 4, + Y 5, + Y 5, + Y 5, de la uncón de probabldad conjunta, susttuyendo: P + Y 6 = = 0.6 c) Para determnar la uncón de probabldad condconal, de la dencón se tene: Y (, y) ; ( ) > 0 ( Y ) = ( Y ) 0 ; en otro caso : De la uncón margnal de x x= 0 = x = = 0 + = + = + = = 0.48 susttuyendo se tene: y 0 Y ( Y ) Y ( Y ) d) Para determnar s son varables aleatoras conjuntas ndependentes, de la dencón se sabe: Y ( xy, ) = ( x) Y ( y) para todos los vectores aleatoros, entonces: 0,0 = 0 0 Y Y 0 ( 0.0)( 0.5) = por lo tanto no son varables ndependentes, ya que ( xy, ) ( x) ( y) son derentes. Y Y PyE_ EF_TIPO_0-6