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1 Indica cuáles de las siguientes parábolas están abiertas hacia arriba y cuáles hacia abajo: 3 + x y = 3 x x + x 3 + x y = 3 x x + x Abierta hacia arriba Abierta hacia abajo Abierta hacia abajo Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la parábola + x + 3 El punto de corte con el eje de ordenadas es (3,0) Los puntos de corte con el eje de abscisas, tienen como primeras coordenadas las soluciones de la ecuación x + x + 3 = 0, es decir, x = y x = 3 Los puntos son (,0) y (3,0) 3 Calcula el vértice y el eje de simetría de la parábola y = 3x 6x + El vértice viene dado por: V(x, y) = (, ) y el eje de simetría es la recta x = Comprueba si los puntos (, -), (, 3) y (-, 3), pertenecen a la parábola + Los puntos pertenecerán a + si verifican la ecuación (, -) no pertenece a la parábola, ya que + + (, 3) sí pertenece a la parábola porque 3 = (-, 3) también pertenece a la parábola, ya que 3 = ( ) + 5 Calcula la imagen mediante la parábola + de x =, x = y x = La imagen de mediante + es 5

2 La imagen de - mediante + es La imagen de - mediante + es 5 6 Calcula los puntos de las parábolas e +, que cortan el eje de abscisas Para la primera de las parábolas los puntos de corte con el eje de abscisas son (, 0) y (-,0) La segunda parábola no corta el eje de abscisas, ya que la ecuación x + = 0, no tiene solución en los números reales 7 Dibuja, aproximadamente, la parábola que tiene (,-) como vértice y que pasa por el punto (,) y por su simétrico con respecto del eje de simetría 8 Calcula los puntos de intersección de las rectas y = 3 e y = con la parábola + Los puntos de intersección de y = 3 con son (,3) y ( El punto de intersección de y = con + es (0, ) +,3) 9 Estudia el crecimiento y decrecimiento de la siguiente parábola y señala que ocurre en el punto (0, -)

3 Esta curva es decreciente en el intervalo (,0 ), y creciente en el intervalo (, ) 0 El punto ( 0, ) es el vértice y en él la parábola pasa de ser decreciente a ser creciente 0 Indica cuáles de las siguientes ecuaciones representan parábolas: + x + 3 RECTA + x PARÁBOLA + 3 PARÁBOLA RECTA Calcula el vértice de la parábola pertenecientes a dicha parábola 6x y observa cómo son entre sí los puntos (0,0) y (6,0) El vértice de la parábola es: V(x, y) = (3, 9) Por tanto, los puntos señalados son simétricos respecto del eje de simetría que es la recta x = 3 En un rectángulo, la base es el triple que su altura más tres metros Calcula la función que nos da el área del rectángulo en función de la longitud de su altura A = 3x + 3x, con x en metros 3 Halla la ecuación de una parábola que interseque a en los puntos (,0), (,0) y cuyo vértice esté a la misma distancia del origen de coordenadas que el vértice de la parábola dada + El vértice de + tanto el vértice de la parábola pedida es ) es el punto ( 0,) que está a cuatro unidades de distancia del origen de coordenadas, por ( 0, y la ecuación será: Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la parábola: + x Con el eje de abscisas (0, 0) y (-, 0) Con el eje de ordenadas (0,0)

4 5 Calcula la intersección con el eje de ordenadas de la parábola que contiene a los puntos(, ), (3, 0) y (0, 0) Los tres puntos deben cumplir la ecuación: y = ax + bx + c Resolviendo el sistema obtenemos: 3 a =, b = y c = 0 Así la ecuación de la parábola que queríamos es: 3 + x La intersección con el eje de ordenadas de nuestra parábola es, por supuesto (0,0) 6 Representa la parábola y = (x + )(x + 3) El vértice es el punto (-, -), y corta al eje de abscisas en -3 y - 7 Calcula los puntos de la parábola x que tienen ordenada nula Los puntos cuya ordenada es nula son los que tienen por abscisas las soluciones de la ecuación x x = 0,es decir, x = y x = 8 Calcula la ecuación de una recta horizontal que interseque a + x en un solo punto Tiene que ser una recta horizontal que pase por el vértice, es decir, una recta que pase por: 9 V(x, y) =, 8 La recta pedida es: 9 y = 8 9 Halla el vértice y los puntos de corte con los ejes de la parábola y=(x+) (x )

5 Desarrollando la expresión: x 8 b ( ) = = El vértice es el punto de abscisa : a Su segunda coordenada es: y = 8 = 9 Por tanto, el vértice es el punto (, 9) Para calcular los puntos de corte con el eje OY se sustituye x por 0: y = (0+) (0 ) = 8 Es el punto (0, 8) Los cortes con OX se obtienen sustituyendo y por 0: 0 = (x+) (x ) x=, x= Esos puntos son (,0) y (,0) 0 + x El hombre bala del circo describe una trayectoria parabólica dada por la ecuación 0 Cuál será la altura máxima que alcance en dicha trayectoria?, cuántos metros habrá recorrido cuando vuelva a tocar el suelo? El punto más alto es el vértice de la parábola, por tanto, la altura máxima será la ordenada del vértice que es 5 m, es decir,5 metros El alcance máximo será la ordenada distinta de cero de los puntos de corte de la parábola con y = 0, es decir, 0 m Representa una parábola que pase por ordenada (,0) y (,0), con las ramas hacia arriba y cuyo vértice tiene como Halla los puntos de intersección de la recta x y + = 0 y la parábola y = (x ) + Los puntos de intersección son las soluciones del sistema formado por las dos ecuaciones, es decir (,) y (, 5) 3 Sabemos que la parábola b y c + bx + c tiene como vértice (,) y que pasa por el punto (,0) ; averigua Los dos puntos dados como dato, tienen que cumplir la ecuación de la parábola Tenemos, por tanto, un sistema de ecuaciones cuyas soluciones son: 5 b = y c = 3 3 Calcula la ecuación de una parábola que pasa por los puntos (0, 0), (-, ) y (, ) La ecuación es:

6 5 Representa las parábolas x + 5 e + x 3 y calcula su intersección Sólo tienen el punto (,3 ) en común 6 Escribe la ecuación de la parábola en cada uno de los casos siguientes: a)su vértice es (0, ) y tiene las ramas hacia arriba b)su eje de simetría es x= y tiene las ramas hacia abajo a)como tiene las ramas hacia arriba, el coeficiente de x debe ser positivo Una de las posibles soluciones es: y = x b)como tiene las ramas hacia abajo, el coeficiente de x debe ser negativo y si su eje de simetría es x=, el vértice debe ser un punto con la primera coordenada igual a, por ejemplo (,0) Una posible solución es: y = x + 7 Calcula las ecuaciones de las parábolas que pasan por los puntos (,3) y (,3) y cuya distancia del vértice al origen de coordenadas es de cuatro unidades La abscisa del vértice de cada una de ellas es 0, así que los vértices son Las ecuaciones son: y x 7 = + y ( 0,) y (0, ) 8 Calcula la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (, -) y pasa por (3, 0) Necesitamos un tercer punto para poder calcular la ecuación La parábola es simétrica con respecto del eje x=, así que el punto simétrico de (3, 0) es (-, 0) La ecuación es: x 3 9 Halla los puntos de la parábola + x x =, cuya abscisa es

7 y = + = 30 Calcula cuáles son los puntos de intersección de la recta y la parábola + Los puntos en común de estas dos funciones tienen que cumplir las dos ecuaciones, así, dichos puntos serán la solución del sistema formado por las dos ecuaciones x = x + x + x 6 = 0 x =, 3 + Los puntos de intersección son (, 0) y (-3, -5) 3 Calcula los puntos de intersección de las parábolas: e + Serán las soluciones del sistema de ecuaciones: + Los puntos son: (,0 ) y (,0 ) 3 Cuál es la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (, 3), (-, 3) y el origen de coordenadas? La ecuación de la parábola pedida es: y = 3x 33 Un balón describe una trayectoria parabólica Queremos calcular la ecuación de dicha trayectoria y para ello averiguamos los siguientes datos: el balón alcanza su altura máxima a los 0 m de ser lanzado y ésta es de 5 m Además vuelve a tocar el suelo a 5 m de distancia del punto desde donde se lanzó Calcula la ecuación de la trayectoria descrita por el balón La ecuación pedida es la de una parábola que pasa por los puntos: (0,0),(0,5) y (5,0) Por tanto será: 5 + x 0 3 Es posible que los puntos (0,), (, -) y (, -), pertenezcan a la misma parábola Estos tres puntos están alineados, pertenecen a la recta parábola y = 3x, por lo tanto no pueden pertenecer a la misma 35 Cuál es el punto de intersección de con el eje de simetría de mismo que su vértice, qué quiere decir esto? + y comprueba que es el

8 El eje de simetría de + es x = 0, así que el punto de intersección de con este eje es el punto ( 0, ), que a su vez es el vértice Esto quiere decir, que x = 0 es también el eje de 36 Calcula la ecuación de una parábola cuyos puntos de intersección con la recta abscisas y - y además pasa por el origen de coordenadas tienen como Los puntos por los que pasa la parábola son (, ), (-, -3) y (0,0), por tanto la ecuación de ésta será: + x 37 Calcular el vértice y el eje de simetría de + y = ax x a R El vértice será: V(x, y) =, a a y el eje: x =, a R a { 0} 38 Calcula el punto que pertenece a la parábola de ordenadas y es simétrico al punto (-, -) con respecto del eje Esta parábola es igual que, pero trasladada dos unidades hacia abajo; por tanto, es simétrica con respecto al eje de ordenadas El punto simétrico de (-, -) es el punto(, -) 39 Cuál es la expresión que nos da el área de cualquier triángulo rectángulo isósceles en función de la longitud de sus catetos? Qué tipo de función es? Si llamamos x a la longitud de los catetos, la función pedida será: A = x Esta función es una parábola 0 Calcula los puntos de intersección de la curva con la bisectriz del segundo cuadrante La bisectriz del segundo cuadrante tiene como ecuación Por tanto los puntos pedidos serán las soluciones del sistema

9 Los puntos son:, y (,) Halla el área del rectángulo cuya diagonal es la que tiene como extremos los puntos de intersección de la parábola y la bisectriz del primer cuadrante Los puntos de intersección son (0, 0) y (, ), por tanto el rectángulo es en realidad un cuadrado de lado, con área unidad cuadrada

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