UNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas

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1 009 UNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas Se hace referencia a las definiciones, fórmulas y algunos ejemplos sobre los temas indicados Iván Moyota Ch. Unidad Educativa San Felipe Neri

2 Geometría Analítica NOCIONES PRELIMINARES Dados dos puntos en el plano cartesiano, P 1 (x 1, y 1 ) y P (x, y ), se tiene: Distancia entre dos puntos Angulo de inclinación de una recta Angulo formado por la parte positiva del eje x y la recta Pendiente de una recta Tangente del ángulo de inclinación División de un segmento en una razón dada(r) Coordenadas de un punto P(x, y) tal que Punto medio de un segmento ( r ) Angulo formado por rectas dirigidas Angulo formado por los dos lados que se alejan del vértice Condición de Paralelismo Condición de Perpendicularidad Área de un polígono Vértices(x 1, y 1 ), (x, y ),, (x n, y n ) LINEA RECTA Definición.- Llamamos línea recta al conjunto de puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera, el valor de la pendiente resulta siempre constante. Ecuaciones de la recta Punto y pendiente dadas Punto P(x 1, y 1 ) y pendiente m Dados dos puntos P 1 (x 1, y 1 ), P (x, y ) Pendiente y ordenada en el origen Pendiente m, intersección (0, b) Ecuación simétrica de la recta Intersecciones (a, 0), (0, b) Ecuación general de la recta Distancia de un punto a una recta Longitud del segmento perpendicular a la recta l trazado desde el punto P(x 1, y 1 ) NOCIONES PRELIMINARES

3 Definición.- Se llama ecuación de segundo grado con dos incógnitas a una ecuación de la forma ax bxy cy dx ey f = 0 donde los coeficientes a, b, c, d, e y f son constantes, con la condición de que por lo menos uno de los tres coeficientes a, b y c sea diferente de cero NOTA: En geometría analítica se demuestra que la gráfica de esta ecuación (si es que existe en coordenadas reales) es una curva de las llamadas secciones cónicas o uno de sus casos límites que pueden ser un punto, una recta o un par de rectas. CIRCUNFERENCIA Definición.- Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo es constante. El punto fijo se llama centro y distancia constante se llama radio. Si el centro tiene coordenadas C( h, k ) y el radio es r, la ecuación de la circunferencia es: La ecuación general de la circunferencia es Ejemplos: 1) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro ( 1, ) y radio 5. ( x 1 ) ( y ) = 5 x x 1 y 4y 4 = 5 x y x 4y 0 = 0 ( x h ) ( y k ) = r x y dx ey f = 0 ) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (, 3) y que pasa por el punto (1,6) r = ( x ) (y 3) 8 3) Hallar el centro y el radio de las circunferencias a) x y 4x y 0 = 0 ( x 4x ) ( y y ) = 0 ( x 4x 4) ( y y 1 ) = ( x ) ( y 1 ) = 5 C (, 1 ) r = 5 b) x y 8x 6y 1 = 0 x y 4x 3y ½ ( x 4x ) ( y 3y ) = ½ ( x 4x 4 ) ( y 3y 9/4 ) = ½ 9 9/4 ( x ) ( y 3/ ) = 47/4 C (, 3/ ) r = 47 / 3

4 PARÁBOLA Definición.- Se llama parábola al conjunto de todos los puntos en un plano cuya distancia a un punto fijo (el foco ) es igual a la distancia a una recta fija ( la directriz ). NOTA: Se llama eje de la parábola a la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz. El vértice de la parábola es el punto sobre el eje a la mitad de la distancia entre el foco y la directriz. El vértice es el punto en la parábola más próximo en la directriz. Eje paralelo al eje Y Eje paralelo al eje X V ( h, k ) Vértice ( V ) V ( h, k ) ( x h) = 4 p ( y k) Ecuación ( ) y k = 4 p ( x h ) Ejemplos: y = ax bx c Ec. general x = ay by c ( h, k p ) Foco ( F ) ( h p, k) x = h Eje y = k y = k p Directriz ( l ) x = h p 1) Hallar la ecuación de la parábola de vértice (, 3) y foco ( 4, 3) Es una parábola con eje paralelo al eje x. V (, 3 ) V ( h, k ) h = k = 3 F ( 4, 3 ) F ( h p, k ) h p = 4 p = La ecuación es ( y 3 ) = 8 ( x ) ) Hallar la ecuación de la parábola de foco ( 1, ) y directriz la recta de ecuación y = 4 Es una parábola con eje paralelo al eje y F ( 1, ) F ( h, k p ) h = 1 k p = Directriz y = 4 y = k p k p = 4 Se tiene que k = 3 p = 1 Ecuación: ( x 1 ) = 4 ( y 3 ) 3) Hallar los elementos de la parábola x 4x y 6 = 0 x 4x = y 6 x 4x 4 = y 6 4 ( x ) = y ( x ) ( y ) V (, ) 4p p = ¼ F ( h, k p ) F ( 3, 9/4 ) Directriz y = k p y = 7/4 4) Hallar los elementos de la parábola y 4x y 7 = 0 y y = 4x 7 y y 1 = 4x 7 1 ( y 1 ) = 4x 8 ( y 1 ) = 4 ( x ) V (, 1 ) 4p = 4 p = 1 F ( h p, k ) F ( 1, 1 ) Directriz x = h p x = 3 4

5 ELIPSE Definición.- Se llama elipse al conjunto de todos los puntos en un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es una constante positiva. Los puntos fijos se llaman focos. Elementos Centro C Vértices V, V Focos F, F Eje Mayor VV Eje menor BB Lado recto LL, MM Eje mayor horizontal Eje mayor vertical C ( h, k ) Centro C ( h, k ) ( x h) ( y k ) Ecuación ( x h) ( y k) a b b a V ( h a, k ) V ( h a, k ) Vértices V ( h, k a ) V ( h, k a ) F ( h c, k ) F ( h c, k ) Focos F ( h, k c ) F ( h, k c ) Longitud eje mayor LEM = a Longitud eje menor LEm = b Longitud lado recto LLR = b / a Excentricidad e = c / a Relación coeficientes c = a b Ejemplos: 1) Hallar la ecuación de la elipse de focos (, 5 ) y ( 8, 5 ) y longitud del eje mayor igual a 10. En este caso el eje mayor es horizontal F (, 5 ) F ( h c, k) h c = k = 5 F ( 8, 5 ) F ( h c, k) h c = 8 k = 5 h = 5 c = 3 LEM 0 a 0 a = 5 c = a b b = a c b = 4 x 5 y La ecuación es ( ) ( ) ) Hallar la ecuación de la elipse de vértices ( 3, 6 ) y ( 3, ) y excentricidad igual a ½. En este caso el eje mayor es vertical V ( 3, ) V ( h, k a ) h = 3 k a = V ( 3, 6 ) V ( h, k a ) h = 3 k a = 6 k = a = 4 e = ½ c / a = ½ c = c = a b b = a c b x 3 y 1 16 La ecuación es ( ) ( ) 3) Encontrar los elementos de la elipse y trazar su gráfica a) 16x 9y 64 x 18y 71 = 0 (16x 64x ) ( 9y 18y ) = ( x 4x ) 9 ( y y ) = ( x 4x 4 ) 9 ( y y 1 ) = ( x ) 9 ( y 1 ) 44 5

6 ( x ) ( y 1) 9 16 C (, 1 ) a = 4 b = 3 c = 7 V (, 5 ) V (, 3 ) F (, 1 7 ) F (, 1 7 ) LEM = 8 LEm = 6 LLR = 9 / e = 7 / 4 Dividiendo para 144 4) Hallar la ecuación de la elipse de focos los puntos (1, 3) y ( 1, 1) y longitud del eje mayor 6. Aplicando la definición de elipse se tiene: d PF d PF = 6 x x 1 y 6y 9 = 36 1 x x 1 y y 1 1 = 4x 4y 8 b) 16x 5y 3x 50y 359 = 0 ( 16x 3x ) ( 5y 50y ) = ( x x ) 5 ( y y ) = ( x x 1 ) 5 ( y y 1 ) = ( x 1 ) 5 ( y 1 ) = 400 ( x 1 ) ( y 1 ) 5 16 C ( 1, 1 ) a = 5 b = 4 c = 3 V ( 4, 1 ) V ( 6, 1 ) F (, 1 ) F ( 4, 1 ) LEM 0 LEm = 8 LLR = 3 / 5 e = 3 / 5 3 = x y 7 9 (x x 1 y y 1) = x y 49 xy 14x 14y 9x 18x 9 9y 18y 9 = x y 49 xy 14x 14y 8x xy 8y 4x 3y 40 = 0 6