FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS LA PARABOLA

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS GRADO 1º TALLER Nº 6 SEMESTRE II LA PARABOLA RESEÑA HISTÓRICA Historia de las Cónicas: El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo eistían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se aproima mucho a aquélla. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que eistieron hasta que Fermat Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone. OBJETIVO GENERAL Identificar las propiedades relacionadas con el lugar geométrico llamado parábola aplicarlas en situaciones problema. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Identificar la ecuación de la parábola. Realizar ejercicios con parábolas, hallando vértice, focos, ecuación, entre otros. PALABRAS CLAVES Parábola, foco, vértice, cónica.

2 DESARROLLO TEÓRICO Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana como por ejemplo se pueden apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. La curva que describe la pelota en su movimiento describe una traectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal `' la altura `' alcanzada por la pelota. Las aplicaciones de las parábolas son básicamente aquellos fenómenos en donde nos interesa hacer converger o diverger un haz de luz sonido principalmente. Por ejemplo las antenas parabólicas, las lámparas sordas, los faros de los autos. Se pueden construir, por la misma propiedad de las parábolas, hornos solares. Los micrófonos de ambiente en algunos deportes también tienen forma paraboloidal. Definición Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, de una recta fija llamada directriz. La distancia entre el foco la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p). Dada una parábola, se llama eje de la parábola a la recta que contiene al foco es perpendicular a la directriz. Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje. En el siguiente gráfico se ilustran las definiciones anteriores. Ecuación Analítica de la Parábola Suponga que el foco está situado en el punto (,c) la directriz es la recta c, por lo tanto el vértice está en su punto medio (,). Si se toma un punto cualquiera P, ) de la parábola un punto Q, c) de la recta debe de cumplirse que: PF PQ.

3 Calculando la distancia entre estos puntos (usando la fórmula de distancia) elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene que: 4c. Si la parábola no tiene su vértice en (,) si no en ( p, q) entonces la ecuación sería: p) 4c( q). Desarrollando la ecuación se tiene que p p Haciendo D p, E 4c, F p 4cq reemplazando en la ecuación anterior se obtiene que D E F Observación: es de destacar que el término no aparece, la razón es que se ha supuesto que los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes de coordenadas; en caso contrario aparecería este término, que como es lógico dependerá del ángulo de inclinación de los ejes. Ejemplo Hallar la ecuación reducida de la parábola =. Hallar su vértice, su foco su directriz. Solución: La ecuación dada se debe transformar en una de la forma ( - ) = ± p( - ) ó ( - ) = ± p( - ). Como la ecuación tiene un término en se debe transformar, en una del tipo ( - ) = ± p( - ): ) 1 ) Se identifica a partir de esta última ecucación que, p / 4, 1/. Se 4c 4cq tiene entonces una parábola con el eje vertical el foco por debajo del vértice: el vértice es el punto (-,1/) foco (-,9/4) (para hallar el foco se le resta la mitad del parámetro a la ordenada del vértice, esto es 1/ /8 = 9/4).

4 Como el eje es vertical, la directriz es horizontal, su ordenada se obtiene sumándole la mitad del parámetro a la del vértice: EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en el origen foco en ( 7/, ) R : + 14 =. Encuentre las coordenadas del foco la ecuación de la directriz de la parábola = 7 R: f ( 7/, ), = 7/. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, su eje es el eje X la ecuación de su directriz es 1 = R: + 4 = 4. Encuentre las coordenadas del foco la ecuación de la directriz de la parábola + = R: f (, ½ ), = ½. Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en el origen directriz = R: + = 6. Hallar la ecuación general de la parábola con vértice en el punto V(1, 4) su foco se ubica en el punto f (1, ) R: = 7. Hallar las coordenadas del vértice, foco la ecuación de la directriz de la parábola cua ecuación es 6 = R: V (, 4) f (, 4) 1 = 8. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: a. F(, ), V(, ) b. F(, ), V(-1, ) c. F(, ), directriz: = 6 d. V(-1, 4), eje focal vertical, la parábola pasa por el punto (, ) e. V(4, 4), eje focal horizontal, la parábola pasa por el punto (, ) f. Eje focal vertical, la parábola pasa por los puntos A(-8, ), B(4, 8) C(16, -7)

5 9. Determine el punto máimo (mínimo) de las siguientes parábolas: a. = 8 b. = c. = 4 - d. = 9 1. Encuentre la ecuación de la parábola que pasa por los siguientes puntos: (, ), (,-) (-,). R: = Deduzca la ecuación de la parábola con v(,) foco (,) trace su grafica 1. Determine el foco la directriz de la parábola = - ; trace su grafica PEQUEÑOS RETOS 1. El arco de una ventana de una iglesia tiene forma parabólica vertical hacia abajo. La altura del arco, por el punto medio es de 16 metros el ancho de la base es de 8 metros. Se desea pasar una caja rectangular, deslizándose a través de la ventana. Si la caja tiene una altura de 1 metros, Cuál es el máimo ancho posible que puede tener la caja?. Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas. Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, la ecuación de la tangente en el vértice. a = b = c = d =