Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 3: Derivadas

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1 Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 3: Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico

2 Esquema

3 Esquema

4 Introducción La derivada busca resolver dos problemas de la antigüedad, uno de ellos, de caracter geométrico, fue planteado por los griegos y busca hallar la pendiente de la recta tangente a una curva. El segundo es un problema físico y es posterior. Se trata de la determinación de la velocidad instantánea de un móvil que se desplaza con velocidad no uniforme.

5 Definición Definición La derivada de una función f (x) en un punto x = a es el valor del límite, f (a) = lim h 0 f (a + h) f (a) h siempre que este límite exista. En este caso decimos que f es diferenciable en x = a. (1)

6 Definición Observamos que a cada valor de a le corresponde un valor determinado de la derivada f (a), de modo que la derivada también es una función de x. Las notaciones usuales para esta función son f (x), df (x) dx y el valor de la derivada en el punto a es f (a), df (x) dx o D x f (x) o D x f (a) x=a Si ponemos y = f (x) también usamos la notación y para la derivada dy/dx.

7 Ejemplo Ejemplo Veamos cómo se obtiene la derivada de la función f (x) = x 2 a partir de la definición. Iniciamos con el incremento de la función en x: f (x +h) f (x) = (x +h) 2 x 2 = x 2 +2xh+h 2 x 2 = 2xh+h 2 y ahora tenemos que dividir esta expresión por h y tomar el límite cuando h 0: f (x + h) f (x) 2xh + h 2 lim = lim h 0 h h 0 h de modo que f (x) = 2x. = lim h 0 (2x + h) = 2x,

8 Interpretación Geométrica Cuando h tiende a cero, el punto Q se acerca al punto P y la recta secante tiende a superponerse con la recta tangente a la función f (x) en el punto P, y por lo tanto el ángulo α tiende a ser el ángulo β. tan β = f (a)

9 Interpretación Geométrica La pendiente de la tangente a la curva que representa la función f (x) en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

10 Interpretación Física Consideramos un móvil que se desplaza linealmente a partir de un punto dado y supongamos que la función x(t) describe la distancia del móvil al origen en el instante t. La velocidad promedio del móvil desde el instante t al instante t + t está dada por el cociente v m (t) = x t = x(t + t) x(t) t

11 Interpretación Física Sin embargo, si queremos un valor más preciso de la velocidad que tiene el móvil en el instante t, es necesario hacer t más y más pequeño, es decir, tenemos que tomar el límite cuando t tiende a cero, es decir, llamando v(t) la velocidad instantánea en el instante t, x(t + t) x(t) v(t) = lim = x (t). t 0 t O sea que la velocidad en el punto t es la derivada de x(t).

12 Ejemplo Si n 1 es un entero y f (x) = x n entonces df (x) dx Para ver eso observamos que = f (x) = nx n 1. Ejemplos f (x + h) = (x + h) n = (x + h)(x + h) (x + h) donde el factor se repite n veces. Veamos cómo son los términos de este producto

13 Ejemplos f (x + h) = (x + h) n = (x + h)(x + h) (x + h) Si escogemos x en todos los factores obtenemos el término x n. Si escogemos x en todos los factores menos uno, en el cual escogemos h obtenemos x n 1 h y esto ocurre n veces, una vez por cada factor en el producto. El resto de los términos del producto requieren seleccionar al menos dos veces el factor h, de modo que h aparece con una potencia igual o superior a 2. Estos términos los escribimos agrupadamente como h 2 g(x, h). f (x + h) = (x + h) n = x n + nx n 1 h + h 2 g(x, h)

14 Ejemplos f (x + h) = (x + h) n = (x + h)(x + h) (x + h) Si escogemos x en todos los factores obtenemos el término x n. Si escogemos x en todos los factores menos uno, en el cual escogemos h obtenemos x n 1 h y esto ocurre n veces, una vez por cada factor en el producto. El resto de los términos del producto requieren seleccionar al menos dos veces el factor h, de modo que h aparece con una potencia igual o superior a 2. Estos términos los escribimos agrupadamente como h 2 g(x, h). f (x + h) = (x + h) n = x n + nx n 1 h + h 2 g(x, h)

15 Ejemplos f (x + h) = (x + h) n = (x + h)(x + h) (x + h) Si escogemos x en todos los factores obtenemos el término x n. Si escogemos x en todos los factores menos uno, en el cual escogemos h obtenemos x n 1 h y esto ocurre n veces, una vez por cada factor en el producto. El resto de los términos del producto requieren seleccionar al menos dos veces el factor h, de modo que h aparece con una potencia igual o superior a 2. Estos términos los escribimos agrupadamente como h 2 g(x, h). f (x + h) = (x + h) n = x n + nx n 1 h + h 2 g(x, h)

16 Ejemplos f (x + h) = (x + h) n = (x + h)(x + h) (x + h) Si escogemos x en todos los factores obtenemos el término x n. Si escogemos x en todos los factores menos uno, en el cual escogemos h obtenemos x n 1 h y esto ocurre n veces, una vez por cada factor en el producto. El resto de los términos del producto requieren seleccionar al menos dos veces el factor h, de modo que h aparece con una potencia igual o superior a 2. Estos términos los escribimos agrupadamente como h 2 g(x, h). f (x + h) = (x + h) n = x n + nx n 1 h + h 2 g(x, h)

17 Ejemplos El cociente incremental es f (x + h) f (x) h = x n + nx n 1 h + h 2 g(x, h) x n h = nxn 1 + hg(x, h) Cuando h 0 el segundo término tiene a cero y obtenemos el resultado.

18 Ejemplos Ejemplo La función f (x) = x es diferenciable salvo en x = 0. Veamos primero que la función es diferenciable si x 0, para lo cual vamos a suponer que x < 0. Tomamos δ > 0 de modo que x + δ < 0 y consideremos h < δ. El incremento de la función en este caso es f (x + h) f (x) = x + h x = x h ( x) = h Dividiendo por h y haciendo h 0 f (x) = 1 para x < 0. De manera similar se tiene que f (x) = 1 para x > 0.

19 Ejemplos Veamos ahora que ocurre en x = 0. El cociente incremental en este caso es igual a { f (0 + h) f (0) = h h h = +1 si h > 0, 1 si h < 0. En consecuencia los límites laterales cuando h 0 existen pero son distintos, y la derivada en 0 no está definida.

20 Ejemplos La gráfica de la función nos da una idea clara de lo que ocurre. f(x) x Si nos aproximamos a 0 por la derecha, la pendiente de la función es positiva e igual a 1 siempre, mientras que por la izquierda es negativa e igual a -1, de modo que los límites laterales son distintos.

21 Esquema

22 Propiedad 1 Si f (x) es diferenciable en el punto a, también es continua en ese punto. Para ver esto observamos que como la función es diferenciable, el límite f (a + h) f (a) lim h 0 h existe, y lo denotamos por f (a). Por lo tanto, como f (a + h) f (a) f (a + h) = f (a) + h h Si tomamos el límite cuando h 0 obtenemos que lim f (a + h) = f (a) h 0

23 Sin embargo, el recíproco no es cierto: Una función puede ser continua en el punto a y no ser diferenciable allí. Un ejemplo de esto es la función f (x) = x, que es continua en x = 0 pero no es diferenciable en ese punto. f(x) x

24 Propiedad 2 La derivada de una constante es 0. La derivada de una constante multiplicada por una función diferenciable es la constante multiplicada por la derivada de la función. Si c R es una constante, dc dx = 0 d(cf ) dx = c df dx

25 Propiedad 3 La derivada de la suma o diferencia de funciones diferenciables es la suma o la diferencia de la derivadas d df (x) (f (x) ± g(x)) = ± dg(x) dx dx dx (f ± g) = f ± g Ejemplo (3x 3 + 2x) = (3x 3 ) + (2x) = 9x

26 Propiedad 4 La derivada del producto de dos funciones diferenciables f, g existe y está dada por la siguiente fórmula d dx (f (x)g(x)) = df (x) dx (fg) = f g + fg g(x) + f (x)dg(x) dx Ejemplo (xe x ) = x e x + x(e x ) = e x + xe x = (1 + x)e x

27 Propiedad 5 Si f y g son dos funciones con derivadas f (x) y g (x) tales que g (x) 0, entonces la derivada del cociente f (x)/g(x) existe y está dada por la siguiente fórmula Ejemplo ( ) f (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) g(x) g 2 (x) (x/e x ) = x e x xe x (e x ) 2 = 1 x e x

28 Un caso particular interesante de la propiedad anterior ocurre cuando la función en el numerador es igual a 1, y queremos hallar la derivada de 1/g(x). La fórmula anterior nos dice que esta derivada existe si g(x) 0 y vale ( 1 ) 1 = g(x) g 2 (x) g (x) Ejemplo ( 1 x 3 3x ) = 1 (x 3 3x) 2 (3x 2 3)

29 Ejemplo Hallar la derivada de 3x 5 x ( 3x 5 ) D x x 2 = (x 2 + 7)D x (3x 5) (3x 5)D x (x 2 + 7) + 7 (x 2 + 7) 2 = (x 2 + 7)(3) (3x 5)(2x) (x 2 + 7) 2 = 3x x + 21 (x 2 + 7) 2

30 Ejemplo Demostrar que la regla para la potencia se cumple para exponentes enteros negativos, es decir, D x (x n ) = nx n 1 ( 1 ) D x (x n ) = D x x n = 1 x = nx n 1. 2n nx n 1

31 Esquema

32 Recordamos la noción de composición de funciones: Si tenemos dos funciones f y g de modo que los valores de f caen dentro del dominio de g, definimos la función compuesta g f como (g f )(x) = g(f (x))

33 Propiedad 6: Sean f y g dos funciones diferenciables tales que los valores de f caen en el dominio de g. La derivada de la función compuesta g f se obtiene mediante la fórmula (g f ) (x) = g ( f (x) ) f (x) Si usamos la notación u = f (x) entonces podemos resumir la regla de la cadena con la fórmula d(g f ) dx = dg du du dx

34 Ejemplo Sea f (x) = x y g(u) = u 5, entonces la composición es (g f )(x) = g(f (x)) = g(x 2 + 1) = (x 2 + 1) 5. Las derivadas f y g son f (x) = 2x y g (u) = 5u 4 por la regla de la cadena (g f ) (x) = 5(x 2 + 1) 4 2x = 10x(x 2 + 1) 4

35 La regla de la cadena se puede extender a la composición de un número mayor de funciones. Por ejemplo, si tenemos tres funciones f, g y h de modo que la imagen de f está en el dominio de g y la imagen de g está en el dominio de h, podemos definir la función compuesta (h g f ). Tenemos que (h g f ) (x) = h ( (g f )(x) ) g ( f (x) ) f (x)

36 Ejemplo Hallar la derivada de (la densidad gaussiana) ϕ(x) = exp( (x µ) 2 /σ 2 ) Esta función es la composición de tres funciones h(x) = e x, g(x) = x 2 y f (x) = (x µ)/σ. La derivada es ϕ (x) = exp ( (x µ) 2 /σ 2) ( 2) x µ 1 σ σ = 2 σ 2 (x µ) exp ( (x µ) 2 /σ 2)

37 Interpretación Física En general podemos interpretar la derivada de una magnitud y = f (x) como la razón o tasa de cambio de y con respecto de x. Si x está dada como función del tiempo, por ejemplo x = g(t) entonces podemos determinar la tasa de cambio de y respecto de t usando la regla de la cadena: dy dt = dy dx dx dt

38 Interpretación Física Ejemplo Un cuadrado se expande de modo que su lado cambia a razón de 2cm. por segundo. Cuando el lado del cuadrado es 6cm. cuál es la tasa de cambio de su área? El área de un cuadrado de lado x está dada por A(x) = x 2. Si el lado x es función del tiempo t, x = x(t), entonces la razón de cambio del área con respecto del tiempo es d(a(x(t))). dt

39 Interpretación Física Usamos la regla de la cadena y obtenemos que da dt = da dx dx dt. Sabemos que dx/dt = 2 y da/dx = 2x. Cuando x(t) = 6 encontramos que da dt = = 24cm 2 /seg.

40 Esquema

41 Vamos a considerar una función f y supongamos que esta función es diferenciable en todo su dominio de modo que la derivada de esta función f (x) es otra función sobre el mismo dominio. Supongamos ahora que la función f (x) es, a su vez, diferenciable. La derivada de f se conoce como la segunda derivada de f. La notación es si y = f (x). f (x) d 2 f (x) dx 2, D2 x f (x) y

42 Este procedimiento se puede continuar indefinidamente, siempre que las funciones que vayamos obteniendo como derivadas sean, a su vez, diferenciables. Las notaciones para la derivada n-ésima en este esquema es f (n) d n f (x) (x) dx n, Dn f (x), y (n) si y = f (x).

43 Ejemplo Consideremos la función f (x) = 3x 3 + 5x 2 y calculemos sus derivadas: f (x) = 9x x f (x) = 18x + 10 f (x) = 18 f (iv) (x) = 0 y de ahí en adelante todas las derivadas superiores son nulas.

44 Ejemplo Un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado horizontal de modo que su posición en el instante t está dada por x = t 3 12t t 30 a) Cuándo es cero la velocidad? b) Cuándo es positiva la velocidad? c) Cuándo se está moviendo el objeto hacia la izquierda? d) Cuándo es positiva la aceleración? Aquí x se mide en centímetros y t en segundos.

45 Ejemplo a) v = dx = 3t 2 24t + 36 = 3(t 2)(t 6). Por lo tanto la dt velocidad se anula en t = 2 y t = 6. b) La velocidad es positiva cuando (t 2)(t 6) > 0. Para esto necesitamos que ambos factores sean positivos o ambos negativos. Esto ocurre si t < 2 ó t > 6, que en términos de intervalos es (, 2) (6, )

46 Ejemplo c) El objeto está moviéndose hacia la izquierda cuando la velocidad es negativa, o sea cuando (t 2)(t 6) < 0. Esto ocurre en el intervalo (2, 6). d) La aceleración es la derivada de la velocidad, es decir, es la segunda derivada de la distancia al origen como función del tiempo. a = dv dt = 6t 24 = 6(t 4). Por lo tanto la aceleración es positiva cuando t > 4

47 Esquema

48 Trigonométricas Las derivadas de las funciones sen x y cos x son d sen x = cos x dx d cos x = sen x dx

49 Trigonométricas Veamos cómo se obtiene la primera de estas derivadas. Recordemos los siguientes límites sen x lim x 0 x = 1 lim x 0 1 cos x x = 0 y la relación sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y. El cociente incremental es sen(x + h) sen(x) h sen(x) cos(h) + cos x sen h sen(x) = h = cos x sen h (cos h 1) + sen x h h Si hacemos ahora h 0 obtenemos el resultado.

50 Trigonométricas Veamos la derivada de la tangente ( sen x ) D x tan x = D x cos x = cos x D x sen x sen x D x cos x cos 2 x cos x cos x + sen x sen x = cos 2 x = 1 cos 2 x = sec 2 x

51 Trigonométricas Ejemplo Hallar la recta tangente a la curva y = sen 4x en x = π/16. Comenzamos por la derivada de la función: f (x) = 4 cos 4x. Por lo tanto la pendiente de la recta tangente en x = π/16 es igual a f (π/16) = 4 cos(4π/16) = 4 cos(π/4) = 4/ 2 y la recta tiene ecuación y = (4/ 2)x + b. Falta hallar b Como la recta pasa por el punto (π/16, 1/ 2), necesariamente 1 = 4 π b de donde b = 1 π 2 4 2

52 Trigonométricas Ejemplo Hallar la derivada de la función 1 + sen x cos x d dx ( 1 + sen x cos x ) = cos x d dx (1 + sen x) (1 + sen x) ( d dx cos x ) cos 2 x = cos2 x + sen x + sen 2 x cos 2 x = 1 + sen x cos 2 x

53 Potencias Hemos visto que para potencias enteras, positivas o negativas, la regla de derivación es (x n ) = nx n 1 Esta regla es cierta aun para potencias reales: Si a R (x a ) = ax a 1

54 Función Exponencial Sea f (x) = a x para a 0 una función exponencial. Veamos cual es la derivada de esta función. f a x+h ax (x) = lim h 0 h a x (a h 1) = lim h 0 h = a x a h 1 lim h 0 h = a x f (0) Por lo tanto, si escogemos a de modo que f (0) = 1, tenemos que f (x) = f (x).

55 Función Exponencial El número que satisface f (0) = 1 se conoce como e y la función f (x) = e x se conoce como la función exponencial.

56 Función Exponencial Cuál es la derivada de la función f (x) = a x si a e? Para ver esto usamos el hecho de que Usando la regla de la cadena a x = (e log a ) x = e x log a. da x dx = ex log a (log a) = a x (log a).

57 Esquema

58 Consideremos una función f definida en un intervalo (a, b) de modo que su derivada existe y no se anula. Supongamos que f (x) > 0 para todo x en este intervalo, entonces la función inversa x = g(y) existe: f (g(y)) = y. Supongamos que g es diferenciable, derivando y usando la regla de la cadena tenemos que De donde obtenemos f (g(y))g (y) = 1 g (y) = 1 f (g(y)) = 1 f (x) Otra manera de escribir esta relación es dx dy = 1 dy/dx

59 El Logaritmo Las funciones logaritmo y exponencial son funciones inversas, y podemos obtener la derivada de la función y = log x usando los resultados anteriores: Sea y = log x y en consecuencia x = e y. Por consiguiente dy dx = 1 dx/dy = 1 e y = 1 x Es decir que d log x dx = 1 x.

60 El Arcoseno Esta es la función inversa del seno. Sabemos que esta función no es invectiva, pues sus valores se repiten periódicamente. Para garantizar que la función sea biyectiva es necesario limitar su dominio. Escogemos el intervalo [ π 2, π 2 ] sin(t) La función seno t

61 sen(x) arcsen(x) f(x) f(x) x x

62 Sea y = f (x) = sen x y x = arcsen y la función inversa. Como f (0) = 0, tenemos que arcsen(0) = 0. Además como sen(π/2) = 1 y sen(π/2) = 1, sabemos que el dominio de la función arcoseno será el intervalo [ 1, 1]. Observamos que para cualquier valor de x que no esté en el intervalo π 2 x π 2, no se tiene la relación arcsen(sen(x)) = x

63 Usando la fórmula general para la derivada de las funciones inversas tenemos que si y = sen x y x = arcsen y, la derivada de x respecto de y es dx dy = 1 dy/dx = 1 cos x. Para expresar esta derivada explícitamente en función de y usamos la relación sen 2 x + cos 2 x = 1,

64 A partir de esta relación obtenemos, usando que el coseno es positivo en el intervalo de definición del arcoseno cos x = 1 sen 2 x Usando esta relación en la fórmula de la derivada obtenemos dx dy = arcsen y 1 = dy 1 y 2

65 Esquema

66 Teorema de Rolle Sea f una función continua definida en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Supongamos que f (a) = f (b) = 0. Entonces existe un punto c con a < c < b y f (c) = 0. Este resultado se conoce como el Teorema de Rolle.

67 Teorema de Rolle Sea f una función continua definida en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Supongamos que f (a) = f (b) = 0. Entonces existe un punto c con a < c < b y f (c) = 0. Este resultado se conoce como el Teorema de Rolle.

68 Teorema de Rolle Si la función es constante en el intervalo, entonces su derivada es 0 en cualquier punto de (a, b). En caso contrario existe algún punto en donde la función no es 0, y este punto no puede ser un extremo. Supongamos que hay un valor positivo, entonces como la función es continua la función tiene un máximo en algún punto c, a < c < b. Si la derivada existe en un máximo o en un mínimo de una función f entonces la derivada se anula en este punto. Esto demuestra el resultado.

69 Si f es una función diferenciable en el intervalo [a, b], existe un punto c en este intervalo tal que la pendiente de la recta tangente en (c, f (c)) es igual a la pendiente de la recta que une los puntos extremos de la gráfica

70 La recta que une los puntos extremos de la gráfica tiene pendiente f (b) f (a) b a y pasa por el punto (a, f (a)), de modo que la ecuación de esta recta es g(x) = f (a) + f (b) f (a) (x a) b a Consideramos ahora la función s(x) = g(x) f (x), que satisface g(a) = g(b) = 0 y tiene derivada s (x) = f (x) f (b) f (a) b a

71 Por el Teorema de Rolle existe un punto c en (a, b) tal que s (c) = 0, esto es, s (c) = f (c) y despejando obtenemos f (c) = f (b) f (a) b a f (b) f (a) b a = 0

72 Supongamos que la función f es diferenciable en el intervalo I y su derivada f (x) > 0 para todo x I (salvo quizás en los extremos). Entonces f es creciente en I. Tomemos dos puntos x < y en I y aplicamos el TVM a f en [x, y]: Existe un número c en (x, y) tal que f (y) f (x) y x = f (c) y despejando obtenemos porque f (c)(y x) > 0. f (y) = f (x) + f (c)(y x) > f (x)

73 De manera similar si la derivada de la función es estrictamente negativa, la función es decreciente: Si f (x) < 0, x < y f (x) > f (y).

74 Ejemplo Encuentre el numero c que satisface el TVM para la función f (x) = 2 x en [1, 4] La pendiente del segmento de recta que une los extremos es f (4) f (1) 4 1 y la derivada de la función es = = 2 3 f (x) = x 1/2 = 1 x

75 Por lo tanto queremos resolver cuya solución es c = 9/4. 1 c = 2 3 f(x) x

76 Ejemplo Suponga que la posición de un objeto está dada por la función x(t) = t 2 t 2. Determine la velocidad promedio en el intervalo [3, 6] y encuentre el instante en el cual la velocidad instantánea es igual a la velocidad promedio La velocidad promedio en [3, 6] es x(6) x(3) 6 3 = 24 3 = 8 y la velocidad instantánea es x (t) = 2t 1. Resolviendo la ecuación 2t 1 = 8 obtenemos t = 9/2.

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