2. Formas cuadráticas. Expresiones diagonales. Clasificación respecto a su signo.

Transcripción

1 2. Formas cuadráticas. Expresiones diagonales. Clasificación respecto a su signo. 2.1 Formas cuadráticas. Expresión matricial y analítica. Expresiones diagonales. Definición 2.1 (Expresión matricial) Una forma cuadrática es una función : que a cada vector,,, le asocia el valor siendo A una matriz simétrica, es decir:,,,,,, Su expresión analítica es:,,, Ejemplo 2.2 Sea : dada por,,,, Su expresión analítica es: ,,,, 4 3 2,, Nota: En la diagonal principal de la matriz están los coeficientes de,, (en este orden). En el lugar ij de la matriz está la mitad del coeficiente de. Esta relación entre los elementos de una y otra expresión de la forma cuadrática, permite obtener fácilmente cada una de ellas a partir de la otra. Ejemplo 2.3 Su expresión matricial es: Sea : dada por,, ,,,, Definición 2.4 (Expresión diagonal) Sea : una forma cuadrática. Una expresión diagonal o canónica de q viene dada por: 0 0 0,,,,,, ó í ó é á. 1

2 Observación: Pretendemos expresar una forma cuadrática en forma diagonal. Cualquier forma cuadrática admite, al menos, una expresión diagonal que es la que viene dada por los autovalores de la matriz asociada, aunque, bajo ciertas condiciones, también pueden existir otras expresiones diagonales. Proposición 2.5 (Expresión diagonal por autovalores) Para toda forma cuadrática :, con A su matriz asociada, y,,, autovalores de A, existe una expresión diagonal dada por:,,, Ejemplo 2.6 Sea la forma cuadrática : dada por:,, Su expresión matricial es,,,, Buscamos los autovalores de la matriz A: Una expresión diagonal por autovalores es:,, 5 5 Proposición 2.7 (Expresión diagonal de Jacobi) Sea : una forma cuadrática y A su matriz asociada. Consideremos los menores angulares formados por las i primeras filas de A y las i primeras columnas de A: Supongamos que. La expresión diagonal de Jacobi de la forma cuadrática q viene dada por:,,, Siempre que 0, 0, 0,, 0 Es decir, para que q admita expresión diagonal de Jacobi, se tiene que verificar: , 0 0 Ejemplo 2.8 Sea la forma cuadrática : dada por,, (es la misma forma cuadrática del ejemplo 2.6) , 30, , Como 3,, 0, la forma diagonal de Jacobi es,,

3 1 1 0 Ejemplo 2.9 Sea la forma cuadrática : dada por,, No admite expresión diagonal de Jacobi: Nota: (Ley de inercia de Sylvester) Todas las expresiones como suma de cuadrados de q tienen el mismo número de elementos positivos y negativos. 2.2 Clasificación de las formas cuadráticas Definición 2.10 Sea : una forma cuadrática q es definida positiva si 0,. q es semidefinida positiva si 0 0 ú. q es definida negativa si 0,. q es semidefinida negativa si 0 0 ú. q es indefinida si existen vectores de no nulos tales que 0 0. Proposición 2.11 (Criterio de los autovalores) Sea : una forma cuadrática y A su matriz asociada. Sean,,, los autovalores de A. q es definida positiva si y sólo si los autovalores de A son todos positivos. q es semidefinida positiva si y sólo si los autovalores de A son positivos y nulos. q es definida negativa si y sólo si los autovalores de A son todos negativos. q es semidefinida negativa si y sólo si los autovalores de A son negativos y nulos. q es indefinida si y sólo si A posee algún autovalor positivo y algún autovalor negativo. Ejemplo 2.12 Clasificar la forma cuadrática,, Su expresión matricial es:,, Autovalores: Los autovalores son:

4 Proposición 2.13 (Criterio de los menores angulares) Sea : una forma cuadrática, A su matriz asociada y,,, los menores angulares de A 1 0, 0, 0,, , 0, 0,, , 0,, 0, 0,, , 0,, 0, 0,, , 0, 0,, En el resto de los casos el criterio no es válido Ejemplo 2.14 Clasificar la forma cuadrática,, 2 2 utilizando el criterio de los menores angulares La matriz asociada es : Como: 3 0, 0 0 (Caso 3) Ejemplo 2.15 Clasificar la forma cuadrática,, utilizando el criterio de los menores angulares La matriz asociada es : El criterio de los menores angulares no afirma nada en este caso. Ejercicio 2.16 Sea la forma cuadrática : dada por,, a) Expresión matricial. b) Expresión diagonal por autovalores. c) Si es posible, expresión diagonal de Jacobi. d) Clasificar la forma cuadrática. Solución 1 1 2,, Una expresión diagonal por autovalores es,, ,,

5 1 1 2 Estudiamos los menores angulares: Como el rango de la matriz es 2 y los dos primeros menores angulares no son nulos, la forma diagonal de Jacobi es:,, 1 d) Vamos a clasificar la forma cuadrática: ª forma: Utilizando el criterio de los autovalores ª forma: Utilizando la expresión diagonal por autovalores,, ,, ó 3ª forma: Utilizando la expresión diagonal de Jacobi,, ó 4ª forma: Utilizando el criterio de los menores angulares Caso Formas cuadráticas restringidas a un subespacio. Clasificación. Al estudiar el signo de una forma cuadrática es frecuente que estas tengan que satisfacer un conjunto de restricciones, o lo que es lo mismo, que el vector pertenezca a un subespacio de. Definición 2.17 Sean : una forma cuadrática y E un subespacio vectorial de. q restringida a E es definida positiva si 0,. q restringida a E es semidefinida positiva si 0 0 ú. q restringida a E es definida negativa si 0,. q restringida a E es semidefinida negativa si 0 0 ú. q restringida a E es indefinida si existen vectores de no nulos tales que 0 0. Clasificación de una forma cuadrática restringida a un subespacio. El camino para clasificar una forma cuadrática restringida a un subespacio vectorial es: 1) Se obtienen las ecuaciones paramétricas del subespacio (supongamos que los parámetros son,,, ) 2) Se sustituyen las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática. 3) Se clasifica la forma cuadrática restringida,,, Observación: Si q es definida, al restringirla a E seguirá siendo definida. (Positiva o negativa) Si q es semidefinida, al restringirla a E puede ser definida o semidefinida. (Positiva o negativa) Si q es indefinida, al restringirla a E puede ser definida positiva o negativa, semidefinida positiva o negativa o indefinida. 5

6 Ejercicio 2.18 Dada la forma cuadrática,, 2 2 3, clasificarla sin restringir y restringida al subespacio:,, 0 Solución: Clasificación sin restringir: 2 1 0,,,, , , q es semidefinida positiva Restringida al subespacio E: 1) Buscamos las ecuaciones paramétricas de E 0 ó í 0 Ecuaciones paramétricas: 2) Sustituimos las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática:,, 2 2 3, ) Se clasifica la forma cuadrática restringida:,, Expresión matricial de la forma cuadrática restringida y , Ejercicio 2.19 Clasificar la forma cuadrática,, 2 2 2x x : 0,1,1 Solución: Buscamos las ecuaciones paramétricas de F 0,1,1 Tenemos un sistema generador, un solo vector es l.i., luego 0,1,1 es una base de F é 1 Sustituimos las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática: 2 Se clasifica la forma cuadrática restringida: Tenemos la forma cuadrática escrita como suma de cuadrados, para clasificarla sólo tenemos que mirar el signo de los coeficientes. es definida positiva. 6

7 Ejercicio 2.20 Dadas las formas cuadráticas:, 2 25,, 2,, Calcular: La expresión matricial, una expresión diagonal por autovalores y, siempre que sea posible, una expresión diagonal de Jacobi. Clasificarlas. Solución:, 2 25 ó, Expresión diagonal por autovalores: ,,, Expresión diagonal de Jacobi , , ,, 2 ó,,,, Expresión diagonal por autovalores: ,, 2 Expresión diagonal de Jacobi

8 1 2 1,, ,,,, Expresión diagonal por autovalores: ,, Expresión diagonal de Jacobi , ,, , 2 2 6, Ejercicio 2.21 Clasificar sin restringir y restringida al subespacio vectorial 1 1 1,, 20 la forma cuadrática cuya matriz asociada es: Solución: Clasificación sin restringir , , 1 1 0, Clasificación restringida Nos hace falta la expresión analítica de la forma cuadrática 1 1 1,,,, 1 1 1,, Buscamos las ecuaciones paramétricas de F 20 2 ó: é Sustituimos las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática:, Se clasifica la forma cuadrática restringida:,, ,