π r. Cada círculo menor es de radio 2. Por

Transcripción

1 Pueba CNU Venezuela, Septiembe de 004. Modelo. Soluciones. < Si, y z son enteos positivos, tales que z. Cuál de las siguientes epesiones es mayo que? z ( ) ( ) a) z b) z c) z d) z e) = ( ) < ( ) = < Solución: Es clao que en este caso z z. Además z z peo z no necesaiamente mayo que. Además < z. Luego z < 0. Queda sólo como espuesta posible. La espuesta debe se po lo tanto e). Además, < manipulando la hipótesis z. Pasando la z positiva a multiplica al lado deecho de la desigualdad, obtendíamos < z. Pasando el positivo a dividi, al z < lado deecho, obtenemos. Esto cooboa nuesta espuesta.. En la figua adjunta, O es el cento del cículo más gande. Si el adio del cículo de cento O es. Cuál es la supeficie de la egión sombeada en téminos de? a) π b) π c) π π d) e) π Solución: El áea del cículo mayo es lo tanto, el áea de cada cículo meno es π. Cada cículo meno es de adio. Po π ( ) π = 4. En consecuencia, la suma π de las áeas de los dos cículos menoes es. Po lo tanto el áea de la figua

2 π π π = sombeada es la difeencia d). Si p = q + y a) ( p ) b) ( ) = q, es igual a: ( p ) p p c) d) 4. La espuesta coecta es po lo tanto p e) 4 Solución: Como p = q +, entonces = q p + 4. Como se dijo que = q, concluimos que p = + 4. Po lo tanto = p 4 = ( p ). La espuesta coecta es po lo tanto b) 4. Cuántos melones pueden se compados con 80 centésimos, si 0 melones cuestan d bolívaes? 4 40 d 8d a) d melones b) d melones c) 4 d melones d) 8 melones e) melones 0 Solución: Si 0 melones cuestan d bolívaes, con un bolíva se compaá d 80 melones. Como 80 céntimos son 00 bolívaes, concluimos que con dicha suma se compaán 00 d melones = d melones. La espuesta coecta es po lo tanto a). 5. Cuántos minutos tadaá un automóvil en ecoe k kilómetos si macha a 40 kilómetos po hoa? a) k minutos b) k minutos c) k minutos d) k minutos e) 40 k minutos 60 Solución: Como macha a 40 kilómetos po hoa, ecoeá un kilómeto en k k = minutos y po lo tanto k kilómetos en 40 minutos. En consecuencia, la espuesta coecta es b)

3 6. En la figua siguiente, ACB es un ángulo que mide 80 y DC es pependicula a CE. Si el númeo de gados del ángulo ACD está epesentado po, el númeo de gados del ángulo BCE está epesentado po: a) 90 b) 90 c) 90 + d) 80 e) 45 + A C B D E Solución: Tenemos que BCE = 80. Po lo tanto BCE = 90 La espuesta coecta es a) ( ) + ( ) y 7. Si + y = 9, entonces el valo de la epesión es: a) b) c) 8 d) 7 e) 54 Solución: ( ) + ( ) y = ( + y) = ( )9 =. La espuesta coecta es b) 8. Si ( + y) ( y) = 0, el valo numéico de y es igual a: a) 0 b) c) d) 5 e) 5 Solución: Utilizando la hipótesis y poductos notables tenemos que 0 = ( + y) ( y) = + y + y ( y + y ) = 4y. Po lo tanto y = 5. La espuesta coecta es po lo tanto d) 9. En la figua siguiente y es igual a: a) a) 5 b) b) 0 c) c) 45 d) d) 60 e) e) 5 y y Solución: De la figua se concluye que + = = 80, de donde = 60

4 También, a pati de la figua, tenemos +y+y= +y= 0 + y= 80. Po lo tanto y = 0. La espuesta coecta es b) 0. En la figua anea cada cicunfeencia pasa po el cento de la ota. El adio de cada cículo es igual a. El peímeto de la egión ayada es: a) b) c) d) e) ( )π 4 ( )π 8 ( )π ( )π ( )π O O Solución. El peímeto es la suma de las longitudes de los dos acos que constituyen la fontea de la egión ayada R O P S Como OR = OS = PR = PS = OP = (donde es el adio de cada uno de los cículos iguales), tenemos que los tiángulos OPR y OPS son conguentes (iguales) y equiláteos (de lados iguales). Po lo tanto sus ángulos inteioes son de 60. Po ello ROS = RPS = 0. Luego, como las longitudes de las semicicunfeencias son popocionales a los ángulos centales ROS y RPS, la longitud de cada semicicunfeencia es π π 0 = 60. La suma de las longitudes de las dos semicicunfeencias 4π 8π (peímeto) seá en consecuencia =, ya que =. La espuesta coecta es po lo tanto c)

5 . Cual de las siguientes epesiones tiene el mismo valo que Q P P a) Q + P b) + Q c) P Q P d) Q P Solución: Evidentemente Q. La Solución es d) P + e) Q +. Si el volumen de un cubo es 64 centímetos cúbicos, la suma de sus aistas mide: a) cm b) cm c) 4 cm d) 6 cm e) 48 cm Solución: Como V = a, donde a es la longitud de la aista del cubo, tenemos que a = 64, de donde a = 4 cms. Como el cubo tiene aistas, entonces la suma de ellas da 4 = 48 cms. La espuesta coecta es e)? a a a. Se tiene un cículo de cento O y adio OA = OB = OC. Si CT es una tangente, y el ángulo OAC mide 0. El valo del ángulo BCT es: a) 60 b) 40 c) 50 d) 0 e) 5 C T 0 60 A O B Solución: Como el ángulo inscito OAC que subtiende el aco BC, es de 0, el ángulo cental BOC que subtiende dicho aco es de 60 (el doble). Como OB = OC =, donde es el adio del cículo, se concluye que el tiángulo OBC es isósceles, con ángulos iguales en los vétices opuestos B y C. Como los ángulos inteioes suman 80, se concluye que OCB = OBC = 60. Como OCT = 90, po se CT una ecta tangente al cículo en C, se concluye que BCT = 0. La espuesta coecta es d)

6 4. Considee las siguientes igualdades: i. ( ) 9 = ii. ( ) ( ) = 0 iii. ( 4 ) = 0 De ellas es (son) vedadea(s): a) Sólo i y ii b) Solo i y iii c) Sólo ii y iii d) i, ii, iii e) Sólo iii Sólo son coectas ii y iii. La espuesta coecta es c) 4 5. La opeación da como esultado: a) b) 4 c) d) 4 e) Utilizando la ley distibutiva, dividiendo cada témino del numeado po, obtenemos. La espuesta coecta es a) 6. La ecta que cota al eje Y en el punto y pasa po el punto (,-), tiene po ecuación: y = y = + y = + y = a) 5 5 b) 5 c) d) e) y = + 5 Solución: La ecuación de la ecta de pendiente desconocida m que cota al eje Y en y =, es y = m +. Po lo tanto, todas las espuestas difeentes a b) y c) quedan descatadas. La única que se satisface con los valoes =, y = - o sea que pasa po (,-) es la espuesta c). 7. Según la figua adjunta, si L,L y L son ectas paalelas, entonces la longitud DF es igual a: 5 a) 7 0 b) 5 c) 5 d) 4 5 e) 4 L D 5 4 L L F

7 Solución: L D 5 L L 4 F Tasladando la ecta DF como se muesta en la figua, se foman tiángulos semejantes con vétice en D y con bases sobe L y L espectivamente. De = dicha semejanza se concluye que 5 DF. Po lo tanto DF = 4. La espuesta coecta es po lo tanto d) 8. De acuedo con los datos de la figua, en donde AOC = 60, si la medida del diámeto es cm. Cuál es el áea de la egión blanca señalada, medida en cm? a) 4π 6 b) 4π 6 c) 6π 5 d) 6π 9 e) 6π 9 OA O OO O 60 C A Solución: El tiángulo AOC, po tene 60 en O y se isósceles, ya que OC=OA=6, adio del cículo, foma también ángulos de 60 en los otos dos vétices, ya que la suma de sus ángulos inteioes es 80, po lo tanto es equiláteo. AOC tiene po lo tanto las siguientes medidas:

8 O En consecuencia OH = 6 9 = 7 =. Po lo tanto su áea es cm. El áea del secto cicula completo es A H π 6 6 ( ) = 9 6π = = 6π 6. Luego el áea de la egión blanca señalada seá 6π 9 La espuesta coecta es po lo tanto e) C 9. Cuál es el áea lateal en cm, de un cilindo cicula ecto si su altua es 8 cm. Y el diámeto de su base es 0 cm? a) 450π b) 0π c) 80π d) 50π e) 60π Solución: La base del cilindo es un cículo de dio 5. Po lo tanto, el áea de la base es π = 5π. Como la altua del cilindo es 8 cm., su volumen seá 5 π 8 = 450π. La espuesta es en consecuencia a) 0. En la función f ( ) = m + 6, el valo de m paa que se cumpla que f ( ) = 6 es: a) b) c) d) 7 e) 7 Solución: Como f () = ( ) m() + 6 = 6, concluimos que: 8 m = 6. Po lo tanto = m. Luego m=. La espuesta coecta es b). Cuál es la difeencia apoimada ente las áeas de dos ciculos, uno de 6 m. de diámeto y el oto de 4 m. de adio? a) m b) m c) m d) 0m e) 4m Solución: El áea del cículo de mayo adio es π 4 y la del de meno adio es π. Tomando el valo apoimado de π, como,, el pime valo es apoimadamente 49,6 y el segundo 7,9. La difeencia apoimada es po lo tanto,7, valo decano a. La espuesta coecta es c). Si al cuadado de un númeo enteo se le agegan 5 unidades, se obtiene el cuadado del suceso de dicho númeo. Cuál es el númeo? a) b) c) d) 5 e) 4

9 Solución: El suceso de es, el de es, etc. En este poblema es pefeible coteja las espuestas conta los datos del poblema, en luga de utiliza un método más complicado. + 5 = 6, que no es cuadado de ningún númeo enteo. + 5 = 9, que es pecisamente el cuadado de, númeo suceso de. Obviamente, la espuesta coecta es b). Las vaiables P y Q son diectamente popocionales. Si P=0, entonces Q=. Cuánto vale P si Q=5? a) b) 4 c) 5 d) 50 e) 00 Solución: Que P y Q sean diectamente popocionales, significa que si P cece o decece, entonces Q cece o decece, manteniendo la misma popoción ente las P 0 = = 5 dos vaiables, la cual es Q. En consecuencia P seá siempe 5 veces Q. Po lo tanto si Q=5, tendemos que P debe se 5, paa mantene la popocionalidad. La espuesta coecta es c) 4. Un automóvil ecoió 0 kilómetos de 8 a 9 de la mañana, 80 kilómetos de 9 a 0 de la mañana y 00 km. De 0 a de la mañana. Cuál fue su velocidad media en kilómetos po hoa?. a) 00 b) 5 c) d) 50 e) 0 Solución. La velocidad media, se obtiene dividiendo la distancia total ecoida ente el tiempo tanscuido. Po lo tanto es km 400 km =. + + hoa 4 hoa Apoimadamente 00 km/h. La espuesta coecta es a). 5 0 n 5. Si 7 = 9. Entonces n es igual a: a) 45/ b) c) 4 d) 47/ e) 49/ n n n Solución: 7 = ( ) =. Además 9 = ( ) =. Luego, la hipótesis se 5 0 n 45 n tansfoma en =. En consecuencia =. Po lo tanto n = n = Luego. La espuesta es a). 6. Al acionaliza la epesión a a) a b + b, esulta: a b b) a+b c) ( a b)( a b ) d) a + b e) a b

10 Solución: Racionaliza, si no se aclaa de oto modo, significa acionaliza el denominado. Es deci, elimina adicales en el denominado. El denominado a + b debe se multiplicado po su conjugado Luego la epesión acionalizada es espuesta coecta es a). a a b + b a a a b, paa obtene b b ( a b)( a b ) = a b b = a. a b. La 7. En untiángulo, la ecta que contiene un vétice y es pependicula al lado opuesto se llama: a) altua b) mediana c) bisectiz d) mediatiz e) hipotenusa La espuesta coecta es a) 8, Considee el siguiente poblema: Juan ha ecoido dos teceas pates de un camino y aun le quedan 0 m po ecoe. Se quiee obtene la longitud del camino.. Si epesenta la longitud del camino, una ecuación que pemite esolve el poblema coectamente es: ( + 0) = +0 = = 0 a) b) c) () = 0 d) e) ( + 0) = La espuesta coecta es b). P = 9. El oden de los númeos M = 6, N = +, y, de meno a mayo es: a) M, N y P b) P, N, M c) N, M, P d) M, N, P e) P, M, N ( ) ( ). vs. Es clao que.vs. +, nos llevaía a ( )( + ). vs. Y po lo tanto a. Es deci a.vs.. De donde concluímos que el símbolo ( ) vesus (.vs.) debe se eemplazado po >. Po lo tanto > +. Ahoa estudiemos ( + ) = + = Es esta última epesión mayo que 6?. O lo que es lo mismo, Es >? Elevando al cuadado, obtenemos 4()= 4. Concluimos que > Y que en consecuencia ( + ) > 6. Po lo tanto ( + ) > 6. El oden coecto es po lo tanto d).

11 y u = 0 0. Sea u 0. Si y + u = 0, entonces y es igual a: a) b) c) 5 d) 5 e) 4 Solución: Sustituyendo la segunda ecuación con su suma con veces la pimea, eliminamos la incógnita u, en la segunda, así: y u = 0 4 5y = 0. De la segunda ecuación concluimos: espuesta coecta es e) 5 = 4 = 5y. De donde se infiee que y 4. La. Se desea fabica una caja sin tapa, de base cuadada, cotando cuadados de cm. De lado en las esquinas de una lámina cuadada, y doblando hacia aiba los lados. Paa que la caja tenga un volumen de 48 cm, el lado de la lámina debe medi: a) 8 cm b) 9 cm c) 0 cm d) cm. e) 6 cm. Solución: El gáfico siguiente muesta el cote de la lámina

12 Al dobla las tapas punteadas paa foma el volúmen de la caja, tenemos que: V = Ya que el áea de la base es. y la altua de la caja seá. El lado de la lámina cuadada oiginal debió se po supuesto + 6. Este es el valo que se debe calcula, después de calcula el valo de. El valo de se obtiene de la ecuación = 48, el cual debe se el volumen de la caja a constui. De allí, obtenemos = 4. Po lo tanto + 6 = 0. La espuesta es po lo tanto c). Cuál de las ecuaciones siguientes coesponde al gáfico de la paábola y = f (), de la figua? Y 0,5 X y = f () -,5 a) y = ( )( ) b) y = 0,5( ) c) y = 0,5( ) d) y = 0,5( )( ) e) y = 0,5( )( ) Solución: Las paábolas aben hacia aiba si el coeficiente del témino de segundo gado es positivo y hacia abajo, si es negativo. En el caso del dibujo, la paábola abe hacia abajo, po lo cual descatamos las espuestas a, b, d, ya que endichos casos tales coeficientes son espectivamente ; 0,5 y 0,5. Quedan como posibles sólo c y e. La espuesta c, se descata ya que de dicha ecuación se deduce que si =, tendíamos que y = 0. En la gáfica, y = 0 si y sólo si = o = y no pecisamente en =. La única espuesta posible es e). Se puede veifica a pati de e) que cuando = 0, entonces y = -,5, satisfaciendo dicha condición adicional del gáfico. Respuesta: e)

13 . Se tienen los vectoes a = (,) y b = (4,). El valo de a) 8 b) 0 c) d) 4 e) 6 a + b es: Solución: a + b = (,) + (4,) = (,) + (8,6) = (6,8) Po lo tanto, su módulo o longitud seá = 00 = 0. La espuesta coecta es po lo tanto b). 4. Cuál es el conjunto solución de la inecuación 4 0 +? a) (, ] U [, ) b) ( ) [, ] e) (, ]U [, ] d) (, ] ( ( ], U c), ] U, Solución: Como + > 0 paa todo valo de, el estudio se educe a estudia 4 0. Es evidente que tal condición se cumple si y sólo si o. La espuesta coecta es en consecuencia a). La notación o nomenclatua utilizada en este poblema en la pueba del CNU nos paece inconveniente, ya que no es usual denota intevalos ceados en. Consideamos inconveniente notaciones tales como (, ) U [, ] y (, ]U [, ], las cuales fueon utilizadas, ceando el intevalo en, como sital etemo eistiea El valo numéico de la epesión 000(000 ) a) b) c) d) Solución: La espuesta coecta es a) es igual a: e) 6. La suma de los pimeos 00 númeos natuales es: a) 0.00 b) 0.00 c) d) e) Solución: Al estudia la pogesión aitmética,,, 4, 5,... con témino a = y a + an sn = n azón = y estudia la suma, donde a n = a + ( n ), paa los valoes señalados antes, con n = 00, tenemos a 00 = + 99 = 00, lo cual es lógico, + 00 s00 = 00 = 0 50 = y. Concluimos que la espuesta coecta es c)

14 7. Cuál es el volumen en centímetos cúbicos de un paalelepípedo ectangula cuya altua es de 7 cm. Y su base tiene 4 cm. de ancho po 5 cm. de lago? a) 40 b) 70 c) 0 d) 5 e) 0 Solución: En este caso el volumen está dado po el poducto de las tes medidas. Po lo tanto V = cm = 40 cm. La espuesta coecta es a) 8. La pobabilidad de que un estudiante apuebe el eamen de Física es de 0,75 y de que apuebe el eámen de Matemáticas es de 0,80. Si pesenta los dos eámenes el mismo día, la pobabilidad de que apuebe las dos asignatuas es: a) 0,6 b) 0,06 c) 0,05 d) 0,78 e) 0,5 Solución: Los eventos son independientes, es deci que el esultado del segundo, no depende del anteio. La pobabilidad de su intesección es po lo tanto el poducto de las pobabilidades, es deci 0,75 0,80 = 0,60. La espuesta coecta es a) 9. Si se alínean postes a m. de distancia uno del oto, entonces el pimeo y el último están sepaados po: a) 0 m. b) 9 m. c) m. d) 4 m. e) 6 m. Solución: Si se dibujan postes, sepaados el uno de oto m., la distancia ente el pimeo y el último es (númeo de postes ). Esta egla vale paa postes. Luego, la distancia ente el pimeo y el último seá () =. la espuesta coecta es c) 40. En un tiángulo ectángulo un cateto mide cm. Y la hipotenusa es 5% mayo que dicho cateto. Entonces el áea de dicho tiángulo es : a) 7 cm b) 54 cm c) 08 cm d) 5 cm e) 90 cm Solución: El 5% de es. Luego la hipotenusa mediá 5 cm. La medida del oto cateto, utilizando el teoema de Pitágoas seía 9 = 54 5 = 5 44 = 8 = 9. El áea del tiángulo ectángulo seía La espuesta coecta es b)