GUIA TEORICA N 2 DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO. Apoyo el sistema copernicano y entre sus obras destacan Sidereus Nuntius,

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1 C U R S O : FÍSICA COMÚN MATERIAL N 0 GUIA TEORICA N DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO GALILEO GALILEI ( ) Físico, Maemáico y Asrónomo Ialiano. Descubrió Las Leyes de la Caída Libre, las del péndulo simple, la de la inercia y la de los movimienos relaivos. Consruyó un elescopio de refracción con el cual esudio el mundo celese. Con él comenzó la física en el senido moderno de la palabra. Apoyo el sisema copernicano y enre sus obras desacan Sidereus Nunius, Diálogo sopra due massimi sisemi del mondo, olemaico e copernicano. Acusado por el ribunal eclesiásico del Sano oficio de propagar la esis heliocénrica, fue condenado a prisión perpeua y prohibido sus libros.

2 GALILEO Y LA CINEMÁTICA Los aniguos invenaron máquinas muy ingeniosas que les ayudaban en sus rabajos, pero prácicamene no nos dejaron leyes correcas en ninguna ciencia experimenal, mienras que sus descubrimienos fueron muy numerosos en maemáica. Se ha dicho que el espíriu humano solamene iene que recogerse en sí mismo para hacer avanzar las maemáicas, mienras que la ciencia experimenal pide una marcha conraria; exige una gran acumulación de hechos y de observaciones precisas, y eso fue el gran defeco de la anigüedad. A parir de la razón sin la base sólida de la experiencia consruyeron sus eorías que como los edificios levanados sin un fondo consisene, se derrumban al menor soplo. El méodo experimenal no aparece bruscamene; resula de un esfuerzo colecivo. Si el renacimieno lierario es un regreso a la anigüedad, el renacimieno cienífico es una parida hacia el conocimieno del mundo maerial. GALILEO Galileo, en 1638 en su obra Diálogos sobre dos nuevas ciencias inició ese período. Y por primera vez, una ley en física, en paricular en cinemáica, el movimieno uniformemene acelerado, se escribe maemáicamene. Resumamos sus ideas sobre la caída de los cuerpos. Observa que si se lanza una bala horizonalmene, la gravedad que acúa vericalmene hacia abajo no podrá ni aumenar ni disminuir la velocidad horizonal y que por ano, ésa se conserva. Define la aceleración diciendo: Llamaré movimieno uniformemene acelerado a aquello que desde el comienzo confiere iguales incremenos de velocidad en iempos iguales. Esablece las ecuaciones del movimieno de los proyeciles y deduce que la rayecoria es una parábola y que el alcance es máximo para un ángulo de iro igual a 45. Se pregunaba si podemos saber mediane un experimeno si nos movemos con velocidad uniforme. Concluye sus observaciones con esa frase: La piedra que cae del másil de una nave golpea en el mismo lugar, esé quiea o en movimieno la nave. Noemos por lo ano que Galileo enunció por primera vez el principio de la relaividad para la mecánica. Einsein lo generalizó para odos los ipos de fenómenos. Es ineresane mosrar que Galileo nunca hizo una hipóesis que no pudiera comprobar, de aquí esas palabras: Cuál será la causa de la aceleración? Parece que ahora no es el momeno más propio para invesigar la causa de la aceleración de la caída de los cuerpos, respeco al cual han sido expresadas varias opiniones por varios filósofos... pero realmene no vale la pena. Por el presene, es propósio nuesro simplemene invesigar y demosrar siempre que sea posible, algunas de las propiedades del movimieno acelerado cualquiera que sea la causa del movimieno. Realmene fue Galileo el primero que analizó deenidamene cieros fenómenos, que aplicó inegralmene el méodo experimenal, que empleó las funciones maemáicas en las ciencias y que publicó sus invesigaciones; es por eso que se le conoce como el padre de la física.

3 1. DESCRIPCIÓN GENERAL La cinemáica esudia el movimieno prescindiendo de las causas que lo producen y de la nauraleza del cuerpo que se mueve, haciendo inervenir únicamene el ESPACIO y el TIEMPO como magniudes fundamenales. Para la descripción de los movimienos se hace absracción de las dimensiones de los cuerpos que se mueven, denominados PARTÍCULAS, PUNTOS MATERIALES o, simplemene, MOVILES. Un cuerpo se mueve cuando en el ranscurso del iempo cambia de POSICIÓN respeco de algún puno fijo considerado como SISTEMA DE REFERENCIA. Para efecuar mediciones elegimos, ligado a ese sisema de referencia, un SISTEMA DE COORDENADAS apropiado. El problema surge de la elección de ejes coordenados que esén en reposo absoluo, a los cuales referir odos los movimienos. Eso, en realidad, es imposible, ya que no disponemos de ningún puno de referencia que sea inmóvil. Pero para nuesro esudio consideraremos ejes coordenados ligados a la Tierra, porque, generalmene esamos acosumbrados a considerar el movimieno de los cuerpos suponiendo la Tierra en reposo. Es claro, enonces, que reposo y movimieno son concepos relaivos.. RAPIDEZ MEDIA Llamaremos TRAYECTORIA del movimieno a la curva que describe el cuerpo. En los casos más sencillos esa rayecoria es recilínea pero puede adopar cualquier forma regular o irregular. Supongamos una parícula que se mueva sobre una rayecoria cualquiera, como muesra la figura, enre dos punos fijos A Y B. B A Llamaremos d a la medida de la longiud del CAMINO RECORRIDO por la parícula enre A y B, y al iempo empleado en recorrer esa disancia, sin omar en cuena posibles irregularidades durane el rayeco. Se define RAPIDEZ MEDIA: d Vm = ( 1 ) en el S.I. se mide en m s 3

4 3. RAPIDEZ INSTANTANEA La única forma de conocer el movimieno de un cuerpo en cada insane, es medir su rapidez media para disancias recorridas muy pequeñas durane inervalos de iempo ambién muy pequeños. Se define RAPIDEZ INSTANTANEA. lím d V = 0 ( ) El procedimieno maemáico para obener el límie de un cuociene como ese, incluye la base del Cálculo Diferencial (Maeria ajena a ese curso). Sin embargo veremos, más adelane, procedimienos a nuesro alcance que permian calcular la rapidez insanánea. Si la rapidez de la parícula es consane en el iempo. V m = V 4. MOVIMIENTO RECTILINEO Si una parícula se mueve sobre una rayecoria recilínea, diremos que iene MOVIMIENTO RECTILINEO. Definiremos la POSICIÓN de una parícula P (lugar que ocupa en el espacio, sobre la rayecoria, en un insane dado) ubicando un sisema de coordenadas, por ejemplo el eje, sobre la rayecoria, especificando su ORIGEN O y un SENTIDO POSITIVO sobre el eje. Diremos que el vecor que une el origen O a la parícula es el VECTOR POSICIÓN O P o P o Si el cuerpo se mueve sobre la reca, su abscisa dependerá del iempo. Eligiendo, arbirariamene el insane = O y con ayuda de un reloj, se puede asignar a cada posición de la parícula un iempo. Maemáicamene diremos que el vecor posición es una función del iempo y escribimos, = ( ), esa ecuación, ambién recibe el nombre de ITINERARIO. 4

5 Si la parícula se mueve desde la posición inicial o en el insane o, hasa la posición en el insane, diremos que el VECTOR DESPLAZAMIENTO es: = - o y que se realizó en el inervalo de iempo = - o La unidad de posición o desplazamieno en el S.I. es el mero. Nóese que el desplazamieno es independiene del origen de coordenadas. 5. VELOCIDAD MEDIA Se define VECTOR VELOCIDAD MEDIA de la parícula como el cuociene enre el vecor desplazamieno y el inervalo de iempo correspondiene y la anoamos. - V mx = o = ( 3 ) - o De la definición se desprende que la velocidad media es un vecor que iene siempre la misma dirección y senido que el desplazamieno, o sea, es un vecor en la dirección de la rayecoria. Una velocidad posiiva indica que el cuerpo se desplaza en el senido posiivo del eje coordenado. Una velocidad negaiva indicará lo conrario. Obsérvese que el módulo de la velocidad media es siempre menor o igual que la rapidez media. V mx Vm 6. VELOCIDAD INSTANTANEA La velocidad media no describe el movimieno en cada insane, por lo ano no es adecuada para una descripción precisa del movimieno. Podemos definir el VECTOR VELOCIDAD INSTANTANEA o, simplemene, VELOCIDAD en un insane dado, como la razón enre el desplazamieno y el inervalo de iempo correspondiene, cuando ese se aproxima a cero, es decir: V x = lím ( 4 ) 0 5

6 La velocidad es una función del iempo. V x = V x ( ) Obsérvese que el módulo de la velocidad corresponde a la rapidez insanánea de la parícula. V x = V 7. ACELERACIÓN Cuando la velocidad de una parícula cambia en el iempo (en el movimieno recilíneo sólo en amaño y/o senido) diremos que iene una ACELERACION, que es una medida de ese cambio, es decir, la aceleración es la rapidez con que cambia la VELOCIDAD INSTANTANEA de la parícula. ACELERACIÓN MEDIA Si la velocidad de una parícula varía de V ox ACELERACION MEDIA. en el insane o hasa un valor V x en el iempo, se define V x - V ox V a mx = = ( 5 ) - o El vecor a mx rayecoria. iene siempre la misma dirección y senido que el vecor V x, o sea, iene la dirección de la Cuando la parícula se dirige en el senido posiivo del eje, una aceleración posiiva indica que la velocidad esá creciendo, mienras que una aceleración negaiva muesra que la velocidad esá disminuyendo. Pero, cuando la parícula se dirige en el senido negaivo del eje, una aceleración posiiva nos dice que la velocidad esá disminuyendo, mienras que una aceleración negaiva muesra una velocidad cuyo amaño aumena. ACELERACIÓN INSTANTANEA Se define VECTOR ACELERACIÓN INSTANTANEA, o simplemene, ACELERACION. a = lím V x ( 6 ) O La unidad de aceleración en el S.I. es m s 6

7 El vecor aceleración es una función del iempo, lo que escribimos a x = a x ( ) Las ecuaciones = ( ) ; V x = V x ( ) y a x = a x ( ) se denominan ECUACIONES CINEMÁTICAS DEL MOVIMIENTO movimieno. ya que deerminan compleamene cualquier Nóese que esas ecuaciones vecoriales se ransforman rápidamene en ecuaciones ESCALARES para el movimieno recilíneo ya que odos los vecores posición, velocidad y aceleración ienen la dirección de la rayecoria y el signo + o - que pueden ener, nos indicará el senido de cada vecor. Luego escribimos las ecuaciones cinemáicas del movimieno: = ( ) ; V x = V x ( ) ; a x = a x ( ) 8. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) A odo movimieno con RAPIDEZ CONSTANTE se le llama UNIFORME. En ese caso, como la rayecoria es recilínea la VELOCIDAD es CONSTANTE y la ACELERACIÓN NULA. En esas condiciones los valores medio e insanáneo de la velocidad son iguales y podemos escribir: Vx = - o - o Consideraremos como CONDICIÓN INICIAL que en el insane o = O, la posición era o ó Vx = - o = V x + o ( 7 ) En resumen, las ecuaciones cinemáicas del M.R.U. son a x = O V x = CTE x = V x + o 7

8 Es conveniene dibujar las gráficas represenadas por esas ecuaciones. Vx = CTE, es una reca paralela al eje V x O = V x + o es una reca que cora al eje en o y cuya pendiene es V x o O 9. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A) Diremos que un movimieno recilíneo es UNIFORMEMENTE ACELERADO cuando su aceleración a x es CONSTANTE en el iempo, es decir, los valores medio e insanáneo de la aceleración son iguales, luego podemos escribir. a x = V x - V ox - o Tomaremos como primera condición inicial que en el insane o = O, la velocidad inicial sea V ox, así. a x = V x - V ox ó ( 1 ) V x = a x + V ox Cuando la velocidad cambia uniformemene su valor medio se puede calcular pero V mx = 1 ( V x + V ox ) V mx = - o - o 8

9 Supondremos, como segunda condición inicial, que en el insane o = O, la posición inicial era o, enonces - o V x + V ox = ó ( ) = V x + V ox + o Las ecuaciones ( 1 ) y ( ) son suficienes para obener TODA la información acerca del M.R.U.A., sin embargo, es úil agregar oras dos ecuaciones. Reemplazando ( 1 ) en ( ) se obiene = 1 a x + V ox + o Si despejamos el iempo de la ecuación ( 1 ) y lo reemplazamos en ( ), resula a ( - o ) = V x - Vox En resumen, las ecuaciones cinemáicas del M.R.U.A son a x = CTE V x = a x + V ox = Vx + Vox + o = 1 a x + V ox + o a ( - o ) = V x - Vox Las gráficas represenadas por esas ecuaciones son a x = CTE, una reca paralela al eje. a x O 9

10 V x = a x + V ox, una reca que cora al eje V x en V ox y cuya pendiene es a x V x V ox O = 1 a x + V ox + o, una parábola O 10. ESTUDIO GRÁFICO DE LOS MOVIMIENTOS RECTILINEOS Por medios algebraicos, obuvimos las ecuaciones cinemáicas de DOS movimienos recilíneos. A coninuación, mediane el análisis gráfico de los diagramas posición iempo, velocidad iempo y aceleración iempo, esudiaremos CUALQUIER movimieno recilíneo. POSICIÓN TIEMPO (ITINERARIO) La figura represena la posición, en función del iempo, del movimieno recilíneo de un cuerpo. B o A B B o 0 Cuando el cuerpo se mueve de o hasa, su velocidad media es: - o V mx = = - o en el gráfico esa expresión represena la PENDIENTE DE LA RECTA SECANTE que une los punos A y B. 10

11 Si el cuerpo se mueve de A hasa B o B, los desplazamienos ( ) y ( ), y los correspondienes inervalos de iempo ( )` y ( ) son cada vez más pequeños. Las velocidades medias ( )` y ( )``, pendienes de las recas AB y AB se acercaran en esos sucesivos pasos a la definición de velocidad insanánea. En el límie, cuando B se confunde con A, la reca AB se ransforma en TANGENTE a la curva en el puno A y la velocidad insanánea será la pendiene de esa angene en el puno A. A B`` RAPIDEZ TIEMPO La figura represena la gráfica de la rapidez, en función del iempo, de un movimieno recilíneo. V Q P Q`` Q` 0 Si seguimos el mismo razonamieno que para el gráfico, podemos concluir que la aceleración media queda represenada por la pendiene de la reca secane que une los punos del gráfico enre los que se calcula (PQ, por ejemplo). La aceleración insanánea corresponde a la pendiene de la reca angene a la curva en el insane requerido. 11

12 El gráfico V x - nos permie obener ora información. Consideremos el recángulo achurado de la figura. V Q V P 0 o + 1 El AREA de ese recángulo es: A = V x Nóese que, si se aproxima a cero, el área del recángulo se confunde con el área deerminada por la curva, las ordenadas de y + y el eje Como Vx = lím O = V x = A cuando O Lo que nos indica que el área del recángulo es igual al desplazamieno del cuerpo (cuando O) Si ahora dividimos oda el AREA BAJO LA CURVA y limiada por las ordenadas de o y 1, y el eje en una infinidad de pequeños recángulos semejanes al anerior la suma de odas sus áreas será igual al desplazamieno oal enre o y 1. ACELERACIÓN - TIEMPO Si se sigue el mismo razonamieno que en la segunda pare del gráfico V x -, concluimos que en un gráfico a x - el AREA BAJO LA CURVA mide el cambio de velocidad V x. 1