SUPERPOSICIÓN DE M.A.S.

Transcripción

1 OBJETIVOS: SUPERPOSICIÓN DE M.A.S. Al finalizar el tema el estudiante ha de estar en capacidad de determinar la ecuación general que describe el movimiento resultante de combinar dos o más movimientos armónicos simples. Para ello ha de ser capaz de: Sumar los vectores rotatorios de dos vibraciones armónico simple que tiene la misma dirección y frecuencia angular. Sumar los vectores rotatorios de dos vibraciones armónico simple que tiene la misma dirección pero diferente frecuencia angular. Sumar los vectores rotatorios de dos vibraciones armónico simple que tienen direcciones perpendiculares. Dibujar en gráficas posición contra tiempo la suma de dos o más vibraciones armónico simple que tiene la misma dirección. Dibujar las figuras de Lissajous correspondientes a la suma de dos vibraciones perpendiculares que tienen frecuencias enteras a una frecuencia fundamental..1.- SUPERPOSICIÓN DE M.A.S. EN LA MISMA DIRECCIÓN. En muchos sistemas físicos intervienen al mismo dos o más vibraciones armónicas sobre el sistema. En acústica se presentan ejemplos de este tipo con gran frecuencia. El enfoque que tendrá este tema es de naturaleza puramente matemática, pero en temas sucesivos tendrá su aplicación física directa. El desplazamiento por dos perturbaciones, actuando al mismo tiempo, depende si las fuerzas que generan cada perturbación son proporcionales al desplazamiento y en estos casos es igual a la suma de los desplazamientos resultantes de cada perturbación. Dentro de los casos particulares más comunes están cuando trabajamos en un eje solamente. 1

2 Superposición de dos M.A.S. de igual frecuencia. Dado dos vibraciones armónico simple de igual frecuencia, tenemos vibración expresada como componente de vectores rotatorios esta dada por: que cada x 1 = Ao 1 $ sen( $t+ 1 ) x = Ao $ sen( $t+ ) Figura 0-01

3 Aplicando la suma de vectores rotatorios, la solución de x 1 +x es un movimiento armónico simple de la forma: x(t) = x 1 (t) + x (t) = Ao$sen( $t+ ).1 Donde la magnitud esta dada por la ley del coseno, esto es: Ao = Ao 1 + Ao + $Ao 1 $ Ao $ cos( 1 ). Para determinar la fase de inicio de la suma de los vectores tenemos en cuenta que la suma de las componentes están dada en el tiempo inicial (t=0) por: y = Ao$sen( ) = Ao 1 $ sen( 1 ) + Ao $ sen( ) = y 1 + y x = Ao$cos( ) = Ao 1 $ cos( 1 ) + Ao $ cos( ) = x 1 + x Dividiendo simplemente obtenemos la fase de inicio: tang( ) = Ao 1$ sen( 1 ) + Ao $ sen( ) Ao 1 $ cos( 1 ) + Ao $ cos( ).3 En esta suma de movimientos se presentan tres casos particulares, que son: Figura 0-0 si tienen la misma fase de inicio. ( φ 1 = φ ): se dice que las movimientos están en fase, el movimiento resultante se considera constructivo. En este caso la amplitud total es igual a las suma de las amplitudes (Ao=Ao 1 +Ao ) y la fase de inicio es común para los sumandos y la resultante ( φ 1 = φ = φ ). 3

4 Si ( φ = φ 1 + π ): estamos ante vectores rotatorios opuestos, la amplitud resultante es el absoluto de la resta de A 1 A ; la fase de inicio será φ = φ 1, si A 1 >A y φ = φ en caso contrario. La superposición se conoce es destructiva. Si ( φ = φ 1 + π/): estamos ante una superposición en cuadratura, la amplitud viene dada por: Ao =(Ao 1 ²+Ao ²), y la fase de inicio por tan(φ)= Ao /Ao Superposición de dos M.A.S. de diferentes frecuencia. En este caso, la diferencia de frecuencia entre las vibraciones ( ω ω 1 ), hace que las fases de inicio carezcan de significado. Si analizáramos los vectores rotatorios nos encontraríamos algo parecido a la suma de vectorial de las agujas del reloj, donde cada una se mueve a su propio ritmo. Figura

5 Sólo podemos concluir de este modelo que: La amplitud del movimiento esta comprendida entre 0 y Ao 1 +Ao. Por ley del coseno, la amplitud vale para un tiempo t cualquiera: Ao = Ao 1 + Ao + $Ao 1 $ Ao $ cos[( 1 )$t+( 1 )].4 Como la amplitud (Ao) es función de (ω -ω 1 ) t, tenemos lo que se conoce como amplitud modulada, donde el periodo de modulación esta dado por: T modulación = 1.5 Si ω 1 y ω no tienen una relación simple (que ω /ω 1 sea racional) entonces el desplazamiento resultante será una función complicada que nunca llega a repetirse en el tiempo. El caso particular más representativo de este movimiento es cuando la amplitud de las dos movimientos son iguales (Ao 1 =Ao =Ao) y las fases de inicio son nulas ( φ 1 = φ = 0). En este caso las ecuaciones se reducen a: x(t) = x 1 (t) + x (t) = Ao$sen( 1 ) + Ao$sen( ) Aplicando la entidad de trigonométrica sen + sen = $cos $ sen + Obtenemos la ecuación que describe el movimiento es: x(t) = Ao$cos 1 $ ( 1 )$t x(t) = [Modulación]$[Vibración] $ sen 1 $ ( 1 )$t.6 5

6 Figura 0-04 El movimiento resultante de sumar dos o más movimientos armonicos simples de diferente frecuencia ángular se conoce como vibración pulsante; esta vibración se caracteriza porque la frecuencia del movimiento es proporcional al promedio de las frecuencias involucradas, pero la amplitud del movimiento varia con el tiempo generando lo que se conoce como envolvente de la onda. 6

7 ..- VIBRACIONES SUPERPUESTAS PERPENDICULARES. Todos los casos que hemos vistos hasta ahora se refieren a superposición movimientos armónicos simples en una sola dimensión; para su análisis utilizamos los vectores rotatorios en el plano, de tal forma que la proyección del vector sobre una determinada dirección representa el movimiento estudiado. Aplicando un método similar estudiaremos la combinación de dos movimientos armónicos, sean X(t) y Y(t) dos movimientos armónicos que actúan en los eje X y Y respectivamente, el movimiento resultante se encontrara en el plano X,Y. Por comodidad en esta situación trabajaremos con la función coseno; esto es: x(t) = Ao 1 $ cos( 1 $ t + 1 ) y(t) = Ao $ cos( $ t + ) Para describir el movimiento se comienza dibujando dos circunferencias de radios respectivos Ao 1 y Ao. La primera se usa para el desplazamiento en el eje X y la segunda para el respectivo eje Y. Figura

8 Aplicando vectores rotatorios y proyectando las respectivas posiciones de x y y para un tiempo determinado se obtiene un punto P, que queda encuadrado dentro de un rectángulo de lados Ao 1 Ao. Si no existe relación racional entre las frecuencias angulares de los respectivos movimientos, el movimiento resultante del punto "P" dentro del rectángulo será al aleatorio y no repetitivo; si se dibuja la línea que describe el movimiento esta para un tiempo lo suficientemente grande terminaría por cubrir el rectángulo. La situación anterior no reviste mayor importancia, pero hay casos donde la relación entera genera curvas planas que se repiten en el tiempo Superposición Perpendicular de igual frecuencia. El caso más simple representa se da cuando las frecuencias son iguales; por comodidad de la explicación supondremos que φ 1 =0 y φ =φ, luego las vibraciones a sumar serán: x(t) = Ao 1 $ cos( $t) y(t) = Ao $ cos( $t+ ) El comportamiento dependerá fundamentalmente de la frecuencia de fase inicial del segundo movimiento; tenemos cuatro casos particulares: Cuando φ=0. En este caso ocurre que: x = Ao 1 $ cos( $t) y y = Ao $ cos( $t)d y = Ao 1 Ao $ xdecuación de una l nea recta que pasa por el origen Geométricamente ello representa una recta que pasa por el origen; pero como el movimiento esta inscrito dentro de un rectángulo que lo engloba, tenemos que se trata de un segmento de recta que tiene lugar en la diagonal de pendiente positiva del rectángulo. 8

9 Cuando φ= π/ x = Ao 1 $ cos( $t) y y = Ao $ cos( $t+ /) = Ao $ sen( $t)d 1 = x y + d ecuación de una elipse Ao 1 Ao La ecuación resultante corresponde a una elipse; donde la partícula se mueve en sentido de las agujas del reloj. Cuando φ = π. Tenemos: x = Ao 1 $ cos( $t) y y = Ao $ cos( $t+ ) = Ao $ cos( $t)d y = Ao 1 Ao $ xdecuación de una l nea recta que pasa por el origen Otra vez un segmento de recta pero que tiene lugar en la diagonal de pendiente negativa del rectángulo. Cuando φ = 3π/. x = Ao 1 $ cos( $t) y y = Ao $ cos( $t+3 /) = Ao $ sen( $t)d 1 = x y + d ecuación de una elipse Ao 1 Ao La ecuación corresponde a una elipse; pero el movimiento descrito es descrito por la partícula se mueve en contras del sentido de las agujas del reloj. Figura

10 ...- Figuras de Lissajous. Cuando se tiene frecuencias diferentes, así como fases de inicio distintas, el resultado gráfico del movimiento es lo que se conoce como figuras de Lissajous. Consideremos un ejemplo para describir el procedimiento; sean: x(t) = Ao 1 $ cos( $t) y(t) = Ao $ cos( $t+ /4) En este caso las frecuencias están en relación de frecuencia 1: y existe una diferencia de fases de inicio de 45º ( π/4 radianes). Procedemos inicialmente dibujando dos círculos de radios Ao 1 y Ao y estableciendo sus respectivos eje X y Y. El circulo correspondiente al eje Y es el de mayor frecuencia, dividimos este circulo en 8 partes iguales; y enumeramos correlativamente partiendo de los 45º (medidos respecto al eje Y) desde el nº1 al 16; esto es dar dos vueltas al circulo. El circulo correspondiente al eje X lo dividimos en 16 partes iguales (el doble que el del eje Y), y enumeramos desde el nº1 al 16 a partir del eje X dado que no hay fase de inicio en esta componente del movimiento. Trazamos rectas de tal forma que definimos las posiciones de los 16 puntos y los unimos siguiendo los números correlativos; el resultado es la figura de Lissajous para el caso indicado. Figura

11 REFERENCIAS 1.- FÍSICA. Volumen I. Mecánica. Marcelo Alonso y Edward J. Finn. Addison - Wesley Iberoamericana. U.S.A VIBRACIONES Y ONDAS. Curso de Física del M.I.T. A.P. French. Editorial Reverte, S. A. España MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. Dinámica. Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston. Libros McGrall-Hill. México MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. Volumen II. Dinámica. Harry R. Nara. Editorial Limusa. México MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA. Volumen 1. Erwin Kreyszig. Editorial Limusa. México CALCULUS. Volumen 1. Tom M. Apostol. Editorial Reverte, S.A. Segunda Edición FÍSICA GENERAL. Volumen I. Douglas C., Ginacoli. Prentice - Hall hispanoamericana, S.A. México FÍSICA tomo I. Paul A. Tipler. Editorial Reverte, S.A. Colombia FÍSICA PARA LAS CIENCIAS DE LA VIDA Y DE LA SALUD. Simon G. G. MacDonald. Y Desmond M. Burns. Fondo Educativo Interamericano, S.A