2.16. FÍSICA RELATIVISTA

Transcripción

1 2.16. FÍSICA RELATIVISTA Las ecuaciones del electroagnetiso exhiben características novedosas respecto a la física newtoniana. La fuerza de Lorentz, debido al terino q v B depende del sistea inercial desde donde se observa el fenóeno. Así iso, en las ecuaciones de Maxwell aparece una constante con diensiones de velocidad, c. Coo se deuestra en la sección relativa a ondas electroagnéticas, c es la velocidad de propagación de dichas ondas en el vacío. Es obvio que esta velocidad, analizada desde el punto de vista prerelativista, debe depender del sistea de referencia inercial. Esto está en contra del un Principio de Relatividad (PR) asuido por la física clásica: Cualquier fenóeno obedece leyes iguales en todos los triedros inerciales. Coo veos, la leyes del electroagnetiso parecen sugerir la existencia de un triedro de referencia especial, el éter, con lo que se viola el (PR). Sin ebargo, la evidencia experiental indica que tal éter no existe, y en consecuencia c es un valor universal independiente del triedro inercial de referencia. El Principio de Relatividad de Einstein 22 (PRE) indica que se cuplen abos, el (PR) y que c es constante para todo sistea inercial. Esto odifica las relaciones entre distancias e intervalos de tiepos, entre otras, con respecto a la física prerelativista coo vereos seguidaente. Actualente, todas las predicciones de la teoría especial de la relatividad han sido apliaente coprobadas experientalente Cineática Relativista En lo que sigue utilizareos los conceptos de suceso e intervalo. Un suceso se define por el lugar que ocurre y el instante en que ocurre. Supongaos dos sucesos 1 y 2 definidos por (x 1, y 1, z 1, t 1 ) y (x 2, y 2, z 2, t 2 ) en un triedro S inercial. Se define el intervalo entre ellos coo s 12 = ( (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 (t 2 t 1 ) 2) 1 2. (2.199) Supongaos que el suceso 1 es el paso en t 1 de una onda electroagnética por el punto (x 1, y 1, z 1 ) y la isa onda define el suceso 2 de fora análoga al 1. En virtud del PRE teneos s 12 = s 12, siendo s 12 es el intervalo edido en un sistea de referencia S inercial. Arguentos as generales sobre la hoogeneidad del espacio y el tiepo y la isotropía de espacio periten extender la invariacia de s 12 a cualquier par de sucesos. Para sucesos infinitaente próxios teneos: Tiepo propio ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 dt 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 dt 2 (2.200) Supongaos un reloj que peranezca en reposo en S no necesariaente inercial. Dado que dx 2 + dy 2 + dz 2 = 0, utilizando teneos dt = 1 c dt 2 dx 2 dy 2 dz 2. (2.201) 22 Albert Einstein físico de origen aleán ( ), apátrida inicialete y posteriorente nacionalizado suizo y estadounidense. Forado en el Polytechniku de Zurich. Publicó en 1905 tres trabajos transcendentales: Explicó el oviiento Browniano (Esto posibilitó la deterinación experiental de la constante de Avogadro en 1908), desarrolló la teoría del efecto fotoeléctrico, por lo que obtuvo el preio Nobel en 1921, y publicó la teoría especial de la relatividad, objeto de estas notas. Posteriorente publicó la teoría general de la relatividad en la que el Universo responde a geoetrías as generales que la de Euclides. Protagonizó intensos debates principalente con Max Born, a propósito del significado de realidad y la interpretación de la física cuántica. 74

2 Aunque ahora S no es necesariaente inercial, la ecuación sigue siendo válida ya que siepre podeos encontrar un sistea local inercial donde el reloj se encuentre en reposo durante el intervalo de tiepo dt. Teniendo en cuenta que v 2 = dx2 + dy 2 + dz 2 dt 2 (2.202) es la velocidad instantánea de S (o del reloj) podeos escribir coo dt = dt (2.203) donde dt es el tiepo propio en S y dt el tiepo edido en S. Para un increento finito del tiepo propio teneos t2 t 2 t 1 = dt (2.204) c2 t 1 La ecuación indica que un reloj en oviiento atrasa respecto a un reloj en reposo. El experiento que confiró definitivaente la ecuación para S no inercial se realizó en el CERN en un acelerador circular de partículas especialente diseñado para alacenar uones (µ) 23. Los uones son partículas eleentales con una vida edia en reposo (vida edia propia) de t µ = 2,2µs. Los uones fueron acelerados hasta V = 0,9994c en órbitas circulares de 14 de períetro. Medida la vida edia de los uones desde el sistea fijo al laboratorio, y por tanto aproxiadaente inercial, se pudo deterinar la validez de la ecuación con un error relativo inferior a Posteriores experientos en el CERN han bajado dicho error relativo. Transforaciones de Lorentz Supogaos ahora que v = u j es constante y los sisteas S y S inerciales con ejes paralelos siendo el eje Y coún. En este caso teneos dx = dx y dz = dz y Z de teneos Z y 2 + τ 2 = y 2 + τ 2 (2.205) siendo τ = ict y τ = ict. De se sigue que la transforación buscada es una rotación en el plano (y, t), esto es: u t X X y = y cos φ + τ sen φ, τ = τ cos φ y sen φ (2.206) Para y = 0 se tiene de 2.206, por una parte que y/τ = tan φ y por otra parte, y = ut = iuτ/c. De esto se sigue tan φ = iu/c. (2.207) Las ecuaciones toan finalente la fora y = y ut 1 u 2 /, t = t uy/c2 1 u 2 /, x = x, z = z, (2.208) Y Y 23 J. Bailey et al. (1977). Measureents of Relativistic Tie Dilatation for Positive and Negative Muons in Circular Orbit. Nature, 268,

3 Las ecuaciones se conocen coo Transforación de Lorentz. Se coprueba que satisface y despejando t e y, se recobra consistenteente, la transforación de Lorentz recíproca con u en lugar de u. Nótese que Para c o bien para c u 0 se recobra la transforación propia de la ecánica newtoniana, y = y ut, t = t; En general, x, y, z, ict son las coordenadas de un cuatrivector invariante ante la transforación de Lorentz siendo s un escalar. Analizaos seguidaente algunas consecuencias inediatas de las transforaciones de Lorentz. Supóngase que con el triedro S se desplaza una varilla dispuesta sobre el eje y. La deterinación de las ordenadas de sus extreos, para edir su longitud, puede hacerse en distintos instantes en S (donde la varilla está en reposo) pero ha de hacerse en iguales instantes en S. Utiliceos la priera de las ecuaciones para el par de sucesos (y 1, t 1 ), (y 2, t 2 ) correspondientes a la edición de las coordenadas y 1 e y 2 en los extreos de la varilla, y resteos esas ecuaciones. Recordando que t t 2 t 1 = 0, y haciendo L y 2 y 1, L y 2 y 1, se tiene la Contracción de Lorentz L = L 1 u 2 / (2.209) Supongaos ahora que la varilla se encuentra en reposo en S. En este caso teneos t = 0, y de resulta L = ( L u t)/ 1 u 2 /, t = u L/, (2.210) de donde obteneos el resultado siétrico a L = L 1 u 2 /. (2.211) Considérese ahora un reloj en reposo en S y dos sucesos: el coienzo y fin de un periodo t de ese reloj. Se tiene y = 0. De resulta y = u t, t = ( t u y/ )/ 1 u 2 /, (2.212) y en consecuencia teneos la dilatación del tiepo de Lorentz t = t 1 u 2 / o bien t = t 1 u 2 / ; (2.213) Veos que si en la ecuación haceos v = u siendo u constante, recuperaos Considereos un ejeplo para ilustrar el significado de la dilatación del tiepo y la contracción de longitudes de Lorentz. Supongaos que una partícula archa en S con velocidad u y se desintegrará tras un tiepo propio t. Desde el punto de vista clásico la partícula recorrerá una distancia L clasica = u t. En esta distancia tendríaos de situar los detectores si pretendeos detectarla antes de su desintegración. Sin ebargo, L clasica es incorrecta, siendo la distancia disponible L disponible = u t y según teneos L disponible > L clasica. Desde S donde la partícula se encuentra en reposo, se observa coo se acercan unos detectores con velocidad u. Dichos detectores recorrerá una distancia L = t u antes de que la partícula se desintegre. Si utilizaos la ecuación para transforar L al sistea S, recuperaos nuevaente L disponible. 76

4 Finalente veaos la relación entre velocidades en S y S. Considereos dos sucesos coincidentes con dos posiciones uy próxias en el oviiento de una partícula. Diferenciando resulta v y = dy dt = v y u 1 u 1 uv y /, v x = v 2 / 1 u x 1 uv y /, v z = v 2 / z 1 uv y /. (2.214) Supongaos que v y = u = αc siendo α 1. Clásicaente tendríaos erroneaente que v y = c para α = 1/2 y v y > c para α > 1/2. Utilizando la priera de las ecuaciones teneos v y = 2α 1 + α 2 c (2.215) por lo que v y c consiguiéndose la igualdad si α = 1, es decir v y = v y = c, en acuerdo con la universalidad de c Dináica Relativista. Definiendo cantidad de oviiento según la ecánica newtoniana, veos en el choque elástico de dos partículas el vector p 1 + p 2 no se conserva. Sin ebargo, definiendo p según la ecánica Lagrangiana (que se estudiará en cursos posteriores) teneos para la cantidad de oviiento la siguiente expresión: p = v (2.216) que si se conserva en choques entre partículas. La variación de la energía de una partícula sobre la que se ejerce una fuerza F puede expresarse así: e integrando teneos de dt = F v = d p v (2.217) dt E c = y para velocidades no relativistas, v/c 1, c2 (2.218) E v (2.219) De se sigue que la partícula de asa tiene una energía en reposo E = (2.220) Coo c, y 1 v 2 / dt ds/c no varían en una transforación de Lorentz, las cantidades p = 1 v 2 / dt d r, E = dt (2.221) 1 v 2 / dt se transforan coo (x, y, z, t) (ó bien (x, y, z, ict) ). Esto indica que (p x, p y, p z, ie/c) foran un cuatrivector. 77

5 Nota sobre la segunda ley de Newton En la ecuación heos utilizado la siguiente definición de fuerza F = d p dt. (2.222) Derivando y teniendo en cuenta teneos d F = a + v (2.223) dt c 2 por lo que la fuerza no es paralela a la aceleración coo sucede en ecánica newtoniana. Nótese que para /v 2 << 1, el térino entre parentesis de segundo suando de tiende a la constante, por lo que su derivada es nula, recuperando así la expresión clásica F = a. Supongaos que en 2.223, la fuerza actúa perpendicularente a la partícula, odificando la dirección de su velocidad pero no su ódulo. En este caso teneos F = a. (2.224) Si la velocidad cabia sólo de ódulo, es decir, la fuerza es paralela a la velocidad, teneos: F = ( ) 3 a. (2.225) 2 Veos pues que en estos casos particulares la fuerza y la aceleración son paralelas pero su razón es diferente en abos casos. Capo electroagnético Las coponentes del capo electroagnético Ē, B tabién se transforan al pasar de un triedro inercial S a otro S. Si la velocidad u de S respecto a S es ucho enor que c los capos se transforan del siguiente odo B B, E E + u B. (2.226) Teneos pues que una carga q en reposo en S y en presencia de un capo eléctrico E sufre la fuerza de Coulob F = q E. Dicha carga, vista desde S está soetida al capo E + u B y la fuerza resultante es la de Lorentz. 78