SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY.

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1 42 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril FUNCIONES SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. Resumen Se prueb que tod función holomorf es nlític, y recíprocmente. Se desrroll l teorí de Cuchy-Gourst locl en un rectángulo. Se demuestrn el teorem de Cuchy globl, y l fórmul integrl de Cuchy globl pr l función y pr su derivd n-ésim. Se demuestr el principio del módulo máximo y otros teorems que son consecuencis de l Teorí de Cuchy. Se incluyen plicciones l cálculo de integrles impropis en vrible rel. 4. Síntesis de l primer prte. Se suponen conocidos ls siguiente notciones y conceptos, expuestos en l sección 1.1: El plno complejo C. Conceptos de conjunto bierto, cerrdo, cotdo y compcto en C. Ω indic un conjunto bierto. D R (z 0 ) es el disco bierto de centro z 0 y rdio R, D R (z 0 ) es el disco cerrdo. Conceptos de conjunto bierto conexo (región), y de componentes conexs. Ls curvs en son siempre C 1 trozos. Conceptos de curvs homotópics en Ω, y de curvs cerrds homotópics en Ω un punto. Concepto de bierto Ω simplemente conexo. Concepto de sum de curvs, y de curv opuest. Conceptos de límite y continuidd de funciones complejs de vrible complej. Concepto de funciones complejs de clse C r y de clse C. L función exponencil complej. El rgumento de un complejo como conjunto. Teorem de Green pr l integrción de cmpos de clse C 1 en el plno, y sus corolrios Derivción y funciones holomorfs. Los detlles sí como ls demostrciones de los teorems y proposiciones de est subsección pueden encontrrse en l sección 2. Se Ω bierto contenido en C, f : Ω C, z 0 Ω. Definición Función derivble en un punto y función holomorf. f(z) es derivble en z 0 si existe el límite siguiente, llmdo derivd de f en z 0 : f(z) f(z 0 ) lím = f (z 0 ) z z 0 z z 0 f es holomorf en Ω si es derivble en z 0 pr todo z 0 Ω. Notción: Se denot H(Ω) l conjunto de tods ls funciones holomorfs en Ω. Teorem Tod función holomorf es continu.

2 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril Ejemplos de funciones holomorfs y lguns propieddes. ) Si f(z) = k constnte en Ω, entonces f (z) = 0, z Ω. b) Pr todo n nturl n 1, vle (z n ) = nz n 1, z C. c) Pr todo n nturl n 1, vle (z n ) = nz n 1, z C \ {}. d) L sum, el producto y l composición de funciones holomorfs son holomorfs. Vlen ls misms regls de derivción pr l sum, el producto y l composición, que pr funciones de vrible rel (en prticulr l regl de l cden pr derivr l composición de funciones). e) Los polinomios son funciones holomorfs en C. f) El cociente de funciones holomorfs en Ω es un función holomorf en Ω si no se nul el denomindor en Ω. g) e z es un función holomorf en C y (e z ) = e z pr todo complejo z. Teorem Ecuciones de Cuchy-Riemnn f es holomorf en Ω si y solo si u y v son diferencibles en todo punto de Ω y cumplen ls ecuciones de Cuchy- Riemnn siguientes: u x = v y, u y = v x, z Ω Teorem Expresión de l derivd. Si f es holomorf en Ω entonces donde f x = u x + iv x y f y = u y + iv y. f = u x iu y = v y + iv x, f = f x = if y Corolrio Si f H(Ω) tiene módulo constnte en el bierto conexo Ω entonces es constnte en Ω Integrción complej. Ls demostrciones de los teorems y proposiciones de est subsección se encuentrn en l sección 3.1. Definición Dd un función f : Ω C continu, y un curv C 1 trozos : z = z(t), t [, b], se define l integrl de f lo lrgo de como: b b b f(z)dz = f(z(t))ż(t)dt = Re[f(z(t))ż(t)] dt + i Im[f(z(t))ż(t)] dt Ejemplo Si C r es l circunferenci de centro en el punto y rdio r > 0, recorrid un sol vez en sentido ntihorrio, entonces: dz z = 2πi C r Proposición Propieddes de l integrl complej. 1. f(z)dz es independiente de l prmetrizción C1 trozos que se elij, con tl que se preserve l mism orientción de l curv. 2. f(z)dz = f(z)dz f(z)dz = 1 f(z)dz + 2 f(z)dz. 4. kf(z)dz = k f(z)dz si k es un constnte complej independiente de z pr z. 5. (f(z) + g(z))dz = f(z)dz + g(z)dz

3 44 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril Definición Dd un función f : Ω C se llm primitiv de f en Ω, si existe lgun, culquier función holomorf F H(Ω) tl que F (z) = f(z) z Ω. Teorem Regl de Brrow. Si f es continu y si existe F primitiv de f en Ω, entonces: f(z)dz = F(z 2 ) F(z 1 ) pr tod curv Ω con extremo inicil z 1 y extremo finl z 2. En prticulr f(z)dz = 0 pr tod curv cerrd Ω. Ejemplo Se m un número entero, m 1. L función (z ) m+1 /(m+1) es primitiv de (z ) m en C \ {}. Luego, pr tod curv cerrd que no pse por : (z ) m dz = 0 si m 1 En prticulr si m 0 entonces vle pr tod curv cerrd unque pse por. Ejemplo L función 1/(z ) es continu en Ω = C \ {}. Sin embrgo su integrl lo lrgo de l circunferenci C r Ω es 2πi 0. Luego, usndo el contrrrecíproco de l Regl de Brrow, se deduce que no existe primitiv de 1/(z ) en Ω. Corolrio Corolrio de l Regl de Brrow. Si f H(Ω) cumple f (z) = 0 z Ω entonces f es constnte en cd componente conex de Ω. Teorem Teorem fundmentl del cálculo. Se f es continu en Ω. ) Si existe lgun función F definid en Ω que cumple pr tod componente conex R de Ω F(z 1 ) F(z 0 ) = f(z)dz pr lgún punto z 0 R, pr todo z 1 R y pr tod curv Ω que un z 0 con z 1, entonces F es un primitiv de f en Ω (es decir F H(Ω) y F = f). b) Si f(z)dz = 0 pr tod curv cerrd contenid en Ω entonces existe primitiv de f en Ω. Teorem Acotción de integrles. Se Ω un curv culquier C 1 trozos, con longitud L, y prmetrizd con z = z(t), t [, b]. Se f continu en Ω, y se M máx z f(z). Se cumple l siguiente desiguldd: f(z)dz f(z) dz ML donde dz = ż(t) dt = ẋ 2 + ẏ 2 dt = ds, siendo s [0, L] l bscis curvilíne de l curv orientd pr t creciente.

4 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril Convergenci uniforme de series de funciones complejs. Los detlles sí como ls demostrciones de los teorems y proposiciones de est subsección se encuentrn en l sección 3.2. Se K un conjunto no vcío de complejos. Se pr cd nturl n 0 un función complej f n definid pr todo z K (no necesrimente continu). f n (z) = f(z) z K l serie que converge l función f(z) puntulmente en K, es decir, pr cd z fijo en K. (Ver definición de convergenci puntul en ) f n = f (C.U. en K) l serie que converge uniformemente en el conjunto K l función f(z). (Ver definición de convergenci uniforme en ) f n = f (C.A. z K) l serie que converge bsolutmente en el conjunto K l función f(z). Es decir, l serie de los módulos f n(z) converge puntulmente pr cd z K fijo. Luego, l serie dd, sin los módulos, converge tmbién puntulmente ciert función f(z). Not: Si un serie de funciones converge uniformemente en K f, entonces converge puntulmente f(z) pr todo z K fijo. El recíproco es flso. Ejemplo L serie geométric de rzón z definid como zn 2 converge puntulmente 1/(1 z) pr todo z tl que z < 1. Es decir z n = 1 1 z z D 1(0) Sin embrgo l serie zn no converge uniformemente en D 1 (0). Teorem Criterio de l myornte de Weierstrss. Si f n (z) A n, independiente de z, pr todo z K y si A n converge, entonces f n (z) converge uniformemente y bsolutmente en K Ejemplo L serie geométric zn = 1/(1 z) converge uniformemente en culquier conjunto compcto K contenido en D 1 (0). Teorem Convergenci uniforme y continuidd. Si pr todo n 0 l función f n es continu en K, y si f n = f (C.U. en K), entonces f es continu en K. 2 Por convención z 0 = 1 pr todo z, ún busndo de l notción, cundo z = 0.

5 46 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril Teorem Convergenci uniforme e integrción. Si pr todo n 0 l función f n es continu en K, y si f n converge uniformemente en K, entonces ( ) f n (z) dz = pr culquier curv C 1 trozos contenid en K. ( ) f n (z)dz