Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones

Transcripción

1 Definición de Polinomio Epresiones Algerics Epresión lgeric es tod cominción de números letrs ligdos por los signos de ls operciones ritmétics: dición, sustrcción, multiplicción, división potencición. Ls epresiones lgerics provienen de fórmuls físics, geométrics, de economí, etc. Son epresiones lgerics: c ; t ; 7 z ; Ls operciones que se relizn con letrs son ls misms que ls relizds con números cumplen ls misms regls. A continución recordmos lguns fórmuls de mgnitudes geométrics, físics, etc., que vienen dds por epresiones lgerics. Volumen del cuo de ldo Volumen del ortoedro de ldos, c Áre del círculo de rdio r π r c Digonl de un rectángulo de ldos B Áre de un trpecio de ses B, ltur h h Densidd de un cuerpo de ms M volumen V M V Monomios Un monomio es un epresión lgeric en l que ls únics operciones con letrs que intervienen son l multiplicción l potencición de eponente nturl. Monomio signific un término (monos, en griego, signific uno). Son monomios ; 9zt ; tm No son monomios ; ; 7 z Ls fórmuls geométrics, c, π r, etc., son monomios. Todo monomio está formdo por: Un prte numéric, llmd coeficiente. Un prte literl constituid por letrs sus eponentes. El grdo de un monomio es l sum de todos los eponentes de ls letrs o vriles. El grdo de un monomio respecto de un vrile es el eponente de es vrile. I.E.S. Historidor Chás -- Jun Brgdo Rodríguez

2 Ejemplo El grdo del monomio 7 tm es 7 demás es de grdo respecto l vrile, de grdo respecto l vrile, de grdo respecto l vrile t de grdo respecto l vrile m. Dos monomios son semejntes cundo tiene l mism prte literl (ls letrs pueden estr cmids de orden) en el cso de que los monomios tengn el mismo coeficiente se dice que son igules (o equivlentes). Ejemplo Son semejntes los monomios 7 z z No son semejntes los monomios 7 z 7 z Son igules los monomios 7 z 7 z Polinomios Un polinomio es un epresión lgeric formd por l sum de dos o más monomios puede tener un o más vriles. Polinomio signific vrios términos (pols en griego signific vrios). Son polinomios ; ; z 7t No son polinomios ; ; z t z Se llm polinomio de grdo n, en un indetermind, tod epresión de l form: n n... n n 0 en l que: n es un número nturl denominn coeficientes n 0 n, n,...,,, 0 son números reles que se Es costumre designr los polinomios medinte ls siguientes notciones: P( ), Q( ), R( ),... P(, ), Q(, ),... indicndo entre préntesis ls vriles. Así, por ejemplo, diremos: el polinomio P( ), o ien: el polinomio Q( ) Crcterístics Cd uno de los monomios que componen el polinomio se llm término. El coeficiente 0 se llm término independiente. Los polinomios que sólo constn de uno, dos o tres términos se llmn monomios, inomios o trinomios, respectivmente. En generl escriiremos los polinomios ordendos según potencis decrecientes de l vrile. El grdo de un polinomio es el mor de los grdos de los términos que lo formn. El grdo de un polinomio respecto de un vrile es el mor eponente con que figur dich vrile. I.E.S. Historidor Chás -- Jun Brgdo Rodríguez

3 es de grdo 7 z de grdo respecto de, de grdo respecto de z de grdo respecto de. Un polinomio se dice completo cundo eisten términos de todos los grdos desde 0 hst el mor. 7 7 es un polinomio completo Un polinomio se dice ordendo respecto de un vrile cundo los grdos de los términos vn creciendo o decreciendo. 7 7 es decreciente 7 7 es creciente Un número rel distinto de cero es un polinomio que únicmente tiene término independiente se dice que el grdo de estos polinomios es cero. Dos polinomios son igules cundo son equivlentes o cundo los términos que lo formn son igules. Vlor numérico de un polinomio Ddo un polinomio P( ) un número, se llm vlor numérico de P( ) pr l número que se otiene l sustituir por efectur ls operciones indicds. Dicho vlor numérico se design medinte l notción P(). Ejemplo Clculr el vlor numérico del polinomio P() pr. P( ) ( ) ( ) ( ) 0 Ejemplo Ddo el polinomio P( ) determinr P( 0 ), P P( 0) 0 0 P P() P( ) ( ) Ejemplo Averigur el vlor de k en el polinomio P( ) k pr que P( ). P( ) k k k I.E.S. Historidor Chás -- Jun Brgdo Rodríguez

4 Operciones con Polinomios Sum rest de polinomios Pr sumr o restr dos o más polinomios, se sumn o restn los coeficientes de los términos del mismo grdo. Pr relizr l sum o rest de polinomios se disponen los polinomios uno sore otro, hciendo coincidir los términos del mismo grdo en l mism verticl, dejndo huecos si es necesrio, sumndo entonces los coeficientes. Ejemplo Clculr P( ) Q() P() Q() siendo: P() 7 Q() P( ) 7 Q( ) P( ) Q( ) 8 8 P( ) 7 Q( ) P( ) Q( ) 9 Ejemplo Si P(), Q( ) R(), clculr: ) P() Q() R() ) R() Q(). ) P() Q() P() Q() R() ) R() Q() 7 I.E.S. Historidor Chás -- Jun Brgdo Rodríguez

5 Prolems propuestos con soluciones ) Ddos los polinomios clculr: P(), Q() R() ) P() Q() ) P() Q() R() c) P() R() d) P() Q() R() Soluciones ) ) 9 c) d) 7 ) Oper simplific: ) ( 7 ) ( 9 ) ) (9 ) Soluciones ) ) 0 7 Producto de polinomios El producto de dos polinomios es igul otro polinomio cuos términos se otienen multiplicndo cd término del primero por cd término del segundo, reduciendo luego los términos semejntes. Pr relizr el producto de polinomios se disponen los polinomios uno sore otro, hciendo coincidir los términos del mismo grdo en l mism verticl, dejndo huecos cundo flt lgún término. Ejemplo Clculr P()Q() si P() Q() 7 P( ) Q( ) P( ) Q( ) Ejemplo Clculr P() Q() R() siendo P(), Q() R() I.E.S. Historidor Chás -- Jun Brgdo Rodríguez

6 P() Q() P() Q() R() Prolems propuestos con soluciones 7 7 ) Ddos los polinomios clculr: P(), Q() R() ) Q()[P() R()] Soluciones ) [P()] c) [Q()] P()R() ) c) 8 ) ) Oper simplific: ) ( )( ) ( )( ) c) ( )( ) d) ( Soluciones 9 )(7 ) ) d) ) 0 0 c) 7 ) Oper simplific: Solución En los csos donde intervienen frcciones, lo más práctico es multiplicr cd término del primer préntesis, con su signo, por todos los términos del otro préntesis (con sus signos respectivos) epresndo el resultdo en un líne (este procedimiento es el más práctico). I.E.S. Historidor Chás -- Jun Brgdo Rodríguez

7 9 8 8 Simplificndo: Agrupndo términos: ) Oper simplific: 0 ) ) c) d) e) Soluciones ) d) 9 ) 8 e) c) ( ) Productos o Identiddes Notles Se llmn productos o identiddes notles cierts epresiones lgerics que nos encontrmos frecuentemente en mtemátics que conviene conocer su desrrollo sin necesidd de hcerlo pso pso. Binomio l cudrdo o cudrdo de l sum de dos cntiddes El áre del cudrdo eterior es Este cudrdo, de dimensiones 7 7, lo podemos descomponer, como si de ls piezs de un puzzle se trtr, en dos cudrdos distintos (colores nrnj verde) dos rectángulos igules (color zul), todos ellos con un vértice en común. Uno de los cudrdos tiene de ldo, el otro cudrdo tiene de ldo los dos rectángulos tienen por ldos, como se oserv en el diujo que h en l prte derech. Todo lo nterior lo podemos epresr medinte l iguldd: I.E.S. Historidor Chás -7- Jun Brgdo Rodríguez

8 7 7 ( ) ( ) () 9 Generlizción Si tenemos un cudrdo de ldo podemos descomponerlo en dos cudrdos dos rectángulos. Un cudrdo de ldo, otro cudrdo de ldo dos rectángulos igules de ldos. De l figur djunt deducimos l siguiente epresión: ( ) Ejemplo ( ) Ejemplo 9 9 Binomio l cudrdo o cudrdo de l diferenci de dos cntiddes Si tenemos un cudrdo de ldo podemos descomponerlo en dos cudrdos dos rectángulos. Un cudrdo de ldo, otro cudrdo de ldo dos rectángulos igules de ldos. De l figur djunt deducimos l siguiente epresión: ( ) ( ) ( ) ( ) Despejndo ( ) otenemos: ( ) Ejemplo ( ) Ejemplo 9 9 I.E.S. Historidor Chás -8- Jun Brgdo Rodríguez

9 Producto de l sum por l diferenci de dos cntiddes. Diferenci de cudrdos Prtiendo de un cudrdo de ldo vemos cuál es el áre que result l eliminr de este cudrdo un cudrdo de ldo. Como se oserv en l figur superior, el áre del rectángulo de l derech es igul l áre del cudrdo de l izquierd de ldo menos el áre del cudrdo más pequeño de ldo. ( )( ) Ejemplo ( )( ) Ejemplo 9 Resumen Al elevr un inomio l cudrdo se verific: Los cudrdos correspondientes l primer segundo término siempre son positivos. Si los dos términos del inomio son positivos o los dos son negtivos, el término correspondiente l dole del producto del primer término por el segundo término siempre es positivo. Si uno de los dos términos es negtivo el otro es positivo, el término correspondiente l dole del producto del primer término por el segundo término siempre es negtivo. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) I.E.S. Historidor Chás -9- Jun Brgdo Rodríguez

10 Prolems resueltos Ejemplo ( ) ) ( Ejemplo ( ) 9 9 ) ( Ejemplo ( ) ) ( ) ( Ejemplo ( )( ) ) ( Ejemplo ( ) 9 n n () n (n) n Ejemplo 0 0 ) ( ) ( ) ( Ejemplo Ejemplo Ejemplo ) ( ) )( ( Ejemplo Ejemplo 9 9 Ejemplo 9 9 Ejemplo 9 Ejemplo Ejemplo ( ) I.E.S. Historidor Chás -0- Jun Brgdo Rodríguez

11 Ejemplo Ejemplo Trnsformr ls siguientes epresiones en cudrdo perfecto. ) 9 ) 0 c) ) 9 ( ) ) 9 ( ) c) Epres como un identidd o producto notle ls siguientes epresiones: ) ) 9 9 c) 8 d) 9 e) f) g) h) 00 i) j) 9 ) ( )( ) ) ( )( ) c) (9 )(9 ) d) (7 ) e) ( )( ) f) ( )( ) g) ( )( ) h) (0 )(0 ) i) ( )( ) j) ( )( ) Ejemplo Clcul el áre de un cudrdo cuo ldo mide A ( ) ( ) 7 Ejemplo Clcul el áre de un rectángulo cuos ldos miden A ( )( ) ( ) Ejemplo Clcul el áre de un triángulo cu se mide cu ltur mide. h ( )( ) ( ) ( ) A I.E.S. Historidor Chás -- Jun Brgdo Rodríguez

12 División de polinomios L división enter de dos polinomios sigue el mismo proceso que l división de números nturles. Ddos dos polinomios, dividendo divisor (no nulo), se trt de hllr otros dos, cociente resto, con ls siguientes condiciones: D( ) d( ) R( ) C( ) D() d() C() R() R( ) < grdo d( ) Si en un división de polinomios el resto es cero, se dice que l división es ect. D( ) d( ) C( ) D() d() C() El proceso pr clculr el polinomio cociente resto lo nlizmos trvés de dos ejemplos, teniendo en cuent que h que ordenr los polinomios dividendo divisor en orden decreciente de sus eponentes dejndo en el dividendo los huecos correspondientes los términos que no eistn. Ejemplo Clculr el cociente resto de dividir los polinomios ( 8 ) : ( ) ) Se divide el monomio por el monomio. El resultdo divisor el producto se rest del dividendo. se multiplic por el ) Se divide por. El resultdo,, se multiplic por el divisor el producto se rest del nuevo dividendo, sí sucesivmente. ) El proceso finliz cundo el grdo del polinomio del resto es menor que el grdo del polinomio del divisor. I.E.S. Historidor Chás -- Jun Brgdo Rodríguez

13 Ejemplo Clculr el cociente resto de dividir los polinomios ( ) : ( ). El cociente es 0 0 c () el resto es r () 0, por lo tnto l división es ect. Ejemplo Clculr el cociente resto de dividir los polinomios ( ) : ( ). El cociente es c() el resto es r (). Ejemplo Efectur l división: ( ) : ( ). El cociente es c() el resto es r(). I.E.S. Historidor Chás -- Jun Brgdo Rodríguez

14 Prolems propuestos con soluciones Clculr el resto el cociente de ls divisiones siguientes: ) entre ) entre c) 7 entre. d) entre e) ( ) : ( ) f) por Soluciones ) c() r() 0 ) c() r() 0 c) c() r() 0 d ) c() r() e) c() 0 7 r() 90 f ) c() r() I.E.S. Historidor Chás -- Jun Brgdo Rodríguez