aletos CAPÍTULO 1.01 VECTORES

Transcripción

1 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí Introducción Hy cierts propieddes físics que quedn completmente determinds en un sistem de uniddes, dndo solmente un número, que es l medid de dichs propieddes. Por ejemplo, l ms y l energí de un prtícul, l tempertur de un cuerpo, l presión de un gs. Ests mgnitudes físics reciben el nombre de mgnitudes esclres, o simplemente esclres. Existen, sin embrgo, otrs propieddes que no quedn determinds dndo solmente un número. Si decimos que un prtícul se desplz con un velocidd de 2m/s., no estmos dndo un informción complet del fenómeno. Pr que quede totlmente crcterizdo el movimiento debemos indicr en qué dirección se mueve y en qué sentido. Si un disco gir en torno un eje, pr que su movimiento quede totlmente determindo es preciso sber cuál es el eje de giro, por medio de un dirección, en qué sentido gir, y demás el vlor numérico de su velocidd ngulr. Ests mgnitudes se denominn mgnitudes vectoriles, o simplemente vectores. Los vectores que que no están ligdos ningún sentido de rotción se denominn vectores polres, mientrs que quéllos que están relciondos con un sentido de giro se denominn vectores xiles. Vectores polres son: l velocidd, l celerción, l fuerz, y muchs otrs que irán preciendo en el estudio de l Físic. Vectores xiles son: l velocidd ngulr, l celerción ngulr, el producto vectoril de dos vectores, y demás de otros muchos, tods ls mgnitudes que se definen prtir de un producto vectoril de dos vectores, tles como el momento de un fuerz, el momento ngulr, etc. Los vectores se representn, prescindiendo de su propiedd físic, por medio de segmentos orientdos en el espcio. Son los llmdos vectores mtemáticos que se estudin siguiendo uns leyes geométrics. Ests leyes nos permiten describir con un grn sencillez ls propieddes físics de ls mgnitudes vectoriles. 1.2 Vectores Un vector es, desde el punto de vist geométrico, un segmento orientdo en el espcio. Ls propieddes que suelen citrse normlmente pr crcterizr un vector son: módulo, que es l longitud del segmento que lo represent, y que expres, emplendo un escl decud, el vlor o medid de dich mgnitud. dirección, que qued determind por l rect que contiene dicho segmento. sentido, que qued determindo por l flech del segmento. Sin embrgo, no suele mencionrse el punto de plicción, u origen del vector, y en ocsiones, como se verá luego, puede ser un fctor decisivo pr diferencir un vector de otro. Tmpoco suele mencionrse el extremo del vector que corresponde l punt de l flech que lo represent. L form gráfic de representr un vector, es, por ejemplo, o simplemente, por, y su módulo, se expres por, FIG. 1-1 En ests págins, por rzones de tipogrfí, cundo se mencione un vector en ls línes de un párrfo, se representrá en tipo negrit, y su módulo en tipo cursiv. cundo esté formndo prte de un fórmul, se representrá como se h indicdo nteriormente. Pr poder definir un mgnitud físic que pued incluirse en un formulción mtemátic es necesrio estblecer l iguldd y l sum de dos representntes de dich mgnitud. 1.3 Iguldd de vectores Dos vectores son, geométricmente igules, cundo tienen igul módulo, dirección y sentido. No se debe olvidr que dos rects tienen igul dirección cundo son prlels. Pero l hor de estblecer l iguldd de vectores hy que tener cuiddo con deducir conclusiones errónes. FIG. 1-2 No se debe confundir l iguldd geométric con l iguldd físic.

2 2 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí Por ejemplo, l condición de iguldd nterior, puede no ser válid físicmente, si considermos dos fuerzs de igul módulo, dirección y sentido, plicds puntos diferentes de un sólido rígido. Como se verá en el tem dedicdo l momento de un fuerz, los efectos producidos pueden ser muy diferentes, y por tnto, unque sen geométricmente igules, no lo son físicmente. Por consiguiente, el punto de plicción de un vector, que suele olvidrse frecuentemente l mencionr sus crcterístics, puede ser decisivo l hor de scr conclusiones. 1.4 Sum de vectores s s 2 1 A s B s 2 s 1 A s 2 s 1 FIG. 1-3 s FIG. 1-4 B B Supongmos que un prtícul efectú un desplzmiento prtir del punto hst el punto A, representdo por el vector s 1 y continución un nuevo desplzmiento desde A hst B, representdo por el vector s 2. Evidentemente, el desplzmiento totl es B, representdo por el vector s. De l figur 1.3 se deduce que el desplzmiento totl o sum de los desplzmientos s 1 y s 2, se obtiene gráficmente uniendo el origen del vector s 1 con el extremo B del vector s 2. Expresremos l sum en l form: s = s 1 +s 2 [1.1] Hy otr form de obtener el vector sum: A prtir del punto se trzn dos vectores de igul dirección y sentido que s 1 y s 2 ; continución se dibuj prtir del extremo de s 1 un segmento prlelo s 2, y por el extremo de s 2, un segmento prlelo s 1. El vector sum es el vector que se obtiene trzndo l digonl B. s 5 Pr sumr vrios vectores es preferible utilizr el primer método: A prtir del extremo del primer vector se trz un vector de igul dirección y sentido que el siguiente sumndo, y sí sucesivmente. El vector sum es el vector que se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del último. 1.5 Propieddes de l sum de vectores s 2 s s 1 FIG. 1-5 Se puede comprobr geométricmente de un form inmedit que l sum de vectores tiene l propiedd conmuttiv +b =b + [1.2] y l propiedd socitiv: 1.6 Vector nulo +(b +c ) = ( +b)+c s 3 s 4 [1.3] Es un vector que cumple l condición: 0 + = culquier que se el vector. El vector nulo se crcteriz por no tener un dirección ni un sentido determindos y cuyo módulo es: 0 = 0 [1.4] 1.7 Vector opuesto uno ddo FIG. 1-6 b = Ddo un vector siempre es posible encontrr otro vector b, tl que, sumdo con el nterior, dé como resultdo el vector nulo: +b = 0 de donde se deduce que, b = [1.5]

3 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí 3 El vector opuesto uno ddo tiene su mism dirección y módulo pero sentido contrrio. 1.8 Sustrcción de vectores De l figur 1.3, y de l relción [1.1] se deduce que, s 2 = s s 1 de modo que el vector diferenci entre dos vectores ddos, es un vector que tiene por origen el extremo del sustrendo, y por extremo, el extremo del minuendo. 1.9 Multiplicción de un vector por un esclr El producto de un vector, por un esclr λ, es, por definición, otro vector de igul dirección que, cuyo módulo es λ veces el módulo de, y cuyo sentido es el mismo que el de, si λ es positivo, y de sentido contrrio si λ es negtivo. Se puede demostrr geométricmente de un form muy sencill que est operción tiene l propiedd distributiv: 1.10 Vector unitrio λ( +b ) = λ + λb Si tommos un esclr λ que se igul l inverso del módulo de un vector [1.6] λ = 1 = 1 el vector λ, según l definición del producto de un vector por un esclr, es otro vector de igul dirección y sentido que, puesto que λ es positivo, y cuyo módulo es: λ = λ = 1 = 1 Un vector de ests crcterístics recibe el nombre de vector unitrio en l dirección de, y se represent por. u De l definición se deduce que el vector se puede expresr en l form: = u [1.7] 1.11 Componentes de un vector en el plno Se llmn componentes de un vector ddo, dos vectores c, coplnrios con él, que, sumdos, den el vector. Si no se impone ningun condición los sumndos, hy infinits soluciones pr hllr c. Sin embrgo, si se fijn de ntemno ls direcciones de c, siendo coplnris con, l solución es únic. Tiene prticulr interés el cso en que ls direcciones de los vectores componentes son perpendiculres entre sí. Si tommos ests direcciones como ejes coordendos en el plno, y como origen de coordends, el origen del vector, se puede expresr que: y j i FIG. 1-7 x = x + [1.8] y y, si llmmos i y j, respectivmente, los vectores unitrios en ls direcciones de los ejes y, se puede escribir: = x + y = x i + y j Los esclres x y y reciben el nombre de componentes rectngulres del vector en el sistem de coordends y. Es frecuente denominr tmbién los vectores unitrios según los ejes de coordends, u x y u y

4 4 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí 1.12 Componentes de un vector en el espcio Nos interes en prticulr el cso en que ls direcciones de los vectores componentes son perpendiculres entre sí, formndo un triedro trirrectngulr. Este triedro de referenci se tomrá siempre de mner que, si imginmos un sccorchos, o un tornillo, situdo perpendiculrmente l plno, y se le hce girr desde el semieje positivo hci el semieje positivo por el cmino más corto, el sccorchos, o el tornillo, vnce en el sentido positivo del eje. Análogmente, si imginmos el sccorchos, o un tornillo, situdo perpendiculrmente l plno, y se le hce girr desde el semieje positivo hci el semieje positivo por el cmino más corto, el sccorchos, o el tornillo, vnce en el sentido positivo del eje., por último, si imginmos el sccorchos, o el tornillo, situdo perpendiculrmente l plno, y se le hce girr desde el semieje positivo hci el semieje positivo por el cmino más corto, el sccorchos, o el tornillo, vnce en el sentido positivo del eje. Un triedro de est nturlez recibe el nombre de triedro positivo o dextrógiro. x i z k j ' FIG. 1-8 y Si situmos un vector, con su origen en el origen de un triedro positivo, y proyectmos el vector sobre el plno, obtenemos el vector. Trzndo por el extremo de un segmento prlelo ʼ, determin sobre el eje un segmento z, que es el módulo de un vector z tl que = ' + z y su vez, descomponiendo el vector ʼ en sus componentes según los ejes y, = x + y + z [1.9] Si hor designmos por i, j, y k, los vectores unitrios según los ejes coordendos,, y, respectivmente, = x i + y j + z k [1.10] 1.13 Producto esclr de dos vectores A lo lrgo del desrrollo de l Físic, l vist de cierts expresiones que hn ido preciendo frecuentemente l estudir lguns propieddes de mgnitudes vectoriles, se h visto l necesidd de doptr nuevs definiciones pr crcterizr dichs expresiones. Un de ells es el producto esclr de dos vectores. Se llm producto esclr de dos vectores l esclr definido como: b =.b.cos θ [1.11] siendo θ el menor ángulo formdo por los vectores y b. El producto esclr es conmuttivo: b =b..cos ( θ) =.b.cos θ = b y tiene l propiedd socitiv respecto de l multiplicción por un esclr: λ( b) = λ(.b.cos θ) = (λ).b.cos θ = (λ ).b λ(.b.cos θ) = (λb).cos θ = (λb) Si los vectores y b son perpendiculres entre sí, el producto esclr es nulo: b =.b.cos 90º= 0 de modo que l condición pr que dos vectores sen perpendiculres es que su producto esclr se nulo. El módulo de un vector se puede expresr como l ríz cudrd del producto esclr por sí mismo: =..cos 0º = 2 = [1.13] [1.12]

5 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí 5 θ FIG. 1-9 b Es útil en lguns ocsiones expresr el producto esclr de dos vectores en l form: b =.b.cos θ =.(b.cos θ) =.proyección b [1.14].b.cos θ = b.(.cos θ) =b.proyección b Si el vector b es un vector unitrio en un determind dirección, u =.1.cos θ = cos θ = proyección u que es, precismente, l componente del vector en l dirección de u. [1.15] 1.14 Propiedd distributiv del producto esclr El producto esclr tiene l propiedd distributiv respecto l sum de vectores: ( +b) c = c +b c L demostrción se bs en un conocid propiedd geométric: L proyección de un líne poligonl biert sobre un dirección dd es l sum de ls proyecciones sobre dich dirección de cd componente de l líne poligonl. Según esto, l proyección de +b sobre el vector c es: proyección ( +b) c = proyección c + proyección b c [1.17] y según [1.15], cd término de l iguldd nterior se puede escribir en l form: proyección ( +b) c = ( +b) u c proyección c = u c proyección b c = b u c siendo u c un vector unitrio en l dirección del vector c y en su mismo sentido. Sustituyendo ls relciones [1.18] en [1.17]: ( +b) u c = u c +b u c Multiplicndo hor los dos miembros por el módulo del vector c, ( +b) cu c = cu c +b cu c de donde, finlmente se obtiene, ( +b) c = c +b c Un vez demostrd est propiedd, se puede obtener un expresión del producto esclr de dos vectores en función de sus componentes rectngulres. Vmos desrrollr est expresión pr dos vectores en el espcio de tres dimensiones, en un sistem de coordends, y luego es fácil prticulrizr pr dos vectores en el plno. Supongmos que tenemos dos vectores, y b, expresdos en función de sus componentes rectngulres: = x i + y j + z k b = i + j + k El producto esclr, plicndo l propiedd distributiv, es: b = ( x i + y j + z k) ( i + j + k) = = x i i + x i j + x i k + + y j i + y j j + y j k + + z k i + z k j + z k k [1.16] [1.18] [1.19]

6 6 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí y teniendo en cuent que los productos esclres de los vectores unitrios son i i = 1.1.cos0º= 1 i j = j i = 1.1.cos90º= 0 i k = k i = 1.1.cos90º= 0 j j = 1.1.cos0º= 1 j k = k j = 1.1.cos 90º= 0 k k = 1.1.cos0º= 1 sustituyendo en [1.19], se obtiene finlmente, Como cso prticulr si =b b = x + y + z [1.20] = x x + y y + z z = 2 x y + z Si los vectores están referidos un sistem plno de ejes coordendos, es fácil deducir que l expresión [1.20] se convierte en: b = x + y [1.22] como cso prticulr si =b 1.15 Producto vectoril de dos vectores = x x + y y = 2 2 x + y Por l mism rzón que se introduce en Físic el producto esclr de dos vectores, nte l prición de cierts mgnitudes vectoriles se ve l convenienci de definir sus propieddes por ls de un vector cuys crcterístics son: módulo: igul l producto de los módulos de dos vectores, multiplicdo por el seno del ángulo que formn, medido en el sentido que v, por el cmino más corto, del primer vector hci el segundo. dirección: perpendiculr l plno determindo por dichos vectores. sentido: el de vnce de un sccorchos, o el de un tornillo, situdo perpendiculrmente l plno determindo por dichos vectores, que gir desde el primer vector hci el segundo por el cmino más corto. c FIG θ b b FIG Se define el producto vectoril de dos vectores c = b cuyo módulo es c = b = b sen θ y b como un vector c [1.21] [1.23] Hy que dvertir que ls crcterístics nteriormente mencionds se deben plicr teniendo los dos vectores el mismo origen. Si no lo tienen, se trz por el origen de uno de ellos un vector prlelo l otro, de igul módulo y sentido. El olvido de est condición puede llevr errores en l interpretción del resultdo. y cuy dirección y sentido son los que muestr l figur Se deduce fácilmente que el módulo del producto vectoril de dos vectores es igul l áre del prlelogrmo de ldos y b Propieddes del producto vectoril I. El producto vectoril no es conmuttivo. Si se cmbi el orden de los fctores, cmbi su sentido, como se deduce de l definición del producto vectoril: [1.24] [1.25]

7 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí 7 b = ( b ) II. El producto vectoril de dos vectores de igul dirección es nulo:.b sen 0º= 0 si y b son de igul sentido b =.b sen180º= 0 si y b son de sentido contrrio lo que nos proporcion un criterio de prlelismo entre dos vectores: Si el producto vectoril de dos vectores es nulo, dichos vectores son prlelos. III. El producto vectoril es socitivo respecto de l multiplicción por un esclr: λ( b ) = (λ ) b = (λb ) IV. El producto vectoril es distributivo respecto de l dición de vectores: (b +c ) = b + c V. El producto vectoril de dos vectores en función de sus componentes rectngulres es: b = ( x i + y j + z k) ( i + j + k) = = x (i i)+ x (i j)+ x (i k)+ + y (j i)+ y (j j)+ y (j k)+ + z (k i)+ z (k j)+ z (k k) y teniendo en cuent que: i i = 1.1.sen 0º= 0 i j = k i k = j j i = k j j = 1.1.sen 0º= 0 j k = i k i = j k j = i k k = 1.1.sen 0º= 0 [1.26] [1.27] [1.28] [1.29] [1.30] sustituyendo [1.30] en [1.29], se obtiene: b = ( x i + y j + z k) ( i + j + k) = = + x k x j y k + y i + z j z i = = ( y z )i +( z x )j +( x y )k b = ( y z )i +( z x )j +( x y )k [1.31] Si los vectores están referidos un sistem plno de ejes coordendos, l expresión [1.20] se convierte en: b = ( x i + y j) ( i + j) = = x (i i)+ x (i j)+ y (j = x k y k = ( x y )k i )+ y (j j) = b = ( x y )k [1.32]

8 8 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí 1.17 Producto mixto de tres vectores Se denomin producto mixto de tres vectores.( b c) es decir, l producto esclr de un vector por el producto vectoril de otros dos. Considerndo tres vectores, c, no coplnrios, y recordndo ls propieddes del producto vectoril de dos vectores, el producto b c es un vector cuy dirección es norml l plno determindo por los vectores c, y supondremos que qued en el mismo semiespcio que el vector. Si sí no fuer, pr nuestro propósito, bstrí cmbir el orden del producto vectoril. El módulo es el áre del prlelogrmo que tiene por ldos dichos vectores. De modo que b c = áre del prlelogrmo ( b, c) n siendo n un vector unitrio en l dirección de l norml l plno (b, c). Por otr prte,.( b c) = áre del prlelogrmo ( b, c) n = áre del prlelogrmo ( b, c) n Pero n = h siendo h l ltur del prlelepípedo construido sobre los tres vectores como ldos, y el prlelogrmo (b,c), l bse. De modo que.( b c) = áre del prlelogrmo ( b, c) h = volumen (, b, c) es decir, el volumen del menciondo prlelepípedo. como podemos tomr como bse culquier de ls crs, result que [1.33] [1.34] ( b c) = b ( c ) = c ( b ) [1.35] 1.18 Derivd de un vector respecto de un esclr Si un vector no es constnte, y depende de un ciert mgnitud esclr u, se suele expresr en l form: = (u) Si l mgnitud esclr experiment un vrición Δu, el vector se trnsform en otro vector = (u + Δu) que, en generl, será diferente, tnto en módulo, como en dirección y sentido. El vector h sufrido un incremento que es l diferenci vectoril (u + Δu) (u) y dividiendo por el incremento de l mgnitud esclr Δu, se obtiene un nuevo vector, y por nlogí con l definición pr un función esclr, se llm derivd de un vec - tor respecto un esclr un vector con el que tiende coincidir el vector [1.33] cundo Δu tiende cero, y se expres escribiendo: du = lim Δu 0 Δu y teniendo en cuent ls componentes crtesins del vector, d d du = d x (u + Δu) (u) du i + d y du j + d z du k [1.36]

9 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí 9 Sistems de coordends Un sistem de coordends es un conjunto de vlores numéricos que determinn unívocmente l posición de un punto en el espcio euclidino. Ls coordends se escriben en un orden determindo. El estudio de los sistems de coordends es objeto de l geometrí nlític, y permite formulr los problems geométricos de form numéric Coordends crtesins o rectngulres Este sistem qued determindo por tres ejes perpendiculres, dos dos, siendo el punto de intersección de los tres ejes el origen de coordends. Por convenio, se utiliz siempre un sistem dextrógiro, según el cul, un sccorchos, o un tornillo roscdo derechs, situdo lo lrgo del eje vnz en el sentido positivo de dicho eje l hcerlo girr desde el eje hci el eje, siguiendo el recorrido más corto. Este convenio es indispensble pr l correct plicción de ciertos teorems. El sentido positivo de cd eje coordendo se represent por un vector unitrio que denominremos, respectivmente, por u x, u y y u z. Estos vectores unitrios puntn siempre en l mism dirección y en el mismo sentido, y no cmbin, por tnto, de un punto otro del espcio. x y (x,y,z) z u x u z u y dz ds x = dy dz ds z = dx dy ds y = dx dz dx dy Producto esclr de dos vectores Producto vectoril de dos vectores Elemento de longitud infinitesiml b = x + y + z b =( y z ) u x +( z x ) u y +( x y ) u z dl =dx u x +dy u y +dz u z [1.37] [1.38] [1.39] Elemento de áre infinitesiml contenido en el plno ds xy =dx.dy, Elemento de áre infinitesiml contenido en el plno ds xz =dx.dz, Elemento de áre infinitesiml contenido en el plno ds yz =dy.dz, ds xy =dx.dy u z ds xz =dx.dz u y ds yz =dy.dz u x [1.40] [1.41] [1.42] Elemento de volumen infinitesiml dv = dx.dy.dz [1.43]

10 10 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí 1.20 Coordends cilíndrics o circulres Este sistem es prticulrmente útil cundo existe un eje de simetrí, que se consider como eje. Tomndo como punto de prtid el sistem crtesino, culquier punto del espcio qued determindo por l intersección de tres superficies: - Un superficie cilíndric de eje y rdio r. - Un plno que ps por el eje y form un ángulo ϕ con el plno. - Un plno de coordend z constnte. Ls coordends cilíndrics de culquier punto son, pues, (r, ϕ, z). El sentido positivo de cd eje coordendo se represent por un vector unitrio, que denominremos por u r, u ϕ y u z. Estos vectores unitrios son respectivmente perpendiculres cd un de ls superficies citds nteriormente y su sentido positivo es el que corresponde un umento de l coordend correspondiente. Hy que hce notr que, diferenci de lo que ocurre con los vectores unitrios crtesinos, l dirección de los vectores unitrios en coordends cilíndrics vrí con l posición de cd punto, excepto l del vector unitrio u z Por convenio, l tríd de vectores unitrios u r, u ϕ y u z debe formr un sistem rectngulr dextrógiro. ds z =rdφdr (r,φ,z) z r φ u z u r u φ dz dr z dφ r φ ds φ =drdz ds r =rdφdz rdφ rdφ Producto esclr de dos vectores b = r b r + ϕ b ϕ + z [1.44] Producto vectoril de dos vectores b =( ϕ z b ϕ ) u r +( z b r r ) u ϕ +( r b ϕ ϕ b r ) u z [1.45] Elemento de longitud infinitesiml dl =dr u r +r dϕ u ϕ +dz u z [1.46] Elemento de áre infinitesiml contenido en l superficie cilíndric de rdio r ds r = r dϕ.dz, ds r = r dϕ.dz u r Elemento de áre infinitesiml contenido en el plno determindo por r y el eje ds ϕ =dr dz, ds ϕ =dr dz uϕ y [1.47] [1.48] Elemento de áre infinitesiml contenido en el plno de coordend z ds z = r dr dϕ, ds z = r dr dϕ u z [1.49] Elemento de volumen infinitesiml dv = r dr dϕdz [1.50]

11 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí Coordends esférics Este sistem es prticulrmente útil cundo existe un centro de simetrí, que se consider como origen de coordends. Tomndo como punto de prtid el sistem crtesino, culquier punto del espcio qued determindo por l intersección de tres superficies: - Un superficie esféric de centro y rdio r. - Un plno que ps por el eje y form un ángulo ϕ con el plno. - Un superficie cónic de vértice y eje de semiángulo cónico θ. Ls coordends cilíndrics de culquier punto son, pues, (r, θ, ϕ). El sentido positivo de cd eje coordendo se represent por un vector unitrio, que denominremos por u r, u θ y u ϕ. Estos vectores unitrios son respectivmente perpendiculres cd un de ls superficies citds nteriormente y su sentido positivo es el que corresponde un umento de l coordend correspondiente. Hy que hce notr que, diferenci de lo que ocurre con los vectores unitrios crtesinos, l dirección de los vectores unitrios en coordends esférics vrí con l posición de cd punto. Por convenio, l tríd de vectores unitrios u r, u θ y u ϕ debe formr un sistem rectngulr dextrógiro. u r φ θ r u θ u φ θ φ dr ds r =r 2 senθ dθ dφ dsφ = rdrdθ ds θ =r senθ dr dφ r senθ dr Producto esclr de dos vectores b = r b r + θ b θ + ϕ b ϕ [1.51] Producto vectoril de dos vectores b =( θ b ϕ ϕ b θ ) u r +( ϕ b r r b ϕ ) u θ +( r b θ θ b r ) u ϕ [1.52] Elemento de longitud infinitesiml dl =dr u r +r dθ u θ +r senθ dϕ u ϕ [1.53] Elemento de áre infinitesiml contenido en l superficie esféric de rdio r ds r = r 2 senθ dθ dϕ, ds r = r 2 senθ dθ dϕ u r Elemento de áre infinitesiml contenido en l superficie cónic de rdio r sen θ ds θ = r senθ dr dϕ, ds θ = r senθ dr dϕ u θ Elemento de áre infinitesiml contenido en el plno determindo por r y el eje ds ϕ = r dr dθ, ds ϕ = r dr dθ u ϕ [1.54] [1.55] [1.56] Elemento de volumen infinitesiml dv = r 2 senθdr dθdϕ [1.57

12 12 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí 1.22 Relción entre ls coordends y los vectores unitrios de los sistems de coordends crtesins, cilíndrics y esférics. Coordends crtesins Coordends cilíndrics Coordends esférics x = r cosϕ = r senθ cosϕ [1.58] y = r senϕ = r senθ senϕ [1.59] z = z = r cosϕ [1.60] u x = cosϕ u r senϕ u ϕ = senθ cosϕ u r + cosθ cosϕ u θ senϕ u ϕ [1.61] u y = senϕ u r + cosϕ u ϕ = senθ senϕ u r + cosθ senϕ u θ cosϕ u ϕ [1.62] u z = u z = cosθ u r senθ u θ [1.63] Coordends cilíndrics Coordends crtesins Coordends esférics r = x 2 +y 2 = r senθ [1.64] ϕ = rc tg y x = ϕ [1.65] z = z = r cosθ [1.66] u r = cosϕ u x + senϕ u y = senθ u r + cosθ u θ [1.67] u ϕ = senϕ u x + cosϕ u y = u ϕ [1.68] u z = u z = cosθ u r senθ u θ [1.69] Coordends esférics Coordends crtesins Coordends cilíndrics r = x 2 +y 2 +z 2 = r 2 +z 2 [1.70] θ = rc cos z x 2 +y 2 +z 2 = rc cos r r 2 +z 2 [1.71] ϕ = rc cot x = ϕ [1.72] y u r = sen θ cos ϕ u x + sen θ sen ϕ u y + cos θ u z = senθ u r + cosθ u θ [1.73] u θ = scos θ cos ϕ u x + cos θ sen ϕ u y sen θ u z = cosθ u r sensθ u θ [1.74] u ϕ = sen θ u x + cos ϕ u y = u ϕ [1.75] Relciones multiplictivs ( b c) = c ( b ) = b ( c ) [1.76] ( b c) = b ( c) c ( b ) [1.77] ( b c) c ( b ) = b ( c) [1.78] ( b )( c d ) =( c)( b d) ( d)( b c) [1.79] b( c d ) =( b d )( c) ( b c)( d) [1.80]

13 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí Derivds prciles de los vectores unitrios en los sistems de coordends crtesins, cilíndrics y esférics Coordends crtesins Tods ls derivds prciles de los vectores unitrios en coordends crtesins son nuls porque los vectores unitrios u x, u y y u z, tienen constnte su dirección módulo y sentido en culquier punto del espcio. Coordends cilíndrics En coordends cilíndrics son nuls tods ls derivds excepto: Coordends esférics En coordends esférics son nuls tods ls derivds excepto: u r ϕ = u ϕ [1.81] u ϕ ϕ = u r [1.82] u r θ = u θ [1.83] u r ϕ = u ϕ senθ [1.84] u θ θ = u r [1.85] u θ ϕ = u ϕ cosθ [1.86] u ϕ ϕ = u ϕ senθ u θ cosθ [1.87]