TEMA 1. CÁLCULO VECTORIAL.

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1 TEMA 1. CÁLCUL VECTRIAL. MAGNITUDES FÍSICAS ESCALARES Son quells que quedn determinds por su vlor numérico y l unidd de medid. Ejemplos: ms, energí, tiempo, tempertur, etc. MAGNITUDES FÍSICAS VECTRIALES Se determinn conociendo su módulo, dirección, sentido y su unidd de medid. Ejemplos: desplmiento, velocidd, celerción, fuer, etc. VECTR FIJ Es quel segmento que tiene su origen en un punto A y su etremo en B. Const de: Módulo del vector AB: Es l longitud del vector que une los puntos A y B. Se represent por AB. Dirección del vector AB: Es l rect que ps por los puntos A y B o de culquier de sus infinits prlels. Sentido del vector AB: Viene ddo por el recorrido de su origen A su etremo B. Cd dirección tiene por tnto dos sentidos. VECTRES EQUIPLENTES Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, l mism dirección (o prlel) y el mismo sentido. VECTRES PUESTS Cundo poseen igul módulo, dirección y sentido contrrio. VECTRES LIBRES Un vector lire está formdo por el conjunto de todos los equipolentes uno ddo. Poseen l propiedd de poder trsldrse prlelmente sí mismos pr plicrlos en culquier punto. PERACINES CN VECTRES LIBRES Sum: Ddos dos vectores lires y del espcio, se llm sum de y l vector lire s=+ que se puede otener medinte dos métodos: Método del triángulo: Con origen en un punto ritrrio del espcio se tr un vector equipolente l vector, y en el etremo de éste un José Enrique Perndrés Yuste 1/7

2 equipolente l vector ; l sum se otiene uniendo el origen del primero con el etremo del último. s Figur 1.1. Método del prlelogrmo: Con origen en un punto ritrrio, trmos un vector equipolente cd uno de ellos, continución trmos línes prlels mos vectores. El vector sum resultrá de unir el punto con el punto de corte de ls prlels. s Figur 1.2. Trtándose de mgnitudes vectoriles, los vectores sumndos deen ser homogéneos, es decir, deen tener ls misms uniddes. No tiene sentido, por ejemplo, sumr un vector velocidd con un vector fuer. L operción sum, sí definid, es un operción intern que cumple ls siguientes propieddes: 1. Conmuttiv: + = Asocitiv: + ( + c) = ( + ) + c. 3. Elemento nulo: + 0 = 0 +, siendo 0 el vector nulo. 4. Elemento opuesto: + = 0, donde = opuesto () = -. Consecuencis: 1. L propiedd socitiv permite clculr l sum de vrios vectores plicndo l regl del polígono (igul l del triángulo pero con más vectores). 2. Que todo vector teng su opuesto nos permite hlr de rest de vectores como sum del primero con el opuesto del segundo. PRDUCT DE UN ESCALAR PR UN VECTR El producto de un esclr λ por un vector, d como resultdo otro vector de módulo λ, dirección l de, y sentido el de si λ es positivo y contrrio de es negtivo. José Enrique Perndrés Yuste 2/7

3 VECTR UNITARI VERSR Es un vector de módulo l unidd, que se represent por u. Se cumple que = n u= ; de donde se deduce que culquier vector se puede escriir en función de un vector unitrio que teng l mism dirección y sentido que él, de l siguiente form: = u. SISTEMA DE REFERENCIA Está formdo por un punto elegido como origen y un se del espcio vectoril. En físic el sistem de referenci más utilido es el ortonorml: los vectores de l se {i,j,k} son unitrios y perpendiculres entre sí: P(,y,) k i r j y Figur 1.3. El vector de posición de un punto P es el que tiene por origen el del sistem de referenci y por etremo el punto ddo. Se epres: r = i + yj + k. De ést mner se h descompuesto el vector P en sus componentes. En l práctic, ls operciones con vectores se relin epresándolos de ést form. Así definimos ls siguientes operciones: Sum de vectores: Ddos los vectores = i + y j + k, y = i + y j + k, su sum será: + = ( + )i + ( y + y )j + ( + )k. Producto por un esclr: λ = λ i + λ y j+ λ k PRDUCT ESCALAR Se define el producto esclr de dos vectores, y, como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que formn. Es decir, = cos. Consecuencis: De l definición dd se deduce: 1. El producto esclr de dos vectores es el producto del módulo de uno de ellos por l proyección del otro sore él: =. 2. Si 0 y 0 y.=0, entonces los vectores y son perpendiculres. n José Enrique Perndrés Yuste 3/7

4 n Figur 1.4. Propieddes del producto esclr =. 3. λ(.) = (λ). 4..(+c) =. +.c Epresión nlític del producto esclr en se ortonorml = i+ j+ k Aplicciones del producto esclr y = + y y + = i + yj+ k 1. Módulo de un vector: Es l rí cudrd positiv del producto esclr del vector por sí mismo: =+ ; y se otiene multiplicndo esclrmente el vector = cos0= por sí mismo: i= i cos = cos 2 Si el vector viene epresdo en se ortonorml, = i + yj+ k, su módulo es = y 2. Angulo de dos vectores: cos = CSENS DIRECTRES DE UN VECTR Son los cosenos de los ángulos que form el vector con los vectores de l se: i= i cos = cos i j k cos = = ; cosβ = = ; cosγ = = y Cumplen l propiedd + β + γ = cos cos cos 1 José Enrique Perndrés Yuste 4/7

5 γ β y Figur 1.5. PRDUCT VECTRIAL DE DS VECTRES Ddos dos vectores y no nulos, su producto vectoril es otro vector p= con ls siguientes crcterístics: Crcterístics 1. Módulo: p = = sen 2. Dirección: perpendiculr l plno definido por y. 3. Sentido: Viene ddo por l regl del sccorchos: el sentido del vector coincide con el sentido de vnce de un sccorchos que, colocdo perpendiculrmente l plno de y, gir llevndo el primer fctor sore el segundo, descriiendo el menor ángulo. Figur 1.6. Propieddes del producto vectoril 1. λ = λ( ). 2. = -( ). 3. (+c) = + c. Epresión nlític del producto vectoril: Ddos los vectores y epresdos en un sistem ortonorml: = i + y j + k, y = i + y j + k el producto vectoril de y es = ( i + y j + k) ( i + y j + k) Aplicndo l propiedd distriutiv y teniendo en cuent el producto vectoril de los vectores i, j, k, el producto de y se puede epresr en form de un determinnte: José Enrique Perndrés Yuste 5/7

6 i j k = y y Interpretción geométric: El módulo del producto vectoril es el áre del prlelogrmo que tiene por ldos mos vectores: = áre prlelogrmo.. MMENT DE UN VECTR RESPECT A UN PUNT El momento de un vector respecto un punto se define como el producto vectoril del vector de posición del vector ddo respecto de por el propio vector: M =A AB = r M M = r sen = d Luego, este momento es independiente de l posición en l que se encuentre el vector en su rect directri, siempre que no lo cmiemos de sentido. Es decir, puede deslirse sin que cmie M. d r A Figur 1.7. B DERIVACIÓN VECTRIAL Se un vector cuys componentes son función continu de un mgnitud esclr t. = t ( ) = ( t) i+ ( t) j+ ( t) k y L derivd del vector respecto del esclr t, es: d d ( ) y ( ) t d t d ( t) = i+ j+ k dt José Enrique Perndrés Yuste 6/7

7 Regls de derivción vectoril d d d ( + ) = + d ( n ) = dn + n d d ( ) = d + d d ( ) = d + d INTEGRACIÓN VECTRIAL Ddo un vector = t ( ) = ( t) i+ ( t) j+ ( t) k que es función de un vrile esclr y t, donde sus componentes se supone que son funciones integrles. Se define l integrl indefinid de (t): t ( ) dt= i ( tdt ) + j ( t) dt+ k ( t) dt y En generl, t ( ) dt= ut ( ) + C, si du dt = Si se trt de un integrl definid entre los límites t 1 y t 2 : t2 t1 t [ ] 2 t ( ) dt= ut ( ) = ut ( ) ut ( ) t1 2 1 José Enrique Perndrés Yuste 7/7

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