Vectores. en el plano

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1 7 Vectores 5 en el plano LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Los vectores nos dan información en situaciones como el sentido de avance de una barca o la dirección de un trayecto en bicicleta.

2 INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bachillerato René Descartes Busca en la web El joven René Descartes y su ingenio se hicieron inmortales. Su idea fue transformar el lenguaje geométrico a algebraico. GPS Enlace a la biografía de René Desca rtes

3 Esquema de contenidos Vectores Vectores Coordenadas de un vector Operaciones Suma Resta Multiplicación Bases Vectores l.i. Bases Sistema de referencia Distancia entre puntos Punto medio Vectores paralelos Vectores perpendiculares

4 Magnitudes escalares y vectoriales Las magnitudes que quedan definidas mediante un único número se llaman escalares. En las magnitudes vectoriales no basta con dar un valor numérico para determinarlas, sino que necesitamos conocer su dirección y sentido. Son magnitudes vectoriales: la velocidad, la fuerza, la aceleración, el desplazamiento, el peso, intensidad del campo magnético, Son magnitudes escalares: la masa, la distancia, el tiempo, la temperatura, la energía, la densidad, el calor, el volumen, la potencia,... Una magnitud cuya determinación exige el conocimiento de un valor numérico (módulo), una dirección y un sentido es un VECTOR

5 Vectores: definición Geométricamente un vector es un segmento orientado y queda determinado por dos puntos del plano, A y B, y el orden de estos. El primero de los puntos se llama origen y el segundo es el extremo, y se escribe: AB Mismo módulo AB B Misma dirección A Mismo sentido dirección

6 Vectores: definición Geométricamente un vector es un segmento orientado y queda determinado por dos puntos del plano, A y B, y el orden de estos. El primero de los puntos se llama origen y el segundo es el extremo, y se escribe: AB B Elementos: Módulo: es la longitud del segmento AB. Se denota AB d ( A,B ) AB Mismo módulo Misma dirección A Mismo sentido dirección

7 Vectores: definición Geométricamente un vector es un segmento orientado y queda determinado por dos puntos del plano, A y B, y el orden de estos. El primero de los puntos se llama origen y el segundo es el extremo, y se escribe: AB A B Elementos: Módulo: es la longitud del segmento AB. Se denota AB d ( A,B ) AB Dirección: es la recta sobre la que está situado el vector. Dos vectores tienen la misma dirección si están situados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas. Mismo módulo Misma dirección Mismo sentido dirección

8 Vectores: definición Geométricamente un vector es un segmento orientado y queda determinado por dos puntos del plano, A y B, y el orden de estos. El primero de los puntos se llama origen y el segundo es el extremo, y se escribe: AB A B Elementos: Módulo: es la longitud del segmento AB. Se denota AB d ( A,B ) AB Dirección: es la recta sobre la que esta situado el vector. Dos vectores tienen la misma dirección si están situados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas. Sentido: es la forma de recorrer el vector, es decir, fijando cuál de los puntos es el origen y cuál es el extremo. Mismo módulo Misma dirección Mismo sentido dirección Dos vectores son equivalentes (equipolentes) cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido

9 Operaciones con vectores gráficamente: suma (método de la poligonal) u ( u 1, u) Para sumar dos vectores, se toma el primero de ellos y con origen en su extremo ponemos un vector equivalente al segundo. La suma es otro vector que tiene como origen el origen de extremo de. v y el v v v ( v 1, v ) v

10 Operaciones con vectores gráficamente : suma. (Método del paralelogramo) El método del paralelogramo permite sumar dos vectores de manera sencilla. Consiste en colocar los dos vectores en el origen, de manera que los dos vectores inicien en el mismo punto. Los dos vectores forman dos lados adyacentes del paralelogramo. Los otros lados se construyen trazando lineas paralelas a los vectores opuestos de igual longitud. El vector suma resultante se representa mediante un segmento de recta dado por la diagonal del paralelogramo, partiendo del origen en el que se unen los vectores hasta la intersección de las paralelas trazadas. v v

11 Operaciones con vectores gráficamente : Multiplicación de un vector por un número u ( u 1, u ) Para multiplicar un vector por un número real k se multiplica el módulo del vector por el número real, y se mantienen el origen y la dirección del vector. El sentido será igual si k es positivo, y de sentido contrario, si k es negativo. k, u k0 k, k 0

12 Operaciones con vectores gráficamente: vector opuesto y vector nulo El opuesto de un vector otro vector la misma dirección y módulo, pero con sentido contrario. 1, k 1 El vector nulo, es un vector de módulo cero, sin dirección ni sentido. Se cumple que : 0

13 Operaciones con vectores gráficamente: resta u ( u 1, u) Para restar dos vectores, se toman vectores equivalentes a ambos que tengan el mismo origen, siendo la diferencia el vector que tiene el origen en el extremo de v y el extremo en el extremo de. v v v v ( v 1, v ) v v v

14 Operaciones con vectores gráficamente: resta u ( u 1, u) Para restar dos vectores, se toman vectores equivalentes a ambos que tengan el mismo origen, siendo la diferencia el vector que tiene el origen en el extremo de v y el extremo en el extremo de. v v v ( v, v 1 ) v

15 Combinación lineal de vectores (gráficamente) Dados dos vectores y v, llamamos combinación lineal de y v al vector v, R Un vector w es c.l. de otros dos vectores y v, si existen dos números reales, y, tales que. Dos vectores con la misma dirección son l.d. w v Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como c.l. de los demás. En caso contrario, decimos que son linealmente independientes. O v v w Si tienen distinta dirección, son l.i. Cualquier vector del plano se puede poner como c.l. de dos vectores l.i.:

16 Combinación lineal de dos vectores (Gráficamente)

17 Bases. Sistema de referencia. Coordenadas de un vector. O v bv Dos vectores y v forman una base en el plano si son linealmente independientes, y cualquier vector se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base. Se representa por: w a B{, v} w OPa u+b v Un sistema de referencia en el plano, está formado por un punto fijo O a, b R Los números a y b, (a,b) son la coordenadas de respecto a la base B. w P y una base B. Se representa:. R{O,[,v]} OP R{O,[i,j ]} w OP5i 3j Es una base ortonormal porque sus vectores son perpendiculares, tienen módulo uno y cualquier vector se puede poner como combinación lineal de ellos a5,b3 R j O i Sistema de referencia cartesiano: a cada punto P se le asocia un vector OP.

18 Coordenadas de un vector en un sistema de referencia cartesiano. Vectores paralelos. En el sistema de referencia cartesiano, un vector, definido por dos puntos A y B, se puede identificar mediante un par de coordenadas y se calculan a partir de las coordenadas de los puntos A y B. AB Las coordenadas del vector son las coordenadas del punto extremo menos las del punto origen. A a 1, a y Bb 1, b vv 1, v b 1 a 1, b a AB (v 1 ) +(v ) A 1,1 B 4, } AB4 1, 1 5, 3 AB , 83 Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección. u En coordenadas: 1, u y vv 1, v son paralelos si 1 u v 1 v

19 Operaciones con coordenadas de vectores: suma (método de la poligonal) u ( u 1, u) Para sumar dos vectores, se toma el primero de ellos y con origen en su extremo ponemos un vector equivalente al segundo. La suma es el vector que tiene como origen el origen de extremo de. v y el v ( v 1, v ) v En coordenadas el vector suma se calcula sumando coordenada a coordenada. v v u + v ( u1, u) + ( v1, v ) ( u1 + v1, u + v )

20 Operaciones con coordenadas de vectores: resta u ( u 1, u) Para restar dos vectores, se toman vectores equivalentes a ambos que tengan el mismo origen, siendo la diferencia el vector que tiene el origen en el extremo de v y el extremo en el extremo de. v v v v ( v 1, v ) v v v En coordenadas el vector resta se calcula restando coordenada a coordenada. u v ( u1, u) ( v1, v ) ( u1 v1, u v )

21 Operaciones con coordenadas de vectores: resta u ( u 1, u) Para restar dos vectores, se toman vectores equivalentes a ambos que tengan el mismo origen, siendo la diferencia el vector que tiene el origen en el extremo de v y el extremo en el extremo de. v v v ( v, v 1 ) v En coordenadas el vector resta se calcula restando coordenada a coordenada. u v ( u1, u) ( v1, v ) ( u1 v1, u v )

22 Operaciones con coordenadas de vectores: Multiplicación de un vector por un número u ( u 1, u ) Para multiplicar un vector por un número real k se multiplica el módulo del vector por el número real, y se mantienen el origen y la dirección del vector. El sentido será igual si k es positivo, y de sentido contrario, si k es negativo. k, k0 En coordenadas el producto de un número por un vector se calcula multiplicando cada coordenada por el número k. k k u 1, u k u 1,k u k, k 0

23 Operaciones con coordenadas de vectores: vector opuesto y vector nulo El opuesto de un vector es otro vector la misma dirección y módulo, pero con sentido contrario. 1, k 1 El vector nulo, es un vector de módulo cero, sin dirección ni sentido. Se cumple que : 0 En coordenadas: u ( u, u 1 ) 1 u 1, u u 1, u

24 Operaciones con coordenadas Dados los vectores: u(5,1) v( 1,4) Realiza la siguiente operación: w3 v w3 u + v 3 (5,1)+ ( 1,4) Aplicando las operaciones con coordenadas, multiplicación de un vector por un número y, suma de vectores: w3 (5,1)+ ( 1,4)(15,3)+(,8) w(15,3)+(,8)( 13,11) w3 v Gráficamente >

25 Combinación lineal de vectores Calcula y para que se verifique que: w v,, R 5,1 v 1,4 w13,11 1º Expresamos la combinación lineal: w v 13,11 5,1 1,4 º Igualamos las coordenadas y se obtiene un sistema de ecuaciones: } } w3 v

26 Producto escalar y v v Se llama producto escalar de dos vectores, y se escribe, al número que resulta de multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que forman v v cos v ' cos v ' v cos v v v ' proyección de v sobre 1. El producto escalar de dos vectores no nulos es cero solo si los vectores son perpendiculares: Si v0 cos0 90º v.el producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo: u u u u cos0º u 3.El producto escalar es conmutativo: 4.El producto escalar es distributivo: vv v w wv w 5.Expresión en coordenadas del producto escalar: vu 1 v 1 v 6.El producto escalar de dos vectores es negativo cuando el ángulo que forman es obtuso. u v u v cos( u, v)<0

27 Demostración fórmulas producto escalar cos u 1 sen u cos v 1 v sen v v vu 1 v 1 v cos v 1 sen v v 1 cosv sen v v cos cos v sen sen v v cos cossen sen v v coscos cos sen sen sen sen cos cos sen v v cos cos cos cos sen sensen sen cossen cos sen v v cos cos cos sen sensen sen cos sen cos v v cos cossen cos v v cos cos sen 1 v v cos

28 Demostración fórmulas producto escalar Expresamos los vectores en la base canónica B{i,j} i 1,0 j0,1 1, u 1 i j vv 1, v v 1 i v j j i v 1 i j v 1 i v j 1 vu 1 v 1 i i 1 v i j 0 pues i j v 1 j i 0 pues i j 1 v j j vu 1 v 1 v

29 Aplicaciones: Ángulo entre dos vectores. Vectores perpendiculares. 1. CÓMO SE CALCULA EL ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES, EXPRESADOS EN COORDENADAS: v v Un vector perpendicular a Considerando la expresión del producto escalar: v v cos cos v v cos u 1 v 1 v 1 v 1 v Ya podemos calcular el valor del ángulo con la calculadora... :{ cos α>0 ángulo agudo Puede ocurrir que cosα<0 ángulo obtuso cos α0 ángulo recto. CÓMO SE CALCULA UN VECTOR PERPENDICULAR A UNO DADO a, b es v b, a va bb a abba0 cos0 90º v Permutamos las Coordenadas y le Cambiamos el signo a una

30 Vectores perpendiculares Dos vectores son perpendiculares cuando sus direcciones forman un ángulo recto (90º). La condición para que dos vectores cualesquiera sean perpendiculares es que la suma de los cuadrados de sus módulos sea igual al cuadrado del módulo de sus diferencias. u + v u v v v Dado un vector u ( a, b), un vector perpendicular a él es: v ( b, a)

31 Vectores perpendiculares Comprobamos si entre los vectores dados hay paralelos y perpendiculares. u (1,) v (,4) w (,4) t ( 4, 3) q ( 4,) u Paralelos u 1 v 1 u v Perpendiculares + v u v

32 Ejemplo: Vectores perpendiculares Comprobamos si entre los vectores dados hay paralelos y perpendiculares. u u (1,) v (,4) w (,4) y v t ( 4, 3) q ( 4,) paralelos 1 4 u Paralelos u 1 v 1 u v Perpendiculares + v u v

33 Ejemplo: Vectores perpendiculares Comprobamos si entre los vectores dados hay paralelos y perpendiculares. u u (1,) v (,4) w (,4) y v t ( 4, 3) q ( 4,) paralelos 1 4 Paralelos u 1 v 1 u v Perpendiculares u + v u v u y q perpendiculares u q u q 1 ( 4) (0)

34 Vectores paralelos: condición Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección. En coordenadas, dos vectores son paralelos cuando sus coordenadas son proporcionales. Si 1 u (u 1, u ) y v (v1, v ) v1 u u v Por ejemplo (-,8) es paralelo a (1,-4)

35 Vectores paralelos: condición Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección. Tres puntos están alineados cuando los vectores que los determinan son paralelos: En coordenadas, dos vectores son paralelos cuando sus coordenadas son proporcionales. Si u 1 u (u 1, u ) y v (v1, v ) v1 u v A (a 1, a ), B (b 1, b ) y C (c 1, c ) están alineados si b c 1 1 a a 1 1 b c a a

36 Aplicaciones: Distancia entre dos puntos 3. CÓMO SE CALCULA LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos del plano es la longitud del segmento que los une. La distancia entre dos puntos del plano, A y B, es el módulo del vector que determinan. d ( A, B) AB AB B x, y Es decir, si A( a 1, a ) y B( b 1, b ) son las coordenadas de los dos puntos, el vector es: AB x x 1, y y 1 A x 1, y 1 Y, por tanto, la distancia entre los puntos A y B se calcula: d A,B AB x x 1 y y 1

37 Aplicaciones: Punto medio de un segmento 4. CÓMO SE CALCULA EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Vamos a calcular las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos A y B. Si A( a 1, a ) y B( b 1, b ) son las coordenadas de los dos puntos, el vector que determinan es: AB x x 1, y y 1 AB A x 1, y 1 M x, y B x, y Si M es el punto medio del vector anterior: AM x x 1, y y 1 1 AB x x 1, y y 1 1 x x 1, y y 1 { 1 x x1 x x 1 y y 1 1 y y 1 {x x 1x x 1 y y 1 y y 1 { x x 1 x y y 1y

38 Aplicaciones: Punto simétrico a un punto 4. CÓMO SE CALCULA EL PUNTO SIMÉTRICO A UN PUNTO El punto simétrico del punto A respecto a un punto P es el punto A', que está alineado con AP y que dista de P lo mismo que P de A. El vector PA' es el opuesto del vector PA. Vamos a calcular las coordenadas del punto simétrico de A respecto a P: Sean A( x 1,y 1 ) y P(x,y ) El punto P es el punto medio de AA': AA' (x, y) A' ( x, y )( x 1+ x {, y 1+ y x ) x 1 + x y y 1+ y { xx x 1 yy y 1 A x 1, y 1 P (x, y )

39 Punto medio de un segmento (otro modo) El punto medio del segmento AB, que llamamos M, es el punto del segmento que dista lo mismo de A que de B. 1 d ( A, M) d( M, B) d( A, B) AM MB 1 AB M A 1 AB Las coordenadas de punto medio de un segmento se obtienen calculando la semisuma de las coordenadas de los extremos del segmento. Si A (x 1, y 1 ) y B (x,y ), las coordenadas del punto medio M son: por punto una traslación 1 AB el A se transforma en M M M x 1x, y 1 y A B

40 Ejemplo: Ángulos y Perímetro de un triángulo dados los vértices A, B y C. AB( 3,) (0,0)( 3,) AB 13 BA(3, ) BA 13 BC(1, 3) BC 10 AC (, 1) AC 5 cosα AB AC AB AC 3 ( )+ ( 1) ( 3) + ( ) +( 1) α60,6º cos BA BC BA BC ,87º 180º 81,87º Perímetro P135109,00 u

41 Ejemplo: Distancia entre dos puntos Calcular el perímetro del pentágono de la figura. A(, ) C(0,3) B(3,) D( 3,) E(, )

42 Ejemplo: Distancia entre dos puntos Calcular el perímetro del pentágono de la figura. A(, ) C(0,3) B(3,) D( 3,) E(, ) d( A, B) AB (3 ) + ( ( )) 17 4,1

43 Ejemplo: Distancia entre dos puntos Calcular el perímetro del pentágono de la figura. A(, ) C(0,3) B(3,) D( 3,) E(, ) d( A, B) AB (3 ) + ( ( )) 17 4,1 d( B, C) BC (0 3) + (3 ) 10 3,16

44 Ejemplo: Distancia entre dos puntos Calcular el perímetro del pentágono de la figura. A(, ) C(0,3) B(3,) D( 3,) E(, ) d( A, B) AB (3 ) + ( ( )) 17 4,1 d( B, C) BC (0 3) + (3 ) 10 3,16 d( C, D) CD ( 3 0) + ( 3) 10 3,16

45 Ejemplo: Distancia entre dos puntos Calcular el perímetro del pentágono de la figura. A(, ) C(0,3) B(3,) D( 3,) E(, ) d( A, B) AB (3 ) + ( ( )) 17 4,1 d( B, C) BC (0 3) + (3 ) 10 3,16 d( C, D) CD ( 3 0) + ( 3) 10 3,16 d( D, E) DE ( ( 3)) + ( ) 17 4,1

46 Ejemplo: Distancia entre dos puntos Calcular el perímetro del pentágono de la figura. A(, ) C(0,3) B(3,) D( 3,) E(, ) d( A, B) AB (3 ) + ( ( )) 17 4,1 d( B, C) BC (0 3) + (3 ) 10 3,16 d( C, D) CD ( 3 0) + ( 3) 10 3,16 Perímetro 18,56 d( D, E) DE ( ( 3)) + ( ) 17 4,1 d( E, A) EA ( ) + ( ( )) 16 4

47 Enlaces de interés Multitud de enlaces Matemáticas divertidas IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB

48 Actividad: Los números triangulares Dirección: En la sección chilena de la editorial Santillana, se puede visualizar una traslación en un sistema de ejes coordenados indicando el vector de traslación. Para desarrollarla, sigue este enlace. INICIO