TEMA 11: VECTORES EN EL ESPACIO

Transcripción

1 Matemáticas º Bachillerato. Geometría Analítica TEMA : VECTORES EN EL ESPACIO. VECTORES EN EL ESPACIO OPERACIONES CON VECTORES. BASE DEL CONJUNTO DE VECTORES DEL ESPACIO. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES DEL ESPACIO INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR EXPRESIÓN CARTESIANA CUADRADO ESCALAR Y MÓDULO DE UN VECTOR COSENO DEL ÁNGULO FORMADO POR DOS VECTORES. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES. PROPIEDADES DEL PRODUCTO MXTO INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Hay magnitudes que no quedan definidas con sólo un número sino que requieren además otro tipo de información para quedar completamente determinadas. Estas magnitudes denominadas magnitudes vectoriales como la velocidad la aceleración exigen además una dirección y un sentido para quedar plenamente definidas. Ante las necesidades que surgen en el estudio de las magnitudes mencionadas aparece el concepto de vector. La Geometría Analítica es una parte de las Matemáticas que estudia las figuras geométricas utilizando el Álgera gracias a las coordenadas de los puntos y vectores.. VECTORES EN EL ESPACIO Se denomina vector fijo a un par de puntos del espacio dados en un cierto orden. El primer punto es el origen y el segundo es el extremo y se denota AB. A B

2 Matemáticas º Bachillerato. Geometría Analítica VECTOR LIBRE r. Dirección: indicada por la recta en la que A el vector se apoya o por cualquiera de C sus paralelas. AB CD. Sentido: el indicado por la punta de flecha o por los signos de las coordenadas.. Módulo: es la longitud del segmento que determina o distancia entre el origen A y el B extremo B se denota por AB A B D s Estas tres características determinan completamente el vector lire es decir conociendo las podemos representar el vector sin posiilidad de confundirlo con ningún otro. Para determinar un vector fijo es necesaria una cuarta característica: El punto origen llamado tamién punto de aplicación. Dos vectores fijos AB y CD son equipolentes AB CD el mismo sentido y el mismo módulo: B AB CD AB CD AB CD A AB CD B D Al conjunto de todos los vectores equipolentes A F entre si se les denomina vector lire. C E si tienen la misma dirección D C AB OPERACIONES CON VECTORES Denominaremos por V al conjunto de vectores lires del espacio.

3 Matemáticas º Bachillerato. Geometría Analítica SUMA DE VECTORES PRODUCTO DE UN Nº REAL POR UN VECTOR Sea el vector lire a y el nº real el vector a es el que tiene: dirección : a a si 0 a a sentido : si 0 a a a módulo : a a si se produce una dilatación si se produce una contracción. BASE DEL CONJUNTO DE VECTORES DEL ESPACIO u u u u u u u u u

4 Matemáticas º Bachillerato. Geometría Analítica Fijada la ase B u u u cualquier vector x del espacio se puede poner como cominación lineal de los elementos de la ase esto es existirán tres únicos nº a c x a u u c u a la terna que se denominan escalares de modo que denomina COORDENADAS DEL VECTOR x EN LA BASE B. HEMOS ESTABLECIDO DE ÉSTE MODO UNA CORRESPONDENCIA ENTRE: ac se le EL CONJUNTO DE VECTORES DEL ESPACIO EL CONJUNTO DE LAS TERNAS V (vectores) R (coordenadas) xv x au u cu x a c R LAS COORDENADAS DE UN VECTOR UNA VEZ FIJADA LA BASE SON ÚNICAS. Hemos visto que una ase de V está formada por tres vectores no coplanarios nosotros vamos a traajar de aquí en adelante con una ase ORTONORMAL es decir los vectores son perpendiculares dos a dos y de longitud la unidad. { } a a u a u a u u a u u O Como la dimensión de V es tres si nos dan un sistema formado por exactamente tres vectores para ver si tamién formarían una ase de V astará demostrar que son linealmente independientes y para ello comproaremos si el determinante formado por las coordenadas de dichos vectores (respecto de la ase B que hemos fijado antes) es DISTINTO DE CERO. c a a a u a u a u u u u c c u c u c u a a a B = a c es ase de V 0 c c c

5 Matemáticas º Bachillerato. Geometría Analítica EJERCÍCIOS Ejemplo: Comproar si el vector x V se puede expresar como cominación lineal de los vectores de 0 y a : imposile Por tanto el vector x no se puede poner como cominación lineal de los vectores a Ejemplo: El sistema formado por los vectores A es ase de V? Como saemos que dim R y nos dan un sistema formado por exactamente vectores entonces para demostrar que son ase asta proar que son linealmente independientes para ello calculamos el determinante: son linealmente independientes por tanto forman ase de R. Ejemplo: Comproar si el vector x V se puede expresar como cominación lineal de los vectores de 0 0 c a : 0 por Gauss resolveremos en general aunque en función de y despejamos ecuaciones segunda y primera Por esta vezde la 0 0 Compatile Determinado Sistema es Sustituimos en la tercera ecuación

6 Matemáticas º Bachillerato. Geometría Analítica Por tanto si se puede expresar el vector x 0 c 0 a y en éste caso de forma única: x a c. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES DEL ESPACIO V como cominación lineal de los vectores INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores u y v es igual al módulo de uno de ellos multiplicado por la proyección del otro sore él. v proy v u Vector proyección ortogonal u u v u v cos( ) u proy v proy v sore u u v v u cos( ) v proy u proy v sore u u v

7 Matemáticas º Bachillerato. Geometría Analítica EXPRESIÓN CARTESIANA DEL PRODUCTO ESCALAR.

8 Matemáticas º Bachillerato. Geometría Analítica CUADRADO ESCALAR DE UN VECTOR una ase ortonormal de dos vectores de B u u u V y a V V de coordenadas: a a a a (respecto de la ase B) Entonces: a a e a e a e V a a a a cos a a a a a a a MÓDULO DE UN VECTOR Es la raíz cuadrada positiva del cuadrado escalar: a a a a COSENO DEL ÁNGULO FORMADO POR DOS VECTORES a V a a a a a a cos a a a a a cos a a a a a 8

9 Matemáticas º Bachillerato. Geometría Analítica DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean P QE P p p p Q q q q d P Q PQ PQ p q p q p q d P Q p q p q p q. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES Sean los vectores un nuevo vector a V se define el producto vectorial a p V con las siguientes propiedades: de estos vectores como p a a p Dirección : perpendicular a amos a p Sentido : de avance de a hacia Según la definición el producto vectorial de dos vectores será el vector nulo en alguno de los siguientes casos: a 0 a 0 o 0 o a sen a 0 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DEL PRODUCTO VECTORIAL El módulo del producto vectorial a representa el área del paralelogramo que se construye a partir de los vectores a Módulo : p a a sen a a = Área paralelogramo El área del triángulo es = a a a EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO VECTORIAL a i j k a a a a a a i j k a a a 9

10 Matemáticas º Bachillerato. Geometría Analítica. PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES Sean los vectores se define el producto mixto de ellos como: a c V a c a c EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO MIXTO a cv a a a a c c c c a a a a c c c c SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DEL PRODUCTO MIXTO a c Volúmen del paralepípedo V a c Volumen del tetraedro c ca 0