MATEMÁTICAS 3º ESO - SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero

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1 ucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros dados ordeadamete de modo que se pueda umerar: primero, segudo, tercero Ejemplos: a), 3, 5, 7, 9, b), 4, 9, 6, 25, 36 c) 2, 4, 8, 6, 32, 64 e llama térmios a los elemetos de la sucesió y se suele desigar mediate ua letra co subídice. El subídice idica el lugar que ocupa el térmio e la sucesió. a, a 2, a 3, a 4, a 5. Térmio geeral e llama térmio geeral de ua sucesió a ua expresió que sirve para obteer u térmio cualquiera de la sucesió co sólo saber el lugar que ocupa. E los ejemplos ateriores, lo térmios geerales so: a) a 2 b) b 2 c) c 2 No e todas las sucesioes es posible ecotrar el térmio geeral. ucesioes recurretes Las sucesioes recurretes so sucesioes cuyos térmios se obtiee a partir de los ateriores. Ejemplo:,, 2, 3, 5, 8,.. Cada térmio es la suma de los dos ateriores Ley de recurrecia: a a - + a -2 (a ; a 2 )

2 Progresioes aritméticas Ua progresió aritmética es u tipo de sucesió e la que cada térmio se obtiee sumado al aterior ua catidad fija deomiada diferecia (d). Ejemplos:, 3, 5, 7, 9.. a y d2 8, 5, 2,, 4, a 8 y d 3 Térmio geeral a 2 a + d a 3 a 2 + d a + d + d a + 2d a 4 a 3 + d a + 2d + d a + 3d a 5 a 4 + d a + 3d + d a + 4d a 6 a + 5d a 7 a + 6d... a a + ( ) d Iterpolar térmios e ua progresió aritmética Etre cada dos térmios a y b de ua progresió aritmética es posible itercalar e m térmios, llamados medios difereciales (aritméticos), de maera que todos ellos forme ua ueva progresió aritmética (co m + 2 térmios) dode a y b sea los extremos. a,.,..,..,..,.b m La diferecia de esta progresió se determiará: b a d m +

3 uma de los térmios de ua progresió aritmética Ua forma de hallar la suma de los térmios de ua progresió aritmética es escribir la suma dos veces ivirtiedo los térmios e ua de ellas (5 + 30) 6.(5 + 30) Geeralizaremos este resultado para determiar la suma de u úmero fiito,, de térmios de ua progresió aritmética, a, a 2, a 3,..., a -2, a -, a, Llamaremos a la suma de los térmios y escribiremos la suma dos veces, ivirtiedo los sumados e ua de ellas. + a + a 2 + a a -2 + a - + a a + a - + a a 3 + a 2 + a umado las dos igualdades resulta: 2 (a + a ) + (a 2 + a - ) + (a 3 + a - 2 ) (a -2 + a 3 ) + (a - + a 2 ) + (a + a ) Los pares de térmios a y a, a 2 y a -, a 3 y a -2, etc, que so equidistates suma ua misma catidad. Como hay parétesis y el valor de cada uo es (a + a ) se tiee: De dode: (a + a 2 ). 2 (a + a ) + (a + a ) (a + a ) (a + a )

4 Progresioes geométricas Ua progresió geométrica es u tipo de sucesió e la que cada térmio se obtiee multiplicado el aterior ua catidad fija deomiada razó (r). Ejemplos: 3, 6, 2, 24, 48.. a 3 y r2 4, 2,, /2, /4 a 4 y r/2 Térmio geeral a 2 a. r a 3 a 2. r a. r. r a. r 2 a 4 a 3. r a. r 2. r a. r 3 a 5 a 4. r a. r 3. r a. r 4 a 6 a. r 5 a 7 a. r 6... a a. r - Iterpolar térmios e ua progresió geométrica Etre cada dos térmios a y b de ua progresió geométrica es posible itercalar m térmios, llamados medios proporcioales (geométricos), de maera que todos ellos forme ua ueva progresió geométrica (co m + 2 térmios) dode a y b sea los extremos. a,.,..,..,..,.b m La razó de esta progresió se determiará: r m+ a b

5 uma de los térmios de ua progresió geométrica Para calcular la suma de los térmios de la progresió geométrica limitada a, a 2, a 3,..., a -, a, escribiremos la suma de los térmios y después multiplicamos por la razó. a 2 a 3 a - a r a r + a 2 r a - 2 r + a - r + a r a + a 2 + a a - + a Restado r - resulta: De dode: r - a r - a (r ) a r - a, a.r a r Usado la expresió del térmio geeral de ua progresió geométrica a a r, se puede obteer la fórmula de la suma e fució de a y r así: a (r r ) Para progresioes geométricas ilimitadas y decrecietes r <, e las que sus térmios se hace cada vez meores, cada vez más cercaos a cero, la suma de sus ifiitos térmios puede obteerse: a r

6 Producto de los térmios de ua progresió geométrica Ua forma de hallar el producto de los térmios de ua progresió geométrica es escribir el producto dos veces ivirtiedo los térmios e ua de ellas. x P , P P P 6 2 (5.60) P 6 ( 5.80) Geeralizaremos este resultado para determiar el producto de u úmero fiito,, de térmios de ua progresió geométrica, a, a 2, a 3,..., a -2, a -, a, Llamaremos P al producto de los térmios y escribiremos el producto dos veces, ivirtiedo los factores e ua de ellas. 6 x P a. a 2. a a -2. a -. a P a. a -. a a 3. a 2. a Multiplicado las dos igualdades resulta: P 2 (a. a ). (a 2. a - ). (a 3. a - 2 )... (a -2. a 3 ). (a -. a 2 ).. (a. a ) El producto de los pares de térmios a y a, a 2 y a -, a 3 y a -2, etc, que so equidistates es ua misma catidad. Como hay parétesis y el valor de cada uo es (a. a ) se tiee: De dode: P 2 (a. a ). (a. a )..... (a. a ) (a. a ) (a. a ) P Progresioes geométricas alterates Cuado la razó de ua progresió geométrica es u úmero egativo, sus térmios sucesivos adopta sigos mutuamete cotrarios. Este tipo especial de progresió recibe el ombre de alterate. 2, 6, 8, 54, 62, 486. a 2 y r 3

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