Sesión No. 6. Contextualización. Nombre: Funciones exponenciales y logarítmicas y el uso de las MATEMÁTICAS. progresiones aritméticas y geométricas.

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1 Matemáticas

2 Sesió No. 6 Nombre: Fucioes expoeciales y logarítmicas y el uso de las progresioes aritméticas y geométricas. Cotextualizació Las fucioes expoeciales y logarítmicas se les cooce como trascedetes, ya que o se puede defiirse e térmios de las operacioes aritméticas e fució de ua variable x. Tiee gra importacia e matemáticas y se aplica e casi todos los campos de trabajo del hombre E esta sesió aprederemos a coocer e iterpretar las fucioes expoeciales y logarítmicas y eteder que etre ellas hay ua estrecha relació siedo que ua es la iversa de la otra. Tambié recooceremos las codicioes que teemos para que ua sucesió o progresió sea aritmética o geométrica y para que su suma exista. Además aprederemos a ecotrar el térmio y la suma parcial hasta u térmio e cada progresió.

3 2 Itroducció al Tema Cosideremos los siguietes cuestioamietos: E qué áreas de trabajo se aplica las fucioes expoeciales y logarítmicas? Estas fucioes puede trabajarse como ecuacioes? y se podrá obteer su solució? Las fucioes expoecial y logarítmica so fucioes que se aplica ampliamete e el campo laboral del hombre; resultado especialmete útiles e los campos de la química, biología, física e igeiería, dode cotribuye a describir cómo crece o decrece las magitudes de la aturaleza. Ua sucesió es ua secuecia de cosas, ua tras otra e u cierto orde y co ua característica etre ellas. Puede ser fiitas o ifiitas. Podremos cosiderar que ua sucesió es ua progresió? Qué es u térmio e ua progresió? Qué es la suma parcial dé térmios e ua sucesió? Éstas y muchas pregutas so las teemos por respoder e el aálisis del cocepto de sucesió o progresió.

4 3 Explicació Fució expoecial. Defiició de la fució expoecial geeral: Si f(x) = a x para todo x e el cojuto de los reales, dode a>0 y a 0. Iterpretació Gráfica: La curva verde represeta la gráfica de f para a>. La curva rosa represeta la gráfica de f para 0 < a <. Extraído de: solo para fies educativos. Ua de las aplicacioes que podemos darle a la fució expoecial es la de solucioar ecuacioes. 5x Ejemplo. Resuelve la ecuació 4 x = 6 Solució: Por el teorema de fucioes expoeciales biuívocas sabemos que si dos ecuacioes expoeciales tiee la misma base tedrá el mismo expoete. Etoces e uestra ecuació cosideremos que para que las bases sea iguales debemos de trasformar el 6 e forma expoecial como 4 2, por lo tato: 4 5x 8 = 4 2( x+ 2)

5 4 Al teer bases semejates, se iguala los expoetes: 5x-8 = 2(x+2) Despejamos de esta ecuació x obteemos: x= 4. Aplicacioes prácticas de la fució expoecial. Crecimieto de bacterias. Las fucioes expoeciales resulta útiles para describir el crecimieto de ciertas poblacioes. Como ilustració supogamos que a ivel experimetal se observa que el úmero de bacterias de u cultivo se duplica cada día. Si hay 000 ejemplares e el comiezo, se obtiee la tabla siguiete, dode t es el tiempo e días y f(t) es el coteo de bacterias e el tiempo t. T(tiempo e días) f(t)(coteo de bacterias) Está claro que f(t) = (000)2 t Co esta fórmula se puede predecir la catidad de bacterias presetes e cualquier tiempo t; por ejemplo e t=.5 F (.5) = (000)2.5 = Defiició de fució expoecial atural. Está defiida por f(x) = e x para todo úmero real x. Aplicació práctica. Iterés compuesto cotiuamete. Fucioes logarítmica. Defiició: sea a u úmero real positivo diferete de. El logaritmo de x co base a se defie como y= log a x si y sólo si x=a y Para toda x>0 y todo úmero real e y.

6 5 Notaras que las ecuacioes de la defiició so equivaletes. El diagrama que viee puede ayudarte e domiar esta coversió de ua e otra. Extraído de: solo para fies educativos. Progresioes aritmética y geométrica. Sucesió aritmética: Es aquella sucesió dode la diferecia etre cada uo de los térmios es el mismo valor costate. Ejemplo:,5,9,3,7,2.. Esta progresió tiee ua diferecia de 4 etre cada dos térmios. Fórmulas utilizadas: N-esimo térmio: a = a + ( ) d, Diferecia comú: d a a = Suma de los primeros térmios: S = [( 2a ) + ( ) d] o S [ a + ] 2 2 = a Ejemplo: Determie el térmio 23 de la progresió aritmética 5,, 7, 23.y la suma parcial hasta el térmio 6. Si = 23, a = 5 y d= 6 a = a +(-)d

7 6 a 23 = (5)+ (23-) (6) a 23 = 37 La suma parcial hasta =6, a = 5 y d= 6 S = (6/2) [(2) (5) + (6-) (6)] S = (8) (00) = 800 Progresioes geométricas. Es ua serie e la cual cada térmio se obtiee de multiplicar el aterior por u valor fijo, llamado razó de la progresió. Ejemplo: 2,6,8, 54 e esta serie se iicia e 2 y éste se multiplica por 3 para hallar el segudo térmio que es 6 y así sucesivamete. Formulas por utilizar: N-ésimo térmio: a = a ( r ) Razó comú: r = a a k k Suma de primeiros térmios: S = a ( r ) r Ejemplo: Calcula el séptimo térmio de la progresió geométrica dode su primer térmio es 4 y su razó es 3. a =4 y r= 3 etoces se sustituye los datos e la fórmula: a = a ( r ) 4 a 7 = 4(3 ) = 4(27) = 08

8 7 Coclusió E esta sesió apredimos a resolver ecuacioes expoeciales y logarítmicas, a iterpretar sus gráficas y recoocer que ua es iversa de la otra. Se resolvió u problema de aplicació para la fució expoecial que es uo de los usos más importates de esta fució. Además etedimos que o existe diferecia etre los térmios sucesió y progresió. Ua maera de distiguir las sucesioes aritméticas de las geométricas es que la primera tiee ua diferecia costate etre cada uo de los térmios y la seguda tiee ua razó o cociete etre cada uo de los térmios. Debemos de cosiderar que estas sucesioes tiee gra aplicació e la ecoomía, fiazas y ciecias sociales etre otras. E la siguiete sesió aprederemos a utilizar los diferetes métodos para la solució de los Sistemas de ecuacioes lieales.

9 8 Para apreder más E este apartado ecotrarás más iformació acerca del tema para eriquecer tu apredizaje. Puedes ampliar tu coocimieto visitado los siguietes sitios de Iteret. Formulas y ejercicios resueltos co sucesioes aritméticas y geométricas: Recuperado el día 0 de abril del 204 de: Fucioes expoecial y logarítmica: Recuperado el día 0 de abril del 204 de: cioes3/impresos/quicea0.pdf Recuperado el día 0 de abril del 204 de: s%20expoecial%20y%20logaritmica.pdf Video co la explicació de las fucioes de crecimieto expoecial: Recuperado el día 0 de abril del 204 de: https://es.khaacademy.org/math/algebra2/expoetial_ad_logarithm ic_fuc/exp_growth_decay/v/expoetial-growth-fuctios Recuperado el día 0 de abril del 204 de: https://es.khaacademy.org/math/algebra2/expoetial_ad_logarithmic_f uc/expoetial-modelig/v/word-problem-solvig--expoetial-growthad-decay Es de gra utilidad visitar el apoyo correspodiete al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios co más éxito.

10 9 Actividad de Apredizaje Co lo apredido e esta sesió acerca de las fucioes expoeciales y logarítmicas y de las progresioes, resuelve los siguietes problemas: a) Població de alces. Se itroduce 00 alces, cada uo de u año de edad, e ua bioreserva. El úmero N (t) de aimales vivos después de t años se predice mediate la fució expoecial N (t)=00(.09) t. Estima el úmero de aimales vivos después de año, 5 años y 0 años. b) Sea la sucesió aritmética: 7,, 5,, 7, 23, 29, Ecotrar el térmio 32 y la suma de los primero 2 térmios de esta sucesió. Etregar esta actividad e formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la plataforma.

11 0 Bibliografía Swokowski, E., Cole, J. (2002). Algebra y trigoometría co geometría aalítica. México. Thomso Learig. Haussler, E. (997). Matemáticas para admó., ecoomía, ciecias sociales y de la vida. Edo. México, México. Pretice Hall hispaoamericaa, S.A.

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