Listo para seguir? Intervención de destrezas

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1 9A Listo para seguir? Intervención de destrezas 9-1 Cómo identificar funciones cuadráticas Busca estas palabras de vocabulario en la Lección 9-1 el Glosario multilingüe. Vocabulario función cuadrática parábola vértice mínimo máimo Identificar funciones cuadráticas La función cuadrática no tiene primeras diferencias constantes. Tiene segundas diferencias constantes. Esto ocurre en todas las funciones cuadráticas. A. Indica si la función 6 5 es cuadrática. Eplica. Intenta escribir la función epresada como a b c hallando Resta 6 de cada lado. 6 5 Escribe en la forma a b c. Por lo tanto, a 6, b 5 c. La función es cuadrática? Sí Cómo lo sabes? Puede escribirse epresada como a b c. B. Representa gráficamente la función 1 e indica el dominio el rango. Haz una tabla de valores. Elige valores de úsalos para hallar valores de. Representa gráficamente los puntos conéctalos con una curva suave. 1 El valor de a es positivo o negativo? positivo Por lo tanto, la gráfica se abre hacia arriba. El vértice está en (, ). El vértice es un máimo o un mínimo? mínimo El dominio está compuesto por todos los números reales. Todos los valores de de la función son maores que o iguales a. Por lo tanto, el rango es. Copright b Holt, Rinehart and Winston. 16 Holt Álgebra 1

2 9A Listo para seguir? Intervención de destrezas 9- Características de las funciones cuadráticas Busca estas palabras de vocabulario en la Lección 9- el Glosario multilingüe. Vocabulario cero de una función eje de simetría Hallar ceros de funciones cuadráticas a partir de gráficas Halla los ceros de la función cuadrática a partir de su gráfica. Luego halla el eje de simetría. El cero de una función es un valor de que hace que la función sea igual a cero. El cero de una función es lo mismo que una intersección con el eje. Una función cuadrática puede tener uno, dos o ningún cero. El eje de simetría siempre atraviesa el vértice de la parábola. A. 6 B. 6 Por dónde cruza la gráfica el eje? Por dónde cruza la gráfica el eje? 3 Para determinar el eje de simetría, halla el promedio de los ceros Hallar el vértice de una parábola Halla el vértice de la parábola 3. b Paso 1 Halla la coordenada usando la fórmula a. A qué es igual a? A qué es igual b? b a 1 ( ) Paso Halla la coordenada correspondiente. 3 ( 1 ) ( 1 ) En este caso, la coordenada es el eje de simetría. Paso 3 Escribe las coordenadas como un par ordenado. El vértice es (1, 1 ). Copright b Holt, Rinehart and Winston. 17 Holt Álgebra 1

3 9A Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas 9- Características de las funciones cuadráticas b La coordenada del vértice de una parábola se puede hallar mediante a. Se puede hacer un modelo de la altura sobre el agua de un soporte de arco curvo para un puente mediante..6.6, donde es la distancia en pies desde donde el soporte del arco ingresa en el agua. Cuál es la altura del puente en forma de arco? Comprende el problema 1. Qué se te pide que halles? la altura del puente en forma de arco. Qué fórmula se te da?..6.6 Haz un plan 3. El vértice representa el punto más alto de una parábola. b. La fórmula del vértice de una parábola es a. Resuelve 5. Dada la ecuación..6.6, a. b Sustitue a b por sus valores en la fórmula del vértice. b a.6 (.) 5 7. Halla la coordenada correspondiente La altura del puente es 9.5 pies..( 5 ).6( 5 ) Repasa 9. Representa gráficamente la función..6.6 en una calculadora de gráficas. Visor de la calculadora: valores de 5 a cada 5, valores de 1 a 5 cada Usa la función Calc de tu calculadora determina el punto máimo de la parábola. 11. Se corresponden las alturas que obtuviste en los Ejercicios 1? Sí 9.9 Copright b Holt, Rinehart and Winston. 1 Holt Álgebra 1

4 9A Listo para seguir? Intervención de destrezas 9-3 Cómo representar funciones cuadráticas Representar gráficamente una función cuadrática Representa gráficamente 1. Paso 1 Halla el eje de simetría. b a ( ) A qué es igual a? A qué es igual b? 1 Sustitue por los valores conocidos halla. Paso Halla el vértice. Sustitue la coordenada en la ecuación. 1 ( 1 ) ( 1 ) El vértice es ( 1, 1 ). Paso 3 Halla la intersección con el eje. 1 Identifica c. 1 La intersección con el eje es 1; la gráfica atraviesa (, 1 ). Paso Halla dos puntos más del mismo lado del eje de simetría en el que está el punto que contiene la intersección con el eje. Usa 3. Sea 3 Sea 1 1 ( 3 ) ( 3 ) 1 ( ) ( ) 1 ( 9 ) 1 1 ( ) El punto es ( 3, 7 ). El punto es (, 1 ). Paso 5 Representa gráficamente el eje de simetría, el vértice, la intersección con el eje los otros dos puntos. 6 Paso 6 Ahora refleja los puntos a través del eje de simetría para representar gráficamente puntos del otro lado de la parábola. Conecta los puntos con una curva suave. Copright b Holt, Rinehart and Winston. 19 Holt Álgebra 1

5 9A Listo para seguir? Intervención de destrezas 9- Transformación de funciones cuadráticas Comparar gráficas de funciones cuadráticas Compara las gráficas de cada función con la gráfica de f(). A. g() 1 Método 1: Compara las gráficas. Representa gráficamente ambas funciones en la misma gráfica. Ancho: La gráfica de g() 1 es más ancha que la gráfica de f(). Eje de simetría: El eje de simetría es el mismo. El vértice de f() es (, ). El vértice de g() 1 se traslada unidades hacia abajo a (, ). B. g() 3 Método : Usa las funciones. Ancho: Halla a para cada función. g() 3 3 f() 1 1 La función con la gráfica más angosta tiene el maor valor absoluto. La gráfica de g() 3 es más angosta que la gráfica de f(). Determina el eje de simetría de ambas gráficas. b g() a ( 3) b f() a (1) El eje de simetría es el mismo. El vértice de f() es (, ). El vértice de g() 3 se traslada unidades hacia arriba a (, ). La gráfica de g() 3 se abre hacia abajo la gráfica de f() se abre hacia arriba. C. g() 3 Ancho: Halla a para cada función. g() 1 1 f() 1 1 El ancho de las gráficas de g() f() es el mismo. Determina el eje de simetría de ambas gráficas: b g() a (1) b f() a (1) El eje de simetría es el mismo. El vértice de f() es (, ). El vértice de g() 3 se traslada 3 unidades hacia abajo a (, 3). Comprueba: Representa gráficamente ambas ecuaciones para verificar todas las comparaciones. Copright b Holt, Rinehart and Winston. 15 Holt Álgebra 1

6 9A Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas 9- Transformación de funciones cuadráticas Para comparar gráficas, es útil dibujarlas o verlas en el mismo plano cartesiano. Los estudiantes de una clase de física dejan caer huevos desde un edificio alto hacia un objetivo, desde diferentes alturas. Se deja caer un huevo desde una altura de 6 pies otro desde 96 pies. a. Escribe las dos funciones de la altura compara sus gráficas. Usa h(t) 16 t c, donde c es la altura del huevo. b. Usa las gráficas para indicar cuándo llegará cada huevo al suelo. Comprende el problema 1. Qué se te pide que determines? Cuándo llegarán al suelo los huevos.. Qué función se te da para escribir las ecuaciones? h(t) 16 t c Haz un plan 3. Escribe la función para cada huevo que se deja caer. a. caída desde 6 pies: h 1 (t ) 16 t 6 b. caída desde 96 pies : h (t ) 16 t 96 Resuelve. Representa gráficamente cada ecuación en una calculadora de gráficas. Como el tiempo la altura no pueden ser negativos, fija el visor de la calculadora para valores no negativos. La gráfica de h (t ) 16 t 96 es una traslación h 1 (t ) 16 t 6. vertical de la gráfica de Como el huevo en h se deja caer desde una altura de 3 pies más que la de h 1, la intersección con el eje de h es 3 pies maor. 5. Usa las gráficas para indicar cuándo llega cada huevo al suelo. Los ceros de cada función representan cuándo los huevos llegan al suelo. El huevo que se deja caer desde 6 pies llega al suelo en segundos. Repasa El huevo que se deja caer desde 96 pies llega al suelo en aproimadamente.5 segundos. 6. Usa la función Calc de tu calculadora determina los ceros de cada función. 7. Los resultados que obtuviste en el Ejercicio 5 se corresponden con los que obtuviste en el Ejercicio 6? Sí. Tus respuestas parecen razonables? El huevo que se deja caer desde 96 pies debe tardar más en llegar al suelo que el huevo que se deja caer desde 6 pies. Copright b Holt, Rinehart and Winston. 151 Holt Álgebra 1

7 9A Listo para seguir? Prueba 9-1 Cómo identificar funciones cuadráticas Indica si cada función es cuadrática ( 1, ); (, 3); (1, ); (, 1) Sí No No Indica si la gráfica de cada función cuadrática se abre hacia arriba o hacia abajo si la parábola tiene un máimo o un mínimo f().5 hacia abajo, máimo hacia arriba, mínimo hacia abajo, máimo 7. Representa gráficamente la función 1 e indica el dominio el rango. D: todos los números reales; R: 9- Características de las funciones cuadráticas Halla los ceros de cada función a partir de su gráfica. Luego halla el eje de simetría ; 1 ; No ha ceros; 3 Halla el vértice de cada parábola (, ) ( 1, 7) (, 1) 1. Se puede hacer un modelo de la altura en pies de un puente en forma de arco mediante.5, donde es la distancia en pies desde la base del arco al suelo. Cuál es la altura del puente? pies Copright b Holt, Rinehart and Winston. 15 Holt Álgebra 1

8 9A Listo para seguir? Prueba, (continuación) 9-3 Cómo representar funciones cuadráticas Representa gráficamente cada función cuadrática Transformación de funciones cuadráticas Compara la gráfica de cada función con la gráfica de f (). 1. g() 7 1. g() 5 La gráfica de g() es más angosta que la de f (), tiene el mismo eje de simetría, se abre hacia arriba La gráfica de g() tiene el mismo eje de simetría, se abre hacia abajo el vértice se traslada el vértice se traslada 1 unidad 5 unidades hacia arriba a (, 5). hacia arriba a (, 1).. 3. El piloto de un globo de aire caliente deja caer una bolsa de arena sobre un objetivo desde una altura de 3 pies. Luego, deja caer otra bolsa idéntica desde una altura de 961 pies. a. Escribe las dos funciones de la altura compara sus gráficas. Usa h(t) 16 t c, donde c es la altura del globo t es el tiempo en segundos. h 1 (t) 16 t 3, h (t ) 16 t 961 b. Usa las gráficas para indicar cuándo llegará al suelo cada bolsa de arena..5 s 7.75 s Copright b Holt, Rinehart and Winston. 153 Holt Álgebra 1

9 9A Listo para seguir? Enriquecimiento Representar gráficamente ecuaciones cúbicas Así como se pueden representar gráficamente ecuaciones cuadráticas, también se lo puede hacer con las ecuaciones a la tercera potencia. Para determinar la forma general de una ecuación cúbica, representa gráficamente la ecuación 3. Completa la tabla marca tus puntos sobre la gráfica. 3 ( ) 3 1 ( 1) 3 1 () 3 1 (1) 3 1 ( ) Completa la tabla luego representa gráficamente las ecuaciones cúbicas Copright b Holt, Rinehart and Winston. 15 Holt Álgebra 1

10 Listo para seguir? Intervención de destrezas 9-5 Cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante la representación gráfica Busca esta palabra de vocabulario en la Lección 9-5 el Glosario multilingüe. Vocabulario ecuación cuadrática Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la representación gráfica Resuelve cada ecuación representando gráficamente la función relacionada. A. Paso 1 Escribe la función relacionada. Paso Representa gráficamente la función. El eje de simetría es. El vértice es (, ). Otros dos puntos son ( 1, 3 ) ( 3, 5 ). Representa gráficamente los puntos refléjalos a través del eje de simetría. Paso 3 Halla los ceros. Los ceros parecen ser. Comprueba: ( ) () B. 3 1 Paso 1 Escribe la función relacionada. 3 1 Paso Representa gráficamente la función. El eje de simetría es 1.5. El vértice es ( 1.5, 1.5 ). Otros dos puntos son (, 6 ) ( 3, 1 ). Representa gráficamente los puntos refléjalos a través del eje de simetría. Paso 3 Halla los ceros. Los ceros parecen ser 5. 1 Comprueba: ( 5 ) 3( 5 ) 1 ( ) 3( ) Copright b Holt, Rinehart and Winston. 155 Holt Álgebra 1

11 Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas 9-5 Cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante la representación gráfica Dada una ecuación cuadrática, puedes escribir representar gráficamente la función relacionada para determinar los ceros de la función. Se lanza hacia arriba un cohete de agua a una velocidad inicial de pies por segundo. Su altura h desde el suelo, se puede estimar mediante h 16 t t, donde t es el tiempo en segundos. Halla el tiempo que le lleva al cohete llegar al suelo después de su lanzamiento. Comprende el problema 1. Qué se te pide que determines? el tiempo que tarda el cohete en volver al suelo. Con qué ecuación se estima la altura? h 16 t t Haz un plan 3. Escribe la función relacionada representa gráficamente la función. La función relacionada: h 16 t t 16 t t 16 t t Resuelve. Representa gráficamente la función del Ejercicio 3. Usa una calculadora de gráficas. 5. Usa la tecla TRACE para estimar los ceros. Los ceros parecen ser El cohete despega de la plataforma de lanzamiento a los segundos llega al suelo en 3 segundos. 7. El cohete está en el aire durante aproimadamente 3 segundos. Repasa. Sustitue t por el valor que obtuviste en el Ejercicio 7 observa si se comprueba la respuesta. 16 t t 16( 3 ) ( 3 ) 16( 9 ) Copright b Holt, Rinehart and Winston. 156 Holt Álgebra 1

12 Listo para seguir? Intervención de destrezas 9-6 Cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante la factorización Usar la propiedad del producto cero Si el producto de dos cantidades es igual a cero, al menos una de esas cantidades es igual a cero. Si una ecuación cuadrática está escrita en forma estándar, a b c, para resolver la ecuación, puedes necesitar producto cero. factorizarla antes de usar la propiedad del Usa la propiedad del producto cero para resolver cada ecuación. A. ( 7)( 3) 7 ó 3 Usa la propiedad del producto cero. 7 ó 3 Resuelve cada ecuación. Comprueba: 7 Comprueba: 3 ( 7)( 3) ( 7)( 3) ( 7 7)( 7 3) ( 3 7)( 3 3) B. ( 3) 1 ()( ) ()( ) 3 1 Multiplica. 3 1 Escribe la ecuación en forma estándar. ( 5 )( ) Factoriza. 5 ó Usa la propiedad del producto cero. 5 ó Resuelve cada ecuación. C. ( 5)( ) Multiplica usando el método FOIL. Combina los términos semejantes. Escribe la ecuación en forma estándar. ( 6 )( 3 ) Factoriza el trinomio. 6 ó 3 Usa la propiedad del producto cero. 6 ó 3 Resuelve cada ecuación. Copright b Holt, Rinehart and Winston. 157 Holt Álgebra 1

13 Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas 9-6 Cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante la factorización Un cohete botella se lanza hacia arriba a una velocidad inicial de pies por segundo. La altura del cohete en pies, h, después de t segundos está dada por h 16 t t. Cuándo llegará el cohete al suelo? Comprende el problema 1. En qué dirección se lanza el cohete? hacia arriba. Cuál es la velocidad inicial del cohete? pies/seg 3. Con qué se representa la altura en el problema? h. Con qué se representa el tiempo en el problema? t 5. Cuál es la ecuación dada que representa el cohete lanzado? h 16 t t 6. Qué se te pide que halles? Cuándo llegará el cohete al suelo. Haz un plan 7. Para qué variable se debe resolver la ecuación? t. A qué equivale h cuando el cohete toca el suelo? Escribe la ecuación sustituendo h por este valor. Resuelve 9. Cuál es el MCD de la ecuación en el Ejercicio? 16t 16 t t 1. Factoriza el MCD vuelve a escribir la ecuación del Ejercicio. 16t(t 3) 11. Resuelve usando la propiedad del producto cero. 16t t 3 t t 3 1. Qué valor de t es el único que tiene sentido? Por qué? t 3, porque ha transcurrido tiempo, por lo tanto t. 13. Cuánto tiempo tardará el cohete en llegar al suelo? 3 segundos Repasa 1. Sustitue tu respuesta del Ejercicio 13 en la ecuación original, 16( 3 ) ( 3 ). 15. El valor encontrado satisface la ecuación? Sí Copright b Holt, Rinehart and Winston. 15 Holt Álgebra 1

14 Listo para seguir? Intervención de destrezas 9-7 Cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante las raíces cuadradas Usar raíces cuadradas para resolver ecuaciones cuadráticas Cada número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva una negativa. Cuando obtienes la raíz cuadrada de un número real positivo no se indica el signo de la raíz cuadrada, debes hallar la raíz cuadrada positiva la negativa. Esto se indica mediante. La raíz cuadrada de cero no es positiva ni negativa. Resuelve usando raíces cuadradas. Redondea a la centésima más cercana si es necesario. A Divide cada lado entre Halla hallando la raíz cuadrada de ambos lados. 6 Usa para mostrar ambas raíces cuadradas. B Suma 31 a cada lado de la ecuación Halla hallando la raíz cuadrada de ambos lados. Usa para mostrar ambas raíces cuadradas. C Resta 6 de cada lado de la ecuación Divide cada lado entre 5. Halla hallando la raíz cuadrada de ambos lados..37 Usa para mostrar las dos raíces cuadradas. Redondea a la centésima más cercana. Copright b Holt, Rinehart and Winston. 159 Holt Álgebra 1

15 Listo para seguir? Intervención de destrezas 9- Cómo completar el cuadrado Busca esta palabra de vocabulario en la Lección 9- el Glosario multilingüe. Resolver b c completando el cuadrado Resuelve cada ecuación completando el cuadrado. A. 1 5 Paso 1 Escribe la ecuación epresada como b c. 1 5 Paso Cuál es el valor de b en la ecuación? 1 Cuánto es b? 36 Paso Completa el cuadrado sumando 36 a ambos lados. Paso ( 6 ) 1 Factoriza el trinomio cuadrado perfecto de la izquierda. Paso Halla la raíz cuadrada de ambos lados. Paso ó 6 9 Escribe resuelve dos ecuaciones Halla. Las soluciones de la ecuación son Comprueba: Sustitue las soluciones en la ecuación original 1 5 resuelve ( 3 ) 1( 3 ) 5 ( 15 ) 1( 15 ) Sí Se comprueban tus soluciones? B. 11 Paso 1 Escribe la ecuación epresada como b c. 11 Paso Cuál es el valor de b en la ecuación? Cuánto es b? Paso 3 11 Completa el cuadrado sumando a ambos lados. Paso ( ) 15 Factoriza el trinomio cuadrado perfecto de la izquierda. Paso 5 15 Halla la raíz cuadrada de ambos lados. Paso 6 15 ó 15 Escribe resuelve dos ecuaciones. 15 ó 15 Las soluciones de la ecuación son Comprueba: Puedes usar una calculadora de gráficas para comprobar tu respuesta. Vocabulario completar el cuadrado Copright b Holt, Rinehart and Winston. 16 Holt Álgebra 1

16 Listo para seguir? Intervención de destrezas 9-9 La fórmula cuadrática el discriminante Busca esta palabra de vocabulario en la Lección 9-9 el Glosario multilingüe. Usar la fórmula cuadrática Resuelve 7 usando la fórmula cuadrática. Qué es la fórmula cuadrática? a c a b b En la ecuación 7, a 1 b 7 c. Sustitue a, b c en la fórmula cuadrática. 7 7 (1) (1) Vocabulario discriminante 7 9 (1) Simplifica ó 7 1 Analizar ecuaciones cuadráticas usando el discriminante Halla el tipo cantidad de soluciones de la ecuación 3 5. Si b ac es positivo, ha dos soluciones reales. Si b ac, ha una solución real. Si b ac es negativo, entonces no ha soluciones reales. Para la ecuación 3 5, a 3, b c 5. Sustitue a, b c por sus valores en la fórmula del discriminante b ac. b ac ( ) ( 3 )( 5 ) 16 6 La ecuación 3 5 no tiene soluciones reales. Copright b Holt, Rinehart and Winston. 161 Holt Álgebra 1

17 Listo para seguir? Prueba 9-5 Cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante la representación gráfica Resuelve cada ecuación representando gráficamente la función relacionada La altura de un cohete lanzado desde una plataforma ubicada a pies por encima del suelo puede estimarse mediante h 16 t 6t, donde h es la altura en pies t es el tiempo en segundos. Halla el tiempo que tarda el cohete en llegar al suelo después de su lanzamiento. 5 segundos 9-6 Cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante la factorización Usa la propiedad del producto cero para resolver cada ecuación. 5. ( )( 7) 6. ( )( 5) 7. ( 3). ( 6)( 7) Resuelve cada ecuación cuadrática por factorización La altura de un cohete pequeño puede estimarse mediante la función h(t) 16 t 96t, donde h es la altura del cohete en pies t es el tiempo en segundos. Halla el tiempo que tarda el cohete en volver al suelo. 6 segundos Copright b Holt, Rinehart and Winston. 16 Holt Álgebra 1

18 Listo para seguir? Prueba, (continuación) 9-7 Cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante las raíces cuadradas Resuelve usando raíces cuadradas Resuelve Redondea a la centésima más cercana Cómo completar el cuadrado Completa el cuadrado para cada epresión Resuelve completando el cuadrado La longitud de un rectángulo mide pies más que el ancho. El área del rectángulo mide 3 pies cuadrados. Halla la longitud el ancho. Redondea tu respuesta a la décima de pie más cercana. longitud:. pies; ancho. pies 9-9 La fórmula cuadrática el discriminante Resuelve usando la fórmula cuadrática. Redondea tu respuesta a la centésima más cercana No ha soluciones reales. 7 Halla la cantidad de soluciones de cada ecuación usando el discriminante ó.3,.3 1; no ha soluciones reales ; 1 solución real ; soluciones reales Copright b Holt, Rinehart and Winston. 163 Holt Álgebra 1

19 Listo para seguir? Enriquecimiento Representar gráficamente círculos completando el cuadrado La técnica de completar el cuadrado se puede usar para representar gráficamente círculos. La ecuación general de un círculo con su centro en el origen es r, donde r es el radio del círculo. La ecuación general de un círculo con su centro trasladado desde el origen es ( h ) ( k ) r. Una ecuación que representa un círculo puede transformarse en la suma de dos cuadrados. Ejemplo: ( 1 ) ( 6 ) 9 ( 1 9) ( 6 9) ( 7 ) ( 3 ) 9 ( 7 ) ( 3 ) 3 El centro del círculo es (7, 3) el radio es 3. El círculo se muestra a la derecha Completa el cuadrado en las siguientes ecuaciones. Identifica el centro el radio del círculo luego represéntalo gráficamente Centro: (, 1) Centro: ( 3, ) Radio: Radio: Centro: (, 5) Centro: (, ) Radio: 1 Radio: 1 Copright b Holt, Rinehart and Winston. 16 Holt Álgebra 1

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