Escala del Sistema Solar. Eclipses.

Transcripción

1 Escala del Sistema Solar. Eclipses. 1. Distancia a los planetas. Método de Copérnico Distancia a los planetas interiores. El método consiste en buscar la relación entre la distancia al Sol de un planeta interior y la distancia Tierra-Sol en la posición de máxima elongación del planeta. Figura 1: Distancia a un planeta interior en máxima elongación. sin(α) = d P d, resultando d P = sin(α)d, (1) Siendo α el ángulo de máxima elongación del planeta (P), que vale 46 para el Planeta Venus y 28 para el Planeta Mercurio. 1

2 1.2. Distancia a los planetas exteriores. En el caso de los planetas exteriores se debe tener en cuenta el tiempo que tarda el Planeta en pasar de oposición a cuadratura (T OC ). De la Figura se obtiene que: Figura 2: Distancia a un planeta exterior. cos(α β) = d d P, resultando d P = d cos(α β), (2) El ángulo α indica el cambio de posición que sufre la Tierra en el tiempo que tarda el Planeta en pasar de oposición a cuadratura (T OC ). Por otro lado, la Tierra tardará un tiempo igual a su período sidéreo en cambiar su posición en 360 por lo que juntando ambas relaciones se obtiene: α = 360 T OC T Sid.T ierra, (3) El ángulo β indica el cambio de posición que sufre el Planeta exterior en el tiempo que tarda en pasar de oposición a cuadratura (T OC ). Por otro lado, el Planeta tardará un tiempo igual a su período sidéreo en cambiar su posición en 360 por lo que juntando ambas relaciones se obtiene: β = 360 T OC T Sid.P laneta, (4) De donde conocidos α y β, es posible estimar la distancia al planeta en función de la distancia entre la Tierra y el Sol. 2

3 2. Cálculo de la distancia Tierra-Luna Método de Aristarco. Cuando la Luna se halla en cuarto creciente o en cuarto menguante, el ángulo formado por el centro del Sol, el centro de la Tierra es de 90. Si el Sol estuviera infinitamente alejado de la Tierra >> d L, las fases de cuarto creciente y cuarto menguante estarían separados exactamente por 180. Figura 3: La distancia de la Luna a la Tierra en función de la distancia de la Tierra al Sol. Se muestra a la Luna en las fases de Luna Nueva (LN), Cuarto Creciente, Luna Llena (LLL) y Cuarto Menguante. El método consiste en medir el tiempo que transcurre entre cuarto menguante y cuarto creciente (T C ). Como la velocidad de la Luna en su órbita es aproximadamente constante: 2β 360 = T C, resultando β = 360 T C, (5) T Sinod. Luna 2 T Sinod.Luna Del gráfico vemos que: cos(β) = d L (6) Tenemos como dato que el intervalo desde Luna nueva al cuarto creciente es 35 más corto que desde el cuarto creciente a Luna llena, esto es: T (LN CC) = T (CC LL) 35 y que el período sinódico de la Luna es de: 3

4 T Sinod.Luna = 29 d 12,73 h por lo que podemos expresar T C = 2 T (LN CC) = 2 T (CC LL) 70 de donde T Sinod.Luna = T C + 2 T (CC LL) =T C + T C + 70 y T C = T Sinod.Luna 70, (7) 2 Por lo que usando (7) junto a las ecuaciones (5) y (6) se obtiene una estimación de d L / Método de Hiparco. El método de Hiparco permite estimar la distancia Tierra-Luna, d L, mediante la observación de un eclipse lunar. Figura 4: R es radio terrestre y R U el radio de la umbra. La Fig. 4 muestra a la Luna en su órbita entrando a la umbra o sombra terrestre. El método se basa esencialmente en la observación del eclipse lunar, y particularmente en la medición del tiempo que tarda la Luna en ocultarse completamente dentro de la umbra ( t 1 ) y del factor k que determina cuántas veces entra el radio angular de la Luna en la sombra terrestre (ver Fig. 5). 4

5 Figura 5: α L : radio angular de la Luna. α U : radio angular de la umbra. ω L : velocidad angular de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra. t 1 : tiempo de ocultamiento de la Luna dentro del cono de sombra. t 2 : tiempo en que la Luna recorre la umbra. Por definición: k = α U α L R U, (8) Nota: La equivalencia de la ec. (8) entre radios angulares y lineales puede plantearse ya que el factor distancia es común. Midiendo t 1 y conociendo el radio angular de la Luna (α L = 16 ) es posible determinar la velocidad angular orbital de la Luna: ω L = 2α L t 1, (9) la cual nos premitirá evaluar el radio angular de la umbra si medimos t 2 : 2 α U = ω L t 2. (10) Finalmente a partir de α U y α L podremos calcular cuántas veces entra el radio angular de la Luna en la sombra producida por la Tierra, obteniéndose un valor de k 2.5. Ahora definamos el factor f como la relación de distancias Tierra-Sol a Tierra-Luna: f = d L con f 1. (11) Usando esta definición podemos escribir la distancia Sol-Luna (en la configuración de eclipse lunar) como: + d L = d L (1 + f). Esquematicemos el cono de sombra generado por la Tierra (ver Fig. 6). Por semejanza de triángulos (ABC y DBE), podemos escribir: R R U d L (1 + f) = R R U d L, (12) 5

6 Figura 6: R : radio del Sol. R : radio de la Tierra. R U : radio de la umbra. dividiendo esta ecuación por, obtenemos: R R U = (1 + f) ( R R ) U. (13) El primer término de la esta ecuación puede calcularse si tenemos en cuenta que los radios angulares de la Luna y del Sol son equivalentes, de manera que: o equivalentemente, α L = d L = R, (14) R = d L = f. (15) Usando las expresiones de f y k (ecs. 15 y 8), la ec. (13) puede reescribirse en la forma: o bien; ( ) R f k = (1 + f) k, (16) f (1 + k) = R (1 + f ), (17) de donde se desprende que el radio de la Luna es: = 1 + f f (1 + k) R R 1 + k. (18) Nota: En la aproximación anterior se ha supuesto que f 1. Finalmente, si pensamos que la Luna recorre su órbita, 2π d L, en un período T luna, y una distancia 2 en un intervalo t 1, podemos plantear: 6

7 d L = π t 1 T luna = 1 π ( Tluna t 1 ) R 1 + k, (19) donde se ha usado la ec. (18). Concluyendo, si medimos t 1 y k, y conocemos el radio terrestre y el período T luna, podemos determinar la distancia Tierra-Luna. Observación: T luna es el período sinódico (29.53 días), no el sidéreo ya que nos basamos en la configuración relativa del Sol, Tierra y Luna. 3. Cálculo de la distancia Tierra-Sol Método de Halley. Este método permite estimar la distancia Tierra-Sol,, mediante la observación del tránsito de Venus. El fundamento del método radica en dos observaciones independientes del tránsito de Venus realizadas por dos observadores ubicados en dos ciudades diferentes (puntos A y B). Estos observadores verán el tránsito de Venus a través de diferentes trayectorias que se proyectarán en el Sol a diferentes distancias desde su centro (A y B ). Los tiempos de tránsito observados también serán diferentes dependiendo de la distancia de estas trayectorias al centro solar. La medición de estos tiempos es la base del método de Halley para determinar la distancia Tierra-Sol. Figura 7: E: distancia angular entre las dos trayectorias de Venus proyectadas sobre la superficie del Sol observadas desde los puntos A y B. 7

8 De la Fig. 7 se desprende por simple geometría: tan V/2 = A B 2 d V y tan E/2 = A B 2, (20) donde d V es la distancia Venus-Sol. De la ecuaciones anteriores podemos escribir: tan V/2 = tan E/2 d V /. (21) Conocida la relación entre distancias Venus-Sol y Tierra-Sol (d V / ), obtenida mediante el método de Copérnico (ver ejercicio 2), y midiendo el ángulo E podemos hallar el valor de V. Con este último, conociendo la distancia entre los observadores AB, podemos hallar la distancia Tierra-Venus (d V ) utilizando la siguiente expresión (ver Fig. 7): d V = AB/2 tan V/2. (22) Por último, de la relación entre distancias surge inmediatamente que: = d V + d V. Dividiendo esta expresión por podemos escribir: o bien, 1 = d V + d V (23) ( = d V / 1 d ) V. (24) De este modo, el método permite calcular la distancia Tierra-Sol, utilizando la ec. (22) y la relación d V / obtenida por el método de Copérnico. En este cálculo hemos supuesto que la distancia angular entre las dos trayectorias proyectadas de Venus sobre la superficie del Sol observadas desde los puntos A y B, E es conocida. Sin embargo, cabe preguntarse cómo es posible determinar esta separación angular, si las observaciones son independientes?. Consideremos un diagrama de la superficie del Sol donde se proyecten ambas trayectorias. La Fig. 8 muestra los trásitos de Venus observados desde A y B, a distancias angulares x A y x B medidas desde el centro del Sol. Cuanto más alejado del centro sea observado el tránsito, menor va a ser su trayectoria y tiempo de duración. Determinando observacionalmente las longitudes angulares de las trayectorias de tránsito observadas por A y B ( A y B, respectivamente) y midiendo los tiempos de tránsito ( t A y t B ), podremos hallar la separación angular: E = x A x B. (25) Esto es inmediato si consideramos que la velocidad angular orbital de Venus (ω) es conocida, ya que se ha determinado que éste transitaría el diámetro angular del Sol (32 ) en aproximadamente 8hs. Esta información permite estimar las longitudes angulares A y B, si medimos los tiempos de tránsito, t A y t B. Finalmente, a partir de la resolución de triangulos de la Fig. 8, conociendo el radio angular del Sol (α = 16 ) y los valores de A y B, es posible obtener las distancias angulares x A y x B, es decir, E. 8

9 Figura 8: Se muestran los tránsitos de Venus proyectadas sobre la superficie del Sol. A y B : longitudes angulares de las trayectorias. x A y x B : distancias angulares de los tránsitos medidas desde el centro del Sol. α : radio angular del Sol. 9