Departamento de Señales, Sistemas y Radicomunicaciones Comunicaciones Digitales, junio 2011

Transcripción

1 Departamento de Señales, Sstemas y Radcomuncacones Comuncacones Dgtales, juno 011 Responder los problemas en hojas ndependentes. No se permte el uso de calculadora. Problema 1 6 p.) En este ejercco se estudan los parámetros de caldad de constelacones de gran número de señales dspuestas en puntos de una retícula regular con envoltura esférca centrada en el orgen. Los cálculos específcos para este tpo de constelacones los daremos en el enuncado de forma que sólo se necestará la teoría general que hemos vsto para estudar modulacones. En todos los casos supondremos constelacones de M símbolos equprobables en las que que la dstanca de cada señal a sus vecnas más próxmas es gual a d. Suponemos que todas las regones de decsón son guales. Las constelacones que vamos a comparar son: Undmensonal ocupando una longtud gual a R. Bdmensonal, con regones de decsón hexagonales área r, donde r es el apotema) y envolvente crcular área πr ). Trdmensonal, con envolvente esférca volumen 4/)πR ), como la que se lustra en la fgura adjunta. Cada esfera de una capa crcunferencas punteadas en la fgura) descansan en el hueco que dejan cuatro esferas de la capa nferor en línea sólda en la fgura). En consecuenca, cada esfera es tangente a otras doce cuatro en la capa nferor, cuatro en la superor y las cuatro adyacentes en su msma capa). Las regones de decsón para este empaquetamento tenen forma de dodecaedro rómbco poledro de 1 caras rombos déntcos). El volumen del dodecaedro rómbco es gual a V = 4 r, donde r es el rado de una esfera nscrta en dcho poledro tangente a todas sus caras. a) b) Notando por V T el volumen de la bola L dmensonal que contene la constelacón y por V C el de las regones decsón, tenemos M V T /V C, y la energía meda se aproxma

2 por E av = 1 M r = 1 r V C V T 1 r dr = α L, R) V L, R) B0,R) V L, R). donde V T = V L, R) es el volumen de la bola L-dmensonal de rado R y α L, R) su momento de orden dos. Estos parámetros valen V 1, R) = R, V, R) = πr, V, R) = 4 πr, α 1, R) = R /, α, R) = πr 4 /, α, R) = 4πR 5 / p.) Expresar la energía meda en funcón de d y M y calcular el valor de β para las tres constelacones anterores.. p.) Calcular una cota superor de la probabldad de error en funcón de d y de σ n para las tres confguracones. Problema 4 p.) Se consdera un sstema de transmsón dgtal basado en las señales equprobables s t) = A ψt), ψt) = 1 T I 0,T t), A = e j[π/4)+π/) 1)], = 1,..., 4 con T = 1. El canal de transmsón presenta propagacón multtrayecto, de forma que las señales recbdas son de la forma ŝ t) + nt), ŝ t) = s t) + αe jφ s t τ). donde nt) es rudo blanco gaussano complejo nt) = n c t) + jn s t) con n c y n s rudo blanco gaussano con densdad espectral de potenca blateral N 0 ). Suponemos que el receptor conoce las señales y los parámetros del canal α = 1/4, φ = π/, τ = T/4 constantes). La decsón se basa en un fltro con respuesta al mpulso ψ t) cuya salda se muestrea en el nstante t = 0. Denomnando X = X c + jx s a la muestra a la salda del fltro a) 1.5 p) Indcar los elementos del problema de estmacón bayesana correspondente a la determnacón de la señal transmtda s a partr de la observacón X c, X s ). b) 1.5 p) Representar gráfcamente las regones de decsón óptmas, c) 1 p) Dar una expresón de la probabldad de error en térmnos de la funcón Q s las regones de decsón estuveran fueran las delmtadas por los ejes de ordenadas.

3 Solucones 1. Para L = 1 es R Md y en consecuenca con lo que Para L = E av,1 R = M 4 d β 1 = d E av,1 1 M E av, πr4 / = R πr El area del hexágono es de calculo nmedato: S S es la superfce, a el apotema y l el lado del hexágono, S = 6a l/, y puesto que tan π = 1 6 = l/ a resulta S = a a = a. La dstanca entre señales adyacentes es el doble del apotema, esto es, d = a, por lo que S = a = d por lo que πr M d Substtuyendo el valor de R : E av, R = M 4π d de donde Para L = β = d E av, 4π M E av, 4πR5 /5 4 = R πr 5 La dstanca entre las señales correspondentes a dos regones de decsón adyacentes es gual a dos veces el rado de cada esfera, por lo que el volumen de la regón de decsón es Como en los casos anterores: V C ) = 4 ) d = d luego y 4 πr M R d M ) 1 π 1 E av, = R 5 = ) M 5 π = ) M π

4 con lo que β = d ) π E av, M En la fgura adjunta se representan los valores de β en funcon de M para las tres constelacones. La ventaja de ncrementar la dmensón se hace evdente para valores elevados de M numero de señales). 1 M) M) 5 1 M) M. Como sabemos, Q dmn, ) P e, ) dj, Q v Q σ j V n dmn, donde V es el conjunto de señales vecnas y v el número de elementos de V. En nuestro caso, y desprecando la perfera de las constelacones, todas las señales tene la msma probabldad de error y todas las señales vecnas en en caso undmensonal, 6 en el bdmensonal y 1 en el trdmensonal) se encuentran a la msma dstanca d) por lo que las cotas peddas son: P e v Q P e,1d Q P e,d 6 Q ) P e,d 1 Q Problema a) El problema de estmacón bayesana consste en estmar el valor de la ncógnta s, = 1,...,4, con probabldades a pror P = 1/4 en base a la observacón X c, X s ), cuya fdp condconal vamos a calcular. S se transmte s tenemos X = X c + jx s = ŝ t) + nt), ψt) = A ψt) + αe jφ ψt τ)) + nt), ψt) = A 1 + αe jφ ρ) + n 1c + jn 1s = A 1 + j ) + n 1c + jn 1s, 16 puesto que ρ = ψt τ), ψt) = 4.

5 Como n 1c + jn 1s es el producto escalar de la señal de rudo blanco gaussano complejo nt) con una señal de energía undad, ψt), n 1c y n 1s son gaussanas ndependentes de meda nula y varanza σ n = N 0, luego X c y X s con gaussanas ndependentes de varanza σ n y medas, respectvamente, la parte real y la parte magnara de A 1 + αe jφ ρ). b) Al ser las señales equprobables, las regones de decsón están dadas por el crtero de mínma dstanca, y por tanto sus fronteras están delmtadas por las medatrces de los segmentos que unen las señales vecnas. En este caso las fronteras corresponden a los ejes grados. c) La probabldad de error es la msma para cualquer señal. S el vector de medas de la observacón cuando se transmte s 1 es µ 1, µ ), tenemos P E = P E1 = 1 Pn 1c > µ 1 )Pn c > µ ) = 1 1 Qµ 1 /σ n ))1 Qµ /σ n )).