Teoría de Geometría Afín y Proyectiva (G.A.P.) L A TEX

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1 Teoría de Geometría Afín y Proyectiva (G.A.P.) L A TEX Juan Miguel Ribera Puchades 2 de julio de

2 Índice 1. Introducción 4 2. Tema 1: Espacio Afín Definición, ejemplos y notación Definición y notación Proposición Definición, notación Observación Notación en espacios afines Observaciones La aplicación diferencia de un espacio afín Definición y notación Proposición Corolario Proposición Proposición Apéndice: Una definición alternativa de espacio afín Proposición Proposición Tema 2: Variedades(Subespacios) Afines Variedades afines Definición Proposición Observaciones Ejercicio Definición Observaciones Definición Subespacios afines Proposición Corolario Proposición El K-espacio afín canónico de dim. n Definición Observación

3 4. Tema 3: Aplicaciones Afines Variedades afines Definición Definición Proposición Definición

4 1. Introducción El objetivo fundamental de la geometría afín es la modelización algebraica del razonamiento geométrico. Las piezas clave de tal modelización son: Objetos: Las estructuras algebraicas de los espacios afines Subobjetos: Las subestructuras algebraicas de los espacios afines (variedades afines, subespacios afines Morfismos: Las aplicaciones afines entre espacios afines, como las transformaciones propias de tales estructuras algebraicas La presentación de los espacios afines, que hemos elegido, es como estructuras algebraicas. Serán: Conjuntos con una operación binaria. La operación binaria tendrá como dominio de operadores un espacio vectorial. Las aplicaciones afines entre espacios afines tendrás una componente que será una aplicación lineal entre los espacios vectoriales.(dominios de operadores de tales estructuras). Por tanto: el estudio de la geometría afín presupone el conocimiento de la teoría del álgebra lineal, y al igual que esta, quedará parametrizado, en la clase de las estructuras algebraicas de cuerpo (anillo (K, +, ) conmutativo con unidad 1, no trivial 1 0 y grupo de las unidades (K {0}, ). Atención especial dedicaremos a la familia en la que el cuerpo es el de los números reales, que posibilitarán, la introducción de métricas, abriendo así nuevas perspectivas para el razonamiento geométrico. Así pues supondremos igualmente conocida la teoría de las formas cuadráticas reales definidas positivas. 4

5 2. Espacio Afín 2.1. Definición, ejemplos y notación Definición y notación Un espacio afín ɛ, es una terna: ɛ = (P (ɛ), V (ɛ), +) donde: P (ɛ) es un conjunto no vacío V (ɛ) = (V, +, ) es un espacio vectorial + es una operación binaria de P (ɛ) con V dominio de operadores: que cumple los axiomas: + : P (ɛ) x V P (ɛ) (P, v) P + v E.A. I : P ε P (ɛ), iεv, i = 1, 2 entonces P + (v 1 + v 2 ) = (P + v 1 ) + v 2. E.A. II : Para cada elemento P del conjunto P (ɛ), la aplicación: ps : V P (ɛ) definida por : vεv, p S (v) = P + v, es Biyectiva La aplicación a la geometría del axioma primero se puede ver en el siguiente dibujo. 5

6 Proposición Proposicion 0.1 Para cada espacio vectorial (V, +, ) se verifica que la terna ɛ = (P (ɛ), V (ɛ), +) antes definida es un espacio afín. La afirmación es consecuencia inmediata de ser (V, +, ) un grupo (abeliano). Concretamente de su propiedad asociativa y del carácter regular de cada uno de los elementos de V para la operación binaria +. Además veamos que cumple la definición de espacio afín. 1. V es no vacío ya que (V, +, ) tiene estructura de grupo abeliano y, usando el axioma del grupo no vacío, tenemos que V es no vacío. 2., 3. Se cumplen por ser (V, +, ) un espacio vectorial. EA I Se cumple por asociatividad en el espacio vectorial. EA II Debemos comprobar que la siguiente aplicación es biyectiva: Dos formas diferentes de probarlo: vs : V V w v + w Veamos que es inyectiva y suprayectiva. inyectiva Se puede ver que: { v1 v + v 1 } v 2 v + v 2 Si v 1 y v 2 son diferentes v + v 1 v + v 2 por la posibilidad de cancelación Suprayectiva Tenemos que es suprayectiva por definición de espacio vectorial 6

7 Usando la composición y una propiedad que nos explicaron en bases de la matemática: vs v S = I = v S v S De aquí tenemos que en la primera igualdad v S es inyectiva mientras que v S es suprayectiva. De igual forma en la segunda igualdad nos da que v S es inyectiva mientras que v S es suprayectiva. Luego tanto v S como v S son biyectivas y además ( v S) 1 = v S Definición, notación Para cada espacio vectorial (V, +, ), es espacio vectorial afín standard de (V, +, ), es el espacio afín construido a partir de (V, +, ), según la proposición 0.1. Lo notaremos AS [(V, +, )] Observación Notar que la aplicación AS de la clase de los espacios vectoriales en la clase de los espacios afines que asocia a cada espacio vectorial, su espacio afín standard es inyectiva Notación en espacios afines Sea ɛ = (P (ɛ), V (ɛ), +) un espacio afín y V (ɛ) = (V, +, ) entonces: P (ɛ) es el conjunto de los puntos de ɛ Punto de ɛ es cada uno de los elementos de P (ɛ) V es el conjunto de los vectores de ɛ Vector de ɛ es cada uno de los elementos de V Si V (ɛ) = (V, +, ) es espacio vectorial sobre el cuerpo (K, +, ) entonces ɛ es K-espacio afín ( o espacio afín sobre (K, +, ) ) y K es el conjunto de escalar sobre ɛ 7

8 Si es ɛk-espacio vectorial, la dimensión de ɛ es la dimensión del la dimensión del K-espacio vectorial V (ɛ) = (V, +, ). La operación binaria + de P (ɛ) es la operación de suma de punto más vector de ɛ Observaciones 1. Notar que el espacio afín standard de cada espacio vectorial, el conjunto de sus puntos coincide con el conjunto de sus vectores y la operación punto más vector coincide con la operación binaria interna del espacio vectorial, con la que el conjunto de los vectores de V tiene estructura de Grupo Abeliano: AS [(V, +, )] = (V, (V, +, ), +) 2. Puesto que por el axioma E.A. II de la definición de espacio afín, en cada uno de ellos, los conjuntos de sus puntos y sus vectores son biyectivos, y, se sigue: El conjunto de los puntos de un K-espacio afín ɛ es finito si y solo si El cuerpo (K, +, ) es finito y la dimensión del K-espacio vectorial V (ɛ) es finita (Geometrías finitas). En tal caso: P (ɛ) = K dimɛ 2.2. La aplicación diferencia de un espacio afín En lo que sigue en este párrafo es ɛ = (P (ɛ), V (ɛ), +) un K-espacio afín, con V (ɛ) = (V, +, ) Definición y notación La aplicación diferencia de ɛ, es la aplicación δ del conjunto producto P (ɛ) x P (ɛ) en el conjunto V de los vectores de ɛ definida por: (P, Q) εp (ɛ) x P (ɛ) δ [(P, Q)] = p S 1 (Q) (donde por p S 1 detonamos como es habitual, la aplicación inversa la aplicación biyectiva p S). Abreviadamente pactamos denotar: δ [(P, Q)] = P Q (P, Q) εp (ɛ) x P (ɛ) 8

9 Proposición 1. Para cualquier par de puntos P, Q de ɛ se verifica: P + P Q = Q En particular P = P + P P P εp (ɛ). 2. Para cualquier punto de P de ɛ y cualquier vector v de ɛ se verifica: Demostración: 1. P + P Q = p S [ p S 1 (Q)] = Q 2. P (P + v) = p S 1 [ p S (v)] = v Corolario P (P + v) = v La aplicación diferencia de ɛ es suprayectiva. Para cada vector v de ɛ se verifica que el conjunto: {(P, P + v) /P ε P (ɛ)} es el de las imágenes inversas del vector v de ɛ por la aplicación diferencia de ɛ. Demostración: Si P Q = v entonces Q = P + P Q = P + v Proposición Para cualquier terna P, Q, R, de puntos de ɛ se verifica: P Q + QR = P R Demostración: [ ] ps P Q + QR = P + R = P + [ ] P R = p S P R ( ) P Q + QR = ( P + ) P Q + QR = Q + QR = 9

10 Proposición Sean P y Q puntos de ɛ. Se verifican: 1. P P = O ( O neutro de (V, +, )). 2. P Q = O P = Q. 3. QP = P Q( P Q opuesto de P Q ) Demostración: 1. P P = P P + P P P P = O 2. Si P Q = O entonces Q = P + P Q = P + P P = P 3. QP + P Q = O = P Q + P Q QP = P Q 2.3. Apéndice: Una definición alternativa de espacio afín Proposición Sea ɛ = (P (ɛ), V (ɛ), +) un espacio afín, con V (ɛ) = (V, +, ) y sea δ la aplicación diferencia de ɛ. Se verifican: A.1 Para cada punto P de ɛ, la aplicación siguiente es biyectiva: δ p : P (ɛ) V definida por: Q ε P (ɛ) A.2 Para cualquier terna P, Q, R de puntos de ɛ. Demostración: δ [(P Q)] + δ [(QR)] = δ [(P R)] δ p (Q) = δ [(P Q)] = P Q A.1 Basta tener en cuenta que por definición de δ : δ p = δ [(P Q)] = P S 1 (Q) para concluir que es δ p la inversa de la aplicación biyectiva p S y por tanto, también biyectiva. A.2 δ [(P Q)] + δ [(QR)] = P Q + QR = P R = δ [(P R)]. 10

11 Proposición Sean A un conjunto no vacío (V, +, ) es un espacio vectorial ϕ Una aplicación del conjunto producto AxA en V que verifica: A.1 : P ε A, la aplicación ϕ P : A = V definida por: QεA ϕ P (Q) = ϕ [(P R)] es biyectiva A.2 :Para cualquier terna P, Q, R de puntos de A se verifica: ϕ [(P Q)] + ϕ [(QR)] = ϕ [(P R)] 11

12 3. Variedades(Subespacios) Afines En lo que sigue, es ɛ = (P (ɛ), V (ɛ), +) un espacio afín, con V (ɛ) = (V, +, ) y es P Q la imagen del par (P,Q) P (ɛ) xp (ɛ) por la aplicación diferencia de ɛ. Recordamos además que un subespacio de (V, +, ), es un espacio vectorial (T, +, ) donde: T es un subconjunto (no vacío) de V estable para las operaciones binarias de (V, +, ), y, las operaciones binarias de (T, +, ) son las inducidas por las operaciones binarias de (V, +, ) Variedades afines Definición La variedad afín de ɛ que pasa por P P (ɛ) y tiene por dirección el subespacio ( T, +, ) de V (ɛ), es el conjunto de puntos de ɛ imagen de T por la aplicación biyectiva P S, que denotaremos abreviadamente por P T. Así: Proposición P T = P S (T ) = {P + t/t T } Sean: P P (ɛ) y ( T, +, ) un subespacio de ( V, +, ). Se verifican : 1. P es un punto de la variedad afín P T de ɛ. 2. Para cualquier punto Q de la variedad afín P T se cumple que δ Q ( P T ) = { QM/M P T } = T y P T = Q T Demostración 1. P = P + P P = P + 0 V = P S (0 V ) P S (T ) = P T 2. { ( QM/M P T } = δ Q ( P T ) = Q S 1 (P + T ) = Q S 1 Q + ) QP + T = = Q S 1 (Q + T ) = Q S 1 ( Q S (T )) = T Ahora, de δ Q ( P T ) se sigue P T = δ 1 Q = Q S (T ) = Q T. 12

13 Observaciones Algunas características especiales son las variedades afines impropias: 1. Los subconjuntos atómicos (de un solo elemento) de P (ɛ), son variedades afines de dirección el subespacio trivial de V (ɛ), es decir, si P P (ɛ),: {P } = {P + P P } = {P + 0 V } = P S (0) 2. P (ɛ) es variedad afín de ɛ de dirección el subespacio total ( V, +, ) de V (ɛ) P P (ɛ) P S (V ) = P V = P (ɛ) ya que P S es suprayectiva Ejercicio Probar que el conjunto de soluciones de un sistema compatible de ecuaciones lineales con n incógnitas obre un cuerpo ( K, +, ) es una variedad afín del espacio afín standard, del K-espacio vectorial ( K n, +, ) Definición Recta de ɛ es una variedad afín de ɛ cuya dirección es un subespacio V( ɛ ) de dimensión igual a 1. Plano de ɛ es una variedad afín de ɛ cuya dirección es un subespacio V( ɛ ) de dimensión igual a 2. Recta de ɛ es una variedad afín de ɛ cuya dirección es un subespacio V( ɛ ) de dimensión igual a n 1 (maximal en la clase de los subespacios propios de V( ɛ )) Observaciones Si la dimensión de ɛ es 2, las rectas de ɛ,son los hiperplanos de ɛ. Si la dimensión de ɛ es 3, los planos de ɛ,son los hiperplanos de ɛ. 13

14 Definición El hiperplano canónico HC (n, K) del AE ((K n+1, +, )) es: 3.2. Subespacios afines HC ( N K) = e 1< e j /j = 2,..., n + 1 > En lo que sigue, es ɛ = (P (ɛ), V (ɛ), +) un espacio afín,con V (ɛ) = (V, +, ) Proposición Sean: P P (ɛ) y (T, +, ) un subespacio de (V, +, ). Para cualquier punto H de la variedad afín P T de ɛ y cualquier vector t de T, se verifica que H + t P T Demostración: H + t P T y puesto que H P T se tiene que P T = H T luego H + t P T Corolario Sobre la variedad P T de ɛ queda definida una operación binaria + con T como dominio de operadores. + : P T x T P T Siendo la imagen el par ( H, t) P T x T por +, es H + t, que llamaremos suma inducida de punto mas vector de ɛ. 14

15 Proposición donde: Sean : P P (ɛ) y (T, +, ) un subespacio de (V, +, ), entonces la terna: ( P T, (T, +, ), +) La primera componente es la variedad de ɛque pasa por el punto P de dirección T La segunda componente es el subespacio (T, +, ) (dirección de la primera componente): + es la operación binaria de P T con dominio de operadores T inducida por la suma de punto más vector de ɛ es un espacio afín, que llamaremos subespacio afín de ɛ, de la variedad P T. Demostración: P P T luego entonces P T ø H P T y t i T/i = 1, 2 se tiene H + (t 1 + t 2 ) = (H + t 1 ) + t 2 ya que + es la inducida por la operación punto más vector que cumple el axioma E.A.I. Finalmente, para cada H P T, sabemos que H S : V P (ɛ) es biyectiva y además H S (T ) = H T = P T, luego entonces la siguiente aplicación: HS : T P T por la que cada vector t de T tiene por imagen H + t es biyectiva H P (ɛ) quedando así probada la afirmación. 15

16 3.3. El K-espacio afín canónico de dim. n Definición El K-espacio afín canónico de dimensión n es el subespacio afín del K- espacio afín standard del espacio vectorial de las matrices columnas sobre K de dimensión n + 1, de la variedad afín el hiperplano que pasa por e 1 de dirección : < e i /i = 2,..., n + 1 >, que notaremos por AC (n, K) Observación Los puntos de AC (n, K) son (considerando λ i K con i = 1,..., n): 1 λ 1... λ n Los vectores de AC (n, K) son (considerando α i K con i = 1,..., n): 0 α 1... α n La operación punto más vector de AC (n, K) es la inducida por la suma de matrices columna. 16

17 4. Aplicaciones Afines En lo que sigue, es ɛ = (P (ɛ), V (ɛ), +) y ɛ = (P (ɛ ), V (ɛ ), +) espacios afines, con V (ɛ) = (V, +, ) y V (ɛ ) = (V, +, ) Variedades afines Definición Por una aplicación de ɛ en ɛ, entenderemos una aplicación de P(ɛ) en P(ɛ ).Así: ɛ ɛ = {f/f : ɛ ɛ } = {g/g : P (ɛ) P (ɛ )} = P (ɛ ) P (ɛ) Por un transformación de ɛ entenderemos un aplicación de ɛ en sí mismo Definición Para cada punto P de ɛ y para cada aplicación h de ɛ en ɛ es h P aplicación de V en V definida por: Si v V entonces h P = h (P ) h (P + v) la O lo que es equivalente: ( ) Q P (ɛ) se tieneh P P Q = h (P ) h (Q) Proposición Sea h una aplicación de ɛ en ɛ. Son equivalentes: 1. P P (ɛ) tal que h P es homomorfismo del grupo( abeliano)( V, +) en el grupo (abeliano) ( V, +). 2. La aplicación h P es independiente de la elección del punto P de ɛ. Esto es: P, Q P (ɛ) h P = h Q. 17

18 Demostración: 1 2 h Q (v) = h (Q) h (Q + v) = h (Q) h (P ) + h (P ) h (Q + v) = = h (P ) h (Q) + ( h (P ) h (Q + v) = h (P ) h P + ) P Q = ( h (P ) h P + ) ( P Q + v h (P ) h P + ) P Q ( + h (P ) h P + ) P Q + v = ( ) ( ) = h P P Q + v h P P Q = h P (v) 2 1 Sean P P (ɛ) y v, w V. Suponemos h P = h P +v, luego: h P (w) = h P +v (w) = h (P ) h (P + v + w) = = h (P + v) h (P ) + h (P ) h (P + v + w) = = h (P ) h (P + v + w) h (P ) h (P + v) = = h P (v + w) h P (v) Por Definición tanto : h P (v + w) = h P (v) + h P (w) Una aplicación h de ɛ en ɛ es preafín si cumple las condiciones equivalentes de la proposición