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1 Modelo normal ClassPad 330 Prof. Jean-Pierre Marcaillou INTRODUCCIÓN La calculadora CASIO ClassPad 330 dispone de la Aplicación Estadística y de la Aplicación Principal para realizar los cálculos correspondientes al modelo normal. El material presentado a continuación reposa sobre el Capítulo 5.- Modelación probabilística: parte I del libro Probabilidad: Elementos para modelar situaciones con incertidumbre Edgar Elías Osuna (obra actualmente en prensa Ediciones IESA). CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS Experimento aleatorio : Es un proceso que genera resultados bien definidos. Espacio descriptivo S: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Evento: Cualquier subconjunto del espacio descriptivo S. Variable aleatoria: Es una función X(a) que asigna un número real x(a) a cada elemento a de S; es decir, es una función que toma valores en un espacio de probabilidades S. En general, las variables aleatorias se representan por las últimas letras del alfabeto, en mayúsculas, mientras que las minúsculas se reservan para el valor que toma la variable aleatoria. Clasificación Variable aleatoria discreta: Es aquella cuando el conjunto de llegada es finito o infinito numerable. Variable aleatoria continua: Es aquella cuando el conjunto de llegada es infinito no numerable. Recorrido R X : Es el conjunto de valores reales que puede tomar la función X(a). Funciones que definen el comportamiento de una variable aleatoria unidimensional discreta: Función de masa de probabilidades: Sean x 1, x, x 3,..., x n los valores que puede tomar la variable aleatoria X. Se define la función de probabilidad de la variable aleatoria X como p( x ) P( X x ) (i 1,,3,...,n). Propiedades: 1) 0 p(x i ) 1 p(x ) 1 ) n i i1 i i 3) P(a X b) p( x i ) i:axi b Función de distribución acumulativa: Propiedades: F( x ) P( X x ) p( x i ) i:xi x 1) 0 F( x ) 1 para todo x. ) F(x) es no decreciente 1

2 3) lim F( x ) 1 x 4) lim F( x ) 0 x 5) Si a b, P(a X b) F(b) F(a) Funciones que definen el comportamiento de una variable aleatoria unidimensional discreta: Función de densidad de una variable aleatoria continua: Es una función f(x) tal que a) f( x ) 0 b) f( x )dx 1 c) Para a b, P(a X b) f( x )dx Función de distribución acumulativa: Propiedades: b a x F( x ) P( X x ) f( x )dx 1) df( x) / dx f( x) ) F(x) es no decreciente 3) lim F( x ) 1 x 4) lim F( x ) 0 x 5) Si a b, P(a X b) F(b) F(a) Esperanza matemática E(X): La esperanza matemática de una variable aleatoria X se define como: Variable aleatoria discreta: E( X ) xip( xi ) i Variable aleatoria continua: E( X ) xf ( x) dx Propiedades de la esperanza matemática: 1) Si X C, siendo C una constante, E( X) C ) Si C es una constante, E( CX ) CE( X) 3) E H ( X) H ( X)... H ( X) E H ( X) E H ( X)... E H ( X ) 1 n 1 4) Para A y B constantes, E( AX B) AE( X) B 5) Desigualdad de Jensen: Si H(X) es una función convexa y si E(X) existe, E H( X) H E( X) 6) Interpretación geométrica: E( X ) 1 F( X) dx F( X ) dx 0 0 n

3 Varianza V(X): La varianza de una variable aleatoria X, se define como la esperanza matemática del cuadrado de su desviación con respecto a la media, es decir, Variable aleatoria discreta: V( X) E X E( X) E( X ) E( X) V( X ) xi E( X ) p( xi) i V( X ) x E( X ) f ( x) dx Variable aleatoria continua: Propiedades de la varianza: 1) Si X C, siendo C una constante, V( X) 0 ) Si C es una constante, V( X C) V( X) 3) Si C es una constante, V( CX ) C V( X) 4) Para A y B constantes, V( AX B) A V( X) Desviación estándar : La desviación estándar de una variable aleatoria X se define como la raíz cuadrada de su varianza. Desigualdad de Tchebyshev: Si X es una variable aleatoria con una distribución cualquiera cuya esperanza matemática y varianza y son finitas, entonces: P X h ( h 0) h Modelo normal: Una gran mayoría de las variables aleatorias continuas de la naturaleza siguen este modelo. Distribución normal: Una variable aleatoria continua X tiene una distribución normal de parámetros y se expresa en general como X ~ normal ( ; ) o Función de densidad de una distribución normal: X~N( ; ), si su función de densidad es:, lo cual 1x 1 f ( x) e para x E( X ) V( X ) Su aspecto será siempre el de una campana simétrica alrededor de, y por lo tanto P( X ) P( X ) 0,50, con dos puntos de inflexión en y. El punto más alto de la curva es la media, que también es la mediana y la moda de la distribución. Cuanto menor sea, mayor cantidad de masa de probabilidad habrá concentrada alrededor de la media, y cuanto mayor sea más aplastada será. 3

4 3 3 Las distribuciones normales con la misma media se diferencian en la dispersión con respecto al valor central, y con la misma varianza se diferencian en traslaciones Función de distribución acumulativa de una distribución normal: x 1x 1 F( x) P( X x) e dx F( x ) 1 F( x ) Distribución normal (0;1) o normal estándar : La variable aleatoria continua X tiene una distribución normal (0; 1), o normal estándar, lo cual expresaremos como X ~ normal ( 01, ; ) si su función de densidad es: 4

5 Función de densidad y de distribución acumulativa de una distribución normal estandarizada: x 1 f( x ) e para x E( X ) 0 V( X ) 1 En general cuando una variable aleatoria tiene esta distribución se le designa como Z. Aunque f(z) no es integrable, la función de distribución acumulativa F( z), llamada generalmente ( z), puede obtenerse en tablas creadas para este fin. El advenimiento de la calculadora científica, graficadora y programable, sepulta de una vez el uso de dichas tablas, y hace de manera más agradable los cálculos numéricos. P(Z 1) P(Z 1) P(Z 1) P(1 Z ) Propiedad: Toda función lineal de una variable aleatoria normal tiene también una distribución normal. Si X es una variable aleatoria continua con distribución normal de parámetros ( ; ), entonces cualquier función lineal de X, Y ax b,. tendrá también distribución normal, con parámetros ( a b; a ) 5

6 X Variable normal estandarizada: Z Sea X una variable aleatoria continua con distribución normal de parámetros ( ; ). La variable aleatoria continua X Z, en ocasiones denominada variable estandarizada o normalizada, tendrá también una distribución normal estándar, es decir Z ~ normal ( 01. ; ) Cálculo de probabilidades cuando una variable aleatoria tiene una distribución normal: x X x x x P( X x ) F( x ) f( x )dx P P Z ( z) Z Teorema del límite central: Sean X 1, X, X 3,..., X n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con cualquier distribución para la cual existen E( X i ) y V( X i ). Sea la suma Sn X1 X X 3... Xn. Entonces: Sn n lim P z (z) para z, donde denota la función de distribución acumulativa de una normal n n estándar. Si queremos una interpretación intuitiva del teorema, podríamos decir que, cuando n, la distribución S n tiende a una normal de parámetros (n ; n ). El promedio X ( X1 X... X n ) / n tendrá una distribución aproximadamente normal cuando n es grande, o una distribución que tiende a normal cuando n. Sus parámetros son E( X ) ; V( X ) y su X X n x 1 n función de densidad es f X ( x ) e para z n Aplicaciones del modelo normal: Se ajusta muy fácilmente a modelos de frecuencias observadas de muchos fenómenos, incluyendo características humanas (pesos, alturas, inteligencia), resultados de procesos físicos (dimensiones y rendimientos) y otras medidas de interés para los administradores tanto en las ciencias sociales como naturales. Ley del estadístico inconsciente: Sea Y H( X) una función cualquiera de la variable aleatoria X; sea f( x) la función de densidad de X (o px ( i ) su función de masa de probabilidades si X es discreta). La esperanza matemática de Y es: EY ( ) H( x) f ( x) dx cuando x es continua i i i H( x ) p( x ) cuando x es discreta Lo cual significa que no se necesita encontrar la distribución de probabilidades de Y a fin de evaluar E(Y); es suficiente conocer la distribución de X. 6

7 CALCULADORA: APLICACIÓN ESTADÍSTICA 1. Cómo acceder a la Distribución normal? (1) Presione la tecla [ON/OFF] y toque del panel de iconos para mostrar las diferentes Aplicaciones. () Utilice la barra (botón) de desplazamiento e identifique la Aplicación Estadística. (3) Toque y se activa la pantalla de la Aplicación Estadística donde aparecen: Barra de menús: Barra de herramientas: Barra de estado: (4) Toque en la barra de menús [Calc.] con la finalidad de ubicar el menú Distribución. (5) Toque [Distribución], luego toque en el panel de iconos y aparece la pantalla inicial Tipo Distribución. Observe que la primera función que aparece es la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X con distribución normal. 7

8 (6) Toque el cuadro para mostrar lo que hace dicho comando. (7) Toque y aparece el cursor I en el recuadro a la derecha de x para introducir el valor del dato. (8) Presione la tecla direccional [ ] para introducir en el recuadro la desviación estándar. (9) Presione la tecla direccional [ ] para introducir en el recuadro la media. 8

9 1x 1 e (10) Toque y aparece en la pantalla el resultado de f ( x) que calcula la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X con distribución normal para un valor especificado x. (11) Toque /, luego toque el botón flecha hacia abajo justo al mismo DP Normal y se despliega la lista de todas las distribuciones. (1) Toque [DAC Normal] / para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria continua X se encuentre en el intervalo de a hasta b. Este comando calcula la probabilidad de que una variable aleatoria continua X con distribución normal se encuentre en el intervalo de a hasta b. b b a P(a X b) f( x )dx a (13) Toque y aparece el cursor I en el recuadro para introducir el límite inferior de integración. (14) Presione la tecla direccional [ ] para introducir en el recuadro el límite superior de integración. (15) Presione la tecla direccional [ ] para introducir en el recuadro la desviación estándar. (16) Presione la tecla direccional [ ] para introducir en el recuadro la media. (17) Toque y aparecen en la pantalla: En prob el resultado de b P(a X b) f( x )dx que calcula la probabilidad de que una variable aleatoria continua X con distribución normal se encuentre en el intervalo de a hasta b, En Inferior z el valor z estandarizo del límite inferior, y En Superior z el valor estandarizado del límite superior. a 9

10 (18) Toque /, luego toque el botón flecha hacia abajo justo al mismo DAC Normal y se despliega la lista de todas las distribuciones. (19) Toque [DC Normal Inversa] / para calcular el(los) valor(es) límite(s) de la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua X con distribución normal, tal cual se ilustra a continuación:? f( x )dx P( X ) p ;? f( x )dx P( X ) p ; f( x )dx P( X ) p?? (0) Toque y toque o centro (C), o izquierda (L), o derecha (R) según el caso al tocar el botón de flecha hacia abajo como lo indica la figura (1) Posicione el cursor en el siguiente recuadro para introducir el valor del área p. () Presione la tecla direccional [ ] para introducir en el recuadro la desviación estándar. (3) Presione la tecla direccional [ ] para introducir en el recuadro la media. (4) Toque, luego toque en la barra de herramientas, y aparece en la pantalla, según la configuración de la cola, hacia arriba la representación gráfica, y hacia abajo los cálculos correspondientes: Cola: Izquierda Cola : Centro Cola: Derecha x1 f ( x) dx Área x x1 f ( x) dx Área x1 f ( x) dx Área Ejemplo : Sea X una variable aleatoria con distribución normal (10;4). Determinemos: a) P( X 13) b) Para qué valore de x se cumple P( X x) 0,75? Solución analítica: a) Restando 10 y dividiendo por 4 en ambos lados de la desigualdad, podemos escribir: 10

11 X P( X 13 ) P P Z 0, b) x 10 x 10 1 x 10 P( X x ) 0,75 (0,75 ) 0,6745 x 0, x 11, Solución calculadora: En este Primer Procedimiento se muestra el uso: del comando Distribución Normal (DP Normal-DC Normal- DC Normal Inversa) de la Aplicación Estadística para realizar cálculos de probabilidad y realizar representaciones gráficas de las funciones de densidad de probabilidad y de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua X con distribución normal. PRIMER PROCEDIMIENTO: APLICACIÓN ESTADÍSTICA (1) Presione la tecla [ON/OFF] y toque del panel de iconos para mostrar las diferentes Aplicaciones. () Utilice la barra (botón) de desplazamiento e identifique la Aplicación Estadística. (3) Toque y se activa la pantalla de la Aplicación Estadística. (4) Toque en la barra de menús [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] con la finalidad de limpiar el área de trabajo de la Aplicación Estadística y aparece la pantalla inicial de dicha Aplicación. (5) Toque en la barra de menús [Cálc.] con la finalidad de ubicar el menú Distribución. (6) Toque [Distribución], luego toque en el panel de iconos y aparece la pantalla inicial Tipo Distribución. (7) Toque el botón de flecha hacia abajo justo al mismo DP Normal y se despliega la lista de todas las distribuciones. (8) Toque [DAC Normal] para seleccionar la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua X con distribución normal. (9) Toque, presione la tecla, y luego toque las teclas [ ] / [ ] / [Ejec] para introducir el límite inferior:. (10) Toque las teclas [1] / [3] / [Ejec] para introducir el límite superior: 13. (11) Toque las teclas [ ] / [4] / [)] / [Ejec] para introducir la desviación estándar: 4. (1) Toque las teclas [1] / [0] / [Ejec] para introducir la media:10. 11

12 (13) Toque y aparecen en la pantalla de salida: En prob el resultado P( X 13) 0, ; Resultado a) En Inferior z el valor z estandarizado del límite inferior; En Superior z el valor z estandarizado del límite superior. (14) Toque en la barra de herramientas para obtener la representación gráfica de la función de densidad de la variable aleatoria continua estandarizada Z con distribución normal 0; cuya zona sombreada representa P Z. (15) Toque / / y aparece la pantalla inicial Tipo Distribución. (16) Toque el botón de flecha hacia abajo justo al mismo DAC Normal y se despliega la lista de todas las distribuciones. (17) Toque [DC Normal Inversa] para seleccionar la función de distribución acumulativa inversa de una variable aleatoria continua X con una distribución normal. (18) Toque, luego toque el botón de flecha hacia abajo justo al mismo configuración cola y se despliega la lista de las diferentes configuraciones. (19) Toque Izquierda. (0) Presione la tecla, posicione el cursor en el siguiente recuadro y toque las teclas [0] / [.] / [7] / [5] / [Ejec] con la finalidad de introducir en área: 0,75. (1) Toque las teclas [ ] / [4] / [)] / [Ejec] para introducir la desviación estándar: 4. () Toque las teclas [1] / [0] / [Ejec] para introducir la media: 10. 1

13 (3) Toque y aparece en x1invn el límite superior 11, Resultado b) (4) Toque en la barra de herramientas para obtener la representación gráfica de la función de densidad de la variable aleatoria continua X con distribución normal 10; 4 y en parte sombreada la probabilidad acumulativa correspondiente 0,75. En este Segundo Procedimiento se muestra el uso del teclado catálogo de la Aplicación Principal para utilizar los siguientes comandos: NormPD que calcula la función de densidad de probabilidad prob de una variable aleatoria continua X con distribución normal para un valor específico x, cuya sintaxis es: NormPD valor x, valor, valor ; NormCD que calcula la función de distribución acumulativa prob de una variable aleatoria continua X con distribución normal para un valor específico x, cuya sintaxis es: NormCD límite inferior, límite superior, valor, valor ; InvNorm o InvNormCD que calcula el(los) valor(es) límite(s) x1invn, xinvn de la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X con distribución normal para un porcentaje especificado, cuya sintaxis es: InvNorm L o C o R, valor de área, valor, valor ; y las siguientes variables: prob que recupera el cálculo de una determinada probabilidad; x1invn que recupera el límite inferior cuando la configuración de la cola es Derecha (R) o Centro (C) o el límite superior cuando la configuración de la cola es Izquierda (L); xinvn que recupera el límite superior cuando la configuración de la cola es Centro (C). SEGUNDO PROCEDIMIENTO: TECLADO CATÁLOGO DE LA APLICACIÓN PRINCIPAL (1) Presione la tecla [ON/OFF] y toque del panel de iconos para mostrar las diferentes Aplicaciones. () Utilice la barra (botón) de desplazamiento e identifique la Aplicación Principal. (3) Toque y se activa la pantalla de la Aplicación Principal. (4) Toque en la barra de menús [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] con la finalidad de limpiar el área de trabajo de la Aplicación Principal y aparece la pantalla inicial de dicha Aplicación. (5) Presione la tecla, toque y se activa el teclado catálogo, toque el botón de flecha hacia abajo de Forma y luego toque Todo en la lista desplegable que aparece. (6) Toque si es necesario el botón de la esquina inferior derecha hasta que la tecla N sea visible. (7) Toque el botón de letra N, desplace la lista hasta ver el comando NormCD, toque NormCD, y luego toque el botón [INTRO] para introducirlo en la ventana de edición. 13

14 (8) Toque el teclado, luego toque [ ] / [ ] / [,] / [1] / [3] / [,] / [ ] / [4] / [)] / [,] / [1] / [0] / [Ejec] con la finalidad de ejecutar dicho comando. Sintaxis del comando NormCD valor inferior, valor superior, valor de, valor de (9) Toque el teclado, toque el botón de letra P, desplace la lista hasta ver la variable prob, y luego toque prob para introducirla en la ventana de edición. (10) Toque [Ejec] y aparece el resultado bajo la forma de fracción. (11) Toque en la barra de herramientas y aparece el resultado bajo la forma decimal 0,933. Respuesta: a) (1) Toque el botón de la esquina inferior izquierda, toque el botón de letra I, desplace la lista hasta ver el comando InvNorm, toque InvNorm, y luego toque el botón [INTRO] para introducirlo en la ventana de edición. Sintaxis del comando InvNorm " configuración cola", valor de área, valor de, valor de (13) Toque el teclado, toque / / / / [L] / / / / [0] / [.] / [7] / [5] / [,] / [ ] / [4] / [)] / [,] / [1] / [0] / [Ejec] con la finalidad de ejecutar dicho comando. (14) Toque el teclado, toque el botón de la esquina inferior derecha, toque la variable x1invn, y luego toque el botón [INTRO] para introducirla en la ventana de edición. (15) Toque [Ejec] y aparece el resultado bajo la forma de fracción. (16) Toque en la barra de herramientas y aparece el resultado bajo la forma decimal 11,3490. Respuesta: b) Ejemplo Dos proyectos de inversión, A y B, tienen valor presente neto (VPN) aleatorio. Sean X e Y el VPN en los proyectos A y B, respectivamente, con distribuciones normales de parámetros (1.000; ) y (10.000; ), respectivamente. Suponga que usted desea escoger el proyecto con menor probabilidad de que el VPN sea negativo. Cuál seleccionaría? Solución analítica: A) X X P( X 0) P P 1,5 ( 1,5 ) 0, B) X X P( X 0) P P 1,666 ( 1,666) 0, En consecuencia usted debe seleccionar el proyecto B. 14

15 Solución calculadora: En este Primer Procedimiento se muestra el uso del comando Distribución Normal (DP Normal-DAC Normal- DC Normal Inversa) de la Aplicación Estadística. PRIMER PROCEDIMIENTO: APLICACIÓN ESTADÍSTICA (1) Presione la tecla [ON/OFF] y toque del panel de iconos para mostrar las diferentes Aplicaciones. (3) Utilice la barra (botón) de desplazamiento e identifique la Aplicación Estadística. (3) Toque y se activa la pantalla de la Aplicación Estadística. (4) Toque en la barra de menús [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] con la finalidad de limpiar el área de trabajo de la Aplicación Estadística y aparece la pantalla inicial de dicha Aplicación. (5) Toque en la barra de menús [Cálc.] con la finalidad de ubicar el menú Distribución. (6) Toque [Distribución], luego toque en el panel de iconos y aparece la pantalla inicial Tipo Distribución. (7) Toque el botón de flecha hacia abajo justo al mismo DP Normal y se despliega la lista de todas las distribuciones. (8) Toque [DAC Normal] para seleccionar la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua X con distribución normal. (9) Toque, presione la tecla, y luego toque las teclas [ ] / [ ] / [Ejec] para introducir el límite inferior:. (10) Toque las teclas [0] / [Ejec] para introducir el límite superior: 0. (1) Toque las teclas [ ] / [6] / [4] / [ ] / [1] / [0] / [^] / [6] / [)] / [Ejec] para introducir la desviación estándar: ^ 6. (1) Toque las teclas [1] / [] / [0] / [0] / [0] / [Ejec] para introducir la media: (13) Toque y aparecen en la pantalla de salida: En prob el resultado P( X 0) 0,0668 ; Respuesta Proyecto A En Inferior el valor z estandarizado del límite inferior; En Superior el valor z estandarizado del límite superior. 15

16 (14) Toque en la barra de herramientas para obtener la representación gráfica de la función de densidad de la variable aleatoria continua estandarizada Z con distribución normal 0; cuya zona sombreada representa P Z. (15) Toque, toque la tecla, posicione el cursor en el recuadro de, y luego toque las teclas [ introducir la desviación estándar: ^ 6. ] / [3] / [6] / [ ] / [1] / [0] / [^] / [6] / [)] / [Ejec] para (16) Toque las teclas [1] / [0] / [0] / [0] / [0] / [Ejec] para introducir la media: (17) Toque y aparecen en la pantalla de salida: En prob el resultado P(Y 0) 0,0478 ; Respuesta Proyecto B En Inferior el valor z estandarizado del límite inferior; En Superior el valor z estandarizado del límite superior. (18) Toque en la barra de herramientas para obtener la representación gráfica de la función de densidad de la variable aleatoria continua estandarizada Z con distribución normal 5 5 0; 1 cuya zona sombreada representa P Z 3 3. En consecuencia usted debe seleccionar el proyecto B. 16

17 En este Segundo Procedimiento se muestra el uso del teclado catálogo de la Aplicación Principal. SEGUNDO PROCEDIMIENTO: TECLADO CATÁLOGO DE LA APLICACIÓN PRINCIPAL (1) Presione la tecla [ON/OFF] y toque del panel de iconos para mostrar las diferentes Aplicaciones. () Utilice la barra (botón) de desplazamiento e identifique la Aplicación Principal. (3) Toque y se activa la pantalla de la Aplicación Principal. (4) Toque en la barra de menús [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] con la finalidad de limpiar el área de trabajo de la Aplicación Principal y aparece la pantalla inicial de dicha Aplicación. (5) Presione la tecla, toque y se activa el teclado catálogo, toque el botón de flecha hacia abajo de Forma y luego toque Todo en la lista desplegable que aparece. (6) Toque si es necesario el botón de la esquina inferior derecha hasta que la tecla N sea visible. (7) Toque el botón de letra N, desplace la lista hasta ver el comando NormCD, toque NormCD, y luego toque el botón [INTRO] para introducirlo en la ventana de edición. (8) Toque el teclado, luego toque [ ] / [ ] / [,] / [0] / [,] / [ ] / [6] / [4] / [ ] / [1] / [0] / [^] / [6] / [)] / [,] / [1] / [] / [0] / [0] / [0] / [Ejec] con la finalidad de ejecutar dicho comando. (9) Toque el teclado, toque el botón de letra P, desplace la lista hasta ver el variable prob, y luego toque prob para introducirla en la ventana de edición. (10) Toque [Ejec] y aparece el resultado bajo la forma de fracción. (11) Toque en la barra de herramientas y aparece el resultado bajo la forma decimal 0,0668. Respuesta Proyecto A Sintaxis del comando NormCD valor inferior, valor superior, valor de, valor de (1) Toque el botón de letra N, desplace la lista hasta ver el comando NormCD, toque NormCD, y luego toque el botón [INTRO] para introducirlo en la ventana de edición. (13) Toque el teclado, luego toque [ ] / [ ] / [,] / [0] / [,] / [ ] / [3] / [6] / [ ] / [1] / [0] / [^] / [6] / [)] / [,] / [1] / [0] / [0] / [0] / [0] / [Ejec] con la finalidad de ejecutar dicho comando. (14) Toque el teclado, toque el botón de letra P, desplace la lista hasta ver el variable prob, y luego toque prob para introducirla en la ventana de edición. (15) Toque [Ejec] y aparece el resultado bajo la forma de fracción. (16) Toque en la barra de herramientas y aparece el resultado bajo la forma decimal 0,0478. Respuesta Proyecto B 17

18 1.- Ejercicio 5-38 Página 437 Las ventas diarias en cierto negocio son aleatorias, y fluctúan siguiendo una distribución normal de parámetros 100 millones de bolívares y 400 (millones de bolívares). a) Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera las ventas estén por debajo de 90 millones? b) Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera las ventas estén por debajo de 90millones de bolívares, dado que son menores que 100 millones? c) Considere que para un día cualquiera el evento {venta menor que 90 millones} es independiente del evento similar en cualquier otro día, y responda: cuál es la probabilidad de que en más de 1 días de los 30 del mes se produzcan ventas por debajo de los 90 millones?.- Ejercicio 5-39 Página 437 La cantidad de toneladas de arroz cosechada en un año en cierta región fluctúa siguiendo una distribución normal de parámetros y 65(10 6 ). a) Determine la probabilidad de que en un año la cosecha sea menor que toneladas. b) Considere que para un año cualquiera el evento {producción menor que toneladas} es independiente del evento similar en cualquier otro año, y determine de que en la próxima década la producción anual sea menor que toneladas en más de uno de estos diez año. 3.- Ejercicio 5-40 Página 437 Suponga que Ud. Piensa instalar una planta para producir cierto alimento líquido cuya demanda semanal varía según una distribución normal (50.000; ). Suponga además que el beneficio neto por litro vendido es de Bs. 40 y que el excedente de producción semanal debe ser descartado como desperdicio, con una pérdida de Bs. 80 por litro. Cuál debe ser el nivel de producción Q * que maximice la esperanza matemática del beneficio. 18

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