SISTEMAS NUMÉRICOS. Conocer los diferentes sistemas numéricos y su importancia en la informática y la computación

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1 SISTEMAS NUMÉRICOS OBJETIVO GENERAL Conocer los diferentes sistemas numéricos y su importancia en la informática y la computación OBJETIVOS ESPECÍFICOS Distinguir los sistemas de numeración Identificar el sistema decimal como el sistema de numeración más usado en la actualidad Ejercitar a los estudiantes en la conversión de los diferentes sistemas CONCEPTO Y GENERALIDADES Los sistemas de numeración son conjuntos de dígitos, símbolos y reglas usados para representar datos numéricos o cantidades. En este documento se explicará solo los sistemas de numeración decimal (base10), binario (base 2), octal (base 8) y hexadecimal (base 16). Sistema decimal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Sistema binario : 0, 1 Sistema octal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Sistema hexadecimal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F A lo largo de la historia se han utilizado diferentes sistemas de numeración, esto es, diversos símbolos para los números y diferentes maneras de combinarlos para escribir expresiones más complejas.

2 En la actualidad, el sistema de numeración más usado en la vida corriente es el decimal. Tiene como base el 10 y sus dígitos componentes van del 0 al 9. El lenguaje que utilizan actualmente los computadores es el sistema binario. Tiene como base el 2 y solo usan los símbolos 0 (cero) y 1 (uno). Muchos de los componentes electrónicos de un computador son de naturaleza bi-estable; es decir, pueden estar en cualquiera de dos estados, encendido o apagado. Estos dos estados comúnmente se denotan por 0 y 1 que son los símbolos para los dígitos del sistema numérico binario. Los computadores usan el sistema numérico binario no solo para representar cantidades sino para efectuar cálculos, usando la aritmética binaria.

3 SISTEMA DECIMAL El sistema de numeración decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras diferentes: cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seiss (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9). Al ser posicional, el sistema decimal es un sistema de numeración en el cual el valor de cada dígito depende de su posición dentro del número. Al primero corresponde el lugar de la unidades, el dígito se multiplica por 100 (es decir 1); el siguiente las decenas (se multiplica por 10); centenas (se multiplica por 100); etc. Se puede extender este método para los decimales, utilizando las potencias negativas de diez, y un separador decimal entre la parte entera y la parte fraccionaria.

4 Ejercicio: Exprese en notación expandida la siguiente cantidad decimal: 7548,394= [(7x10 3 )+ (5x10 2 )+ (4x10 1 )+ (8x10 0 )]+ [(3x10-1 )+ (9x10-2 )+ (4x10-3 )] [(7x1000)+ (5x100)+ (4x10)+ (8x1)]+ [(3x0,1)+ (9x0,01)+ (4x0,001)] [(7000) + (500) + (40) + (8)] + [(0,3) + (0,09) + (0,004)] [(7548)] + [(0,394)] 7548,394 Rta. Ejercicios Propuestos Expresar en notación expandida las siguientes cantidades decimales: 4527, ,983 Ejercicios en clase Expresar en notación expandida las siguientes cantidades decimales: 8647, ,568

5 SISTEMA BINARIO El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario en donde encendido es 1 y apagado es 0. Para convertir un número en base decimal a base binaria se divide por 2 sucesivamente hasta llegar al cociente 0 (cero), y los residuos de las divisiones en orden inverso (abajo hacia arriba) indican el número en binario. Ejercicio: Convertir el número (100)10 a sistema binario TABLA DE VALORES Ejercicio: Convertir el número ( )2 a sistema decimal Procedimiento: Para pasar de base 2 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 2 elevado a la posición de la cifra y sumar el resultado, así:

6 a. Listar las potencias de 2 según el número binario b. Escribir el número binario c. Obtener los productos correspondientes, multiplicando la potencia por el binario encendido o sea, solo unos d. Sumar los valores de los productos hallados Potencias Valores Binario Productos Suma 100 Ejercicios Propuestos Convertir las siguientes cantidades decimales a sistema binario: 83 Respuesta: 246 Respuesta: 169 Respuesta: Posibles respuestas: a b c Ejercicios en clase Convertir las siguientes cantidades decimales a sistema binario:

7 SISTEMA OCTAL El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7. Para convertir un número en base decimal a base octal se divide por 8 sucesivamente hasta llegar al cociente 0 (cero), y los residuos de las divisiones en orden inverso (abajo hacia arriba) indican el número en octal. Es más fácil pasar de binario a octal, porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal) es (en binario); lo agrupamos como 1 / 001 / 010, después obtenemos el número en decimal de cada uno de los grupos de números en binario obtenidos así: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que finalmente el número decimal 74 en octal es 112. Tabla de conversión entre sistemas decimal, binario y octal: DECIMAL BINARIO EN 3 DÍGITOS OCTAL Ejercicio: Convertir el número (100)10 a sistema octal Se lleva a cabo la misma mecánica del sistema decimal a binario, mediante divisiones sucesivas por 8, obteniendo el siguiente resultado en octal: (144)8

8 Ejercicio: Convertir el número (144)8 a sistema decimal Procedimiento: Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra y sumar el resultado, así: a. Listar las potencias de 8 según el número octal b. Escribir el número octal c. Obtener los productos correspondientes, multiplicando la potencia por el número octal d. Sumar los valores de los productos hallados Potencias Valores Octal Productos Suma 100 Ejercicio: Convertir el número (144)8 a sistema binario Octal Grupos de Binario Agrupado Ejercicios Propuestos Convertir las siguientes cantidades decimales a sistema octal y luego a sistema binario: 83 Respuesta: 246 Respuesta: 169 Respuesta:

9 Posibles respuestas: a b c Ejercicios en clase Convertir las siguientes cantidades decimales a sistema octal y luego a sistema binario:

10 SISTEMA HEXADECIMAL Tabla de conversión entre sistemas decimal, binario y hexadecimal: DECIMAL BINARIO EN 4 DÍGITOS HEXADECIMAL A B C D E F El sistema numérico hexadecimal es un sistema de numeración que emplea 16 símbolos, así: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Y en donde: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15 Para convertir un número en base decimal a base hexadecimal se divide sucesivamente por 16 hasta llegar al cociente 0 (cero), y los residuos de las divisiones en orden inverso (abajo hacia arriba) indican el número en hexadecimal.

11 Para pasar de binario a hexadecimal, se debe agrupar de 4 en 4 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal) es (en binario); lo agrupamos como 100 / 1010, después obtenemos el valor decimal de cada uno de los grupos de números en binario obtenidos así: 100=4, y 1010=10. De esta manera el número decimal 74 es igual a 4A en hexadecimal. Ejercicio: Convertir el número (176)10 a sistema hexadecimal Se lleva a cabo la misma mecánica del sistema decimal a binario, mediante divisiones sucesivas por 16, obteniendo el siguiente resultado en hexadecimal: (B0)16 Ejercicio: Convertir el número (B0)16 a sistema decimal Procedimiento: Para pasar de base 16 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 16 elevado a la posición de la cifra y sumar el resultado, así: a. Listar las potencias de 16 según el número hexadecimal b. Escribir el número hexadecimal c. Obtener los productos correspondientes, multiplicando la potencia por el número hexadecimal d. Sumar los valores de los productos hallados Potencias Valores 16 1 Hexadecimal 11 0 Hexadecimal B 0 Productos Suma 176

12 Ejercicio: Convertir el número (B0)16 a sistema binario Ejercicios Propuestos Hexadecimal B 0 Grupos de Binario Agrupado Convertir las siguientes cantidades decimales a sistema hexadecimal y luego a sistema binario: 83 Respuesta: 246 Respuesta: 169 Respuesta: Posibles respuestas: a. F b. A c Ejercicios en clase Convertir las siguientes cantidades decimales a sistema hexadecimal y luego a sistema binario: ACTIVIDAD DE REFUERZO 1. Represente en notación expandida el siguiente número decimal: 2319,14 2. Represente en sistema binario los números decimales 11, 21 y 15

13 3. Represente con tres dígitos binarios los números decimales del 0 al 7 4. Represente con cuatro dígitos binarios los números decimales del 0 al Convierta las siguientes cantidades a la base solicitada: a. (27)10 a sistema 2 Rta.: (11011)2 b. ( )2 a sistema 10 Rta.: (75)10 c. (67)10 a sistema 2 Rta.: ( )2 d. (499)10 a sistema 2, 8 y 16 Rta.: ( )2 - (763)8 y (1F3)16 Recuerde que para convertir de SISTEMA A BASE OPERACIÓN Dividir por la base Multiplicar por la potencia del sistema Agrupar en 3 ó 4 dígitos binarios