Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística. Problemas de Optimización. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística. Problemas de Optimización. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G."

Transcripción

1 Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Problemas de Optimización J. Labrin - G.Riquelme 1. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 50cm. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material que va a ser usado. V = x 2 y & = = x 2 y Luego diremos que el área de la caja sin tapa será: A = x 2 +xy Ésta es la cantidadde materialquedeseamos que sea mínima; vemos que es una función dedos variables. Despejamos y de la restricción dada: y = 50 x 2 Sustituimos en el área y obtenemos uan función de una sola variable: ( ) ( ) A(x) = x 2 +x x 2 = x 2 + = x x 1 x Derivando: A (x) = 2x 200x 2 = 2x 200 x 2 = 2x 200 x 2 A (x) = x > 0 Calculamos Puntos críticos: A (x) = 0 2x 200 = 0 x = 100 x = 100cm Es un mínimo absoluto, pues A (x) > 0 para cualquier x 0. El valor correspondiente de la otra variable es: y = 50 = = x 1

2 2. Una hoja de papel debe tener 18 cm 2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener las dimensiones que minimizan la superficie del papel. Sea x el ancho de la hoja e y el alto de ella, de esta manera su area es A = xy. Como los márgenes superior e inferior suman cm en total y los márgenes laterales suman 2 cm. tenemos que el área del texto escrito es (x 2)(y ) = 18. de esta ecuacion podemos despejar la variable y obteniendo que y = x+10. Luego podemos escribir el área de la hoja como A = xx+10, dicha área debemos x 2 x 2 minimzar. A = x2 +10x x 2 A = (8x+10)(x 2) (x2 +10x) (x 2) 2 A = 8x2 16x+10x 20 x 2 10x (x 2) 2 A = x2 16x 20 (x 2) 2 Vemos que x = 5 y x = 1 anulan la derivada, descartando el -1 como mínimo debemos quedarnos con x = 5. De este modo las dimensiones pedidas son x = 5, y = 10.. Un campesino tiene 00m de malla para cercar en dos corrales rectangulares iguales y contiguos. Determinar las dimensiones de los corrales para que el área cercada sea máxima. Tenemos que el perímetro y el área de los corrales son: P = x+y = 00 & A = 2xy Despejamos y quedando: y = 00 x 2

3 Entonces el aárea es: Derivando y obteniendo puntos críticos: A(x) = 2x(00 x) = 200x 8 x2 A (x) = x = 0 16 x = 200 x = 75 2 es el punto crítico Derivando por segunda vez: A (x) = 16 < 0 entonces se trata de un máximo. Luego el área máxima ocurre para x = 75 2 m & y = 50m. Un terreno tiene la forma de un rectángulo con dos semicírculos en los extremos. Si el perímetro del terreno es de 50m, encontrar las dimensiones del terreno para que tenga el área máxima. El área del terreno es A = 2xy +πx 2 El perímetro, P = 50m, está dado por P = 2y +2πx, por lo que: 2y 2πx = 50 y = 50 2πx 2 = 25 πx Si sustituimos éste valor en la fórmula del área, la tendremos expresada como función de una viariable x: A(x) = 2x(25 πx)+πx 2 = 50x+x 2 (π 2π) = 50x πx 2 Obteniendo puntos crítico: A (x) = 0 A (x) = 50 2πx = 0 x = 25 π Como A (x) = 2π < 0, se trata de un máximo; además y = 25 π 25 π se obtiene cuando el terreno tiene la forma circular. = 0, es decir, el área máxima

4 5. Una ventana presenta forma rectángular coronada por un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la ventana con máxima, si su perímetro es de 10m. Si A es el área que deseamos que sea máxima y P es el perímetro de la ventana, entonces: A = xy πr2 & P = x+2y +πr Pero r = x 2 y P = 10: A = xy + π 2 ( x 2 A = xy + π 8 x2 & 10 = x ) 2 & 10 = x+2y +π ( x 2) ( 1+ π ) +2y. 2 Despejamos y de la ecuación 10 = x ( 1+ π 2) +2y, quedando: Sustituimos en A: y = 5 2+π x A(x) = xy + π ( 8 x2 = x 5 2+π ) x A(x) = π + x 2 +5x 8 + π 8 x2 A(x)es la función de la variable x que queremos maximizar. Derviando y calculando puntos críticos: A (x) = π + 8 A (x) = 0 π + 2x+5 = π + x+5 x+5 = 0 π + x = 5 x = 20 π +

5 Derivando nuevamente: A (x) = π + A(x) tiene un máximo local estricto en x = 20 π+. Entonces el área A de la ventana es máxima cuando x = 20 π+m, para lo cual: y = 5 2+π x = 5 y = 10 π + Es decir, cuando x = πm y cuando y = π+ m. < 0 ( 2+π )( ) 20 π + 6. Se desea construir un recipiente ciĺındrico de metal con tapa que tenga una superficie total de 80cm 2. Determine sus dimensiones de modo que tenga el mayor volumen posible. Se desea maximizar el volumen V = πr 2 h que depende de dos variables r & h. Se sabe que el área total A = 2πr 2 h+2πrh debe ser igual a 80cm 2, es decir: 80 = 2πr 2 h+2πrh Entonces tenemos: Una función V = πr2h y una ecuación 80 = 2πr 2 h + 2πrh. Despejamos cualquier variable de la ecuación. 80 = 2πr 2 h+2πrh h = 0 πr2 πr Sustituyendo en V: ( ) 0 πr V = πr 2 h = πr 2 2 V(r) = 0r πr πr Derivando y obteniendo puntos críticos: V (r) = 0 πr 2 5

6 Derivando nuevamente: Evaluando en r 1 2,0601: V (r) = 0 0 πr 2 = 0 r 2 = 0 π,21 r = ±,221 ±2,0601. V (r) = 6πr V (r 1 ) : 6π(2,0601) < 0 Nota: Se descarta la parte negativa, pues estamos trabajando con medidas. Ahora que ya conocemos el valor de r 2,0602, debemos conocer el valor de h. h = 0 πr2 πr 0 π(2,0602)2 π(2,0602),120 Por lo tanto las medidas del ciĺındro con volumen máximo son: r 2,0601 & h, Un trozo de alambre de 10 m. de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. Hallar cómo debe cortarse el alambre de modo que el área encerrada sea: Máxima. Mínima. La parte x del alambre se usa para el cuadrado, por lo tanto cada lado tiene de longitud x. La parte x 10 del alambre se usar para el triángulo equilátero, por lo tanto cada lado tiene longitud x 10. De la figura del triángulo, usando el teorema de Pitágoras, obtenemos la siguiente relación: ( ) 10 x 2 ( ) 10 x 2 h 2 + = h 2 = (10 x)2 1 6 (10 x)2 h 2 = 6 (10 x)2 h = 6 (10 x) 6

7 El área del cuadrado es: El área del triángulo es: A C (x) = x2 16 El área de ambas figuras es: A T (x) = 1 2 base altura = (10 x) 6 (10 x) = 6 (10 x)2 A(x) = A T (x)+a C (x) = 6 (10 x)2 + x2 16 Nótese que el dominio de esta función es D A = [0,10] (la longitud de alambre de 10 m.). Calculamos la primera derivada: A (x) = 1 8 x+ 6 2(10 x)( 1) = 1 8 x 18 (10 x) = 1 8 x x Calculando puntos crítico: Calculando la segunda derivada se obtiene: = 9+ x A (x) = 0 9+ x 5 = x = 72(5 ) 9(9+ ),965. A (x) = Entonces el punto crítico anterior es un mínimo local. Calculamos la función A(x) en los extremos de su dominio: A(0) = 6 > 0 100,81125 y A(10) = = 6,25 Vemos entonces que la máxima área encerrada es cuando x=10, es decir, sólo cuando se construye el cuadrado. La mínima área encerrada es cuando x =,965, caso en el que se construye ambas figuras. 8. Dos Poblados P A y P B están a 2km y km, respectivamente, de los puntos más cercanos A y B sobre una ĺınea de transmisión, de los cuales están a km uno del otro. Si los dos poblados se van a conectar con un cable a un mismo punto de la ĺınea, Â cuál debe ser la ubicación de dicho punto para utilizar el mínimo de cable? 7

8 Sea C el punto de conexión ubicado, digamos, a x km del punto A y por supuesto a x km del punto B. Si l es la longitud del cable utilizado para conectar P a y P b con C, entonces: La función a minimizar es: l(x) = l (x) = 0 l = P a C +P b C = x 2 +b 2 + ( x) 2 + x 2 ++ ( x) 2 +9 = (x 2 +) 1 2 +[( x) 2 +9] 1 2 l (x) = 1 2 (x2 +) 1 2 2x+ 1 2 [( x)2 +9] 1 2 2( x)( 1); l (x) = x x 2 + x x 2 + x ( x) 2 +9 ; x ( x) 2 +9 = 0 x x 2 + = x ( x) 2 +9 Elevando al cuadrado la igualdad: x ( x) 2 +9 = ( x) x 2 + x 2 [( x) 2 +9] = ( x) 2 (x 2 +) x 2 ( x) 2 +9x 2 Esta última ecuación tiene por soluciones: 9x 2 = ( x) 2 9x 2 = (16 8x+x 2 ) 9x 2 = 6 2x+x 2 5x 2 +2x 6 = 0 x = 2± (2) 2 (5)( 6) 2(5) De donde se obtienen dos puntos críticos que son: = 2± = 2±8 10 X 1 = = = 1,6 y X 2 = 2 8 = = 8 Claramente el valor x 2 = 8 < 0 es descartada y sólo consideramos x 1 = 1,6 ya que l 9 (x) = +, (x 2 +) 2 [( x) 2 +9] 2 8

9 entonces l (x) > 0 para cada x. En particular l (1,6) > 0, por lo que l(x) es mínimo cuando x = 1,6km. Puesto que 0 x, calculamos los números l(0),l(1,6) y l(): l(0) = ( 0) 2 +9 = = 2+5 = 7 l(1,6) = (1,6) 2 ++ ( 1,6) 2 +9 = 6,56+ 1,76 6, l() = 2 ++ ( ) 2 +9 = 20+ 7,5 Se puede ver que l(x) es menor cuando x = 1,6km, siendo la longitud mínima del cable igual a 6,km aproximadamente. 9. Determinar las dimensiones del cono circular recto de máximo volumen que puede ser inscrito en una esfera de radio R. Consideramos una esfera de radio R > 0 y un cono que tiene base circular de radio r > 0 y altura h > 0. Una sección transversal perpendicular a la base del cono y que pasa por su eje se muestra en la siguiente imagen: El volumen del cono es: V = 1 πr2 h que es la función de dos variables (r&h). El triángulo rectángulo CQP, por el teorema de Pitágoras, vemos que R 2 = x 2 +r 2 con x = h R, por lo que R 2 = (h R) 2 +r 2, es decir, la ecuación asociada a la restricción en el problema (que la esfera sea de radio R). Tenemos pues una función: y una ecuación: De la ecuación despejamos (por conveniencia) r 2 V = 1 πr2 h R 2 = (h R) 2 +r 2 r 2 = R 2 (h R) 2 = R 2 h 2 +2hR R 2 = 2hR h 2 9

10 Así tenemos (R es una constante): V(h) = 1 π(2rh2 h ) que es la función a maximizar. Derivamos para obtener puntos críticos: V (h) = 1 π(rh h2 ) V (h) = 0 1 π(rh h2 ) = 0 h(rh h 2 ) = 0 h = 0 o bien h = R 10

Aplicaciones de Máximos y Mínimos

Aplicaciones de Máximos y Mínimos Aplicaciones de Máximos y Mínimos Los métodos para calcular los máximos y mínimos de las funciones se pueden aplicar a la solución de algunos problemas prácticos. Estos problemas pueden expresarse verbalmente

Más detalles

Problemas de optimización

Problemas de optimización Problemas de optimización 1º) La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en Kg) depende de la temperatura x (ºC) según la expresión. a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima

Más detalles

Examen de Matemáticas 2 o de Bachillerato Mayo 2003

Examen de Matemáticas 2 o de Bachillerato Mayo 2003 Examen de Matemáticas o de Bachillerato Mayo 00 1. Expresar el número 60 como suma de tres enteros positivos de forma que el segundo sea el doble del primero y su producto sea máximo. Determinar el valor

Más detalles

Ejercicios para aprender a derivar

Ejercicios para aprender a derivar Ejercicios para aprender a derivar Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación: f ( ) k f '( ) 0 f ( ) a f '( ) a n n f ( ) a f '( ) an f ( ) u( ) + v( ) f '( ) u' + v' Ejemplos:

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

Cálculo Diferencial Taller de pre-requisitos. 1. Exponentes. Simplifique las siguientes expresiones sin usar calculadora.

Cálculo Diferencial Taller de pre-requisitos. 1. Exponentes. Simplifique las siguientes expresiones sin usar calculadora. Cálculo Diferencial Taller de pre-requisitos. Exponentes. Simplifique las siguientes expresiones sin usar calculadora. p 6s t v 5p 6st 5 v, b) (x p x ) c) 0 6 y + y y. Multiplicación. Expanda el producto

Más detalles

7 Aplicaciones de las derivadas

7 Aplicaciones de las derivadas Solucionario 7 Aplicaciones de las derivadas ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Calcula el volumen del cilindro que está inscrito en el cono de la figura: cm 8 cm Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula

Más detalles

MATEMÁTICAS: 2º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6

MATEMÁTICAS: 2º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6 MATEMÁTICAS: º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6 1.- Determina dos números cuya suma sea y tales que el producto de uno de ellos por el cubo del otro sea máimo. = 1 er número;

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

CAPÍTULO. Optimización

CAPÍTULO. Optimización 1 CAPÍTULO 10 Otimización 10.1 Problemas de otimización 1 Un roblema de otimización consiste en minimizar o maimizar el valor de una variable. En otras alabras se trata de calcular o determinar el valor

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA CAPÍTULO VI. APLICACIONES DE LA DERIVADA SECCIONES A. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos locales. B. Concavidad. Puntos de inflexión. C. Representación gráfica de funciones. D. Problemas de

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren

Más detalles

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría Aplicaciones de las derivadas. Máimos, mínimos y monotonía Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f representada en el margen, halla los máimos y los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento

Más detalles

Unidad I Funciones Expresar una función. Dominios

Unidad I Funciones Expresar una función. Dominios Unidad I Funciones Epresar una función 1. Un rectángulo tiene un perímetro de 0m. Eprese el área del rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados.. Un rectángulo tiene un área de 16 m. Eprese

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco

Más detalles

10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS EJERCICIOS PROPUESTOS 10.1 Indica cuál de estos poliedros es cóncavo y cuál es convexo. a) Cóncavo b) Convexo 10.2 Completa la siguiente tabla. Caras (C ) Vértices (V ) Aristas (A) C V A 2 Tetraedro 4

Más detalles

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II CURSO 2015-2016 Índice general 1. Derivación de funciones

Más detalles

Polinomios y fracciones

Polinomios y fracciones BLOQUE II Álgebra 3. Polinomios y fracciones algebraicas 4. Resolución de ecuaciones 5. Sistemas de ecuaciones 6. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones 3 Polinomios y fracciones algebraicas. Binomio

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice Dada una función f : D R R y un intervalo I D

Más detalles

1. Ejercicios propuestos

1. Ejercicios propuestos Coordinación de Matemática I (MAT0) Semestre de 05 er Semana 3: Guía de Ejercicios de Cálculo, lunes 3 viernes 7 de Marzo Contenidos Clase : Funciones: Dominio, recorrido, gráco. Ejemplos. Clase : Igualdad

Más detalles

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3

Más detalles

Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836. / 2 Qué longitud debe tener el rectángulo para que su

Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836. / 2 Qué longitud debe tener el rectángulo para que su www.juliweb.es tlf. 69886 Ejercicios de optimización: Estrateias para resolver problemas de optimización: - Asinar símbolos a todas las manitudes a determinar. - Escribir una ecuación primaria para la

Más detalles

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el LA PARABOLA Señor... cuando nos equivoquemos, concédenos la voluntad de rectificar; y cuando tengamos razón... no permitas que nos hagamos insufribles para el prójimo. Marshall En la presente entrega,

Más detalles

= + Solución: Llamemos x: base del rectángulo, y: altura del rectángulo.

= + Solución: Llamemos x: base del rectángulo, y: altura del rectángulo. Materiales producidos en el curso: Curso realizado en colaboración entre la Editorial Bruño y el IUCE de la UAM de Madrid del 6 de febrero al 23 de marzo de 2012 Título: Curso online Moodle: Wiris, GeoGebra

Más detalles

ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS.

ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS. PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso 008-009 MATEMÁTICAS II ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS. Bloque 1. Dado el número real a, se considera el sistema a) Discuta el sistema según los valores

Más detalles

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Ejercicio nº 1.- a) Resuelve por sustitución: 5x y 1 3x 3y 5 b) Resuelve por reducción: x y 6 4x 3y 14 Ejercicio nº.- a) Resuelve por igualación: 5x y x y b) Resuelve

Más detalles

13 LONGITUDES Y ÁREAS

13 LONGITUDES Y ÁREAS 1 LONGITUDES Y ÁREAS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 Calcula el perímetro de las siguientes figuras. a),5 cm b) cm cm cm cm a) p,5 8 5 1 cm b) p 9 cm 1. Halla el perímetro de estas figuras. a) Un cuadrado de

Más detalles

1 Función real de dos variables reales

1 Función real de dos variables reales Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 1 Escuela Universitaria de Arquitectura Técnica Cálculo Matemático. Tema 10: Funciones de dos variables. Curso 008-09 1 Función real de dos variables reales Hasta el momento

Más detalles

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN 6 - DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7 - INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 8 4- CONTINUIDAD

Más detalles

Bachillerato Internacional Matemáticas II. Curso 2014-2015 Problemas

Bachillerato Internacional Matemáticas II. Curso 2014-2015 Problemas Bachillerato Internacional Matemáticas II. Curso 04-05 Problemas REGLAS DE DERIVACIÓN. Reglas de derivación Obtener la derivada de las siguientes funciones:. y = (x 7x + ). y = (4x + 5). y = (x 4x 5x

Más detalles

Capítulo 6. Aplicaciones de la Integral

Capítulo 6. Aplicaciones de la Integral Capítulo 6 Aplicaciones de la Integral 6. Introducción. En las aplicaciones que desarrollaremos en este capítulo, utilizaremos una variante de la definición de integral la cual es equivalente a la que

Más detalles

Primer Simposio Latinoamericano para la integración de la tecnología en el aula de ciencias y matemáticas

Primer Simposio Latinoamericano para la integración de la tecnología en el aula de ciencias y matemáticas Primer Simposio Latinoamericano para la integración de la tecnología en el aula de ciencias y matemáticas PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1.-Entre todos los rectángulos de perímetro 10 cm. encontrar el de mayor

Más detalles

8 GEOMETRÍA DEL PLANO

8 GEOMETRÍA DEL PLANO EJERIIOS PROPUESTOS 8.1 alcula la medida del ángulo que falta en cada figura. a) 6 b) 145 15 105 160 130 a) En un triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos es 180. p 180 90 6 8 El ángulo mide 8.

Más detalles

GEOMETRÍA. 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto?

GEOMETRÍA. 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto? GEOMETRÍA 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto? A) 740 B) 840 C) 540 D) 640 308. El largo de un rectángulo

Más detalles

Funciones. 2.8 Modelando con funciones CAPÍTULO

Funciones. 2.8 Modelando con funciones CAPÍTULO 1 CAPÍTULO Funciones.8 Modelando con funciones 1 Aora aremos uso de ejemlos concretos ara mostrar la manera en que odemos utilizar a las funciones ara modelar matemáticamente situaciones y roblemas reales.

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. MONOTONÍA (CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO) Si una función es derivable en un punto = a, podemos determinar su crecimiento o decrecimiento en ese punto a partir del signo de

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

El Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras LECCIÓN CONDENSADA 9.1 El Teorema de Pitágoras En esta lección Conocerás el Teorema de Pitágoras, que establece la relación entre las longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa de un triángulo

Más detalles

Cuerpos geométricos. Objetivos. Antes de empezar. 1. Poliedros...pág. 138 Definición Elementos de un poliedro

Cuerpos geométricos. Objetivos. Antes de empezar. 1. Poliedros...pág. 138 Definición Elementos de un poliedro 8 Cuerpos geométricos. Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar que es un poliedro. Determinar los elementos de un poliedro: Caras, aristas y vértices. Clasificar los poliedros. Especificar

Más detalles

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0

Más detalles

Qué son los cuerpos geométricos?

Qué son los cuerpos geométricos? Qué son los cuerpos geométricos? Definición Los cuerpos geométricos son regiones cerradas del espacio. Una caja de tetrabrick es un ejemplo claro de la figura que en matemáticas se conoce con el nombre

Más detalles

Menú degustación: Miscelánea de ejercicios resueltos

Menú degustación: Miscelánea de ejercicios resueltos Menú degustación: Miscelánea de ejercicios resueltos 1. APERITIVO: Proporcionalidad Si el 01/02/2011 anotáis por la mañana la lectura de 01,0 m de consumo de agua y el 15/02/2011 por la mañana anotáis

Más detalles

Ecuaciones Problemas Ejercicios resueltos

Ecuaciones Problemas Ejercicios resueltos Ecuaciones Problemas Ejercicios resueltos 1. En el siguiente dibujo todos los autos son iguales: Determinar el largo de cada auto. Sea x el largo de cada auto. De acuerdo a la figura, la ecuación que modela

Más detalles

Máximo o mínimo de una función

Máximo o mínimo de una función Análisis: Máimos, mínimos, optimización 1 MAJ00 Máimo o mínimo de una función 1. Dados tres números reales cualesquiera r 1, r y r, hallar el número real que minimiza la función D( ) ( r ) ( r ) ( r 1

Más detalles

Resuelve problemas PÁGINA 75

Resuelve problemas PÁGINA 75 PÁGINA 7 Pág. 1 Resuelve problemas 9 Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 10 por días y 400 km, y otro pagó 17 por días y 00 km. Averigua cuánto

Más detalles

CENAFE MATEMÁTICAS POLÍGONOS

CENAFE MATEMÁTICAS POLÍGONOS POLÍGONOS Es la porción del plano comprendida dentro de una línea poligonal cerrada. Es la superficie del plano limitada por una línea poligonal. La medida de un polígono es su área. Criterios de clasificación:

Más detalles

COORDENADAS CURVILINEAS

COORDENADAS CURVILINEAS CAPITULO V CALCULO II COORDENADAS CURVILINEAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un

Más detalles

1. Aplicar el teorema de Pitágoras para responder a las siguientes cuestiones (y hacer un dibujo aproximado,

1. Aplicar el teorema de Pitágoras para responder a las siguientes cuestiones (y hacer un dibujo aproximado, FICHA 1: Teorema de Pitágoras 1. Aplicar el teorema de Pitágoras para responder a las siguientes cuestiones (y hacer un dibujo aproximado, cuando proceda): a) Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo

Más detalles

a De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta.

a De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta. POLIEDROS Ejercicio nº 1.- a De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta. b Cuál es la relación llamada fórmula de Euler que hay entre el número de caras,

Más detalles

(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x)

(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x) Derivaa e una función en un punto: El concepto e erivaa e una función matemática se halla íntimamente relacionao con la noción e límite. Así, la erivaa se entiene como la variación que experimenta la función

Más detalles

Respuestas a los ejercicios y problemas

Respuestas a los ejercicios y problemas s a los ejercicios y problemas Unidad I. La medición y sus instrumentos Tema 2. Medidas de longitud y sus conversiones 4. En qué utilizará la escuadra don Andrés al construir el juguetero de la señora

Más detalles

3. x+y x + y. 4. x k k x k,k 0. 5. x k x k x k,k 0. x 1 3

3. x+y x + y. 4. x k k x k,k 0. 5. x k x k x k,k 0. x 1 3 Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 4 Inecuaciones con Valor Absoluto J. Labrin - G.Riquelme Propiedades de Valor Absoluto: 1. x y = x y 2. x y = x

Más detalles

CAPÍTULO 2 APLICACIONES DE LA DERIVADA

CAPÍTULO 2 APLICACIONES DE LA DERIVADA CAPÍTULO 2 APLICACIONES DE LA DERIVADA 2.1 ANÁLISIS Y TRAZO DE CURVAS 2.1.1 Estudio de la Variación de una Función a) Tabulación y Graficación de una Función b) Dominio y Rango de una Función 2.1.2 Intersecciones

Más detalles

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro

Más detalles

EJERCICIOS PARA RECUPERAR MATEMÁTICAS PENDIENTES 2º ESO

EJERCICIOS PARA RECUPERAR MATEMÁTICAS PENDIENTES 2º ESO MATEMÁTICAS PENDIENTES º ESO Operaciones combinadas con enteros Calcula + ( (+ 0 ) ) + 0 + ( + ) ( (+ 8 + 9 )) 0 + + + + 6 68 + 6+ 9 6 ( + 6+ ( + 6)) + 0 (( + 8 ) + (+ ) + ) + + 8 + ( + + 6+ ) 66 ( + 6

Más detalles

Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II

Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II 1 Desarrollos de Taylor en varias variables Vamos ahora a generalizar los desarrollos de Taylor que vimos para funciones de una variable.

Más detalles

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES Mucos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de

Más detalles

5 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones empleando la definición de

5 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones empleando la definición de Hallar el dominio de las siguientes funciones: x 3 a) x +ln(x ) b) ln x + 6 x + c) x x d) ln x x + e) cos x + ln(x 5π) + 8π x Graficar la función sen(x π ). Hallar para que valores de x es 3 Hallar las

Más detalles

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas:

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: 1 1. DERIVACIÓN 1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: b) f(x) x (x 1) en el intervalo [, ] y en su dominio. DOMINIO. D R. CORTES CON LOS EJES. Cortes con el

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD. Miguel A. Jorquera

UNIVERSIDADES DE ANDALUCIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD. Miguel A. Jorquera UNIVERSIDADES DE ANDALUCIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Miguel A. Jorquera BACHILLERATO MATEMÁTICAS II JUNIO 2 ii Índice General 1 Examen Junio 2. Opción B 1 2 SOLUCIONES del examen de junio 2 Opción

Más detalles

Relaciones y Funciones

Relaciones y Funciones Capítulo Relaciones Funciones.1. Producto Cartesiano Definición El producto cartesiano de A B, se define por A B = (a, b)/a A b B} A B conjuntos dados, A B se lee A cruz B (a, b) es un par ordenado, recuerde

Más detalles

MÓDULO Nº 4. Nivelación. Matemática 2005. Módulo Nº4. Contenidos. Circunferencia y Círculo Volúmenes

MÓDULO Nº 4. Nivelación. Matemática 2005. Módulo Nº4. Contenidos. Circunferencia y Círculo Volúmenes MÓDULO Nº 4 Nivelación Matemática 2005 Módulo Nº4 Contenidos Circunferencia y Círculo Volúmenes Nivelación Circunferencia y Círculo Circunferencia. Es una línea curva cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad

Más detalles

La circunferencia y el círculo

La circunferencia y el círculo 10 La circunferencia y el círculo Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar los diferentes elementos presentes en la circunferencia y el círculo. Conocer las posiciones relativas de puntos,

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica. Boletin 6. Funciones de Varias Variables EJERCICIOS RESUELTOS Curso 003-004 1. En cada apartado, calcular

Más detalles

TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES

TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES Matemáticas. Curso 2011/2012 Graos en ADE e Consultoría. Universidade de Vigo. En muchos problemas comunes aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza)

Más detalles

a) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7

a) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 1 = x + x 6 = c) x 9x + = d) x 6x 7 = = a) x = 1 y x = 1 x = 3 y x = c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a)

Más detalles

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Capítulo : Aplicaciones de la derivada 1 Capítulo : APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máimos y mínimos

Más detalles

Problemas geométricos

Problemas geométricos 8 Problemas geométricos Objetivos En esta quincena aprenderás a: Aplicar las razones trigonométricas para estudiar las relaciones que existen entre los ángulos y los lados de las figuras planas. Calcular

Más detalles

Bloque II. Actividades de síntesis: Análisis. Solucionario OPCIÓN A

Bloque II. Actividades de síntesis: Análisis. Solucionario OPCIÓN A Bloque II Actividades de síntes: Anális Solucionario OPCIÓN A A.. a) Escribe la función f(x) x 4 x como una función a trozos y dibuja su gráfica. b) Para cuántos valores de x es f(x) 0? c) Para qué números

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

f(x) f(x 0 ) = L IR h 0 = 0 = f (x 0 ); con lo que f (x) = 0 para todo x IR. (x x = lím x + x 0 = 2x 0 = f (x 0 ), y f (x) = 2x en IR.

f(x) f(x 0 ) = L IR h 0 = 0 = f (x 0 ); con lo que f (x) = 0 para todo x IR. (x x = lím x + x 0 = 2x 0 = f (x 0 ), y f (x) = 2x en IR. Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema Funciones derivables. Derivada de una función en un punto Definición 4.- Se dice que f: (a, b IR es derivable en el punto (a, b si f( f( = L IR es decir,

Más detalles

9 Geometría. analítica. 1. Vectores

9 Geometría. analítica. 1. Vectores 9 Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C

Más detalles

Aplicaciones de la Integral Definida

Aplicaciones de la Integral Definida CAPITULO 7 Aplicaciones de la Integral Definida 1 Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

Funciones de varias variables reales

Funciones de varias variables reales Capítulo 6 Funciones de varias variables reales 6.1. Introducción En muchas situaciones habituales aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V =

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado 3 Ecuaciones de segundo grado Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar las soluciones de una ecuación. Reconocer y obtener ecuaciones equivalentes. Resolver ecuaciones de primer grado Resolver

Más detalles

2FUNCIONES CUADRÁTICAS

2FUNCIONES CUADRÁTICAS CONTENIDOS El modelo cuadrático La función cuadrática Desplazamientos de la gráfica Máximos, mínimos, ceros, crecimiento y decrecimiento Ecuaciones cuadráticas Sistemas mixtos En este capítulo se analizan

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O.

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O. Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar L. F. Reséndis O. 2 Contents 1 Números reales L.F. Reséndis O. 5 1.1 Números racionales e irracionales.l.f. Reséndis O............ 5

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN Problemas de optimiación Ejercicio PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN Un banco lana al mercado un plan de inversión cua rentabilidad R(, en euros, viene dada en función de la cantidad invertida, en euros,

Más detalles

8 Geometría. analítica. 1. Vectores

8 Geometría. analítica. 1. Vectores Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U

Más detalles

POTENCIAL ELECTRICO. W q. B o

POTENCIAL ELECTRICO. W q. B o POTENCIAL ELECTRICO Un campo eléctrico que rodea a una barra cargada puede describirse no solo por una intensidad de campo eléctrico E (Cantidad Vectorial) si no también como una cantidad escalar llamada

Más detalles

LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS Se llaman poliedros todos los cuerpos geométricos que tienen todas sus caras planas. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen alguna de sus superficies

Más detalles

1. Derivadas parciales

1. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para

Más detalles

14 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

14 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 14 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS EJERCICIOS PROPUESTOS 14.1 Calcula el área de los ortoedros cuyas longitudes vienen dadas en centímetros. a) b) 6 6 6 5 1 a) El cuerpo es un cubo: A 6a 6 6 6

Más detalles

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada

Más detalles

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas Bloque Números 1 Resuelve: a. Si tomas como valor de 11. 1 la aproximación. 1, qué errores absoluto y relativo has cometido?. Solución: 0. 000; 0. 0%

Más detalles

Funciones Reales de Variable Real

Funciones Reales de Variable Real 1 Capítulo 6 Funciones Reales de Variable Real M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet

Más detalles

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad) Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. Página 9 PRACTICA Sistemas lineales Comprueba si el par (, ) es solución de alguno de los siguientes sistemas: x + y 5 a) x y x y 5 x + y 8 El par (, ) es solución de un sistema si al sustituir x

Más detalles

Ampliación de Matemáticas. Integrales de línea

Ampliación de Matemáticas. Integrales de línea Ampliación de Matemáticas Integrales de línea En Física la idea intuitiva de trabajo queda recogida en la fórmula Trabajo = Fuerza x Espacio Si f(x) es la fuerza aplicada, a lo largo del eje x, a un objeto

Más detalles

5.1 RAZÓN DE CAMBIO 5.2 PROBLEMAS PRÁCTICOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES 5.4 POLINOMIO DE TAYLOR

5.1 RAZÓN DE CAMBIO 5.2 PROBLEMAS PRÁCTICOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES 5.4 POLINOMIO DE TAYLOR 5 5. AZÓN DE CAMBIO 5. POBLEMAS PÁCTICOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 5. DIFEENCIALES Y APOXIMACIONES 5.4 POLINOMIO DE TAYLO OBJETIVOS: SE PETENDE QUE EL ESTUDIANTE: esuelva problemas de razón de cambio. esuelva

Más detalles