PROBLEMAS RESUELTOS DE SERIES DE FOURIER

Transcripción

1 PROBLEMS RESUELOS DE SERIES DE FOURIER Ejemplo. Hlle l represeció e serie rigooméric de Fourier pr l siguiee f, mosrd e l figur. señl () e, SOLUCION. L señl es f () e,, y pr ese ejemplo: y ω. Primero clculremos los coeficiees, de l fórmul eemos que: f () cos ω d Eoces: e cos d u e b u Por bls de iegrles: e cosbu du ( cosbu bse bu) Relizdo ls susiucioes: y b, se edrá que: e 4 ( cos se )

2 Evludo límies: 4 e ( cos se ) e e. 4 De l form que: cos() ( se() ) hor clculremos el coeficiee idepediee. prir de l fórmul: () f d e d e e e e.64 Cocluimos clculdo los coeficiees b : f () se ω d u Por bls de iegrles: e sebu du ( sebu bcosbu) u e b Susiuyedo y b, se edrá eoces: 4 e e b ( se cos ) 4 se ( cos ) e se() cos() 4 e 4 e. 4

3 será: Filmee, l represeció e serie rigooméric de Fourier pr l señl f ( ) 4 f ().64 ( e ) cos ( e ) se 4 4

4 Ejemplo. Hlle l represeció e serie rigooméric de Fourier pr l siguiee señl f (),, mosrd e l figur. SOLUCION. L señl es f (),, y pr ese ejemplo: y ω. Primero clculremos los coeficiees. De l fórmul eemos que: f () cos ω d cos d Uilizdo iegrció por pres: u du d dv cos d v se se se d se cos cos d se cos se 4 se cos se 3 3

5 se cos () () se 3 3 se. Clculdo el coeficiee : () f d d 3 f se ω d Clculdo el coeficiee b : () se d plicdo iegrció por pres: u du d dv se d v cos cos cos d

6 b cos cos d Volviedo plicr iegrció por pres: u du d dv cos d v se Relizdo ls opercioes correspodiees: cos se se d cos se cos cos se cos 3 3 cos se cos 3 3 cos. Filmee, l serie de Fourier pr l señl f es: f () cos se 3

7 Ejemplo 3. Hlle l represeció e serie rigooméric de Fourier pr l siguiee señl, mosrd e l figur. Supog que el iervlo de repeició pr l serie será de. SOLUCION. cos, L señl f () se defiirá como: f (), oro cso Pr l serie de Fourier edremos que: y ω. Ddo que l señl f () iee simerí pr, eoces los coeficiees b. Pr ese cso, solo cosiderremos el cálculo de los coeficiees. Por defiició: f () cos ω d Susiuyedo: coscos d coscos d Resolviedo l iegrl por bls: Susiuyedo y b, e l iegrl: se b u se b u cos u cosbu du b b se ( ) se ( ) ( ) ( )

8 Evludo los límies: se se se se se se se se ( ) se ( ) se Por ideiddes rigoomérics: se ( ± ) se ± se cos ± cos se cos cos Eoces: cos cos ( )( ) cos cos. ( ) De l expresió erior obeid pr los coeficiees, se esblece que es expresió es válid pr od excepo pr, ddo que pr ese vlor se produce u ideermició. Se procede obeer dicho vlor, el cul puede obeerse susiuyedo el vlor priculr de, pr ese cso, e l expresió geerl de los coeficiees, es de proceder l cálculo iegrl, l como se muesr coiució: Formul geerl: f () cos ω d Pr el cso : cos d

9 Por ideidd rigooméric: cos ( cos ) Eoces: cos d d cos d ( se ) Evludo límies: se ( se ) Si recordmos el cocepo de cálculo diferecil sobre l regl de L Hopil, és se uiliz pr ecorr el límie de u fució e u puo, cudo e ese puo l fució preser u ideermició. Si plicmos es regl l expresió obeid pr los coeficiees, edremos lo siguiee: Expresió geerl: ( ) cos plicdo regl L Hopil: d cos ( ) se dx lim d ( ) dx se Evludo: De lo erior, se deduce que cosiderció del esudie, iee opcioes pr ecorr el vlor priculr de quel coeficiee (y de igul mer pr culquier coeficiee b ) dode, produzc u ideermició e l expresió geerl. hor, solo bs hllr el coeficiee idepediee. Segú l fórmul: () f d

10 d cos se se se ( ) Luego eoces, l serie de Fourier pr es señl será: f () cos cos cos ( )

11 PROBLEMS PROPUESOS DE SERIES DE FOURIER Ecuere ls represecioes e serie rigooméric de Fourier pr ls señles mosrds coiució. f() g() y() h() Fució geerriz: cos() Problem. i) Desrrollr e serie de Fourier l fució periódic de período.represer gr cmee si x f(x) x si x Problem i) Desrrollr e serie de Fourier l fució periódic de período, de id por: f(x) x ; x

12 Problem 3 Se f(x) x(si x); si < x < ; eoces: i) Deermie l serie de es fució. Problem4 i) Pr f(x) e [x], x obeer su serie de Fourier e coseos, periódic de período 4. Problem5 Se f l fució pulso recgulr uirio de período de id por f (x) si < x < ) Represer gr cmee f (x) si x < ó < x )ObeerlseriedeFourierde f (x).