IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2003 (Septiembre Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 003 (Septiembre Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A x Sea la matriz A = 0 x+ ( 5 putos) Halle los valores de x para los que se verifica A = A. ( 5 putos) Para x = -, halle A -. Compruebe el resultado calculado A A -. Solució x Sea la matriz A = 0 x+ Halle los valores de x para los que se verifica A = A. De A x x x 4 x + 4x 4 x = A, teemos = =. Igualado: 0 x+ 0 x+ 0 x+ 0 x + 4x x+4 4 = 4 x + 4x = x 0 = 0 x + 4x + 4 = x + 4. Vemos que la úica ecuació es x + 4x = x x + x = 0 = x (x + ), de dode x = 0 y x = -. Para x = -, halle A -. Compruebe el resultado calculado A A -. Si la matriz A tiee matriz iversa A -, podemos pasar de la matriz (A I ) mediate trasformacioes elemetales a la matriz (I A - ). - 0 F + F 0 F 0 (A I ) = = (I A - ), por tato A - = Tambié la podíamos ver por la fórmula A - = /( A ) Adj(A t ). A = det(a) = - 0 = - 0 = 0, luego existe A- ; A t 0 =, Adj(A t ) =, luego - A - = () =. 0 Veamos que A A - = I () = () = () = = I. EJERCICIO _A Sea la fució f(x) =. ( puto) Determie su domiio y asítotas. Estudie su cotiuidad y derivabilidad. ( puto) Determie sus máximos y míimos relativos, si los hubiere. Estudie su crecimieto, decrecimieto, cocavidad y covexidad. c) ( puto) Represétela gráficamete. Solució Sea la fució f(x) =. Determie su domiio y asítotas. Estudie su cotiuidad y derivabilidad. Como es u cociete de fucioes poliómicas su domiio es R {solucioes de x = 0} = R {}. Tambié sabemos que es cotiua y derivable e su domiio, por tato es cotiua y derivable e R {}. Sabemos que los cocietes de fucioes poliómicas tiee ua asítota horizotal (A.H.) si coicide el grado del umerador co el del deomiador, que es uestro caso, y además dicha A.H. es la misma e ±. Tambié sabemos que los úmeros que aula el deomiador so asítotas verticales (A.V.), si el límite e dicho úmero es, que tambié es uestro caso. germa.jss@gmail.com

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 003 (Septiembre Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Teemos f(x) =, cuya gráfica es ua hipérbola y sabemos tiee ua A.V. y ua A.H. El úmero que aula el deomiador ( = 0) es x =, y como x = ()/0- = -, la recta x = es ua A.V. de f. Además vemos que a la izquierda de x =, f está e -. De x + Como = ()/0+ = +, vemos que a la izquierda de x =, f está e +. = (-x/x) = (-/) = -, la recta y = - es ua A.H. e ±. x + x + x + De (f(x) - A.H.) = - (-) x + x + = 0+, teemos que f está por ecima de la A.H. e +. De (f(x) - A.H.) = - (-) x x = 0-, teemos que f está por debajo de la A.H. e -. Como teemos que represetarla calculamos los putos de corte: Para x = 0, puto (0,-3) Para f(x) = 0 3 x = 0, x = 3 y puto (3,0) Determie sus máximos y míimos relativos, si los hubiere. Estudie su crecimieto, decrecimieto, cocavidad y covexidad. Sabemos que la mootoía sale estudiado la primera derivada f (x). - () - () - f(x) = ; f (x) = =. () () De f (x) = 0, teemos - = 0, lo cual es absurdo, por tato o hay extremos relativos y la fució siempre es estrictamete creciete o decreciete e su domiio. - De f (0) = = - < 0, vemos que f (x) < 0 e su domiio R {}, es decir f(x) es estrictamete (0 - ) decreciete ( ) e su domiio R {}. Sabemos que la curvatura es el estudio de la seguda derivada f (x) - -(- ) () 4 () f(x) = ; f (x) =, f (x) = =. 4 4 () () () De f (x) = 0, teemos x = 0, luego x =, que es NO es u posible puto de iflexió, porque la recta x = era ua asítota vertical. 4 (0 - ) Como f (0) = = - 4 < 0, f(x) es cócava ( ) e (-,). 4 (0 - ) 4 ( - ) Como f () = = 4 > 0, f(x) es covexa ( ) e (, + ). 4 ( - ) Ya hemos visto que x = NO es u puto de iflexió porque x = es ua asítota vertical. c) Represétela gráficamete. Teiedo e cueta lo aterior, u esbozo de la gráfica de f es: germa.jss@gmail.com

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 003 (Septiembre Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3_A Parte I Ua máquia A fabrica 00 piezas al día, de las cuales u 6% so defectuosas. Otra máquia B fabrica 50 piezas al día, co u porcetaje de defectuosas del %. Mezclamos las piezas fabricadas por ambas máquias e u día y extraemos ua al azar. ( puto) Cuál es la probabilidad de que la pieza extraída sea defectuosa? ( puto) Sabiedo que la pieza extraída es defectuosa, cuál es la probabilidad de que la haya fabricado la máquia B? Solució Ua máquia A fabrica 00 piezas al día, de las cuales u 6% so defectuosas. Otra máquia B fabrica 50 piezas al día, co u porcetaje de defectuosas del %. Mezclamos las piezas fabricadas por ambas máquias e u día y extraemos ua al azar. Cuál es la probabilidad de que la pieza extraída sea defectuosa? Llamemos A, B, D y D C, a los sucesos siguietes, pieza fabricada por la máquia A, pieza fabricada por la máquia B, "pieza defectuosa", y "pieza o defectuosa", respectivamete. Datos del problema p(a) = 00/50 = /3; p(b) = 50/50 = /3; p(d/a) = 6% = 0 06; p(d/b) = % = 0 0. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale ). Usado el Teorema de la Probabilidad total, p(pieza defectuos = p(d) = p(a).p(d/a)+p(b).p(d/b) = (/3) (/3) 0 0 = 7/ Sabiedo que la pieza extraída es defectuosa, cuál es la probabilidad de que la haya fabricado la máquia B? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p(b D) p(b) p(d/b) p(b/d) = = = (/3) (0 0)/(7/50) = / p(d) p(d) EJERCICIO 3_A Parte II Se sabe que la atigüedad de los coches fabricados por ua empresa es ua variable aleatoria Normal, co desviació típica 9 años. ( puto) U estudio realizado sobre ua muestra aleatoria de 69 coches, de esa empresa, revela que la atigüedad media de la muestra es 8 4 años. Obtega u itervalo de cofiaza, al 90%, para la atigüedad media de la població. ( puto) Determie el úmero míimo de coches que debe compoer ua muestra, para obteer, co u ivel de cofiaza del 95%, u error de estimació meor que 0 35 años. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) germa.jss@gmail.com 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 003 (Septiembre Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z α,x + z α = (a, dode z -α y z α = - z -α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α ) = - α Tambié sabemos que la media es x = (a +, el error máximo de la estimació es E = z α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = z α = E, de dode E = (b, z - α. z - α. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. Se sabe que la atigüedad de los coches fabricados por ua empresa es ua variable aleatoria Normal, co desviació típica 9 años. U estudio realizado sobre ua muestra aleatoria de 69 coches, de esa empresa, revela que la atigüedad media de la muestra es 8 4 años. Obtega u itervalo de cofiaza, al 90%, para la atigüedad media de la població. Datos del problema: = 9; = 69, x = 8 4, ivel de cofiaza = 90% = 0 90 = - α, de dode α = = 0 0, es decir α = 0 0 = De p(z z -α ) = - α = = Mirado e las tablas de la N(0,) vemos que la probabilidad 0 95 o viee, las más próximas so y que correspode a 64 y 65, por tato z -α es la media es decir z -α = ( ) = 645, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C.(µ) = x z α,x + z α = '9 '9 8'4 - '645,8'4 + '645 (8 043, 8 777) Determie el úmero míimo de coches que debe compoer ua muestra, para obteer, co u ivel de cofiaza del 95%, u error de estimació meor que 0 35 años. Datos del problema: = 9, E 0 35, ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = - α, de dode α = 0 05, es decir α = 0 05 = De p(z z -α ) = - α = = Mirado e las tablas de la N(0,) vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z -α = 96. z - α. '96 '9 De = E 0'35 = , teemos que el tamaño míimo es = 64. OPCIÓN B EJERCICIO _B (3 putos) Ua empresa gaa 50 euros por cada Tm de escayola producida y 00 euros por cada Tm de yeso. La producció diaria debe ser como míimo de 30 Tm de escayola y 30 Tm de yeso. La catidad de yeso o puede superar e más de 60 Tm a la de escayola. El triple de la catidad de escayola, más la catidad de yeso, o puede superar 40 Tm. Calcule la catidad diaria que debe producirse de cada material, para obteer la máxima gaacia y determie dicha gaacia. Solució x = Número de toeladas de escayola. y = Número de toeladas de yeso. Fució Objetivo F(x,y) = 50x + 00y. (Gaa 50 por Tm de escayola y 00 por Tm de yeso). germa.jss@gmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 003 (Septiembre Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Restriccioes: Como míimo 30 Tm de escayola y 30 Tm de yeso x 30 ; y 30 La catidad de yeso o puede superar e más de 60 Tm a la de escayola y x El triple de escayola, más la catidad de yeso, o puede superar 40 Tm. 3x + y 40 Las desigualdades x 30 ; y 30; y x + 60; 3x + y 40, las trasformamos e igualdades, y ya sus gráficas so rectas, x = 30 ; y = 30; y = x + 60; 3x + y = 40 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos x = 30 ; y = 30; y = x + 60; y = -3x + 40 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito covexo itado por las iecuacioes, que será la regió factible; e el cual estará los bordes del recito deitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito covexo, resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 30 e y = 30, teemos el puto de corte es A(30,30) De y = 30 e y = -3x + 40, teemos 30 = -3x+40, luego 3x = 390 x = 30, y el puto de corte es B(30,30) De x = -3x + 40 e y = x + 60, teemos -3x+40 = x+60, es decir 360 = 4x, luego x = 90 e y = 50, y el puto de corte es C(90,50) De y = x+60 y x = 30; teemos y = 90, y el puto de corte es D(30,90) Vemos que el polígoo tiee por vértices los putos: A(30,30), B(30,30), C(90,50) y D(30,90). Calculemos el máximo de la fució F(x,y) = 50x + 00y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(30,30), B(30,30), C(90,50) y D(30,90). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(30,30) = 50(30) + 00(30) = 7500; F(30,30) = 50(30) + 00(30) = 500; F(90,50) = 50(90) + 00(50) = 8500; F(30,90) = 50(30) + 00(90) = 3500; Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 8500 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(90,50), es decir el máximo igreso es de 8500 y se alcaza produciedo 90 Tm de escayola y 50 Tm de yeso. EJERCICIO _B x si x Sea la fució f(x) = si < x x si x > ( putos) Estudie la cotiuidad y derivabilidad de f e x = y e x =. ( puto) Represétela gráficamete. germa.jss@gmail.com 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 003 (Septiembre Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Solució x si x Sea la fució f(x) = si < x x si x > Estudie la cotiuidad y derivabilidad de f e x = y e x =. Observado su gráfica vemos que es cotiua e R {0}, y derivable e R {0,}. No obstate vamos a verlo co su domiio y límites. Sabemos que si ua fució es derivables es cotiua, pero si o es cotiua tampoco es derivable. x es cotiua y derivable e R, e particular e x <. /x es cotiua y derivable e R {0}, e particular e < x <. (x-) es cotiua y derivable e R, e particular e x >. Veamos la cotiuidad y la derivabilidad de f e x = y x =. f(x) es cotiua e x = si f() = f(x) = f(x). f() = x + f(x) = x f(x) = x + x (x ) = ; x x + (/x) =, por tato f(x) es cotiua e x =. f(x) es cotiua e x = si f() = f() = x + f(x) = f(x) = x (/x) = ; f(x) = f(x). x + + ((x-)) =, por tato f(x) es cotiua e x =. Recapitulado f es cotiua e R. x si x x si x < - De f(x) = si < x, teemos f (x) = si < x < x x si x > si x > f(x) es derivable e x = si f (x) = (x) = ; x x derivable e x =. f(x) es derivable e x = si f (x) = x f (x) = x + f (x) = x + f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x + (-/x ) = -. Como los resultados o coicide, f(x) o es f (x) = f (x), estamos viedo la cotiuidad de la derivada. x x + (-/x ) = -/4; f (x) = () =. Como los resultados o coicide, f(x) o es + x x 3+ x si x < - derivable e x =. Luego f (x) = si < x < x si x > Recapitulado f es derivable e R {,}. Represétela gráficamete. La gráfica de x es ua parábola co vértice (0,0) y las ramas hacia arriba, porque el º que multiplica a x es positivo. Sólo la dibujamos e x y vemos que e x = vale. La gráfica de /x es ua hipérbola que tiee por asítotas x = 0 (la vertical) e y = 0 (la horizotal), simétrica respecto al orige (0,0) que se dibuja e el I y III cuadrate, e uestro caso sólo la germa.jss@gmail.com 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 003 (Septiembre Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua dibujaremos etre y, es decir pasa por los putos ( +,) y (,). La gráfica de (x-) es ua recta que o pasa por el orige, pero sólo la dibujamos a partir de x >, es decir ua semirrecta. E x = + vale. Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de la gráfica de f es: EJERCICIO 3_B Parte I Sea A y B dos sucesos aleatorios idepedietes. Se sabe que p(a) = 0 3, p(b) = 0 4. Calcule las siguietes probabilidades: ( puto) p(a B). ( puto) p(a/b c ). Solució Sea A y B dos sucesos aleatorios idepedietes. Se sabe que p(a) = 0 3, p(b) = 0 4. Calcule las siguietes probabilidades: p(a B). ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = - p(b C ); A y B so p(b) idepedietes si p(a B) = p(a) p(b); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Como A y B so idepedietes, teemos p(a B) = p(a) p(b) = = 0 Teemos p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = p(a/b c ). ( C p A B ) p(a/b C p(a) - p(a B) ) = = = (0 3 0 )/( 0 4) = 0 3. C p(b ) - p(b) EJERCICIO 3_B E u hospital se ha tomado la temperatura a ua muestra de 64 pacietes para estimar la temperatura media de sus efermos. La media de la muestra ha sido 37 ºC y se sabe que la desviació típica de toda la població es 04ºC. ( puto) Obtega u itervalo de cofiaza, al 90%, para la media poblacioal. ( puto) Co qué ivel de cofiaza podemos afirmar que la media de la població está compredida etre 36 8ºC y 37 4ºC? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) germa.jss@gmail.com 7

8 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 003 (Septiembre Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z α,x + z α = (a, dode z -α y z α = - z -α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α ) = - α Tambié sabemos que la media es x = (a +, el error máximo de la estimació es E = z α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = z α = E, de dode E = (b, z - α. z - α. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. E u hospital se ha tomado la temperatura a ua muestra de 64 pacietes para estimar la temperatura media de sus efermos. La media de la muestra ha sido 37 ºC y se sabe que la desviació típica de toda la població es 04 ºC. Obtega u itervalo de cofiaza, al 90%, para la media poblacioal. Datos del problema: = 04; = 64, x = 37, ivel de cofiaza = 90% = 0 90 = - α, de dode α = = 0 0, es decir α = 0 0 = De p(z z -α ) = - α = = Mirado e las tablas de la N(0,) vemos que la probabilidad 0 95 o viee, las más próximas so y que correspode a 64 y 65, por tato z -α es la media es decir z -α = ( ) = 645, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C.(µ) = x z α,x + z α = '04 '04 37' - '645,37' + ' = ( , ). Co qué ivel de cofiaza podemos afirmar que la media de la població está compredida etre 36 8 ºC y 37 4 ºC? Datos del problema: Itervalo = (a, = (36 8, 37 4), = 04, = 64. '04 De la amplitud del itervalo es b a = z α, teemos que ( ) = z α, es decir 64 z -α = y mirado e las tablas vemos que p(z 3) = - α = , por lo tato teemos que α = ( ) = 0 008, luego el ivel de cofiaza pedido es = - α = = = = 97 9%. germa.jss@gmail.com 8