Centro de Cálculo, Instituto de Computación Facultad de Ingeniería. Universidad de la República, Uruguay.

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1 Una Versón Paralela del Algortmo Evolutvo para Optmzacón Multobjetvo NSGA-II y su Aplcacón al Dseño de Redes de Comuncacones Confables Sergo Nesmachnow sergon@fng.edu.uy Centro de Cálculo, Insttuto de Computacón Facultad de Ingenería. Unversdad de la Repúblca, Uruguay. Resumen Este trabajo presenta una versón Paralela del Algortmo Evolutvo para Optmzacón Multobjetvo NSGA-II, orgnal de Deb et al. (000. Se ntroducen los detalles de dseño e mplementacón de una versón paralela basada en subpoblacones sem-ndependentes y se analza la caldad de resultados y la efcenca computaconal, comparando con los resultados y tempos de ejecucón de la versón secuencal del algortmo NSGA-II sobre un conjunto de problemas de prueba estándar. Adconalmente, se estuda la aplcacón de la versón paralela propuesta a la resolucón de un problema de dseño de redes de comuncacones confables. Palabras clave Algortmos Evolutvos, Optmzacón Multobjetvo, Paralelsmo, NSGA-II. I. INTRODUCCIÓN Los Algortmos Evolutvos (EAs se han popularzado como métodos robustos y efectvos para la resolucón de problemas de optmzacón. Tradconalmente, los problemas abordados consderaban la optmzacón de una únca funcón objetvo, pero en la últma década se han desarrollado una ampla gama de EAs para afrontar problemas con objetvos múltples. Estos problemas cuentan con complejdades propas que los dstnguen de los problemas monoobjetvo, y por ello los EAs para Optmzacón Multobjetvo tenen característcas que los dferencan de los EAs tradconales. Las técncas de procesamento paralelo y dstrbudo se aplcan a los modelos cláscos de EAs con el objetvo de obtener mejoras en la efcenca computaconal y perfecconar la caldad del mecansmo evolutvo (Cantú- Paz, 00. Desde la perspectva de la efcenca, paralelzar un EA permte afrontar la lenttud de convergenca para problemas cuya dmensón motva el uso de poblacones numerosas o múltples evaluacones de complejas funcones objetvo. Desde el punto de vsta algorítmco, los modelos paralelodstrbudos de algortmos evolutvos pueden eplotar el paralelsmo ntrínseco del mecansmo evolutvo trabajando smultáneamente sobre varas poblacones sem ndependentes para resolver un problema. En el área de la optmzacón multobjetvo, pocos trabajos han abordado el estudo del paralelsmo aplcado y sus nfluencas en la efcenca computaconal y caldad de solucones de los algortmos. Este trabajo propone el estudo de un modelo de algortmo evolutvo paralelo para optmzacón multobjetvo, que corresponde a una versón paralela del conocdo algortmo NSGA-II orgnal de Deb et al. (000 sobre el cual se ha aplcado un esquema de paralelsmo basado en poblacones sem-ndependentes y mgracón. El resto del documento se organza del modo que se descrbe a contnuacón: la seccón brnda una breve ntroduccón a los conceptos relaconados con los problemas de optmzacón multobjetvo. La seccón 3 presenta los conceptos báscos sobre los algortmos evolutvos y su aplcacón a los problemas de optmzacón multobjetvo, eamnando la versón secuencal del algortmo NSGA-II. Asmsmo, se eplcan los mecansmos de aplcacón de las técncas de procesamento paralelo a los algortmos evolutvos en general y se reseñan las propuestas estentes de aplcacón de paralelsmo al algortmo NSGA-II. Los detalles de dseño e mplementacón de la versón paralela del algortmo se presentan en la seccón 4. El conjunto de problemas de prueba y las métrcas utlzadas para evaluar la efcenca y la caldad de las solucones obtendas se presentan en la seccón 5. Los resultados epermentales son presentados y analzados en la seccón 6. La seccón 7 presenta la aplcacón del algortmo dseñado a la resolucón de un problema de dseño de redes de comuncacones confables. Por últmo, la seccón 8 ofrece las conclusones del trabajo y posbles líneas de trabajo futuro.

2 II. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO Esta seccón presenta una breve ntroduccón a los problemas de optmzacón multobjetvo y sus conceptos relaconados. Un problema de optmzacón multobjetvo plantea la optmzacón (mnmzacón o mamzacón de un conjunto de funcones, habtualmente en conflcto entre sí. La estenca de múltples funcones objetvo plantea una dferenca fundamental con un problema monoobjetvo: no estrá una únca solucón al problema, sno un conjunto de solucones que plantearán dferentes compromsos entre los valores de las funcones a optmzar. La Fgura presenta la formulacón general de un problema de optmzacón multobjetvo. Cabe menconar que la mayor parte de los problemas de optmzacón subyacentes a problemas del mundo real tenen una formulacón de este tpo, aunque en muchos casos son abordados sguendo un enfoque monoobjetvo. Mnmzar / Mamzar F ( f (, f (,, f ( sujeto a ( M G( ( g (, g (,, g ( 0 H( ( h (, h (,, h ( 0 ( L ( U N Fgura : Problema de Optmzacón Multobjetvo La solucón al problema de optmzacón multobjetvo corresponderá a un vector de varables de decsón,,, que satsfaga las restrccones mpuestas por las funcones G y H, ofrecendo valores que ( N representen un compromso adecuado para las funcones f, f,, f M. * Consderando el caso de un problema de mnmzacón de funcones, un punto es "óptmo de Pareto" s * f ( f (,..., M, o para al menos para todo en, la regón factble del problema, se cumple que * un valor de se cumple que f( f(. Esto sgnfca que no este un vector factble que sea "mejor" que el óptmo de Pareto en alguna funcón objetvo sn que empeore los valores de alguna de las restantes funcones objetvo. Asocada con la defncón anteror, se ntroduce una relacón de orden parcal denomnada domnanca entre vectores solucón del problema de optmzacón multobjetvo. Un vector w w, w,, w domna a otro R S ( N v ( v, v,, vn s w v,..., M,..., M/ w v. En este caso se nota w v Dado que dferentes valores de las varables de decsón representan dferentes compromsos, la resolucón de un problema de optmzacón multobjetvo no se concentra en hallar un únco valor solucón, sno que se plantea hallar un conjunto de solucones no domnadas, de acuerdo a la defncón presentada anterormente. El conjunto de solucones óptmas al problema de optmzacón multobjetvo se compone de los vectores factbles no domnados. Este conjunto se denomna conjunto óptmo de Pareto y está defndo por * P / ' f ( ' f (. La regón de puntos defnda por el conjunto óptmo de Pareto en el espaco de valores de las funcones objetvo se conoce como frente de Pareto. Formalmente, el frente de Pareto está * FP u( f (, f (,, f ( / P * M. defndo por. III. ALGORITMOS EVOLUTIVOS PARA OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO La complejdad nherente a los problemas de optmzacón multobjetvo plantea un dfícl reto para su resolucón medante algortmos eactos determnístcos a medda que crece la dmensón del espaco de solucones. De este modo, las técncas cláscas como los algortmos enumeratvos o los métodos eactos de búsqueda local, basados en gradentes o que utlzan las técncas estándar de programacón determnístca métodos greedy, técncas de branch & bound, etc., s ben pueden ser aplcables para problemas de complejdad reducda, egen un costo computaconal ecesvo para la resolucón de problemas multobjetvo complejos con aplcacón en el mundo real. En este conteto, las técncas heurístcas estocástcas han sdo propuestas como alternatvas para la resolucón de problemas de optmzacón multobjetvo, para alcanzar solucones apromadas de buena caldad en tempos de cómputo razonables. Enmarcados en esta categoría, las técncas de computacón

3 evolutva se han manfestado como métodos robustos y efectvos para resolucón de los problemas de optmzacón multobjetvo y se han popularzado en la últma década como consecuenca de su éto. Los Algortmos Evolutvos para Optmzacón Multobjetvo (MOEAs surgen como una etensón de los EAs para problemas monoobjetvo, utlzando fundamentalmente varos conceptos relaconados con el tratamento de funcones multmodales por parte de los EAs monoobjetvo. Esta seccón ofrece una breve ntroduccón a los algortmos evolutvos y a los conceptos relevantes en sus varantes aplcadas a la resolucón de problemas multobjetvo, eamnando en detalle la versón secuencal del algortmo NSGA-II. Complementaramente, se presentan las deas fundamentales sobre la aplcacón de técncas de procesamento paralelo a los algortmos evolutvos en general, y se resumen brevemente las propuestas de paralelsmo aplcadas al algortmo NSGA-II encontradas en la revsón bblográfca realzada. A. Algortmos Evolutvos Los EAs basan su funconamento en la smulacón del proceso de evolucón natural (Goldberg, 989; Davs, 99. Conssten en una técnca teratva que aplca operadores estocástcos sobre un conjunto de ndvduos la poblacón con el propósto de mejorar su ftness, una medda relaconada con la funcón objetvo del problema en cuestón. Cada ndvduo de la poblacón representa una solucón potencal del problema, codfcada de acuerdo a un esquema de representacón, generalmente basado en números bnaros o reales. Incalmente la poblacón se genera de forma aleatora, y luego evolucona medante la aplcacón teratva de nteraccones denomnadas operadores de reproduccón, que ncluyen recombnacones de ndvduos los cruzamentos y modfcacones aleatoras las mutacones. Esta evolucón es guada por una estratega de seleccón de los ndvduos más adaptados a la resolucón del problema, de acuerdo a sus valores de ftness. La Fgura presenta un esquema genérco de un EA, donde puede dentfcarse el mecansmo evolutvo descrto y los operadores comentados. Incalzar(P(0 generacon = 0 Evaluar(P(0 mentras (no CrteroParada hacer Padres = Seleccon(P(generacon Hjos = Operadores de Reproduccon(Padres NuevaPop = Reemplazar(Hjos,P(generacon generacon ++ P(generacon = NuevaPop retornar Mejor Solucon Hallada Fgura : Esquema de un Algortmo Evolutvo. B. Algortmos Evolutvos para Optmzacón Multobjetvo De acuerdo a Coello et al. (00, la capacdad de los EAs para resolver problemas con múltples objetvos fue sugerda en la década de 960 por Rosenberg, pero hasta medados de la década de 980 no se presentó la mplementacón de un algortmo evolutvo para optmzacón multobjetvo (Schaffer, 984. A partr de la década de 990 fueron realzadas una gran cantdad de propuestas de MOEAs, formándose una comundad de nvestgadores en el área que trabaja actvamente en la actualdad. Dado que trabajan en paralelo sobre un conjunto de solucones, los EAs tenen la potencaldad de tratar problemas con objetvos múltples, hallando en cada ejecucón un conjunto de solucones apromadas al frente de Pareto. Esto representa una mportante ventaja respecto a los algortmos tradconales, que solamente generan una solucón por ejecucón. Complementaramente, los EAs tenen otras ventajas respecto a los algortmos tradconales, como ser menos sensbles a la forma o a la contnudad del frente de Pareto o permtr abordar problemas con espaco de solucones de gran dmensón. Un MOEA debe dseñarse para lograr dos propóstos en forma smultánea: lograr buenas apromacones al frente de Pareto y mantener la dversdad de las solucones, de modo de muestrear adecuadamente el espaco de solucones y no converger a una solucón únca o a una seccón acotada del frente. La Fgura 3 presenta gráfcamente los propóstos de un MOEA, donde se ha demarcado con la regón celeste (grs el espaco de búsqueda de funcones objetvo de un problema hpotétco, mentras que la línea roja (oscura gruesa representa al frente de Pareto. El mecansmo evolutvo de los EAs permte lograr el prmer propósto, mentras que para preservar la dversdad los MOEAs utlzan las técncas de nchos, sharng, crowdng o smlares, utlzadas tradconalmente por los EAs en la optmzacón de funcones multmodales. 3

4 f Apromarse al frente de Pareto Obtener dversdad a lo largo del frente de Pareto Fgura 3: Propóstos de un Algortmo Evolutvo para Optmzacón Multobjetvo. La fgura T presenta el esquema genérco de un MOEA, basado en Veldhuzen et al. (003. Este esquema cubre la mayoría de los MOEAs más comunes encontrados en la lteratura, ncluyendo el algortmo NSGA-II consderado en este estudo. En la Fgura 4 es posble observar dos operadores característcos de un MOEA, que no aparecen en la estructura genérca de un EA. El Operador de dversdad aplca la técnca utlzada para evtar la convergenca a un sector del frente de Pareto ( nchos, ftness sharng, crowdng, etc.. Asmsmo, se ncluye un procedmento de Asgnacón de ftness, orentado a brndar mayor chance de perpetuarse a aquellos ndvduos con mejores característcas, consderando los valores de las funcones objetvo y los resultados de la métrca utlzada para evaluar la dversdad. Incalzar(P(0 generacon = 0 Evaluar(P(0 mentras (no CrteroParada hacer Operador de dversdad(p(generacon Asgnar ftness(p(generacon Padres = Seleccon(P(generacon Hjos = Operadores de Reproduccon(Padres NuevaPop = Reemplazar(Hjos,P(generacon generacon ++ P(generacon = NuevaPop Evaluar(P(0 retornar Mejor Solucon Hallada Fgura 4: Esquema de un Algortmo Evolutvo para Optmzacón Multobjetvo. C. El Algortmo NSGA-II El algortmo NSGA-II (Non-domnated Sortng Genetc Algorthm, versón II fue presentado por K. Deb y sus colegas del Laboratoro de Algortmos Genétcos del Insttuto Tecnológco Kanpur en Inda en el año 000 (Deb et al., 000. Surgó como una versón mejorada del algortmo NSGA (Srnvas y Deb, 994, de quén heredó su estructura prncpal, pero ncluyendo característcas dstntvas para resolver tres aspectos fuertemente crtcados en la comundad de nvestgadores sobre el NSGA: el ordenamento no domnado, la ausenca de eltsmo y la dependenca del parámetro para aplcar la técnca de sharng. Las característcas prncpales del algortmo NSGA-II abarcan: El ordenamento no-domnado eltsta medante una técnca de comparacón que utlza una subpoblacón aular, que le permte dmnur la complejdad de los chequeos de domnanca de O(MP 3 a O(MP, sendo M el número de funcones objetvo y P el tamaño de la poblacón utlzada. La utlzacón de una técnca de crowdng que no requere especfcar parámetros adconales para la preservacón de dversdad en la poblacón, elmnando la dependenca de parámetros como el de sharng utlzado por el NSGA orgnal. f 4

5 La asgnacón de valores de ftness en base a los nveles o rangos de no domnanca, se hereda del NSGA-II orgnal, aunque se consdera en el procedmento de asgnacón los valores de dstanca de crowdng utlzados para evaluar la dversdad de las solucones. La fgura 5 presenta un esquema del algortmo NSGA-II, basado en la descrpcón de Deb et al. (000. Pueden aprecarse los operadores menconados, utlzados para el ordenamento no domnado, evaluacón de la dversdad medante la técnca de crowdng y asgnacón de ftness. Incalzar(P(0 generacon = 0 Evaluar(P(0 mentras (no CrteroParada hacer R = Padres Hjos Frentes = Sortng No Domnado(R NuevaPop = = mentras NuevaPop + Frentes( szepop Calcular Dstanca de Crowdng (Frentes( NuevaPop = NuevaPop Frentes( ++ Sortng por Dstanca (Frentes( NuevaPop = NuevaPop Frentes([:(szepop - NuevaPop Hjos = Seleccon y Reproduccon(NuevaPop generacon ++ P(generacon = NuevaPop retornar Mejor Solucon Hallada D. Algortmos Evolutvos Paralelos Fgura 5: Esquema del Algortmo NSGA-II. Las técncas de procesamento paralelo y dstrbudo se aplcan a los modelos cláscos de EAs con el propósto de obtener mejoras en la efcenca computaconal y proporconar un mecansmo dferente de eploracón del espaco de búsqueda (Cantú-Paz, 00. Dvdendo la poblacón en varos elementos de procesamento, los Algortmos Evolutvos Paralelos (peas permten afrontar la lenttud de convergenca para problemas complejos que motvan el uso de poblacones numerosas o múltples evaluacones de funcones objetvo que egen un costo computaconal elevado. Conjuntamente, los peas ntroducen un modelo de evolucón dferente al modelo panmíctco secuencal, que posblta eplotar el trabajo smultáneo sobre poblacones geográfcamente dstrbudas o localzadas de acuerdo a una estructura de organzacón espacal subyacente. La organzacón de la poblacón consttuye el prncpal crtero utlzado por los nvestgadores para clasfcar los modelos de peas (Alba y Tomassn, 00. De este modo, se destacan tres grandes famlas de peas: peas basados en el modelo maestro-esclavo, donde se dstrbuye la evaluacón de la funcón de ftness y se mantene el mecansmo de evolucón con nteraccón panmíctca que es característco de los modelos secuencales. La Fgura 6 presenta gráfcamente el modelo maestro-esclavo. AG Maestro Seleccón (panmíctca Dstrbucón Comuncacón Comuncacón AG Esclavo AG Esclavo AG Esclavo N Recombnacón Mutacón Evaluacón Recombnacón Mutacón Evaluacón... Recombnacón Mutacón Evaluacón Fgura 6: Algortmo Evolutvo Paralelo Modelo Maestro-Esclavo. 5

6 peas de poblacón dstrbuda, que trabajan con un conjunto de subpoblacones ndependentes (slas con la lmtacón de que las nteraccones solamente son posbles entre ndvduos de la msma sla. Un operador adconal llamado mgracón posblta ntercambos ocasonales de ndvduos entre slas, ntroducendo una nueva fuente de dversdad. La Fgura 7 presenta gráfcamente el modelo de poblacón dstrbuda. AG Isla Poblacón Operadores AG Isla Poblacón Operadores Comuncacón de acuerdo a topología de nterconeón AG Isla Poblacón Operadores AG Isla N Poblacón N Operadores Fgura 7: Algortmo Evolutvo Paralelo Modelo de Poblacón Dstrbuda. peas celulares, caracterzados por poseer una estructura espacal subyacente a la poblacón y por su modelo especal de propagacón de característcas de ndvduos, denomnado dfusón, que sgue las dreccones defndas por la topología de nterconeón de elementos de procesamento. La Fgura 8 presenta gráfcamente el modelo celular. I I... I M I I... IM Comuncacón restrngda a Elementos de Procesamento adyacentes I N I N... I NM Fgura 8: Algortmo Evolutvo Paralelo Modelo Celular. Estos modelos tenen dferentes varantes, y esten modelos híbrdos que combnan las característcas de dos o más de los modelos de la categorzacón general presentada. En la últma década, los modelos paralelos de EAs se han popularzado por su efcenca computaconal y aplcabldad para la resolucón de varados problemas en dversas áreas como ndustra, economía, telecomuncacones, bonformátca y otras (Alba y Tomassn, 00. E. Algortmos Evolutvos Paralelos para Optmzacón Multobjetvo De acuerdo al teto referenca (Coello et al., 00 el número de propuestas de aplcacón de paralelsmo en el campo de MOEAs es muy bajo, y el alcance de las propuestas es bastante restrngdo. La referenca nmedata sobre paralelsmo aplcado a MOEAs la consttuye el artículo de Veldhuzen et al. (003 donde los autores eponen las prncpales consderacones de dseño, mplementacón y testeo de algortmos evolutvos paralelos para optmzacón multobjetvo. 6

7 Esten úncamente tres referencas a propuestas de aplcacón de paralelsmo a varantes del algortmo NSGA. Dos de ellas se concentraron en dseñar versones paralelas dentro del modelo maestro-esclavo en el área de fludodnámca, concretamente en problemas de dseño de perfles aerodnámcos. La tercera propuesta corresponde al propo creador del algortmo quen propuso un modelo de poblacones dstrbudas. La prmera referenca corresponde a Mäknen et al. (996 quenes propuseron un modelo paralelo maestroesclavo que les permtera evaluar efcentemente costosas funcones de ftness en un problema de dseño de perfles aerodnámcos en dos dmensones. Los autores modfcaron el algortmo NSGA orgnal, susttuyendo la seleccón medante ruleta por seleccón medante torneo y modfcando el mecansmo tradconal de sharng por una varante denomnada tournament slot sharng, que fja al parámetro un valor relatvo a un slot del torneo. Adconalmente, ntrodujeron un mecansmo de evolucón eltsta, perpetuando los ndvduos no domnados en cada generacón. El algortmo fue mplementado utlzando la bbloteca MPICH de pasaje de mensajes. Las ejecucones reportadas sobre un IBM SP de 8 procesadores modelo 390 presentan buenos valores de efcenca, aunque el costo total de ejecucón de una optmzacón resulta, aún para el modelo paralelo, ecesvamente alto. Por otra parte, Marco et al. (999, propuseron aplcar una estratega de paralelsmo en dos nveles para abordar un problema smlar, de dseño de perfles aerodnámcos. La estratega de paralelsmo aplcada al algortmo NSGA corresponde a la dstrbucón de la evaluacón de funcones de ftness cálculo de flujos Euleranos. Los autores reportan haber utlzado un equpo SGI Orgn 000 con procesadores R0000 a 95 Mhz, y trabajando con 8 procesadores obtener un tempo razonable para la resolucón del problema de dseño abordado, pero no se realzan comparacones de efcenca contra modelos serales. Un últmo enfoque lo consttuye la propuesta de domnanca guada por dstrbucón de Deb et al. (00, que plantea una búsqueda concurrente medante dvsón de domno. Los autores proponen métodos para guar la búsqueda a dferentes seccones del frente de Pareto ntroducendo una transformacón de los objetvos a través de una suma ponderada, que modfca el concepto de domnanca posbltando que dferentes procesos se enfoquen en dferentes regones de búsqueda. Para posbltar la cooperacón entre procesos, se plantea la necesdad de ntroducr un operador de mgracón. Se reportan buenos resultados en lo referente a cobertura del frente de Pareto, y muy buenos resultados respecto a la efcenca, logrando speedup superlneal en el conjunto de problemas de prueba estudados. Las técncas de procesamento paralelo han sdo aplcadas a otros MOEAs, pero hasta el momento de la redaccón de este artículo (dcembre de 003 los artículos referentes al tema no superan los 40 (Coello, 003, ponendo de manfesto la escasa atencón que ha susctado esta área a los nvestgadores. Este hecho presenta como muy promsora la nvestgacón y el desarrollo de versones paralelas de MOEAs y su uso para resolver problemas con aplcacón en la vda real. IV. UNA VERSIÓN PARALELA DEL ALGORITMO NSGA-II La dea prncpal detrás de este trabajo consstó en aplcar un modelo de paralelsmo al algortmo NSGA-II, basado en la propuesta de smplfcar al mámo posble el dseño del algortmo paralelo. El modelo dseñado aplca el paralelsmo trabajando con subpoblacones sem-ndependentes e ntroducendo un operador de mgracón, que consstó en la únca modfcacón sgnfcatva realzada sobre el mecansmo evolutvo de la versón seral del algortmo NSGA-II. Este capítulo presenta los detalles de dseño e mplementacón de la versón paralela propuesta, desarrollada sobre el propo códgo del algortmo NSGA-II dsponble públcamente en la págna web del Kanpur Genetc Algorthm Laboratory ( A. Modelo de paralelsmo Se propuso trabajar sobre el modelo de subpoblacones sem-ndependentes, tambén conocdo como modelo de slas, cuyo esquema aplcado a un algortmo evolutvo multobjetvo se presenta en la Fgura 9. Emgrantes denota al conjunto de ndvduos a ntercambar con otra sla, selecconados de acuerdo a una polítca determnada por SelecconMgracon, eventualmente dferente de la utlzada para selecconar ndvduos para el proceso de reproduccón. El operador Mgracón ntercamba los ndvduos entre slas de acuerdo a un grafo de conectvdad defndo entre ellos, generalmente un anllo undrecconal. La CondconMgracon determna cuándo se lleva a cabo el ntercambo de ndvduos. Los ndvduos Inmgrantes son nsertados en la poblacón destno, reemplazando a ndvduos locales de acuerdo a una polítca de reemplazo determnada. 7

8 Incalzar(P(0 generacon = 0 Evaluar(P(0 mentras (no CrteroParada hacer Operador de dversdad(p(generacon Asgnar ftness(p(generacon Padres = Seleccon(P(generacon Hjos = Operadores de Reproduccon(Padres NuevaPop = Reemplazar(Hjos, P(generacon generacon ++ P(gener = NuevaPop S (CondconMgracon Emgrantes = SelecconMgracon(P(generacon Inmgrantes = Mgracon(Emgrantes Insertar(Inmgrantes, P(generacon retornar Mejor Solucon Hallada Fgura 9: Esquema de un Algortmo Evolutvo Paralelo Multobjetvo de Poblacón Dstrbuda. Sguendo el esquema presentado se defnó un operador de mgracón para comuncar asncróncamente los procesos que evoluconan en paralelo. Se adoptó una topología de mgracón consderando a los procesos conectados en un anllo undrecconal. La evolucón de cada subpoblacón fnalza al alcanzar la condcón determnada por el crtero de parada. En ese momento, cada sla envía la totaldad del frente de ndvduos no domnados de su poblacón a una sla dstnguda que actúa como receptora de los ndvduos no domnados del resto de las slas. De ser necesaro, la sla receptora aumenta dnámcamente el tamaño de su poblacón y aplca el proceso evolutvo durante un pequeño número de generacones etra, potencando al algortmo dstrbudo con una nteraccón panmíctca que permte mejorar la convergenca aumentando el número de puntos no domnados globales y tambén mejorar la dstrbucón, al aplcar el mecansmo de seleccón guada medante la dstanca de crowdng sobre la poblacón global del algortmo. El número de generacones de nteraccón panmíctca es un parámetro del modelo paralelo mplementado, sugréndose utlzar en general un valor reducdo para mantener las característcas del modelo dstrbudo. Como se comentará en el Capítulo VI, se realzaron epermentos no formalzados para estudar la convenenca del uso de la nteraccón panmíctca y la mejora obtenda al varar el número de generacones durante la cual se aplca, concluyéndose que con un número reducdo de generacones es posble lograr sgnfcatvas mejoras en el número de puntos no domnados. La mplementacón del modelo de paralelsmo se realzó sobre la versón. de la mplementacón MPICH de la bbloteca de desarrollo de programas paralelos y dstrbudos MPI (MPI Forum, 003. B. Operadores Para el dseño de los operadores nvolucrados en el proceso de mgracón, se sgueron las sugerencas de Veldhuzen et al. (003. Se adoptó una estratega de seleccón eltsta aleatora para la eleccón de ndvduos emgrantes, lo que mplca que se selecconen al azar un conjunto de ndvduos no domnados, de cardnaldad gual a un certo porcentaje del tamaño de la poblacón. El tamaño del conjunto de emgrantes se especfca como parámetro del algortmo, pero la dea es utlzar valores pequeños para este parámetro. Medante el uso de esta estratega de eleccón de emgrantes se ntenta obtener una presón selectva "relatvamente alta" tratando de lograr un compromso que permta a las subpoblacones evoluconar de modo sem-ndependente, evtando convergenca haca el msmo conjunto de puntos no domnados, pero permtendo la cooperacón entre subpoblacones, determnada por el ntercambo ocasonal de un conjunto reducdos de ndvduos ben adaptados para la resolucón del problema. Respecto a la polítca de reemplazo, se sguó nuevamente una estratega eltsta, que consste en reemplazar los ndvduos domnados de la poblacón destno por los nmgrantes arrbados. De este modo se trata de mantener los ndvduos no domnados hallados en el proceso de búsqueda de la subpoblacón destno, tratando de obtener una mejor convergenca haca el frente de Pareto. Tomando en cuenta que para problemas contnuos "sencllos" las subpoblacones obtenen rápdamente un conjunto de puntos no domnados que abarca el total de la poblacón, se mplementó una segunda estratega de reemplazo a aplcar en estos casos. Esta polítca de reemplazo utlza como crtero la dstanca de crowdng calculada por el algortmo, elmnando ndvduos con valores de dstanca de crowdng pequeños, consderando que estrán otros ndvduos representatvos de esa seccón del espaco fenotípco. 8

9 Los mecansmos de mgracón se ejecutan asncróncamente, ya que las operacones de envío y recepcón de ndvduos no bloquean la ejecucón del algortmo, posbltando que contnúe la evolucón en cada subpoblacón. De acuerdo a la capacdad de procesamento de los procesos, el ntercambo podrá realzarse en dferentes generacones en las dstntas subpoblacones. C. Otras modfcacones No se realzaron otras modfcacones sgnfcatvas a la estructura algorítmca del NSGA-II, más allá de las comentadas en la seccón anteror. Fue necesaro modfcar la operatva de acceso a memora secundara, en especal la lectura y escrtura de archvos de parámetros y de reportes. Se constató que los múltples accesos a archvos de reportes nfluyen sgnfcatvamente en la efcenca del algortmo seral y afectan negatvamente los tempos de ejecucón de la versón paralela, en especal cuando se utlza una nfraestructura dstrbuda compuesta por equpos conectados medante una red de área local, donde el acceso a archvos sea vía NFS. Para evtar este nconvenente y obtener una comparacón justa de tempos de ejecucón de los algortmos, se elmnaron los reportes ntermedos del algortmo, mantenendo úncamente el reporte fnal. S fuera necesaro obtener datos ntermedos de la evolucón, es posble reportarlos a archvos locales a los equpos donde se ejecuta cada uno de los procesos. V. PROBLEMAS DE PRUEBA Un amplo número de problemas han sdo propuestos para evaluar el desempeño de las versones secuencales de MOEAs. Estos conjuntos de problemas se han aplcado tambén a la evaluacón de modelos paralelos, etendéndose al análss de la efcenca computaconal. Esta seccón presenta el conjunto de problemas de prueba y las métrcas utlzadas para evaluar la caldad de las solucones obtendas y la efcenca computaconal de la versón paralela del algortmo NSGA-II dseñada. A. Problemas de Prueba El conjunto de problemas de prueba ntentó abarcar una ampla gama de característcas. En general se trabajó con problemas de dos objetvos que corresponden a funcones contnuas aunque se ncluyeron casos con más objetvos y casos con funcones dscretas. Se trabajó con problemas con frentes de Pareto conveos y cóncavos, conectados y desconectados, problemas con seudofrentes y dferentes dstrbucones de puntos en el frente de Pareto real. Asmsmo, se consderaron problemas con restrccones y problemas con más de dos funcones objetvo. Los problemas consderados se descrben a contnuacón. Problemas de Ztzler-Deb-Thele Ztzler, Deb y Thele (000 dseñaron un conjunto de problemas sguendo los lneamentos presentados por Deb (999 para el desarrollo sstemátco de nstancas de problemas de dferente complejdad para evaluar MOEAs. Estos problemas tenen varadas característcas, pero la prncpal motvacón de su uso la consttuye el hecho de poseer frentes de Pareto calculables analítcamente, lo cual permte evaluar de forma precsa la caldad de solucones obtendas por un algortmo. Los ses problemas del estudo menconado se generan a partr de la formulacón genérca presentada en la Fgura 0. Esta formulacón se lga con un proceso constructvo que permte afectar dferentes característcas de los problemas dseñados medante la manpulacón de las funcones nvolucradas (f, h y g. Mnmzar Mnmzar f ( f ( f ( g (,,..., k k, k,..., n. h ( f, g Fgura 0: Formulacón genérca de los problemas ZDT La tabla presenta los ses problemas del conjunto de prueba, ndcando su denomnacón, número de varables y su domno y especfcando las dferentes nstancas de las funcones f, f y g correspondentes a la formulacón general que defnen cada problema. 9

10 Nombre N Domno Funcones f, f Funcón g( ZDT 30 0, ZDT 30 0, ZDT3 30 0, f f g( / g( f f g(.( ( / g f f g(.( / g ( / gsn(0 9 N N 9 N N 9 N N ZDT4 0 0, 5,5 f,... n f g( / g( N 0( N ( 0 cos(4 ZDT5 booleana 30 bts 5 bts para > ZDT6 0 0, f f u( g / ( f u( número de "s" en u( v( u( 4 6 f e sn (4 s u( 5 s u( 5 f g(.( ( f( / g( Tabla : Problemas ZDT N N v( u( 9(( /( N El problema ZDT tene 30 varables en el rango [0,]. Su frente de Pareto es conveo, y está determnado * por 0 y * 0, para =,, 30. Es el problema más sencllo del conjunto, tene un frente de Pareto contnuo y una dstrbucón unforme de solucones a lo largo del frente. El problema ZDT tene 30 varables en el rango [0,]. Su frente de Pareto es no conveo, y está * determnado por 0 y * 0, para =,, 30. La dstrbucón de solucones a lo largo del frente de Pareto es unforme. El problema ZDT3 tene 30 varables en el rango [0,]. Su frente de Pareto es dscontnuo, y está determnado por * * 0 para =,, 30 (no todos los puntos que verfcan 0 pertenecen al frente. La dstrbucón de solucones a lo largo del frente es unforme. El problema ZDT4 tene 0 varables en el rango [0,]. Su frente de Pareto es conveo, y está determnado * por 0 y * 0, para =,, 0. La complejdad de este problema está dada por la estenca de 00 frentes de Pareto locales en el espaco de solucones. El problema ZDT5 utlza funcones booleanas defndas sobre strngs. El frente de Pareto corresponde a los * que hacen mínmo el valor de g, dado por g( * = 0. Consttuye un caso de problema deceptvo ya que la forma de la funcón aular v determna que la mayor parte del espaco de búsqueda se concentra cerca de óptmos locales, mentras que el óptmo global se halla relatvamente aslado. El problema ZDT6 tene 0 varables en el rango [0,]. Su frente de Pareto es no conveo, y está determnado * por 0 y * 0, para =,, 0. La complejdad de este problema está dada por la combnacón de la forma no convea del frente de Pareto y la dstrbucón no unforme de solucones a lo largo de él

11 Problemas de Schaffer Aunque de complejdad muy reducda, los problemas de Schaffer han sdo abordados amplamente por la comundad de MOEAs. Su mportanca es más que nada hstórca, ya que fueron ntroducdos en el prmer artículo donde se presentó un MOEA (Schaffer, 984. Hemos ncludo estos smples problemas de prueba, aún conocendo que no proponen retos sgnfcatvos para los algortmos actuales. La Tabla presenta la formulacón de los problemas de Schaffer. Nombre N Domno Planteo del problema SCH A, A Mnmzar f ( SCH 5,0 Mnmzar f ( ( Mnmzar f ( 4 4 s s 3 s 3 4 s 4 Mnmzar f ( ( Tabla : Problemas de Schaffer Ambos problemas tenen una formulacón senclla, utlzando una únca varable de decsón. El problema * SCH tene un frente de Pareto conveo dado por la ecuacón (, para 0 * 4. El problema SCH tene un frente de Pareto dscontnuo, compuesto por dos seccones correspondentes a los ntervalos * y 4 * 5 para la varable de decsón. Problema de Kursawe Kursawe (99 presentó un problema de dos objetvos con frente de Pareto dscontnuo, formada por tres regones no conveas, cuya formulacón se ofrece en la Tabla 3. Nombre N Domno Planteo del problema KUR 3 5,5 Mnmzar Mnmzar f ( f ( 3 0. ep( 0.8 Tabla 3: Problema de Kursawe 0. 5 sn( Este problema no tene una epresón analítca smple para su frente de Pareto. Problema smple con restrccones de Deb Deb (00 presenta en su teto un problema de dos objetvos para ejemplfcar el tratamento de restrccones por parte de los MOEAs, cuya formulacón se ofrece en la Tabla 4. Nombre N Domno Planteo del problema CEX 0., 0,5 Mnmzar Mnmzar sujeto a f ( f g ( g ( ( Tabla 4: Problema con restrccones de Deb Parte del frente de Pareto del problema sn restrccones queda dentro de la regón de solucones no factbles al ntroducr las restrccones. Adconalmente, una nueva regón de óptmos de Pareto surge como consecuenca de las restrccones.

12 Problema de Bnh y Korn El problema utlzado por Bnh y Korn (997 corresponde tambén a una optmzacón con restrccones, cuya formulacón se presenta en la Tabla 5. Nombre N Domno Planteo del problema BNH 0,5 0, ( 8 ( ( g 5 5 ( ( g a sujeto 5 ( 5 ( ( Mnmzar 4 4 ( Mnmzar f f Tabla 5: Problema de Bnh y Korn La restrccón g ( es redundante ya que no restrnge el domno de solucones, mentras que la restrccón g ( reduce la densdad de solucones en una seccón del espaco de funcones objetvo. La forma y la contnudad del frente de Pareto no son afectadas por la ntroduccón de las restrccones. Problemas de Vennet Vennet et al. (996 presentaron un conjunto de problemas con tres funcones objetvo, de las cuales en este trabajo se consderan los dos problemas cuya formulacón se ofrece en la Tabla 6. Nombre N Domno Planteo del problema VNT 4, ( g 0 ( g a sujeto ( Mnmzar ( Mnmzar 3 3 ( Mnmzar 3 f f f VNT3 3, ( g 0 ( g a sujeto. ( ( Mnmzar ( Mnmzar sn( ( ( Mnmzar ( 3 e f f f Tabla 6: Problemas de Vennet B. Métrcas de desempeño y efcenca Una varada gama de métrcas han sdo propuestas para evaluar la caldad de los resultados por los MOEAs en los tetos de referenca (Coello et al, 00; Deb, 00. En general las métrcas evalúan el desempeño de los algortmos en el espaco de fenotpos, como consecuenca de que la mayoría de los algortmos se enfocan en hallar el verdadero frente de Pareto en la resolucón de problemas. En este trabajo hemos utlzado cuatro métrcas para evaluar la caldad de los resultados de la versón paralela del algortmo NSGA-II, comparatvamente con los resultados de la varante seral. Se han tomado en cuenta los dos propóstos generales de los MOEAs, la convergenca al frente de Pareto y la dstrbucón de puntos no domnados en el frente de Pareto calculado por el algortmo.

13 Debe tenerse en mente que la evaluacón comparatva de resultados entre MOEAs es un tema complejo. Para enfocar este asunto se presenta el sguente ejemplo, tomado de Deb (00. En un escenaro como el presentado en la Fgura es posble conclur que el algortmo A supera en caldad de resultados al algortmo B, al mostrar en sus resultados fnales mejor convergenca al frente de Pareto y apromadamente la msma dversdad. Pero en una stuacón más confusa como la que se presenta en la Fgura, las conclusones no pueden ser formuladas lgeramente. Algunos puntos del algortmo A domnan a los resultados fnales del algortmo B, mentras que otros son domnados. La determnacón de cual algortmo es "mejor" que el otro dependerá de la defncón eacta de las métrcas utlzadas. Asmsmo, la naturaleza no determnístca de los EAs hace necesaro realzar estudos estadístcos sobre un número consderable de ejecucones ndependentes para tomar decsones sobre la superordad de un algortmo sobre otro en térmnos de caldad de solucones obtendas. f B A A B A3 B3 B4 A4 B5 A5 Algortmo A Algortmo B Fgura : El algortmo A obtene mejores resultados que el algortmo B. f f B A A B A3 B3 A4 B4 B5 A5 Algortmo A Algortmo B Fgura : Los resultados de los algortmos A y B son dfícles de comparar. Adconalmente, para evaluar la efcenca computaconal, se decdó utlzar un crtero habtual en el área de la computacón paralela: medr los tempos de ejecucón del algortmo paralelo y calcular el speedup obtendo al utlzar un determnado número de procesadores en la resolucón de los problemas presentados. A contnuacón se presentan las métrcas utlzadas para evaluar la caldad de las solucones obtendas y la efcenca computaconal de los algortmos. Número de puntos no domnados Esta métrca evalúa la cantdad efectva de puntos no domnados dferentes que halla el algortmo NSGA-II. Dado que no se ntroducen restrccones para la cantdad de ndvduos déntcos en la poblacón, es necesaro tomar en cuenta esta medda para evaluar adecuadamente el tamaño de puntos no domnados obtendos en la poblacón fnal. En la presentacón de las restantes métrcas ser referencará al número de puntos no domnados dferentes al cual notaremos por q. f 3

14 Dstanca generaconal Esta métrca calcula la dstanca promedo entre los puntos del frente de Pareto calculado por el algortmo y el frente de Pareto verdadero. La Ecuacón presenta la formulacón de esta métrca, ntroducda por Veldhuzen y Lamont (999. En la ecuacón, el térmno GD q q p d Ecuacón : Defncón de la métrca dstanca generaconal. d p p denota a la dstanca entre la solucón -ésma del frente de Pareto calculado por el algortmo y el punto del frente de Pareto verdadero más prómo. Por ejemplo, para el caso p =, corresponde a la dstanca Eucldeana d p mn j M k ( f k f * j k, donde fk y j f * k ndcan el valor de la k-ésma funcón objetvo evaluada en la solucón -ésma del frente de Pareto calculado por el algortmo y en el punto j-ésmo (sendo éste el el más cercano a la solucón -ésma del frente de Pareto real. Spacng La métrca spacng evalúa la dstrbucón de puntos no domnados en el frente de Pareto calculado por el algortmo. La Ecuacón presenta la defncón de la métrca utlzada, orgnal de Schott (995 y reproducda en los tetos de referenca (Coello et al, 00 (Deb, 00. Spacng q q ( d Ecuacón : Defncón de la métrca spacng. En la Ecuacón, el térmno d mde la dstanca en el espaco de las funcones objetvo entre la solucón - ésma y su vecno más prómo la solucón j-ésma en el frente de Pareto calculado por el algortmo: j j j d mn j ( f ( f ( f ( f (... fm ( f M (,,..., q. El valor d corresponde al promedo de los d. Un valor deal de cero en esta métrca ndcaría que todos los puntos obtendos en el frente de Pareto calculado por el algortmo están gualmente espacados. La fgura 3 presenta una descrpcón gráfca de las dstancas nvolucradas en el cálculo de la métrca spacng. f d d,d d3 3 d4 4 Fgura 3: Dstancas nvolucradas en el cálculo de la métrca spacng f 4

15 Spread La métrca spacng evalúa la dstrbucón de puntos en el frente de Pareto calculado, pero puede no dar una dea certera de la cobertura de las solucones, ya que no utlza nformacón adconal sobre el frente de Pareto real. La métrca spread, presentada por Deb et al. (000, propone utlzar como nformacón adconal la dstanca a los "etremos" (puntos con menores valores en cada una de las funcones objetvo del frente de Pareto real para tener una medda más precsa de la cobertura del frente. Tomando en cuenta los "etremos" del frente de Pareto real se evta el problema comentado de la métrca spacng, que podría dar buenos valores de dstrbucón, aún cuando en realdad no se estuvera muestreando adecuadamente el frente real. La Ecuacón 3 ofrece la defncón de la métrca spread. En la ecuacón 3, el térmno Spread M k d e k M k d e k q d d q. d Ecuacón 3 : Defncón de la métrca spread. e dk mde la dstanca entre el punto "etremo" del frente de Pareto real, tomando en cuanta la funcón objetvo k-ésma, y el punto del frente de Pareto calculado más cercano. El térmno corresponde a una medda de la dstanca, en el espaco de las funcones objetvo, entre la solucón -ésma del frente de Pareto calculado y su vecno más cercano. El valor d corresponde al promedo de los d. La fgura 4 presenta una descrpcón gráfca de las dstancas nvolucradas en el cálculo de la métrca spread. Los etremos del frente de Pareto se han marcado con círculos para su mejor vsualzacón. d f Etremo del frente de Pareto de d d 3 d3 4 de Etremo del frente de Pareto Speedup y efcenca Fgura 4: Dstancas nvolucradas en el cálculo de la métrca spread. La sguente defncón de speedup en el conteto de Algortmos Evolutvos Paralelos puede encontrarse en el artículo de Alba (00 que se ha tomado como referenca. El speedup mde la relacón entre el tempo medo de ejecucón del algortmo ejecutando sobre un procesador y el tempo medo de ejecucón del algortmo ejecutando sobre m procesadores. Corresponde a la epresón de la Ecuacón 4, donde se ha notado por T m el tempo de ejecucón de un algortmo ejecutando sobre m procesadores. La ntroduccón de los valores medos obedece a la naturaleza no determnístca de los tempos de ejecucón de programas paralelos. E T Speedupm E T m f Ecuacón 4: Defncón de speedup. 5

16 Esta medda evalúa que tan efcente resulta el algortmo paralelo cuando se dspone de m recursos computaconales, referente a la efcenca del algortmo seral y tomando como medda el tempo de ejecucón de los procesos. Utlzando esta defncón, se dstngue entre los casos de speedup sublneal (Speedup m < m y speedup superlneal (Speedup m > m. En problemas vnculados a otras áreas de nvestgacón, uno de los objetvos prncpales al aplcar técncas de procesamento paralelo lo consttuye el alcanzar valores cercanos al speedup lneal, propuesto generalmente como una cota superor para la efcenca. En el área de los algortmos evolutvos, la naturaleza de los modelos y las característcas de las plataforma de ejecucón hacen frecuente el alcanzar valores de speedup superlneal, tal como se epone en Alba (00. Consderando la clasfcacón presentada en el artículo de referenca menconado anterormente, en este trabajo se utlza una versón de speedup algorítmco débl, tomando en cuenta que se comparan los tempos de ejecucón del algortmo paralelo contra los de su versón seral. La medda de efcenca normalza el valor del speedup a un porcentaje, correspondendo el valor 00% al speedup lneal, de acuerdo a la epresón de la Ecuacón 5. Speedup Efcenca m m.00% Ecuacón 5 : Defncón de efcenca. VI. RESULTADOS Esta seccón presenta los detalles de los epermentos comparatvos realzados para evaluar la versón paralela dseñada, los resultados obtendos y su análss. Para cada uno de los problemas presentados en la seccón precedente se realzaron 30 ejecucones ndependentes de las versones paralela y seral del algortmo NSGA-II y se evaluaron comparatvamente los resultados obtendos consderando las métrcas de promdad al frente de Pareto, dversdad de solucones y efcenca computaconal presentadas. A. Plataforma de ejecucón Sguendo las sugerencas de Veldhuzen et al. (003, la Tabla 7 presenta los parámetros relevantes de la plataforma de ejecucón utlzada, en un ntento por ofrecer una descrpcón formal del equpamento que permta una comparacón adecuada con futuros epermentos de aplcacón de pmoeas a algunos de los problemas estudados en este trabajo. Característca Computador paralelo CPU Descrpcón Cluster Intel Pentum IV a.4 GHz Nodos Dsponbles : 6, utlzados : 4 y 8 Memora por nodo 5 Mb RAM Sstema Operatvo SuSE Lnu 8.0 Red de Comuncacón B. Ajuste de operadores y parámetros LAN Fast Ethernet a 00Mb/sec. Bbloteca de desarrollo MPI, mplementacón MPICH v. Tabla 7: Característcas de la plataforma de ejecucón. No se realzaron epermentos con el objetvo de hallar una confguracón óptma de valores de los parámetros del algortmo seral para cada problema. El alto número de problemas de prueba y la gran cantdad de nstancas requerdas para estmar los mejores valores mpderon realzar el estudo paramétrco. Tampoco se realzaron pruebas para determnar la nfluenca de utlzar un determnado operador en aquellos casos en que esten alternatvas (como en el caso de cruzamento smple contra cruzamento unforme, por ejemplo, utlzándose cruzamento y mutacón smple en cada caso. Los resultados que se presentan fueron obtendos con la confguracón de parámetros que se ofrecen en la Tabla 8. Los valores de probabldad fueron tomados de Deb et al. (000 quen los utlza para la resolucón de 5 problemas ZDT y problemas con restrccones, entre otros. Aún tomando en cuenta que la confguracón paramétrca escogda evdentemente no es la adecuada para obtener los mejores resultados para todos los problemas consderados, en caso de que los parámetros nfluyan en el mecansmo de búsqueda lo harán tanto en el modelo secuencal como en el paralelo, sn afectar de sobremanera el estudo comparatvo. 6

17 Se defnó un crtero de parada basado en especfcar un esfuerzo prefjado, determnado por un número de generacones. Se trabajó con dos valores elevados para el tope, fjados en 00 y 500 generacones, tratando de dar al algortmo una potente capacdad de búsqueda. Respecto al tamaño de las poblacones utlzadas, ncalmente se propuso trabajar con un tamaño de 00 ndvduos, valor sugerdo en Deb et al. (000. Tomando en cuenta la escasa complejdad de las funcones objetvo de los problemas consderados, se realzaron luego ejecucones con poblacones de 400 ndvduos para poder aprecar la capacdad del modelo paralelo de mejorar la efcenca computaconal. Parámetro Valor Probabldad de cruzamento 0.9 /N ó /L sendo N el número de varables en Probabldad de mutacón problema con codfcacón real y L el largo de strng en problema con codfcacón bnara Índce de dstrbucón para cruzamento real 0 Índce de dstrbucón para mutacón real 0 Número de generacones utlzadas como Tamaño crtero de de la parada poblacón 00 y 500 generacones 00 y 400 ndvduos Parámetros Adconales para la Versón Paralela Número de subpoblacones utlzadas 4 Frecuenca de mgracón 5 generacones Indvduos partcpantes en la mgracón Topología de mgracón 5 ndvduos Anllo undrecconal Número de generacones de nteraccón 0 generacones panmíctca Tabla 8: Parámetros utlzados. Se realzaron epermentos no formalzados para determnar valores adecuados para los parámetros del modelo de mgracón, utlzando los problemas ZDT y ZDT. Se observó que, tomando en cuenta la escasa complejdad de los problemas nvolucrados, la sensbldad de los resultados respecto a varacones en los parámetros no era sgnfcatva. Se decdó utlzar un valor alto para la frecuenca de mgracón (5 generacones y un valor pequeño para el número de ndvduos ntercambados en cada mgracón (5 ndvduos. Dsmnuyendo la frecuenca de mgracón o ncrementando el número de ndvduos partcpantes en cada mgracón, la versón dstrbuda tendría un comportamento cada vez más parecdo al modelo panmíctco seral, stuacón que se ntentó evtar. Por otra parte, se nvestgó la nfluenca del número de generacones de nteraccón panmíctca en los resultados, mostrando que un valor bajo de 0 generacones era sufcente para lograr un número de puntos no domnados smlar a la obtenda por el algortmo seral. C. Resultados La Tabla 9 resume los resultados obtendos por los modelos secuencal y paralelo del algortmo NSGA-II sobre los 4 problemas de prueba consderados. Se ofrecen los valores promedo y de desvacón estándar de las meddas tempo de ejecucón (en segundos, puntos no domnados dferentes hallados por cada algortmo, dstanca generaconal, spread y spacng. Los resultados presentados en la Tabla 9 corresponden a la ejecucón con una poblacón de 400 ndvduos y un crtero de parada de 500 generacones, valores de los parámetros que permten aprecar las ventajas del algortmo paralelo en lo referente al tempo de ejecucón. Como fue presentado en el capítulo precedente, el cálculo de la dstanca generaconal asume conocdo el frente de Pareto real para cada problema. En los casos de los problemas ZDT, que fueron dseñados para tener una epresón senclla del frente de Pareto, y para los problemas SCH, SCH, CEX y BNH donde este una epresón analítca para el frente de Pareto, se generó el msmo utlzando una dscretzacón de paso 0-5. Para el resto de los problemas, se utlzaron como valores deales del frente de Pareto los calculados por Nebro et al. (003 en el marco del proyecto ESaM (Enumeratve Search appled to Multobjectve optmzaton, donde se utlza una técnca ennumeratva smple basada en evaluar los puntos de un espaco dscretzado fnto. Del msmo modo se calcularon los etremos del frente de Pareto, necesaros para el cálculo de la métrca spread. En el Aneo I se presentan la totaldad de los resultados obtendos en cada una de las ejecucones realzadas. 7

18 Para el problema ZDT5 no se han calculado las métrcas de dversdad propuestas, tomado en cuenta las característcas del espaco de búsqueda, que se encuentra dscretzado en valores enteros de la funcón f. En este problema, la cantdad de puntos no domnados dferentes consttuye una medda de que tan ben se muestrean los 3 puntos del frente de Pareto dscreto. Problema Modelo Medda Tempo Puntos Dstanca Spread Spacng SCH Promedo Desv. Est Paralelo Promedo Desv. Est SCH Prom Desv. Est Paralelo Prom Desv. Est ZDT Promedo Desv. Est Paralelo Promedo Desv. Est E ZDT Promedo Desv. Est E Paralelo Promedo Desv. Est E ZDT3 Promedo Desv. Est E Paralelo Promedo Desv. Est E ZDT4 Promedo Desv. Est E Paralelo Promedo Desv. Est E ZDT5 Promedo Desv. Est Paralelo Promedo Desv. Est ZDT6 Promedo Desv. Est Paralelo Promedo Desv. Est KUR Promedo Desv. Est Paralelo Promedo Desv. Est CEX Promedo Desv. Est E Paralelo Promedo Desv. Est E BNH Promedo Desv. Est Paralelo Promedo Desv. Est VI Promedo Desv. Est Paralelo Promedo Desv. Est VI3 Promedo Desv. Est Paralelo Promedo Desv. Est Tabla 9: Resultados obtendos sobre los problemas de prueba. Como puede aprecarse en la Tabla 9, el algortmo paralelo obtuvo resultados de smlar caldad que el algortmo seral, tanto al evaluar la apromacón al frente de Pareto como la dversdad de las solucones fnales. Para el problema ZDT5 el algortmo paralelo alcanzó mejores valores de dstanca generaconal, mentras que para los problemas ZDT6 y KUR el algortmo paralelo alcanzó mejores valores de dstrbucón de puntos. Por otra parte, para el problema ZDT4 el algortmo paralelo alcanza un peor valor de dstanca generaconal que el algortmo seral. 8

19 La Tabla 0 presenta los resultados obtendos en epermentos realzados con menores valores de tamaño de poblacón (00 ndvduos y de número de generacones (00, para los problemas en que el algortmo paralelo mejoró los resultados del seral. Problema Modelo Medda Tempo Puntos Dstanca Spread Spacng ZDT5 Promedo Desv. Est Paralelo Promedo Desv. Est ZDT6 KUR Promedo Desv. Est Paralelo Promedo Desv. Est Promedo Desv. Est Paralelo Promedo Desv. Est Tabla 0: Resultados para los problemas donde la versón paralela obtuvo mejores resultados que la seral. Analzando la Tabla 0 puede aprecarse que el algortmo paralelo obtuvo una sgnfcatva mejora respecto al seral en cuanto a la dstanca generaconal para el problema ZDT5. El algortmo seral obtene para este problema el msmo conjunto de solucones no domnadas en las dferentes ejecucones, mostrando sempre el msmo valor de dstanca generaconal. El algortmo paralelo muestra una dversdad mayor, alcanzando un mayor número de puntos no domnados, que le permte dsmnur en un factor de 0 la dstanca promedo al Frente de Pareto. Una stuacón dferente se presenta en el problema ZDT6, donde ambas versones del algortmo obtenen el msmo número de puntos no domnados, pero con la versón paralela muestreando cas de forma "perfecta" el frente de Pareto. En lo referente al desempeño computaconal, la Tabla presenta los tempos de ejecucón (en segundos y los valores de speedup y efcenca obtendos para cada uno de los problemas abordados. SCH SCH ZDT ZDT ZDT3 ZDT4 ZDT5 ZDT6 KUR CEX BNH VI VI3 Modelo Tempo Tempo Paralelo Speedup Medda Efcenca Tabla : Evaluacón del desempeño. Analzando los valores de la Tabla, puede aprecarse la notora mejora en el desempeño obtendo al utlzar el algortmo paralelo para resolver los problemas utlzando 4 procesadores. Se obtuvo un speedup superlneal para todos los casos estudados, salvo en los problemas ZDT y ZDT5 donde el comportamento observado correspondó a un speedup lneal. Estos resultados confrman la argumentacón de Deb et al. (00 en su estudo sobre la estratega de paralelsmo por dvsón de domno aplcada sobre el algortmo NSGA-II, donde se reporta haber alcanzado valores de speedup superlneal, aunque no se presentan resultados numércos de la evaluacón de efcenca. 9

20 VII. APLICACIÓN AL DISEÑO DE REDES DE COMUNICACIONES CONFIABLES Al dseñar redes de comuncacones, un problema mportante consste en hallar una topología de coneón de sus nodos cuyas propedades aseguren la comuncacón confable de datos. En los últmos años, el rápdo desarrollo de la nfraestructura de redes, del software y de los servcos de Internet han renovado el nterés por los problemas de dseño de redes de comuncacones. Como consecuenca del contnuo crecmento en el tamaño de las redes, los problemas de optmzacón subyacentes sobrepasan con frecuenca la capacdad de los algortmos eactos tradconales. En este conteto, varas heurístcas se han aplcado al dseño de redes de comuncacones confables cuando se desea resolver problemas de dmensones reales en tempos razonables. Entre ellas, las técncas de computacón evolutva se han manfestado como métodos flebles y robustos para la solucón de los complejos problemas de optmzacón relaconados con el dseño de redes confables. Este capítulo presenta la aplcacón de la versón paralela del algortmo NSGA-II dseñada a la resolucón de una versón multobjetvo del Problema de Stener Generalzado, un problema de optmzacón combnatora que modela el dseño de redes de comuncacones de alta confabldad topológca. A. El Problema de Stener Generalzado Consderando una red de comuncacones con nodos dstngudos denomnados termnales, el Problema de Stener Generalzado (GSP consste en dseñar una subred de mínmo costo que verfque requstos prefjados de coneón entre pares de nodos termnales. Usualmente, la mnmzacón del costo de las coneones se contrapone con el objetvo de mamzar las propedades de confabldad de la red. Como ejemplo, un modelo que no agregue un mínmo nvel de redundanca de camnos conducrá a una topología de árbol para la red, poco útl en escenaros reales, ya que no es capaz de soportar fallos en sus componentes. El GSP ncorpora requstos adconales de conectvdad para garantzar la alta confabldad en las comuncacones que demandan los escenaros reales. La sguente formulacón del GSP se basa en la presentada en el compendo de problemas de optmzacón NP de Kahn y Crescenz (003. Consdérense los sguentes elementos: Un grafo no drgdo G = (V,E, sendo V el conjunto de nodos y E el conjunto de arstas que representan a los enlaces bdrecconales de comuncacón entre nodos. Una matrz de costos C asocados a las arstas del grafo G. Un subconjunto fjo del conjunto de nodos T V llamados nodos termnales, de cardnaldad n T = T, tal que n T n, sendo n = V la cardnaldad del conjunto de nodos V. Una matrz n T n T smétrca R = r j con,j T, cuyos elementos son enteros no negatvos que ndcan los requstos de conectvdad cantdad de camnos dsjuntos requerdos entre todo par de nodos termnales y j. El GSP plantea encontrar un subgrafo G T G de costo mínmo, tal que todo par de nodos,j T, sean r j arsta-coneos en G T, es decr que estan r j camnos dsjuntos, que no comparten arstas, entre los nodos y j en G T. Sobre los nodos no termnales no se plantean requstos de conectvdad. Éstos, llamados nodos de Stener, pueden formar parte o no de la solucón óptma, de acuerdo a la convenenca de utlzarlos. La formulacón presentada corresponde al modelo arsta coneo del GSP, donde se asumen que los enlaces de comuncacón pueden fallar, pero los nodos son perfectos. Una formulacón análoga este para la versón nodo conea del GSP, donde los nodos son susceptbles a fallas y por ello los dversos camnos entre cada para de nodos termnales deben ser dsjuntos respecto a los nodos que ncluyen. La complejdad del problema de Stener obedece a la generaldad de su planteamento, al egr requstos varables de conectvdad entre pares de nodos termnales. Certas varantes smplfcan estos requstos: la subclase de Problemas de k-coneón egen un número fjo k de camnos dsjuntos entre pares de nodos termnales. El caso más smple de problema de Stener ege sólo un camno entre pares de nodos; la solucón a este problema tene topología de árbol y por ello se conoce como Problema del Árbol de Stener. El GSP pertenece a la clase de problemas NP dfícles (Kahn y Crescenz, 003. El propo Problema del Árbol de Stener, que plantea las restrccones más smples, es NP-completo (Karp, 97; Garey y Johnson, 979. La complejdad de los problemas de Stener hace dfícl su resolucón medante algortmos eactos al aumentar el tamaño del problema. Por este motvo, se buscan alternatvas utlzando heurístcas que permtan abordar nstancas complejas y encontrar buenas solucones en tempos razonables. 0