5 Distribuciones Muestrales

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1 5 Dstrbucoes Muestrales. Itroduccó Al defr la estadístca se explcó que la probabldad se trabaja desde la poblacó haca la muestra, metras que la fereca estadístca se trabaja e setdo cotraro, es decr, de la muestra haca la poblacó. Por lo tato, para comezar co la fereca, ecestamos hacer u breve recueto del cocepto de poblacó y defr co clardad el cocepto de muestra aleatora. Ua poblacó represeta el estado de la aturaleza o la forma de las cosas co respecto a u feómeo aleatoro, el cual puede detfcarse a través de ua característca medble. Por ejemplo, el vel de colesterol e la sagre de ua persoa. Como la fereca estadístca se formula co base e ua muestra de elemetos de la poblacó de terés, el proceso por el cual se obtee la muestra será aquel que asegure ua buea muestra. Ua buea maera de escoger ua muestra resulta cuado el proceso de muestreo proporcoa a cada elemeto de la poblacó ua oportudad gual e depedete de ser cludo e la muestra. la poblacó costa de N elemetos y de éstos se toma ua muestra de tamaño, el proceso de muestreo debe asegurar que cada posble muestra de tamaño tega la msma posbldad de ser seleccoada. Este procedmeto coduce a lo que se deoma como muestreo aleatoro smple. La aturaleza de la formacó estadístca requere ua total mparcaldad e la seleccó de la muestra. Al extraer ua muestra aleatora debemos aalzar las característcas de la poblacó. Muchas veces ésta o costa de objetos tagbles a partr de los cuales se seleccoa u certo úmero para formar la muestra. La poblacó puede estar formada por u úmero fto de posbles resultados para algua característca de terés. ea esta característca, la cual puede estar defda por ua fucó de desdad f(x,, correspodete a la poblacó. Las sguetes so las formas de realzar el muestreo para esta poblacó: a e dseña u expermeto y se lleva a cabo para extraer la prmera observacó de la característca medble. El expermeto se repte bajo las msmas codcoes para extraer la seguda observacó. El proceso se cotúa de gual maera hasta obteer observacoes de la característca de terés {,,., }. Las observacoes se obtee a través de esayos depedetes que ocurre cada vez que el expermeto se repte bajo las msmas codcoes. Cada ua de las observacoes,,., es ua varable aleatora cuya dstrbucó de probabldad es détca a la de la poblacó. tuacó dferete ocurre cuado la seleccó se lleva a cabo de objetos tagbles de ua poblacó que costa de u úmero fto de elemetos. La característca medble puede ser u atrbuto o ua medcó cuattatva como la duracó de u servco. E este caso exste dos formas de tomar la muestra. b Después de llevar a cabo ua mezcla adecuada de cada uo de los elemetos de la poblacó, se extrae uo, se observa la característca medble. ea esta observacó. El elemeto se repoe a la poblacó, ésta vuelve a mezclarse y se extrae el segudo elemeto. El proceso se cotúa hasta que se obtega observacoes,,., de la característca. Este proceso se deoma muestreo co reemplazameto.. c Después de llevar a cabo ua mezcla adecuada de cada uo de los elemetos de la poblacó, se seleccoa elemetos uo después del otro, s reemplazo. Este proceso se deoma muestreo s reemplazameto. E el caso b cada ua de las observacoes,,., es ua varable aleatora cuya fucó de desdad es détca a la de la poblacó orgal. E el caso c las observacoes,,., so varables aleatoras cuyas dstrbucoes margales so guales a la de la poblacó. La dfereca etre estas dos téccas es el cocepto de depedeca. E el caso b las observacoes,,., costtuye u cojuto de varables aleatoras depedetes e détcamete dstrbudas, dado que por el proceso de reemplazo gua observacó se ve afectada por las demás. E el caso c las observacoes o so depedetes. E este capítulo presetaremos los elemetos requerdos para aalzar las dstrbucoes y los prcpales resultados obtedos cuado se toma ua muestra aleatora de ua poblacó fta, o de ua poblacó fta pero co reemplazameto. E u capítulo posteror presetaremos las téccas para aalzar los resultados obtedos al tomar ua muestra de ua poblacó fta, s reemplazameto.

2 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales Muestreo Proceso de toma de muestras, aálss y la obtecó de coclusoes. Muestra aleatora ea,,..., u cojuto de varables aleatoras depedetes e détcamete dstrbudas (d. e dce que,,..., forma ua muestra aleatora de tamaño - ma( Parámetro poblacoal Las característcas se refere a la formacó básca de terés sobre las udades muestreadas. e deoma parámetro al valor que toma ua característca de la poblacó. Por ejemplo: El verdadero porcetaje de votates a favor de determado caddato, la ressteca meda a la rotura de u evase, el porcetaje medo de defectuosos que da u proceso. Estos parámetros los deotaremos, por lo geeral, medate la letra grega. Geeralmete el objetvo de los estudos de muestreo es estmar uo o más parámetros de la poblacó. Geeralmete estos parámetros se refere o a la meda poblacoal, que deotaremos por µ, o a la proporcó poblacoal, que deotaremos por la letra. Estadístco T e deoma Estadístco T a cualquer fucó de la muestra aleatora, y que o depede de gú parámetro descoocdo. El estadístco lo deotaremos por T T t(,,, Ejemplos de estadístcos so la meda muestral, la proporcó muestral o la varaza muestral, etre otros. Los estadístcos so varables aleatoras, y como tales tee ua fucó de desdad. u fucó de desdad se deoma dstrbucó muestral.. Prcpales estadístcos.. Meda muestral La meda muestral se defe como: e supoe que la muestra aleatora provee de ua poblacó (fta o fta, caracterzada por los sguetes parámetros: E( µ y V( Alguas de las propedades de la meda muestral so: a Valor esperado: E( E( E E E( µ µ µ b Varaza muestral: V( V ( V V Como se trata de ua muestra aleatora compuesta por varables depedetes, etoces la varaza de ua suma es la suma de las varazas, por lo cual:

3 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 3 V V V ( ( ( dode V( V( porque las varables so détcamete dstrbudas. E resume se tee que: E ( µ y V( Recuérdese que la varaza es ua medda de la varabldad o dspersó de los datos alrededor de la meda. Ua varaza pequeña mplca ua alta probabldad de que la varable aleatora tome u valor cercao de la meda. Para u tamaño de muestra grade la varaza de la meda muestral V( es muy pequeña lo cual mplca que exste ua alta probabldad de que tome u valor muy cerca de su meda. Esto es parte de lo que se cooce como la Ley de los grades úmeros... Proporcó muestral P se toma ua muestra aleatora,,...,, dode cada toma los valores 0 ó, (por ejemplo, cero s la - ésma persoa o está de acuerdo co determada propuesta, y uo e caso de que lo este, ó cero s el - ésmo artículo es bueo y uo s es defectuoso, la proporcó muestral P se defe como: P La varable aleatora sgue ua dstrbucó de Beroull co parámetro. u valor esperado y su varaza está dados por E(, V ( ( - La varable aleatora p(x ( x x x, x 0,,,..., E(, V ( ( - Alguas de las propedades de la proporcó muestral P so: a Valor esperado: E(P tee ua dstrbucó bomal, cuyas prcpales característcas so: E(P E E E( b Varaza: V(P V (P V V Como se trata de ua muestra aleatora compuesta por varables depedetes, etoces la varaza de ua suma es la suma de las varazas, por lo cual:

4 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 4 ( ( ( V( V(x ( V dode V( V( (- porque las varables so détcamete dstrbudas. E resume se tee que: (P E, ( V(P.3. Varaza muestral La varaza muestral está defda como: x (x Para smplfcar los cálculos la varaza muestral puede calcularse como: ( ( ( A la raíz cuadrada postva de la varaza se la deoma desvacó estádar muestral, es decr: Propedades de la varaza muestral a Valor esperado E( E E E( ( ( E E ( E E( ( ( Como se vo aterormete, la varaza de ua varable aleatora puede expresarse e térmos de su segudo y prmer mometos como: V( E( [E(] Por lo cual el segudo mometo E( puede expresarse como: E( V( [E(] µ De gual maera el segudo mometo de la dstrbucó de la meda puede expresarse como:

5 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 5 E ( V( ( E( µ Por lo tato el valor esperado de la varaza E( puede expresarse como: µ µ µ µ E( ( ( e ha demostrado que el valor esperado de la varaza muestral es gual a la varaza poblacoal. Esa es la razó por la cual al calcular la varaza muestral se dvde por - y o por el tamaño de la muestra (, e cambo e el cálculo de la varaza poblacoal se dvde por el tamaño de la poblacó (N. b Varaza e puede demostrar que la varaza de la varaza muestral está dada por: 4 ( V >.4. Estadístcos de orde ea,,..., ua muestra aleatora de tamaño de varables depedetes e détcamete dstrbudas. Los valores de las varables correspode al orde e que fue tomada la muestra. upoga que la muestra aleatora se ordea de meor a mayor. ea ( la varable aleatora que ocupa el puesto e la muestra, dode ( correspode al meor valor, y ( al mayor valor de la muestra. Estas uevas varables aleatoras recbe el ombre de estadístcos de orde. { },,,..., { },,,..., ( M ( Max 3. Dstrbucoes Límtes 3.. Desgualdad de Chebyshev : Estadístco de orde : Estadístco de orde Teorema. ea ua varable aleatora co E( µ y varaza V(. ea ε cualquer úmero postvo, etoces P ( µ ε ε E muchas aplcacoes, el valor ε se expresa como múltplo de la desvacó estádar como k, etoces la desgualdad de Chebyshef se expresa como: P( µ k Cuado la varable de terés o es ua observacó dvdual so ua meda muestral, etoces el valor esperado está dado por E( µ y varaza V( /. E este caso la desgualdad de Chebyshev estará dada por: P ( P( k µ ε ε µ k x k Esto os dce que cuado es grade, la probabldad de que haya algua dfereca etre la verdadera meda µ y su estmador tede a cero, es decr, que cuado, etoces µ.

6 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 6 Ejemplo. e tee u lote grade de artículos y se desea estmar la fraccó defectuosa usado muestreo aleatoro smple. Usado la desgualdad de Chebyshev, se desea ecotrar el tamaño de muestra tal que la probabldad sea al meos del 95% de que la fraccó defectuosa dfera de la verdadera fraccó defectuosa e o más de La Ley de los Grades Números upoga que,,..., es ua secueca arbtrara de varables aleatoras co valores esperados E, E(,...,E(. upoga además que la varable aleatora tee varaza para cada valor de etero. Teorema. V 0 cuado y ε es u úmero postvo, etoces, P (E( ε 0 cuado o equvaletemete P ( E( <ε cuado Defcó. Ua secueca de varables aleatoras Z coverge e probabldad o coverge estocástcamete a ua costate "a" s para cada úmero postvo ε P( Z a ε 0 cuado mbólcamete: Z P a El teorema eucado aterormete puede escrbrse como: ( E( P 0 cuado El teorema ateror se le cooce como la Ley débl de los grades úmeros. Coloraro: es la meda muestral de ua ma( de ua poblacó ducda por ua varable aleatora co meda µ y varaza, y s ε>0, etoces P ó P { µ ε} { µ < ε} P 0 cuado ó µ cuado cuado Coclusó: la muestra es grade exste ua alta probabldad de que la meda muestral esté cerca de la meda poblacoal µ. Escogedo u tamaño de muestra sufcetemete grade podemos hacer que la probabldad de que la meda muestral teda a la meda poblacoal sea ta alta (ta cerca de uo como queramos Aplcacó a la Dstrbucó Bomal ea el resultado de u esayo de Beroull {0,}, (por ejemplo, la speccó de u artículo co P(, y P(0 q -. ea el úmero de éxtos (artículos defectuosos e los esayos de Beroull. El úmero medo de éxtos por esayo puede calcularse como:

7 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 7 Coloraro. (Teorema de Beroull. represeta el úmero de éxtos e esayos depedetes de u eveto co probabldad, y s ε > 0, etoces P ε 0 s cuado ó P < ε cuado P ó P cuado Coclusó: la muestra es grade exste ua alta probabldad de que la proporcó muestral P esté cerca de la verdadera proporcó poblacoal. Combacó leal de varables ormales Teorema. ea,,..., u cojuto de varables aleatoras dstrbudas ormalmete co valores esperados µ y varazas, para,,...,, etoces Y a se dstrbuye ormalmete co valores esperado µ µ y varaza, dode los a y a y a so valores costates. Ejemplo. Ua estacó de gasola vede tres clases de combustbles: Desel, gasola correte y gasola extra, a precos de $,00, $3,050 y $3,900 el galó, respectvamete. upoga que la catdad vedda daramete de cada tpo se dstrbuye ormalmete co medas 300, 500 y,000 galoes, y desvacoes estádares de 80, 50 y 00 galoes, respectvamete. e pde calcular: a El greso medo daro b La desvacó estádar c La probabldad de que el greso daro supere los 6 mlloes de pesos? Los 7? Los 8? 4. Dstrbucoes muestrales e deoma dstrbucó muestral a la fucó de desdad de u estadístco y esta fucó puede depeder o o de parámetros descoocdos. ea,,..., ua muestra aleatora de tamaño de varables depedetes e détcamete dstrbudas, co ua fucó de desdad f(x,, dode es u parámetro descoocdo (o u cojuto de parámetros. ea Θ el cojuto de todos los valores que puede tomar. ea I {f(x,, Θ} el cojuto que represeta la famla de todas las posbles fucoes de desdad obtedas para cualquer valor de. La fucó de desdad cojuta de la muestra aleatora,,..., está dada por: f,,..., (,,..., (, (,... (, (, x x x x x x f x f x f x f x Como las varables so détcamete dstrbudas, la fucó de desdad cojuta puede expresarse como:

8 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 8 f( x, x,..., x, f( x, Ejemplo. Beroull( ó B(, f(x x ( - -x x x x x ( x x f(,,...,, ( x Ejemplo: N(µ, Θ {, } µ,. f ( x e x, π ( µ / < x ( / / f( x, x,..., x, e xµ e (xµ π π 5. Teorema Cetral del Límte (Dstrbucó de la meda Importaca: El teorema cetral del límte (TCL os permte usar la dstrbucó ormal como la dstrbucó de las medas de muestras grades, s teresar cual sea la dstrbucó orgal de las varables aleatoras. Teorema. ea,,..., ua muestra aleatora de tamaño de varables depedetes e détcamete dstrbudas tomadas de ua poblacó fta, co meda µ y varaza, etoces la dstrbucó límte de µ Z / es la dstrbucó ormal estádar (0,, cuado, (depedete de la dstrbucó de,,...,. Otra forma de presetar el TCL es la sguete:,,..., es ua muestra aleatora de tamaño de varables depedetes e détcamete dstrbudas tomadas de ua poblacó fta, co meda µ y varaza, y s es la meda muestral, etoces su dstrbucó muestral tede a ua dstrbucó ormal co meda µ y varaza / cuado. N( µ, / cuado Ejemplo gráfco Co el f de lustrar gráfcamete el TCL presetaremos la dstrbucó de la meda muestral obteda al lazar dos dados, e comparacó co la dstrbucó dvdual de cada dado. represeta el resultado obtedo al lazar u dado, etoces su fucó de probabldad está dada por: Lazameto de u dado p (x, 6 x,,3,4,5,6 0,0 0,5 Probabldad 0,0 0,05 0, Resultado co la ateror represetacó gráfca.

9 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 9 Cosderemos ahora el lazameto de dos dados. ea y los respectvos resultados. ea la meda respectva. La tabla sguete preseta su respectva dstrbucó de probabldad (la cual había sdo aalzada prevamete al estudar el cocepto de varable aleatora, y cosderar la suma de los dos dados. Dstrbucó de la meda de dos dados uma Meda P(.0 / / / / / / / / / / /36 u represetacó gráfca se preseta e la fgura sguete. Probabldad Promedo del lazameto de dos dados 0,0 0,5 0,0 0,05 0, Resultado Como se puede observar, el cambo e la forma de la dstrbucó es bastate otable, al pasar de ua dstrbucó completamete plaa (uforme dscreta a ua dstrbucó que, auque o es ormal, s tede a 5 6 Teorema Cetral el Límte. Promedo de Probabld cuatro lazametos ad Valor medo parecerse más a ua dstrbucó ormal que a su dstrbucó orgal. cotuamos promedado más varables, la dstrbucó resultate se aproxmará aú más a ua dstrbucó. La sguete gráfca preseta los resultados al promedar cuatro lazametos de la moeda. Observacó mportate: Debe teerse e cueta que s etoces la varaza de ( / tede a cero, lo cual mplca a su vez que µ. Lo que el TCL dce es que cuado el tamaño muestral es grade, la meda de ua muestra aleatora tede a segur la dstrbucó ormal. Cuádo es lo sufcetemete grade?. E geeral depede de la dstrbucó orgal de la varable aleatora ; s embargo, para varables cotuas y 30, la aproxmacó ormal se aplca, o mporta cual sea la dstrbucó orgal. Para < 30 la aproxmacó es válda segú la forma de la dstrbucó orgal. la dstrbucó orgal es cotua y uforme (por ejemplo el caso de los úmeros aleatoros que va de cero a uo, para que el promedo teda haca ua dstrbucó ormal, se requere muestras de por lo meos 0 observacoes (esto se determado medate pruebas de bodad de ajuste.

10 Ejemplo: Ua máqua vededora de refrescos está programada para que la catdad de refrescos que srve sea ua varable aleatora co ua meda de 00 mlltros y ua desvacó estádar de 5 mlltros. Cuál es la probabldad de que la catdad meda de refresco servdo e ua muestra aleatora de 36 refrescos sea por lo meos 04 mlltros?. Realce los cálculos usado la desgualdad de Chebyshev y el TCL. e tee lo sguete: µ 00, 5, 36 a Usado la desgualdad de Tchevyshef, se tee: P ( µ ε ε dode ε 4, P( µ embargo, se tee que P( µ 4 P( µ 4 P( µ P( µ supoedo ua dstrbucó smétrca. b Usado el TCL: P ( 4 P µ µ P(Z / 5 / 6 Co la desgualdad de Chebyshev dode o se hace gua suposcó sobre la dstrbucó de la meda, teemos que la probabldad es meor que 0.95, y usado el teorema cetral del límte se tee que la probabldad es.0548 (meor que 0.95 Ejemplo: Cotuado co el ejemplo ateror a Cuál es el error máxmo que se está dspuesto a aceptar e la estmacó de la meda, s se especfca ua probabldad de 0.05? b Cuál debe ser el tamaño de la muestra de tal forma que el error máxmo que se cometa e la estmacó de la meda sea de 4 mlltros co ua probabldad de 0.05 o meos? olucó: a Queremos determar el valor de ε de tal forma que P( µ ε 0.05 P ( µ ε P( µ ε P( µ ε 0.05 P P ( µ ε µ ε µ ε P P / 5 / 6 / 5 / 6 ε ε ( µ ε PZ P Z 5 / 6 5 / 6 Como la probabldad del error es de 0.05, y la dstrbucó es smétrca, etoces la probabldad de u error meor de -ε es 0.05 y la probabldad de u error superor a ε es també de Por lo tato, los valores de -ε/(5/6 y ε/(5/6 correspode a los valores de la dstrbucó ormal que tee áreas de 0.05 a la zquerda y 0.05 a la derecha, respectvamete. Es decr, ε ε, 5 / 6 z / 9 z Por lo tato ε (.96x5 / z b Queremos determar el valor de de tal forma que.96 Notacó: El valor Z P correspode al valor de la dstrbucó ormal que tee u área de P a la derecha, o - P haca la zquerda

11 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales P ( µ ε α ó equvaletemete P( µ ε α, dode α 0.05, y ε 4. De uevo -µ -ε ε -µ ε. Por lo tato: P ( µ ε P( ε µ ε α ( ε µ ε µ ε P α P / / / La ateror expresó puede escrbrse como: P µ ε P( Z ( z α α / zα / dode ε / z z, α / α / zα / / ε Por lo tato el tamaño de muestra requerdo está dado por: α Z / 5x.96 ε 4 54 La fórmula ateror es ua fórmula geeral para determar el tamaño de la muestra cuado se muestrea de ua poblacó fta. se muestrea de ua poblacó fta(n es ecesaro reemplazar la desvacó estádar de la meda fta, que está dada por ε Z (N / por la desvacó estádar de la meda cuado se muestrea de la poblacó α / N Zα / N. El tamaño de muestra resultate está dado por: N Teorema de Movre. es el úmero de éxtos e esayos depedetes de u eveto co probabldad, y s a y b so dos úmeros reales co a<b, etoces b P{ a < a } z / < e dz, cuado. π a Es decr, el teorema de DeMovre dce que cuado el tamaño de la muestra es grade, la dstrbucó Bomal se puede aproxmar por ua dstrbucó ormal co meda E( µ y varaza V( (-. Problemas: upoga que el úmero de barrles de petróleo crudo que produce u pozo daramete es ua varable aleatora co ua dstrbucó o especfcada. se observa la produccó de 64 días, seleccoadas e forma aleatora, y se sabe que la desvacó estádar del úmero de barrles por día es 6 barrles, a Determe la probabldad de que la produccó de u día o exceda de la meda e más de 3 barrles. b Determe la probabldad de que la produccó meda se ecuetre a o más de 4 barrles del verdadero valor de la produccó dara. (Use la desgualdad de Chebyshef y el TCL. Para realzar u expermeto se le ha sumstrado ua ressteca. Como se desea estmar la ressteca muy exactamete, usted realza 36 medcoes co el msmo método, cuya expereca preva dca que tee ua varaza de 0 ohmos. La medda promedo de sus medcoes da 5 ohms. a Cuál es la probabldad de que su promedo de 5 ohms esté e error por mas de ohm? b Cuál es la probabldad a pror de que se obtega valores muestrales para los cuales la meda muestral dfera de la meda poblacoal µ por más de u ohm?

12 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales c Cuál es el error máxmo ε que se puede cometer s se desea que la probabldad a pror de que se cometa dcho error o exceda de 0.05? d Cuátas medcoes debe realzarse co el f de obteer ua probabldad a pror de 0.05 de que el promedo muestral dfera de la verdadera ressteca meda por más de ohm? 3 Cosdere el proceso de seleccó de ua muestra de ua dstrbucó que tee ua varaza 0, pero co ua meda descoocda. Cuál debe ser el tamaño de la muestra para que la meda se ecuetre detro de u tervalo gual a dos udades de la meda poblacoal, co ua probabldad de por lo meos 0.90 a Usado la desgualdad de Chebyshef ( 5 b Usado el TCL. ( 7 4 U spector de pesos y meddas vsta ua plata de empacado para verfcar que el peso eto de las cajas sea el dcado e éstas. El gerete de la plata asegura al spector que el peso promedo de cada caja es de 750 gr. co ua desvacó estádar de 5 gr. El spector seleccoa, al azar, 00 cajas y ecuetra que el peso promedo es de 748 gr. Bajo estas codcoes, qué ta probable es teer u peso de 748 o meos? Qué acttud debe tomar el spector? 5 La probabldad de que u basquetbolsta aote e u lazameto que realce es 0.5. realza 0 lazametos, cuál es la probabldad de que aote al meos e 9 lazametos? a Usado la dstrbucó exacta. b Usado la aproxmacó ormal s factor de correccó de cotudad. c Usado la aproxmacó ormal co factor de correccó de cotudad d Es aplcable la aproxmacó de Posso? Dstrbucó de la meda para poblacoes ftas u expermeto cosste e seleccoar uo o más valores de u cojuto fto de úmeros (C, C,..., C N, este cojuto recbe el ombre de poblacó fta de tamaño N. se realza u muestreo de esta poblacó s reemplazo, es decr, s susttucó de los elemetos muestreados prevamete, etoces, los dferetes elemetos de la muestra (,,..., o so depedetes. Defcó. es el prmer elemeto de la muestra, es el segudo valor tomado,..., es el ésmo valor tomado, la dstrbucó de probabldad cojuta de estas varables aleatoras está dada por: f( x, x,..., x N(N (N...( y,,..., costtuye la muestra aleatora (. La probabldad de tomar ua muestra cualquera de tamaño de ua poblacó de N elemetos está dada N por La dstrbucó margal de cualquer j está dada por: f( x j, para x j C, C,...,C N N La dstrbucó margal cojuta de dos varables aleatoras cualesquera k y s está dada por: g( xk, xs N(N e puede demostrar que la covaraza etre k y s está dada por: COV( k, s N Teorema: es la meda de ua muestra aleatora de tamaño tomada de ua poblacó fta de tamaño N co meda µ y varaza, etoces

13 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 3 N E( µ y V( N N El térmo recbe el ombre de factor de correccó para poblacó fta. N>> este factor tede a N uo, y la varaza muestral será gual a / (como s se tratara de ua poblacó fta. 6. Dstrbucó de la proporcó ea,,..., ua muestra aleatora tomada de ua poblacó co ua dstrbucó de Beroull co parámetro. Por lo tato su fucó de probabldad, su meda y su varaza está dadas por: x p( x ( x, x 0, E(, V( ( - P es la proporcó muestral, defda como... P ( co E (P, V(P E vrtud del Teorema Cetral del Límte, como P es la meda muestral de los dferetes valores de, etoces P tede a segur ua dstrbucó ormal co los parámetros dados aterormete, es decr, P ( Normal,. Ó també la varable aleatora P Z ( sgue ua dstrbucó ormal estádar co meda cero y varaza utara, cuado el tamaño de la muestra es grade. 7. Dstrbucó de la dfereca etre proporcoes ea,,..., ua muestra aleatora ( tomada de u proceso de Beroull co parámetro. ea,,..., ua muestra aleatora ( tomada de u proceso de Beroull co parámetro. Estamos teresado e coocer la dstrbucó de la dfereca de proporcoes muestrales P P. abemos que P se dstrbuye ormalmete co ua valor esperado y ua varaza ( cuado es grade. De forma smlar P se dstrbuye ormalmete co ( ua valor esperado y ua varaza cuado es grade. Teemos que:

14 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 4 ( E P ( V P P P ( ( Como tato P como P se dstrbuye ormalmete, etoces su dfereca també se dstrbuye ormalmete co los parámetros arrba mecoados. Es decr, ( ( P P Normal,. Ó també la varable aleatora Z defda como P P ( Z ( ( tee ua dstrbucó ormal cuado y so grades. se desea verfcar s las dos dstrbucoes so guales, se tedría etoces que aalzar s, es decr, 0. Ejemplo: U artículo del New York Tmes e 987 reportó que se puede reducr el resgo de sufrr ataques al corazó gredo aspra. Para llegar a esta coclusó el crosta se basó e los resultados de u expermeto dseñado, e dode partcparo dos grupos de persoas. A u grupo de,034 persoas se le sumstró ua doss dara de ua pastlla que o coteía gua droga, y de estos 89 sufrero posterormete ataques al corazó, metras que al otro grupo de,037 se les sumstró ua aspra, y sólo 04 lo sufrero. Cosdera Usted que el crosta del New York Tmes estaba e lo correcto?. 8. Dstrbucó Ch Cuadrado Defcó. Ua varable aleatora tee ua dstrbucó Ch Cuadrado ó J dos s su fucó de desdad de probabldad está dada por: υ / x /, x 0 f(x υ / x e Γ( υ / 0, x < 0 dode es el úmero de grados de lbertad, o smplemete grados de lbertad. La dstrbucó Ch Cuadrado es u caso partcular de la dstrbucó Gamma, cuya fucó de desdad está dada por: k ( t f(t λ λt λ e t 0 Γ(k dode Γ(k es la fucó gamma de k. Los valores correspodetes de los parámetros λ y k so λ / y k /. El valor esperado y la varaza de la dstrbucó Ch cuadrado está dados por: E(, V( Notacó: ua varable tee ua dstrbucó Ch cuadrado co grados de lbertad, lo deotaremos como Ch( ó χ Teoremas

15 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 5 Z es ua varable aleatora co dstrbucó ormal (0,, etoces Z tee ua dstrbucó Ch Cuadrado co u grado de lbertad (. Z, Z,...,Z es u cojuto de varables depedetes e détcamete dstrbudas co dstrbucó ormal (0,, etoces Z Z Z... Z tee ua dstrbucó Ch Cuadrado co grados de lbertad. 3,,..., k es u cojuto de k varables depedetes co dstrbucoes Ch Cuadrado co,,..., k grados de lbertad, respectvamete, etoces la varable aleatora... k tee ua dstrbucó Ch Cuadrado co... k grados de lbertad. 4 ea y dos varables aleatoras. tee ua dstrbucó j dos co grados de lbertad, y tee otra dstrbucó Ch cuadrado co > grados de lbertad, etoces tee ua dstrbucó Ch cuadrado co - grados de lbertad. Teorema. y so la meda y la varaza de ua ma( tomada de ua poblacó ormal co meda µ y varaza, etoces a y so depedetes. b ( La varable aleatora tee ua dstrbucó Ch Cuadrado co - grados de lbertad. La parte a o se demostrará. A cotuacó se preseta la demostracó de la parte b. Para ello cosdere la sguete suma: ( µ. Esta expresó puede represetarse de la sguete maera, sumado y restado. ( [ ] µ ( ( µ ( ( µ ( µ µ ( ( µ µ ( ( ( ( ( µ ( µ dado que ( es gual al cero. dvdmos ambas expresoes por, se tee: N µ ( µ I multplcamos y dvdmos la prmera parte de la expresó de la derecha por ( teemos que: µ µ ( / (

16 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 6 Observado la expresó ateror teemos que el térmo µ sgue ua dstrbucó Ch Cuadrado co grados de lbertad, y el térmo grado de lbertad. Por lo tato, la expresó de lbertad. µ / ( sgue també ua dstrbucó Ch Cuadrado pero co u sgue ua dstrbucó Ch Cuadrado co - grados Tabulacó. La fucó de dstrbucó o puede calcularse e forma aalítca; s embargo, ha sdo tabulada para dferetes valores de la probabldad acumulada, y para varos grados de lbertad. E alguas tablas se preseta la cola haca la zquerda (probabldad acumulada, y e otras la cola haca la derecha. Para aquellos valores que o se ecuetre e la tabla, se puede usar terpolacó leal, medate la sguete fórmula: P P ( P P Notacó. Usaremos la otacó χ,p para deotar el valor de la dstrbucó Ch cuadrado co grados de lbertad y ua cola de P haca la derecha (o ua probabldad acumulada de -P haca la zquerda. Problema: Hacedo uso de la relacó exstete etre las dstrbucoes gama y ch cuadrado, demuestre que la varaza de la varaza poblacoal está dada por 4 ( V, > Ejemplo. upoga que el espesor de u compoete de u semcoductor es ua dmesó crítca. El proceso de produccó de tal característca se dstrbuye ormalmete co ua desvacó estádar de 0.6 mlésmas de pulgada. Para cotrolar el proceso se toma muestras peródcas de vete pezas, y se defe u límte de cotrol co base e ua probabldad de 0.0 de que la varaza muestral exceda dcho límte, s el proceso está bajo cotrol. Qué se puede coclur s para ua muestra dada la desvacó estádar es 0.84 mlésmas de pulgada? olucó. La varable aleatora de terés para uestro caso es ( /. deotamos por LC el límte superor de cotrol, etoces teemos que se debe cumplr que: ( ( LC P P( LC 0.0 P > > LC 0.99 Por lo tato, debemos buscar e la tabla de la dstrbucó Ch Cuadrado, co 9 grados de lbertad, el valor que tega ua probabldad haca la derecha de 0.0 (ó haca la zquerda de 0.99, deotado por χ, 9,0. 0 correspodete a 36.9, el cual debe satsfacer la sguete desgualdad: ( e acepta s χ9,0.0 χ 9,0.0 O també se acepta s ( Por lo tato el crtero de decsó se puede expresar e ua de las dos formas sguetes: ( 9 x a e calcula

17 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 7 Como 37.4 > 36.9 la muestra o provee de u proceso co ua desvacó estádar de b e calcula Como > se llega a la msma coclusó de que o es probable que la muestra tomada provega de ua poblacó co ua desvacó estádar de 0.60 mlésmas de pulgada. Ejemplo. U fabrcate de baterías para automóvles garatza que sus baterías dura, e promedo tres años co ua desvacó estádar de u año. cco de sus baterías tee duracoes de.9,.4, 3.0, 3.5 y 4.3 años, puede asegurarse que las baterías tee ua duracó estádar de u año?. upoga que la duracó de las baterías sgue ua dstrbucó ormal. Teemos que: 3.0, ( 4 x Buscado e la tabla ch cuadrado para cuatro grados de lbertad ecotramos para.75 ua probabldad P de 0.4 y para 4.04 la probabldad es P 0.6. Usado terpolacó leal, teemos ua probabldad aproxmada de la muestra provee de ua poblacó co desvacó estádar de uo, la probabldad de que la muestra o perteezca a esta dstrbucó es de , la cual es excesvamete alta. Por lo tato, o hay evdeca para coclur que la muestra o perteece a ua poblacó co ua varaza de uo. 9. Dstrbucó t e sabe que se dstrbuye ormalmete co ua meda µ y ua varaza ( µ /, o la varable Z se / dstrbuye ormalmete co meda cero y varaza utara. embargo, para calcular Z se requere que sea coocdo. Por lo tato, se requere ua dstrbucó para el caso e que sea descoocdo y se pueda reemplazar por u estmatvo, tal como. Tal dstrbucó es la dstrbucó t. Teorema. ea Y y Z dos varables aleatoras depedetes, Y co ua dstrbucó Ch cuadrado co grados de lbertad, y Z co ua dstrbucó ormal estádar (0,, etoces la dstrbucó de la varable T Z Y / está dado por: f(t Γ( t, πγ( / < t < y se deoma dstrbucó t ó dstrbucó de tudet, co grados de lbertad. Orge: W Gosset publcó calmete la dstrbucó bajo el seudómo de tudet. Propedades geerales a El valor esperado es cero E(T 0 b Dstrbucó smétrca co respecto a cero. c La varaza de T está dada por V (T, > d La varaza de T es lgeramete mayor de.0, es decr, es lgeramete mayor que la de la dstrbucó ormal estadarzada. e Para 30 la dstrbucó t tede haca la dstrbucó ormal. Tabulacó. La fucó de dstrbucó o puede calcularse e forma aalítca; s embargo, ha sdo tabulada para dferetes valores de la probabldad acumulada, y para varos grados de lbertad. Como la dstrbucó es

18 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 8 smétrca, solamete se preseta probabldades acumuladas para valores postvos de t (t 0. Los valores que se preseta e los ecabezametos de las columas de la tabla correspode a las probabldades de exceder los respectvos valores de t, es decr, preseta las colas a la derecha de los valores respectvos de t. Para ecotrar probabldades correspodetes a valores egatvos de t hay que hacer uso de la propedad de smetría de la dstrbucó t que os dce que Φ(-t - Φ(t. Notacó. Usaremos la otacó t, P para deotar el valor de la dstrbucó t co grados de lbertad y ua probabldad acumulada de P haca la derecha (o ua probabldad de -P haca la zquerda. La aplcacó fudametal para la cual se usa esta dstrbucó se preseta e el sguete teorema. Teorema. y so la meda y la varaza de ua muestra aleatora de tamaño tomada de ua poblacó ormal co meda µ y varaza, etoces la varable ( µ T / tee la dstrbucó t co - grados de lbertad. Demostracó: abemos que ( Y tee ua dstrbucó Ch Cuadrado co - grados de lbertad, y que ( µ Z tee ua dstrbucó ormal (0,. Etoces s aplcamos la defcó de la dstrbucó / t teemos: ( µ Z / ( µ T Y / ( / ( Ejemplo. E u recorrdo de prueba de ua hora cada uo, el cosumo promedo de gasola de u motor fue 6.4 galoes, co ua desvacó estádar de. galoes. e quere saber s es certa la afrmacó de que el cosumo promedo de gasola es galoes/hora. Respuesta. Teemos la sguete formacó: 6, 6.4, s. y µ.0 Para respoder la preguta debemos verfcar que ta probable es que ua muestra de 6.4 galoes perteezca a ua dstrbucó co ua meda de. Por lo tato, debemos calcular la probabldad de que la meda muestral sea mayor o gual que 6.4 s la verdadera meda de dode provee dcha muestra es galoes. Esto es: µ P ( 6.4 P P(T 8.38 /./ 6 Buscado e la tabla de la dstrbucó t co 5 grados de lbertad, teemos que para ua probabldad de el respectvo valor de t es.947, lo cual mplca que la probabldad para t 8.38 es cero. Por lo tato, coclumos que la probabldad de obteer ua muestra co ua meda de 6.4 de ua poblacó cuya meda es.0 es cero, es decr, que el cosumo promedo de gasola o es galoes/hora, so que es superor. 0. Dstrbucó F Es la dstrbucó muestral aplcable para la relacó de dos varazas. Teorema. U y W so dos varables aleatoras depedetes, cada ua co dstrbucó Ch Cuadrado co y grados de lbertad, respectvamete, etoces la dstrbucó de la sguete varable aleatora

19 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 9 U / F W / está dada por: Γ ( > / f f, f 0 g(f Γ Γ 0 e o c y se deoma dstrbucó F co y grados de lbertad ( grados de lbertad e el umerador y grados de lbertad e el deomador. Notacó. Usaremos la otacó F,,P para deotar el valor de la dstrbucó F co grados de lbertad e el umerador, grados de lbertad e el deomador y ua probabldad acumulada de P haca la derecha (o ua probabldad de -P haca la zquerda. Puede demostrarse que F,,P, s se F,, P verte la defcó de la dstrbucó F. La aplcacó prcpal para la cual se desarrolló la dstrbucó F es la comparacó de dos varazas (de poblacoes ormales. ea,,..., ua muestra aleatora ( tomada de ua poblacó ormal co varaza, y sea,,..., otra muestra aleatora ( tomada de ua poblacó ormal co varaza. queremos realzar algua fereca sobre la gualdad o o de las varazas, os podemos basar e el hecho que las sguetes relacoes ( ( y so varables aleatoras co dstrbucoes Ch cuadrado co y grados de lbertad, respectvamete, y co las cuales podemos costrur la dstrbucó F. El sguete teorema clarfca este aspecto. Teorema. y so las varazas muestrales de dos varables aleatoras depedetes de tamaños y tomadas de poblacoes ormales co varazas y, etoces, la relacó / F / / tee ua dstrbucó F co y - grados de lbertad. Demostracó. llamamos U y W a los dos relacoes y dadas aterormete, y aplcamos la defcó de la dstrbucó F, llegamos drectamete al resultado deseado. Tabulacó. De uevo, la fucó de dstrbucó o puede calcularse e forma aalítca; s embargo, ha sdo tabulada para dferetes valores de la probabldad acumulada, y para varos grados de lbertad e el umerador y e el deomador. Para cada valor de la probabldad debe calcularse ua tabla dferete. Los valores de las probabldades dados e las tablas correspode a las probabldades de exceder los respectvos valores de F, es decr, preseta las colas a la derecha del valor respectvo de F. Las tablas está costrudas bajo la suposcó de que la dstrbucó orgal de las varables aleatoras es ormal.. Dstrbucó de la dfereca etre dos medas

20 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 0 ea y dos varables aleatoras co valores esperados µ y µ y varazas y, respectvamete. Por ejemplo, puede ser la duracó de ua batería para carro de ua marca, y la duracó de ua batería de otra marca dferete. los medas µ y µ so descoocdas, podríamos estar teresados e coocer s ambas baterías tee la msma duracó meda. E forma smlar, s las varazas so descoocdas, podríamos estar teresados e saber s so guales o o. Para realzar estas ferecas, se puede someter a pruebas détcas dferetes baterías, cotrolado los factores exteros, de tal forma que las dferecas se deba exclusvamete a la clase de marca probada Icalmete estaremos teresados e verfcar s ambas dstrbucoes tee la msma meda poblacoal, es decr s µ µ ó equvaletemete µ - µ 0. upoga que,,...,, es ua muestra aleatora de tamaño tomada de ua poblacó co,..., meda µ y varaza, y es otra muestra aleatora de tamaño tomada de ua poblacó co meda µ y varaza. deseamos realzar algua fereca sobre µ - µ, os podemos basar e la dstrbucó de la dfereca de las medas muestrales. Por el TCL sabemos que tato como se dstrbuye ormalmete co los sguetes parámetros: Normal ( µ, /, Normal (, µ / Ahora be, para la dfereca de las medas muestrales ( µ µ se tee: E ( V( V( V Para coocer la dstrbucó muestral de las dferecas etre las medas se debe saber s las varazas poblacoales so coocdas o descoocdas, y e caso de que sea descoocdas, se debe saber s so guales o dferetes. Cada uo de estos tres casos se aalzará por separado. a Dstrbucó de la dfereca etre dos medas cuado las varazas so coocdas. las varazas y so coocdas, tato como se dstrbuye ormalmete. Por lo tato la dstrbucó de la dfereca etre las medas muestrales es ormal co el valor esperado y la varaza dados aterormete, es decr, µ µ Normal, De acuerdo co lo ateror la sguete varable aleatora tee ua dstrbucó ormal estádar: ( µ µ Z Por lo tato, co base e la expresó ateror se puede realzar ferecas co respecto a la dfereca de medas poblacoales, bajo el supuesto de que las varazas sea coocdas. además, so guales, la expresó ateror se puede expresar como: ( µ µ Z

21 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales b Dstrbucó de la dfereca etre dos medas cuado las varazas so descoocdas pero guales ( Cuado las varazas so descoocdas, se debe realzar prevamete ua prueba estadístca para verfcar s éstas so guales o dferetes. Para realzar esta prueba debemos hacer uso de la dstrbucó F para verfcar s la relacó de varazas es gual a uo o dferete de uo. Para cada ua de las dos muestras se defe sus respectvas varazas como: ( j, ( j j j Además ( ( y tee dstrbucoes ch cuadrado co - y - grados de lbertad respectvamete. Por lo tato su suma també sgue otra dstrbucó ch cuadrado co grados de lbertad. Es decr: Y ( ( χ ( Ahora be, s Z es ua varable ormal (0, y Y tee ua dstrbucó ch cuadrado co grados de lbertad, Z etoces la varable T tee ua dstrbucó t co grados de lbertad. Para uestro caso la Y / varable Z correspode a la dstrbucó de la dfereca de las dos medas, co varazas coocdas, y la varable ch cuadrado correspode a la varable Y acabada de defr. Por lo tato ( µ µ Z ( µ µ T ( ( ( ( /( dode T p p ( µ µ t( ( ( es u estmador poderado de la varaza poblacoal obteda poderado las varazas poblacoales por sus respectvos grados de lbertad. c Dstrbucó de la dfereca etre dos medas cuado las varazas so descoocdas y dferetes ( Cuado las varazas so dferetes se puede demostrar que la sguete varable aleatora T sgue ua dstrbucó t co grados de lbertad, dode

22 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales ( µ µ T tυ y el úmero de grados de lbertad está dado por: ( / / V / / Ejemplo. El gerete de ua refería pesa modfcar el proceso para producr gasola a partr de petróleo crudo. El gerete hará la modfcacó sólo s la gasola promedo que se obtee por este uevo proceso (expresada como u porcetaje del crudo aumeta su valor co respecto al proceso e uso. Co base e u expermeto de laboratoro y medate el empleo de dos muestras aleatoras de tamaño, ua para cada proceso, la catdad de gasola promedo del proceso e uso es de 4.6 co ua desvacó estádar de.3, y para el proceso propuesto fue de 8. co ua desvacó estádar de.7. El gerete pesa que los resultados proporcoados por los dos procesos so varables aleatoras depedetes ormalmete dstrbudas co varazas guales. Co base e esta evdeca, debe adoptarse el uevo proceso?. Problemas Ejerccos varos y Y so varables aleatoras ormales depedetes co E( 0, V( 4, E(Y 0 y V(Y 9. Calcule lo sguete: a. E( 3Y b. V( 3Y c. P( 3Y < 30 d. P( 3Y < 40 Respuestas : a 30 b 97 c 0.5 d upoga que la varable aleatora represeta la logtud, e pulgadas, de ua peza perforada. ea Y la logtud de la peza e mlímetros. E( 5 pulgadas, cuál es la meda de Y? La evoltura de plástco para u dsco magétco está formada por dos hojas. El espesor de cada ua tee ua dstrbucó ormal co meda.5 mlímetros y desvacó estádar de 0. mlímetros. Las hojas so depedetes. a. Determe la meda y la desvacó estádar del espesor total de las dos hojas. b. Cuál es la probabldad de que el espesor total sea mayor que 3.3 mlímetros? Respuestas :a µ 3 mm, 0.44 b El acho del marco de ua puerta tee ua dstrbucó ormal co meda 4 pulgadas y desvacó estádar de /8 de pulgada. El acho de la puerta tee ua dstrbucó ormal co meda 3 y7/8 pulgadas y desvacó estádar de /6 pulgadas. upoga depedeca. a. Determe la meda y la desvacó estádar de la dfereca etre el acho del marco y el de la puerta. b. Cuál es la probabldad de que la dfereca etre el acho del marco y el de la puerta sea mayor que /4 de pulgada? c. Cuál es la probabldad de que la puerta o quepa e el marco? U compoete e forma de U está formado por tres pezas, A, B y C. La fgura lustra el compoete. La logtud de A tee ua dstrbucó ormal co meda de 0 mlímetros y desvacó estádar de 0. mlímetros. El espesor de las pezas B y C está dstrbudo ormalmete co meda de mlímetros y desvacó estádar de 0.05 mlímetros. upoga que todas las dmesoes so depedetes. a. Determe la meda y la desvacó estádar de la logtud del hueco D. b. Cuál es la probabldad de que el hueco D sea meor que 5.9 mlímetros? Ejerccos tomados de "Probabldad y Estadístca Aplcada la Igeería". Douglas C. Motgomery y George C. Ruger. McGraw Hll, 997.

23 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 3 B D C A Y Fgura 5- Fgura para el ejercco Respuestas: a E(D 6 mm, D 0.5 mm b El lleado de las latas de ua bebda suave lo hace ua máqua de lleado automátca, co ua desvacó estádar de 0.5 ozas de líqudo. upoga además que los volúmees co que se llea las latas so varables aleatoras ormales depedetes. a. Cuál es la desvacó estádar del volume de lleado promedo de 00 latas? b. el volume de lleado promedo es. ozas, cuál es la probabldad de que el volume de lleado promedo de 00 latas sea meor que ozas de líqudo? e. Cuál debe ser el valor del volume de lleado promedo para que la probabldad sea de que el promedo e 00 latas sea meor que ozas de líqudo? 5-7 El espesor de la película fotoprotectora e u proceso de fabrcacó de semcoductores tee ua meda de 0 mcrómetros y ua desvacó estádar de mcrómetro. upógase que el espesor tee ua dstrbucó ormal, y que el espesor etre dferetes obleas es depedete. a. Calcule la probabldad de que espesor promedo de 0 obleas sea mayor que o meor que 9 mcrómetros. b. Determe el úmero de obleas que es ecesaro medr para que la probabldad sea 0.0 de que el espesor promedo sea mayor que mcrómetros. Desgualdad de Chebychev y dstrbucó ormal El espesor de la película fotoprotectora e u proceso de fabrcacó de semcoductores tee ua meda de 0 mcrómetros y ua desvacó estádar de mcrómetro. Acote la probabldad de que el espesor sea meor que 6 o mayor que 4 mcrómetros upoga que tee ua dstrbucó uforme cotua detro del rago 0< x < 0. Utlce la regla de Chebychev para acotar la probabldad de que dfera de su meda por más de dos desvacoes estádar y compare el resultado co el valor real de la probabldad. Respuestas: 0.5 cotra upoga que tee ua dstrbucó expoecal co meda 0. Utlce la regla de Chebychev para acotar la probabldad de que dfera de su meda por más de dos y tres desvacoes estádar, y compare los resultados co el valor real de la probabldad e cada caso upoga que tee ua dstrbucó Posso co meda λ. Utlce la regla de Chebychev para acotar la probabldad de que dfera de su meda por más de dos y tres desvacoes estádar, y compare los resultados co el valor real de la probabldad e cada caso. Respuestas: ¼ y ½ cotra 0.36 y Cosdere el proceso de taladrar agujeros e tarjetas de crcuto mpreso. upoga que la desvacó estádar de los dámetros es 0.0 y que éstos so depedetes. upoga además que se utlza el promedo de 500 dámetros para estmar la meda del proceso. a. la probabldad de que el promedo meddo se ecuetre detro de algua cota alrededor de la meda del proceso, es al meos de 5/6, cuál es el valor de la cota? b. se supoe que los dámetros tee ua dstrbucó ormal, determe ua cota tal que la probabldad de que el promedo meddo esté más cercao a la meda del proceso que la cota, sea al meos de 5/ El peso de u caramelo pequeño tee ua dstrbucó ormal co meda 0. ozas desvacó estádar de 0.0 ozas. upoga que se coloca 6 caramelos e u paquete y que los pesos de éstos so depedetes. a. Cuáles so la meda y la varaza del peso eto del paquete? 3 "Probabldad y Estadístca Aplcada la Igeería". Douglas C. Motgomery y George C. Ruger. McGraw Hll, 997.

24 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales 4 b. Cuál es la probabldad de que el peso eto del paquete sea meor que.6 oza c. se coloca 7 caramelos e cada paquete, cuál es la probabldad de que peso eto de u paquete sea meor que.6 ozas?. Respuestas: a E(.6, V( b 0.5 c El tempo para que u sstema automatzado localce ua peza e u almacé, tee u dstrbucó ormal co meda de 45 segudos y desvacó estádar de 30 segudos. upoga que se hace peddos depedetes por 0 pezas. a. Cuál es la probabldad de que el tempo promedo ecesaro para localzar las pezas sea mayor que 60 segudos? b. Cuál es la probabldad de que el tempo total ecesaro para localzar las pezas sea mayor que 600 segudos? El esamble mecáco empleado e el motor de u automóvl tee cuatro compoetes mportates. Los pesos de los compoetes so depedetes y está dstrbudos ormalmete co las sguetes medas y desvacoes estádar (e ozas: compoete Meda Desvacó estádar tapa zquerda tapa derecha esamble de cojetes esamble de torllos a. Cuál es la probabldad de que el peso de u esamble sea mayor que 9.5 ozas? b. Cuál es la probabldad de que el peso promedo de ocho esambles depedetes sea mayor que 9 ozas? Respuestas: a b 0 Ejerccos para TCL e fabrca tubería PVC co u dámetro promedo de.0 y desvacó estádar de Ecuetre la probabldad de que e ua muestra aleatora de 9 seccoes de tubería, el dámetro promedo de la muestra sea mayor que.009 y meor que upoga que se toma muestras aleatoras de tamaño 5 de ua poblacó ormal co meda 00 y desvacó estádar 0. Cuál es la probabldad de que la meda muestral se ecuetre detro del tervalo de -.8 y desvacoes estádares? Respuestas: E la fabrcacó de ua alfombra se utlza ua fbra stétca co ua ressteca a la tesó que tee ua dstrbucó ormal co meda 75.5 ps y desvacó estádar 3.5 ps. Ecuetre la probabldad de que e ua muestra aleatora de 6 especímees de fbra, la meda de la ressteca a la tesó e la muestra sea mayor que ps. 6-. Cosdere la fbra stétca del ejercco ateror. Cómo camba la desvacó estádar de la meda muestral cuado el tamaño de la muestra aumeta desde 6 hasta 49? 6-. La ressteca a la compresó del cocreto tee ua meda de 500 ps y ua desvacó estádar de 50 ps. Ecuetre la probabldad de que la meda muestral de ua muestra aleatora de 5 especímees esté e el tervalo de 499 a 50 ps Cosdere los especímees de cocreto del ejemplo ateror. Cuál es el error estádar de la meda muestral? Respuestas: Ua poblacó ormal tee ua meda de 00 y ua varaza de 5. De qué tamaño debe ser la muestra aleatora que se tome de esta poblacó para que el error estádar del promedo de la muestra sea.5? 6-5. upoga que la varable aleatora tee la dstrbucó uforme cotua f ( x, 0 x 0 e cualquerotro caso upoga que se toma ua muestra aleatora de observacoes de esta dstrbucó. Cuál es la dstrbucó de probabldad de 6?. Ecuetre la meda y la varaza de esta catdad. Respuestas:-/, /44 4 "Probabldad y Estadístca Aplcada la Igeería". Douglas C. Motgomery y George C. Ruger. McGraw Hll, 997.

25 Berardo A. Calderó C. Dstrbucoes muestrales upoga que tee ua dstrbucó uforme dscreta / 3, x,,3 f ( x 0 e cualquerotro caso De esta poblacó se toma ua muestra aleatora de tamaño 36. Ecuetre la probabldad de que la meda muestral sea mayor que. pero meor que.5. upoga que la meda muestral puede medrse hasta la décma más cercaa El tempo que u pasajero verte esperado e u puto de revsó de u aeropuerto es ua varable aleatora co meda de 8. mutos y desvacó estádar de.5 mutos. upoga que se observa ua muestra aleatora de 49 pasajeros. Ecuetre la probabldad de que el tempo de espera promedo e la fla para estos cletes sea a. Meor que 0 mutos b. Etre 5 y 0 mutos c. Meor que 6 mutos Respuestas: a b c e toma ua muestra aleatora de tamaño 6 de ua poblacó ormal que tee ua meda de 75 y ua desvacó estádar de 8. De otra poblacó ormal se toma ua muestra aleatora de tamaño 9; esta poblacó tee ua meda de 70 y ua desvacó estádar de. ea y las medas de cada muestra, respectvamete. Ecuetre a. La probabldad de que b. La probabldad de que sea mayor que cuatro Ua compañía que vede artículos electrócos compara la brllatez de dos tpos dferetes de cescopos para su uso e televsores. El cescopo de tpo A tee ua brllatez promedo de 00 co ua desvacó estádar de 6, metras que el cescopo de tpo B tee ua brllatez promedo descoocda, pero se supoe que la desvacó estádar es la msma que la del cescopo de tpo A. e toma ua muestra aleatora de 5 cescopos de cada tpo y se calcula A B. µ B es gual o mayor que µ A el fabrcate adoptará el cescopo de tpo B para utlzarlo e los televsores que fabrca. La dfereca observada es 3.5. Qué decsó tomará el fabrcate y por qué? A La elastcdad de u polímero es afectada por la cocetracó de u reactvo. Cuado se utlza ua cocetracó baja, la elastcdad promedo verdadera es 55, metras que cuado se emplea ua cocetracó alta, la elastcdad promedo es 60. La desvacó estádar de la elastcdad es 4, s mportar cuál sea la cocetracó. se toma dos muestras aleatoras de tamalo 6, ecuetre la probabldad de que alta baja > Ejerccos par TCL y dstrbucó de dferecas 5 B. Verfque la sguete fórmula de cálculo del valor de la varaza de ua muestra: x ( x ( 5.,,..., so varables aleatoras depedetes que tee dstrbucoes de Beroull détcas co el parámetro,etoces es la proporcó de acertos e esayos, que represetamos como ˆ. Verfque que E( ˆ, Var( ˆ ( 8 La que sgue es ua codcó sufcete para el teorema de límte cetral: s las varables aleatoras, 5 Estadístca Matemátca co Aplcacoes. Joh E. Freud y Roald E. Walpole. Pretce Hall Hspaoamercaa.A., pága 87-89