autómatas finitos y lenguajes regulares LENGUAJES FORMALES Y

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1 CONTENIDO Reconocedores [HMU2.1]. Traductores [C8]. Diagramas de Estado [HMU2.1]. Equivalencia entre AF deterministas y no deterministas [HMU ]. Expresiones [HMU3]. Propiedades de [HMU4]. Relación entre gramáticas, y finitos [A1-2].

2 bibliografía HOPCROFT, JOHN E., MOTWANI, RAJEEV ULLMAN, JEFFRE D. Introducción a la Teoría de Autómatas, Lenguajes y Computación. Segunda Edición. AddisonWesley COHEN, DANIEL I.A. Introduction to Computer Theory, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc AUGUSTO, JUAN CARLOS. Fundamentos de Ciencias de la Computación Notas de Curso. Universidad Nacional del Sur, Argentina

3 finitos reconocedores S0 S S2 Autómata Finito Reconocedor Reconoce el lenguaje sobre Σ={0,1} con un número múltiplo de 3 de 1 s

4 finitos traductores S0/1 S1/0 1 1 S2/0 0 Autómata Finito De Moore Emite 1 mientras el número de 1 s leídos hasta el momento sea múltiplo de 3, de lo contrario emite 0

5 finitos traductores 0/0 0/0 1/0 S0 S1 1/1 1/0 S2 0/0 Autómata Finito De Mealy Emite 1 cuando el número de 1 s leídos se vuelve múltiplo de 3 ( 0), de lo contrario emite 0

6 finitos Un autómata finito es un modelo que captura las características de una computadora. Veremos dos tipos de finitos Autómatas Finitos Reconocedores (AFR) Son capaces de reconocer (exactamente el mismo lenguaje generado por gramáticas de tipo 3) Autómatas Finitos Traductores Toman una entrada y la traducen en una salida Autómatas de Moore: las salidas van asociadas a los estados Autómatas de Mealy: las salidas van asociadas a las transiciones

7 autómata finito reconocedor Un autómata finito reconocedor (AFR) es una quíntupla M = (S, Σ, δ, s 0, F), donde: S es un conjunto finito de estados, S Σ es el alfabeto de entrada δ: S x Σ S es la función de transición s 0 es el estado inicial, s 0 S. F es el conjunto de estados finales o aceptadores (F S)

8 autómata finito reconocedor Ejemplo M = (S, Σ, δ, s 0, F), S = {s 0, s 1, s 2 }, Σ = {0,1}, F ={s 0 } δ 0 1 s 0 s 0 s 1 s 1 s 1 s 2 s 2 s 2 s 0 S S2 S1 1 0

9 autómata finito reconocedor Ejemplo Dar un autómata finito reconocedor para el lenguaje de las cadenas definidas sobre el alfabeto Σ={a,b} tales que empiezan con a. M = (S, Σ, δ, s 0, F), S = {s 0, s 1, s 2 }, Σ = {a,b}, F ={s 1 } δ a s 0 s 1 s 2 s 1 s 1 s 1 s 2 s 2 b s 2

10 autómata finito reconocedor Ejercicios 1. Dar un AFR para el lenguaje definido sobre el alfabeto Σ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} tal que reconozca los números pares. 2. Dar un AFR para el lenguaje definido sobre el alfabeto Σ ={a,b} cuyas cadenas tienen la letra b como segundo símbolo. 3. Dar un AFR para el lenguaje definido sobre el alfabeto Σ ={a,b} cuya longitud es par pero no divisible por Dar un AFR para el lenguaje definido sobre el alfabeto Σ={0,1} tal que las cadenas tienen un número par de 0 s y número par de 1 s.

11 generalización de la función de transición δ Definimos δ*: S x Σ* S como sigue: δ*(q, λ)=q δ*(q, aw)= δ*(δ(q, a),w) donde a Σ y w Σ* Una forma equivalente de definir δ*: δ*(q, λ)=q δ*(q, wa)= δ(δ*(q, w),a)

12 el lenguaje de un AFR El lenguaje reconocido por el AFR M = (S, Σ, δ, s 0, F), se denota L(M) y se define como: L(M)={w δ*(s 0,w) F} Es decir, el lenguaje de M es el conjunto de cadenas w tales que comenzando del estado inicial de M nos llevan a algún estado final. Si L = L(M) para algún M, entonces L es regular.

13 autómata finito traductor de Moore Un autómata finito traductor de Moore es una séxtupla M = (S, Σ, Γ,δ, s 0, f 0 ), donde: S es un conjunto finito de estados, S. Σ es el alfabeto de entrada. Γ es el alfabeto de salida. δ: S x Σ S es la función de transición s 0 es el estado inicial, s 0 S. f 0: S Γes la función de salida.

14 autómata finito traductor de Moore Ejemplo M = (S, Σ, Γ,δ, s 0, f 0 ), S = {s 0, s 1, s 2 }, Σ = {0,1}, Γ={0,1} δ 0 s 0 s 1 s 0 s 1 s 2 s 2 1 s 1 s 2 s 0 f S0/1 S1/0 1 S2/0 1 0

15 autómata finito traductor de Moore Ejercicio 1.Dar un autómata finito traductor de Moore que emita un 1 cada vez que se hayan leído la secuencia bbba. 2. Dar un autómata finito traductor de Moore que simule la función booleana AND. 3. Dar un autómata finito traductor de Moore que simule la función booleana OR.

16 autómata finito traductor de Mealy Un autómata finito traductor de Mealy es una séxtupla M = (S, Σ, Γ,δ, s 0, f 0 ), donde: S es un conjunto finito de estados, S. Σ es el alfabeto de entrada. Γ es el alfabeto de salida. δ: S x Σ S es la función de transición s 0 es el estado inicial, s 0 S. f 0: S x Σ Γes la función de salida.

17 autómata finito traductor de Mealy Ejemplo M = (S, Σ, Γ,δ, s 0, f 0 ), S = {s 0, s 1, s 2 }, Σ = {0,1}, Γ={0,1} 0/0 0/0 δ/ f /0 S0 S1 s 0 s 0 /0 s 1 /0 s 1 s 1 /0 s 2 /0 1/1 s 2 s 2 /0 s 0 /1 S2 1/0 0/0

18 autómata finito traductor de Mealy Ejercicio 1. Convertir los de Moore de los ejercicios previos a de Mealy. 2. Dar un autómata finito traductor de Mealy que realice suma binaria.

19 autómata finito no determinista Un autómata finito reconocedor no determinista (AFRND) es una quíntupla M = (S, Σ, δ, s 0, F), donde: S es un conjunto finito de estados, S. Σ es el alfabeto de entrada. δ: S x Σ 2 S es la función de transición. s 0 es el estado inicial, s 0 S. F es el conjunto de estados finales o aceptadores (F S).

20 autómata finito no determinista Ejemplo M = (S, Σ, δ, s 0, F), S = {s 0, s 1 }, Σ = {a, b}, F ={s 1 } δ a b s 0 {s 0, s 1 } {s 0 } s 1 {s 1 } {s 1 } S0 a,b a a,b S1 Autómata Finito Reconocedor No Determinista L(M) es el de cadenas sobre Σ = {a, b} que contienen al menos una a

21 autómata finito no determinista con transiciones λ Un autómata finito reconocedor no determinista con transiciones λ (AFRNDλ) es una quíntupla M = (S, Σ, δ, s 0, F), donde: S es un conjunto finito de estados, S Σ es el alfabeto de entrada. δ: S x (Σ {λ}) 2 S es la función de transición. s 0 es el estado inicial, s 0 S. F es el conjunto de estados finales o aceptadores (F S).

22 autómata finito no determinista con transiciones λ 1 1 P0 0 I0 0 Número impar de ceros λ S0 1 1 P0 0 0 I P1 1 I1 λ P1 1 1 I1 1 Número par de unos Número impar de ceros o par de unos

23 generalización de la función de transición δ Para AFRND Definimos δ*: S x Σ* 2 S como sigue: δ*(q, λ)={q} δ*(q, wa)= {r 1,r 2,,r m } donde δ*(q,w) = {p 1,p 2,,p k } y k U i= 1 δ(p i,a) ={r 1,r 2,,r m }

24 el lenguaje de un AFR El lenguaje reconocido por el AFRND M = (S, Σ, δ, s 0, F), se denota L(M) y se define como: L(M)={w δ*(s 0,w) F } Es decir, el lenguaje de M es el conjunto de cadenas w tales que comenzando del estado inicial de M nos llevan a algún conjunto de estados que contenga al menos un estado final.

25 equivalencia entre AFR deterministas y no deterministas (tema a verse en clase práctica) A partir de un AFRND N = (S, Σ, δ, s 0, F) obtenemos un AFR determinista D = (S d, Σ, δ d, {s 0 }, F d ) S d = 2 S F d es el conjunto de subconjuntos Q S d tal que Q F Para cada conjunto Q S y para cada símbolo a Σ δ d (Q,a)= U p Q δ(p,a) δ d es una función de transición determinista

26 AFRND -> AFRD (tema a verse en clase práctica) a,b a,b b a,b S0 a S1 {S0} a,b a {S0,S1} a,b AFRND {S1} AFRD cadenas sobre Σ = {a,b} que contienen al menos una a.

27 AFRND -> AFRD (tema a verse en clase práctica) Ejemplo M = (S, Σ, δ, s 0, F), S = {s 0, s 1 }, Σ = {a,b}, F ={s 1 } δ a s 0 {s 0, s 1 } s 0 s 1 s 1 AFRND b s 1 M = (S d, Σ, δ d, {s 0 }, F d ) S d = {,s 0, s 1, {s 0, s 1 }}, Σ = {a,b}, F d ={{s 1 }, {s0, s1}} δ d {s 0 } {s 1 } {s 0, s 1 } a {s 0, s 1 } {s 1 } {s 0, s 1 } AFRD b {s 0 } {s 1 } {s 0,s 1 }

28 AFRND -> AFRD (tema a verse en clase práctica) Ejercicio Obtener el AFRD equivalente a los dados a continuación 1) 2) a,b a S0 S1 0, S0 S1 S2 S3 En lo que sigue usaremos AF para referirnos a finitos reconocedores (independientemente de si los mismos son deterministas o no deterministas)

29 expresiones Las expresiones (ER) sobre un alfabeto Σ son cadenas sobre el alfabeto A = Σ {(,),, +,*, λ, } definidas recursivamente como sigue: 1. λ es una ER. 2. es una ER. 3. Todo símbolo a Σ es una ER. 4. Si α y β son ER, entonces (α ), α β, α+β y α* también son ER.

30 y expresiones Construimos la función L tal que si α es una ER entonces L(α) es el lenguaje representado por α: 1. L(λ) = {λ }. 2. L( ) =. 3. Para cada símbolo a Σ, L(a) = {a}. 4. Si α y β son ER, entonces L(α β) = L(α) L(β), L(α+β) = L(α) L(β), L(α*) = L(α)*.

31 y expresiones Algunos ejemplos de ER sobre el alfabeto Σ={a,b}: λ,, a+ λ, a*(a+b)*b, b a* Observaciones: 1. El símbolo (concatenación) podrá ser obviado cuando ello no provoque ambigüedad. Por ejemplo la ER b a* se escribirá como ba*. 2. Notar que el mismo lenguaje regular puede ser notado mediante diferentes expresiones. Por ejemplo L((0+1)*) =L(((0+1*)*+(01)*)*)

32 equivalencia entre ER y AF Teorema de Kleene (detalles en Hopcroft et al., sección 3.2): Un lenguaje L puede ser expresado por una ER si y sólo si es reconocido por un AF. Stephen Kleene Prueba Parte 1: Dada una ER, construimos un AF. Parte 2: Dado un AF, construimos una ER.

33 Parte 1: ER AF 1. λ. λ a Σ. a

34 Parte 1: ER AF 4.1. α+β. R S

35 Parte 1: ER AF 4.1. α+β. λ R λ λ S λ

36 Parte 1: ER AF 4.2. α β. R S

37 Parte 1: ER AF 4.2. α β. R λ S

38 Parte 1: ER AF 4.3. α*. R

39 Parte 1: ER AF 4.3. α* λ λ R λ λ

40 Parte 2: AF ER Ejemplo AF ER (informal) Escribir la expresión regular para los siguientes AF 1) 0,1 0,1 S0 S1 S2 0, ) 0 S0 1 S1 1 S3 0,1 0*10 0 S2 0,1

41 Parte 2: AF ER Lema Si ω, β y γ son ER sobre un alfabeto Σ, γ λ, entonces la ecuación ω= β + ωγ tiene una única solución y está dada por ω= βγ* β γ S asociar cada estado con una ER ω S = β + ω S γ ω S = βγ*

42 Parte 2: AF ER Algoritmo Entrada: un AF M= (S, Σ, δ, s0, F) Salida: una ER que denota el LR reconocido por M.

43 Parte 2: AF ER Paso 1: Plantear una ecuación por cada estado, como unión de n términos ωs i = ωs j1 a 1 + ωs j2 a 2... Para δ(s j,a)=s i, uno de los términos de la ecuación ωs i será ωs j a. En la ecuación para el estado inicial se agrega el término λ.

44 Parte 2: AF ER Paso 2: despejar ecuaciones según lema ω=β+ωγ entonces ω = βγ * Paso 3: La ER es la unión de las soluciones para todos los estados aceptadores del AF.

45 Parte 2: AF ER Ejemplo M= (S, Σ, δ, s 0, F) S = {s 0, s 1, s 2 }, Σ = {a,b}, F ={s 1 } δ a s 0 s 0 s 1 s 1 s 1 s 2 s 2 s 2 b s 0 Paso 1: Planteamos ecuaciones ω S0 = ω S0 a+ ω S2 b + λ ω S1 = ω S1 a+ ω S0 b ω S2 = ω S2 a+ ω S1 b S0 b a S2 a b a S1 b

46 Parte 2: AF ER Paso 2: ω=β+ωγ entonces ω = βγ * ω S0 = ω S0 a+ ω S2 b + λ ω S1 = ω S1 a+ ω S0 b ω S2 = ω S2 a+ ω S1 b ω S0 = (ω S2 b + λ)a* γ=a y β=ω S2 b + λ ω S1 = (ω S0 b)a* γ=a y β=ω S0 b ω S2 = (ω S1 b)a* γ=a y β=ω S1 b ω S1 =(ω S0 b)a* ω S1 =((ω S2 b + λ)a*b)a* ω S1 =((ω S1 b)a*b + λ)a*b)a*=ω S1 ba*ba*ba*+a*ba* ω S1 =a*ba*(ba*ba*ba*)*

47 Parte 2: AF ER Paso 3: La ER es la unión de las soluciones para todos los estados aceptadores del AF. ω S1 =a*ba*(ba*ba*ba*)* a S0 b a S1 b S2 b L(M) =a*ba*(ba*ba*ba*)* a

48 propiedades de los Lema: La clase de los aceptados por AF, es decir la clase de los, es cerrada bajo: unión, concatenación, estrella de Kleene, complemento e intersección.

49 gramáticas o de tipo 3 (repaso) Gramática Regular (tipo 3) Para cada producción α β (excepto S λ): y α V N β es de la forma t o tw, donde t V T y W V N Ejemplo S aa A ab B a as

50 equivalencia entre gramáticas y AF Si G una gramática regular podemos obtener un autómata M tal que L(M) = L(G), y viceversa, dado el autómata M podemos construir la gramática G. Mostramos un método simple y ejemplos: Parte 1: Dada una gramática G mostraremos como construir un autómata M tal que L(G) = L(M). Parte 2: Dado un autómata M mostraremos como construir una gramática G tal que L(M) = L(G)

51 gramática regular AF Parte 1: Dada G=(V N, V T,S,P) construimos M = (K, V T, δ, S, F) donde K=V N {A} con A nuevo (no perteneciente a V N ) Si P tiene la producción S λ entonces F ={A,S} si no F = {A}. Al definir δ debemos considerar los siguientes casos si B a P entonces: δ(b,a) {A}, a V T ; B V N si B ac P entonces: δ(b,a) {C}, a V T ; B,C V N

52 gramática regular AF Ejemplo G=(V N, V T,S,P) V N ={S,B} V T ={a,b} S a bb B bb b b S b a B A M = (K, V T, δ, S, F) K ={S,A,B} F = {A} δ(s,a)={a} δ(s,b)={b} δ(b,b)={a,b}. b

53 AF gramática regular Parte 2: Dado M = (S, Σ, δ, s 0, F) un AF determinista construimos G=(S, Σ, s 0,P) donde P está formado por s 0 λ, si s 0 F B ac, si δ(b,a) = C B a, si δ(b,a) = C y C F

54 AF gramática regular Ejemplo M = (S, Σ, δ, s 0, F) Σ ={a,b} F={A} a s0 b a A G=(S, Σ, s 0,P) P: s 0 as 0 ba b A aa bb a B bs 0 ab b a B b

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