Matrices. Operaciones con matrices.

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1 Matrices. Operaciones con matrices. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) 4 A = B = ( ) C = D = 4 5 ( ) 4 E = F = seleccione las que se pueden sumar y súmelas. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) A = B = ( ) 4 C = calcule: a. A B + C b. A + (B C) c. (A C) Ejercicio. Dados los vectores a = b = c = d = ( ) e = 8 4 a. halle los productos escalares que sean posibles b. halle ( a) c c. halle a ( b + c) Ejercicio 4. Dadas las matrices A = ( ) 4 B = C = ( ) D = E = F = ( 4 ) G = a. seleccione las que se pueden multiplicar b. haga alguna de dichas multiplicaciones c. halle C(G + F ) d. halle A t y B t Ejercicio 5. Determine el valor de d para que los vectores a y b sean ortogonales si d + a = y b = d ( ) Ejercicio 6. Dadas las matrices A = y ( ) a b G =, para qué valores de a, b, c y d, se c d ( ) cumple que AG =? Ejercicio 7. Demuestre que si A y B son matrices que conmutan, entonces (AB) = A B. Ejercicio 8. Si A y B son matrices n n entonces, se cumplirá que (A + B)(A B) = A B? Justifique su respuesta. Ejercicio 9. Sean A y B matrices n n. Demuestre que (A + B) = A + AB + BA + B. 4

2 Sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Ejercicio. Resolver el sistema x + x x = 5 4x + 4x x = x + x x = a. utilizando el método de Gauss b. utilizando el método de Gauss Jordan Ejercicio. Resolver el sistema x x + x = 6 x + x x = 4 5x + x 5x = 8 Ejercicio. Resolver el sistema x + x + x = x + x + x = 5 x + 5x + x = Ejercicio. Por medio de preguntas formuladas a los estudiantes concluir lo siguiente: dado un sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas, a. si m = n, el sistema homogéneo puede tener infinitas soluciones o solución única trivial b. si m < n, el sistema homogéneo tiene infinitas soluciones Ejemplos: a. El sistema x + x + x = 7x + 6x + 5x = 5x + 4x + x = tiene infinitas soluciones. b. El sistema x + x + x = x x = x + x x = tiene solución única trivial. c. El sistema x + 4x + x x 5 = x + 9x + 5x + x 4 + x 5 = x + x + x x 4 9x 5 = tiene infinitas soluciones. Ejercicio 4. Resuelva el sistema x + x + x 4 + 4x 5 = 5 x + x + 7x + 7x 4 + 5x 5 = 7 x + x + 9x + x 4 + 9x 5 = Ejercicio 5. Determinar los valores de α y β para que el sistema βx + (β + )x x = a. sea inconsistente, x 4x + x = x x + (α )x = b. tenga infinitas soluciones, c. tenga solución única. 6. Demuestre que si el sistema ho- Ejercicio mogéneo (a r)x + dx = cx + (b r)x = tiene solución no trivial, entonces r satisface la euación (a r)(b r) cd =.

3 Inversa de una matriz cuadrada. Ejercicio 7. Sean A, B, C y D matrices n n. Si todas ellas son invertibles, muestre que (ABCD) = D C B A. Ejercicio 8. Sea A =. Calcular A, 4 si existe. Ejercicio 9. Sea A = A, si existe Calcular Ejercicio. Si A y B son matrices n n, probar que (ABA + C t ) t = (A t ) B t A t + C. Ejercicio. Dada la matriz A = b. b a. Para qué valores de b es invertible? b. Calcule la inversa para el menor valor b entero positivo que garantice su existencia. Ejercicio 5. Considere la matriz A = a 5b a. Halle las condiciones que deben cumplir a y b para que A sea invertible. b. Halle la inversa de A si a = 4 y b =. Ejercicio 6. Sean A = 4 y b = 5 4 Calcular A y resolver el sistema A x = b. Ejercicio 7. Sean A y B matrices cuadradas. Diga cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Justifique cada respuesta. a. Si B = A + A t, entonces B t = B. b. Si A = A t y B = B t, entonces AB = (AB) t. Ejercicio. Calcule la inversa de la matriz B =. 4 Ejercicio. Sea A una matriz invertible n n. Demuestre que si B es una matriz n m tal que AB =, entonces B =. Ejercicio 4. Demuestre que si A es una matriz y B es una matriz, entonces C = AB no es invertible.

4 Determinantes. Ejercicio 8. Calcular Ejercicio 9. Dada la matriz A = hallar a. los menores M, M y M b. los cofactores A, A y A Ejercicio. Calcular, Ejercicio. Sea 4 A= 6 y B = 4 a. Calcular det A y det B. b. Es A invertible? Es B invertible? Ejercicio. Si det D = 6 y det E = 5, demuestre que det(d t E) t =. Ejercicio. Determinar, sin efectuar cálculos, cuáles de los siguientes determinantes son nulos. A = 4 det B = det C = 4 9 D = E = 4 5 Ejercicio 4. Si A es una matriz y se conoce que det A = 4, calcule det B en los siguientes casos a. la matriz B se obtiene al multiplicar por la tercera fila de A y por su octava fila b. la matriz B se obtiene sumándole a la segunda columna de la matriz A la quinta columna multiplicada por 6 c. la matriz B se obtiene intercambiando la segunda fila con la cuarta y la quinta con la tercera en la matriz A Ejercicio 5. Dada A = det A., calcule Ejercicio 6. Calcule el determinante de la matriz x y z w A = x y α β x y z γ x y z w Ejercicio 7. Dada la matriz A = b, b para qué valores de b es invertible? Ejercicio 8. Dada la matrix A = 5 a. calcular adj A b. calcular A Ejercicio 9. Sean A =, B = 4

5 a. Calcule det A. b. Halle B t. c. Usando el valor hallado de det A y las propiedades de los determinantes, halle det B t. d. Sin calcular AB, determine si AB es invertible y en caso afirmativo halle det(ab). Ejercicio 4. Sean A, B y C matrices 4 4. Sea 4 det A = 4 y B = 5. Calcule det C si 5 ( C BA ) t = I. Ejercicio 4. Considere la siguiente matriz cuadrada de orden n A = f. si det A = 4, det B = 6 y det C = 5, entonces Ejercicio 44. ( (A det B t C ) ) t = 5 a. Demuestre que si A es una matriz cuadrada entonces (adj A) t = adj (A t ). b. Usando lo anterior, demuestre que si A es simétrica entonces adj A también lo es. Ejercicio 45. Conociendo que la inversa de cierta matriz A es A = a. Halle el cofactor A de la matriz A sin hallar A. b. Halle el determinante de la adjunta de A. Calcule det A. Ejercicio 4. Sea A una matriz con det A =. Hallar a. det(a ) b. det(4a) c. det(a + A) d. det(a t ) e. det(a ) f. det(a k ) Ejercicio 4. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas para A y B matrices cuadradas. Justifique sus respuestas. a. det(a + B) = det A + det B b. det(a + B) = (det(a + B)) c. det(a + B) = det(a + B ) d. det(αa) = α det A, para todo α R e. si B = M AM t, entonces det B = det A 5

6 Vectores en el plano y en el espacio. Ejercicio 46. Calcular la longitud de los vectores v = (, ) y u = (,, ). Ejercicio 47. Dados los vectores v = (, ) y u = (,, ), halle v, u, v y u. Ejercicio 48. Dados los vectores u = 5 î 5 ĵ y v = 6 î + 6 ĵ + 6 ˆk, muestre que son vectores unitarios y halle sus cosenos directores. Ejercicio 49. Dados v = (î ĵ) y w = (,, 5) a. halle la dirección de v y de w b. calcule los cosenos directores de v y w Ejercicio 5. Halle el vector v de longitud 4 cuyos cosenos directores son 6, 7 y 6. Ejercicio 5. Dados los puntos A(,, 5), B(5, 5, 8) y C(7, 9, ), hallar el coseno del ángulo entre los vectores AB y AC. Ejercicio 5. Dados los vectores u = î 5ĵ + ˆk, v = î 5 ĵ + 6 ˆk y w = (,, ), determinar cuáles son paralelos y cuáles son ortogonales. Ejercicio 5. Hallar la proyección del vector v = î+ĵ ˆk sobre la dirección del vector u = î ĵ ˆk. Ejercicio 54. Hallar el vector w que es perpendicular simultáneamente al vector v = (, 6, 8) y al eje de las x. Ejercicio 55. Calcular el seno del ángulo entre las diagonales del paralelogramo construido con los vectores u = î + ĵ ˆk y v = î ĵ + ˆk. Ejercicio 56. Hallar el área del paralelogramo cuyos lados son los vectores u = î ĵ + ˆk y v = î + ĵ ˆk. Ejercicio 57. Hallar el volumen y la altura del paralelepípedo formado por los vectores u = î + ĵ 5ˆk, v = î ĵ + 4ˆk y w = î ĵ + ˆk. Ejercicio 58. Determinar si u = î ĵ + ˆk y v = 6î + 4ĵ ˆk son vectores paralelos. Ejercicio 59. Demostrar que si tres vectores son coplanares, entonces el triple producto escalar es igual a cero. Ejercicio 6. Verificar si son coplanares los vectores u = (7, 4, 6), v = (,, ) y w = (9,, 7). Ejercicio 6. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son A(,, ), B(, 4, 6) y C(,, 7). Ejercicio 6. Sea el punto a = (, ), halle b tal que ab = ( 4, ). Ejercicio 6. Demuestre que si los vectores a y b no son paralelos y x a + y b =, entonces x = y =. Ejercicio 64. Demuestre que si u, v y w son vectores en R tales que u + v = u + w, entonces v = w. Ejercicio 65. Dados a = 4î + ĵ y b = î ĵ, encuentre escalares k y m tales que r = k a + m b, donde r = 6î 7ĵ. Ejercicio 66. Demuestre que los tres vectores a = î ĵ + ˆk, b = î ĵ + 5ˆk y c = î + ĵ 4ˆk forman un triángulo rectángulo. Ejercicio 67. Demuestre que (4, 5, ), (, 7, ) y (, 4, 5) son los vértices de un triángulo equilátero. Ejercicio 68. Sean A(,, ) y B(, 4, 4), halle un punto C en R tal que A, B y C sean los vértices de un triángulo rectángulo. 6

7 Rectas y planos en el espacio. Ejercicio 69. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (,, ) y su vector director es v = î + ĵ + ˆk. Ejercicio 77. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P (,, ) y es perpendicular a la recta x = + t, y = t, z = t. Ejercicio 7. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P (,, ) y Q(,, ). Ejercicio 7. Hallar la ecuación de la recta L que contiene al punto (,, ) y es paralela a la recta L : x = + t, y = t, z = t. Ejercicio 7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 4, 7, ) y es perpendicular a las rectas L : L : x 4 = y + 7 = z + x + = y 5 = z + 4. Ejercicio 7. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto (,, 4), es paralela a la recta L : x =, y = + t, z = + t y también paralela al eje z. Ejercicio 74. Hallar el ángulo formado por las rectas L : L : x = y + 6 = z 5 x = y = z Ejercicio 75. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (7, 4, 4) y su vector normal es η = 6î 7ĵ + 6ˆk. Ejercicio 76. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P (,, 4), Q(,, ) y M(,, ). y y Ejercicio 78. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P (,, ), Q(,, ) y es paralelo a la recta L: x + = y + 4 = z. Ejercicio 79. Dados los planos Π : x y+z = y Π : x y z =, determinar: a. si son paralelos, b. si se intersectan, hallar las ecuaciones de la recta de intersección, c. si son ortogonales. Ejercicio 8. Dados los planos Π : x y + z =, Π : x+y z = 9 y Π : x+y z = 8, determinar si Π y Π, y si Π y Π son a. ortogonales b. paralelos c. coincidentes (el mismo plano) Ejercicio 8. Hallar el ángulo entre los planos Π : x y + z = y Π : x y x =. Ejercicio 8. Hallar el punto de intersección de la recta x 7 = y = z+ y el plano x+y +7z =. Ejercicio 8. Hallar la proyección del punto Q(4,, ) sobre el plano Π: x + y z =. Ejercicio 84. Hallar la distancia del punto Q(4,, ) al plano Π: x + y z =. 7

8 Ejercicio 85. Hallar el ángulo que forma el plano x + y + z 4 = con la recta x = y = z. Ejercicio 86. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (,, ) y es perpendicular al plano x + y z = 7. Ejercicio 94. Demostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto P (x, y, z ) y es paralelo a los vectores a = (x, y, z ) y b = (x, y, z ) se puede representar en la forma x x y y z z x y z x y z =. Ejercicio 87. Hallar la ecuación de la recta L contenida en el plano Π: x 4y z = 5, que pasa por el punto P (, 8, ) y que es perpendicular otra x+ recta L : = y = z+ que está en el plano Π. Ejercicio 88. Hallar la ecuación de la recta que está en el plano yz, pasa por el origen y es perpendicular a la recta Ejercicio 95. Halle los valores de l y m para que las ecuaciones x + ly + z 5 = y mx 6y 6z + = determinan planos paralelos. Ejercicio 96. Halle para qué valor de l las ecuaciones L: { x y = x + z =. 5x + y z = y x + ly z + = determinan planos perpendiculares. Ejercicio 89. Hallar la ecuación del plano Π que pasa por el punto P (,, ) y es perpendicular a la recta { x + y z 7 = L: x y z =. Ejercicio 9. Hallar la{ ecuación del plano Π que es x + y + 5z 4 = paralelo a la recta L: x y z + 7 = y que contiene al eje y. Ejercicio 97. Hallar la proyección del punto P (,, ) sobre la recta x = t, y = 7 + 5t, z = + t. Ejercicio 98. Para qué valores de A y B el plano Ax + By + z 5 = es perpendicular a la recta x = + t, y = 5 t, z = t? Ejercicio 9. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el origen, es paralela al plano Π: 6x 7y + 4z 59 = y perpendicular a x+ la recta L: = y = z 4 4. Ejercicio 9. Hallar la ecuación de la recta L que está contenida en el plano Π : x + y z 7 = y en el plano Π que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a Π y a Π : x y + 5z + =. Ejercicio 9. Hallar las ecuaciones del plano que pasa por el punto M(, 4, 5) y es paralelo a los dos vectores a = (,, ) y b = (,, ). 8

9 Espacios vectoriales. Subespacios Ejercicio 99. Investigar si el subconjunto H = { (a, b, c) R a b = } es un subespacio de R. Ejercicio. Investigar si el subconjunto H = { (a, b, c) R a c = } es un subespacio de R. Ejercicio. Sea { ( ) a b H = A = c d } M : a = b + c. Demuestre que H es un subespacio de M. Ejercicio. Sean V = { P (x) = a + a x + a x a i R, i =,, } { } la suma de los coeficientes H = P (x) V de P (x) vale cero Pruebe que H es un subespacio de V. Ejercicio 5. Sea W el conjunto de todas ( las ) matrices reales de M de la forma A = tales a b c d ( ) ( ) que A = A. ( ) a b a. Pruebe que W =, a, b R. b a b. Pruebe que W es un subespacio de M. Ejercicio 6. Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas en (a, b) R. Demuestre si los siguientes conjuntoss son o no subespacios de V. a. H = {h V h es una función impar} b. H = {h V h(x) >, x R} c. H = {h V h(x) = h( x), x [, ]} Ejercicio. Considere el espacio vectorial M. Sea V un subconjunto de M cuyos elementos son matrices de la forma a d d b e e c y sea W el subconjunto de M cuyos elementos son matrices triangulares superiores. a. Sea H = V W. Encuentre H en forma explícita. b. Verifique si H es o no un subespacio de M. Ejercicio 4. Sean H = { (x, y, z) R : x y z = } H = { (x, y, z) R : x + y + z = } subespacios de R. Comprobar que { } H H = (x, y, z) R x y z = x + y + z = es un subespacio de R. y 9

10 Combinación lineal. Espacio generado. Independencia lineal. Base y dimensión. Ejercicio ( 7. ) Exprese, si es posible, el vector 4 M = como combinación lineal de los vectores A =, B = y C =. 7 ( ) ( ) ( ) Ejercicio 8. Exprese, si es posible, el vector (,,,, ) como combinación lineal de los vectores (,,,, ), (,,,, 5) y (,,,, 4). Ejercicio 9. Exprese el vector P (x)=x +6x+ como combinación lineal de los vectores P () (x) = x x + 5 y P () (x) = x + 6. Ejercicio. Pruebe que cualquier matriz simétrica de orden se puede expresar ( ) como combinación ( ) lineal de las matrices A =, A = y ( ) A =. Ejercicio. Determine el subespacio vectorial generado por el conjunto generador {(,,, ), (,,, ), (,,, ), (, 4,, )} R 4. Ejercicio. Determine el subespacio vectorial generado por el conjunto generador {(,, 5), (,, ), (,, ), (,, )}. Ejercicio {(. ) Halle ( el ) subespacio ( ) vectorial ( )} generado por,,,. Ejercicio{( 4. Hallar ) ( el subespacio ) ( )} vectorial generado por,,. Ejercicio 5. Hallar el espacio vectorial generado por los polinomios P () (t) = + t y P () (t) = t + t de grado. Ejercicio 6. Hallar el espacio generado por los polinomios de grado dos P () = + t, P () = t + t, P () = + t + t. Ejercicio 7. Determinar si el siguiente conjunto de vectores es linealmente independiente (l.i.) o linealmente dependiente (l.d.) {( ), ( ), ( ), ( )}. Ejercicio 8. Determinar si el siguiente conjunto de vectores es l.i. o l.d. {( ) ( ) ( )},,. Ejercicio 9. Determinar si el siguiente conjunto de vectores es l.i. o l.d. {( ) ( ) ( ) ( )},,,. Ejercicio. Sea { v, v, v } un conjunto de vectores l.i. Determinar si { v + 5 v, v v, v + 5 v } es l.i. o l.d. Ejercicio. Seleccione una base para el conjunto de vectores H = {(a, b, c, d) R 4 : a + b c =, d = }.

11 Ejercicio. Determinar si el conjunto de vectores B = {(,, 5), (,, ), (4,, 9)} R es una base de R. Ejercicio 9. Calcule el valor de α para que el polinomio p(x) = 8+6x+(+α)x está en el espacio generado por r(x) = + x + x y q(x) = 8x + x. Ejercicio. Halle una base para el subespacio de P, H = {a + bx + cx P : b = a c}. Ejercicio 4. {( Hallar) una base para el subespacio } a b de M, H = M c d : a + b =. Ejercicio 5. Determinar si el conjunto de vectores de R, B =,,, es una base de R. Ejercicio {( 6. ) ( Dado) el ( conjunto )} de vectores B =,, a. Halle el subespacio H generado por B b. Halle una base para H y dim H. c. Determine si B es una base para H. d. Complete la base hallada hasta obtener una base de M. e. Halle un generador l.d. de M. Ejercicio. Pruebe que si el conjunto S = {v, v,..., v n, v n+ } genera un espacio vectorial V y v n+ es combinación lineal de los elementos de S = {v, v,..., v n }, entonces S genera a V. Ejercicio. Sea {v,..., v k } un conjunto l.i. del espacio vectorial V. Demuestre que el conjunto {v + v, v + v,..., v k + v k, v k } es l.i. Ejercicio. Suponga que {v, v, v } es una base de un espacio vectorial V. Decida si el subconjunto {v + v, v + v, v + v } es también una base de V. Ejercicio(. Sea ) V el conjunto de las matrices de x y la forma y W el conjunto de las matrices x z ( ) a c de la forma, donde a, b, c, x, y, z R. b c a. Pruebe que V y W son subespacios de M. b. Encuentre la forma general de un elemento de H = V W. c. Halle la base y la dimensión de V, W y H. Ejercicio 7. Dado el espacio H = {a + bx + cx + dx P : b = a c, d = a + c} a. Halle una base para H. b. Complete la base hallada hasta obtener una base de P. c. Halle un generador l.d. de P. Ejercicio 8. Sea la matriz A = H = {B M : AB = BA} a. Halle la dimensión y una base de H. ( ) y b. Complete la base hallada hasta obtener una base de M.

12 Rango, nulidad, espacio fila y espacio columna. Ejercicio 4. Hallar una base y la dimensión del espaico nulo N A = { x R 4 : x x +x =, x +x x 4 = }. Ejercicio 5. Sea a. encuentre una base para F A b. encuentre una base para C A c. encuentre una base para N A Ejercicio 6. Determinar si el sistema x x + x x 4 = x x + x 4 = x + x x = x x + 4x x 4 = b. Encuentre bases para N A y C A. c. Calcule dim N A y dim C A. Ejercicio 9. Sea 4 4 a. Halle una base para el espacio columna de A. b. Halle el rango y la nulidad de A. c. Determine si ( 5,,,, ) está en el espacio columna de A. d. Halle una base para el espacio nulo de A. e. Halle una base para el espacio fila de A. f. Para qué vectores b tiene solución sistema A x = b? tiene solución. Ejercicio 7. Determinar si el sistema tiene solución. x + x + x 4 + 4x 5 = 5 x + x + 7x + 7x 4 + 5x 5 = 7 x + x + 9x + x 4 + 9x 5 = Ejercicio 8. Sea a. Si b = b b b que b C A., halle condiciones sobre los b i para

13 Espacios con producto interno. Proyección ortogonal. Ejercicio 4. En R sea x = (x, x ), y = (y, y ) y sea ( x, y) = x y x y. a. Define esta operación un producto interno sobre R? b. Cuáles axiomas del producto interno se cumplen? Ejercicio 4. Sean ( + i, + 4i, 4 + i) y ( i, + i, + i) C. Compruebe si son ortogonales y halle la norma del segundo vector. Ejercicio 4. Encuentre una base ortonormal para el subespacio x H = y R : x y + z =. z Ejercicio 4. Hallar una base ortonormal para P [, ]. Ejercicio 44. Encuentre una base ortonormal para D (matrices diagonales de orden ). Ejercicio 45. Encuentre una base ortonormal para {( ) } a b H = M c d : a = b d. Ejercicio 46. Sea H un subespacio definido por x H = y R : x y + 6z = z y v = R. Calcule proy H v. 4 Ejercicio 47. Sea H un subespacio definido por x H = y z R4 : x = y, w = y w y v = a. H. Hallar b. una base para H c. proy H v Ejercicio 48. Considere el subespacio /5 4/5 H = gen, R 4/5 /5 y v = R. Halle a. proy H v b. la distancia de v a H 5 Ejercicio 49. Sea B =, una base 5 ortogonal de H y v = R, halle 4 a. proy H v b. la distancia de v a H c. dim H

14 Ejercicio 5. Considere el espacio vectorial V = C[, ] con el producto interno dado por (f, g) = f(x)g(x)dx. Demuestre que el polinomio constante g más cercano a f(x) = e x es g(x) = (e ). Ejercicio 5. Considere el espacio de las funciones reales, continuas, definidas en [, ], con el producto interno (f, g) = x f(x)g(x)dx. Para qué valores de k, el conjunto de las funciones {, x, x k} es una base ortogonal del espacio de polinomios de grado a lo sumo? i i + Ejercicio 5. Sea A = i i + 4i 7 a. halle ρ(a) y ν(a) b. halle una base ortonormal para N A Ejercicio 5. En P, con producto (f, g) = xf(x)g(x)dx a. Es (f, g) un producto interno? b. Halle una base para el complemento ortogonal de H = gen{, x}. c. Halle una base ortonormal para H Ejercicio 54. Considere C con el producto interno canónico. Halle una base ortonormal para el subespacio generado por β = (,, i) y β = (,, + i). 4

15 Transformaciones lineales. Matriz asociada a una transformación lineal. Ejercicio 55. Verificar si es lineal la transformación T : R R (x, y) (x, y ) Ejercicio 56. Verificar si es lineal la transformación ( ) T : M M A A + BA donde B = Ejercicio 57. Verificar si la transformación T : R R definida por T (x, y) = (x +, y + ) es lineal. Ejercicio 58. Verifiar si es lineal la transformación T : P P a + bx + cx b bx + ax Ejercicio 59. Si para una transformación lineal T se conoce que T (x x ) = x T ( + x ) = x T ( x + x ) = + x + x a. Halle la imagen por T del vector + x + x. b. Halle la transformación T. Ejercicio 6. Dada la transformación lineal T : R R 4 ( ) x x x + y y x y y b. Halle ρ(t ). c. Halle img(t ). Ejercicio 6. Dada la transformación lineal a. Halle img(t ). T : R R 4 x y x y y x + z z z b. Halle las dimensiones de nu(t ) e img(t ). c. Pertenece el vector (,, ) a nu(t )? d. Es T sobreyectiva? Ejercicio 6. Dada la transformación T : M M A A + BA donde B = a. Demostrar que es lineal. b. Hallar img(t ), ρ(t ). c. Hallar nu(t ), ν(t ). d. Es T sobreyectiva? Ejercicio 6. Hallar el núcleo de T : R R a a + b b c c c ( ) a. Halle nu(t ). 5

16 Ejercicio 64. Hallar el núcleo y el rango de T : R R 4 ( ) x x x + y y x y y 4 Ejercicio 65. Sea A = 4, determinar si el vector (, 4,, ) pertenece al núcleo de A. Ejercicio 66. Sea T : R R ( ) x y x y y x + y Ejercicio 7. Sea T : R R una transformación lineal tal que: 4 T = x, T = y / / 9 T = z / 6 con x, y, z R y además, T = z 4. 7 a. Halle T 5 b. Halle la matriz asociada a la transformación T c. Halle ν(t ) y ρ(t ) Hallar la matriz asociada (de transformación) para las bases canónicas. Ejercicio 67. Sea T : R R 4 (a, b) (a, a + b, b, b a) Hallar la matriz asociada (de transformación) para las bases canónicas. Ejercicio 68. Sea P el espacio vectorial de los polinomios en t con coeficientes reales, de grado menor o igual a ; y sea D : P P p(t) dp(t) dt el operador diferencial definido por D(p(t)) = d dt (p(t)). Hallar la matriz asociada a D para las bases canónicas. Ejercicio 69. Dada la transformación T : M M A (A, B)B donde B = a. Hallar la matriz asociada A T. b. Hallar ν(t ) y ρ(t ). ( ) 6

17 Autovalores y autovectores. Matrices semejantes y diagonalización. Ejercicio 7. Dada la matriz A = 5, 4 comprobar si los vectores, y son 4 autovectores (vectores propios) de A. Ejercicio 7. Hallar los autovalores de la matriz A = 5. Ejercicio 7. Hallar los autovalores de la matriz 4 A =. Ejercicio 78. Hallar los espacios propios de la matriz. Ejercicio 79. Hallar los espacios propios de la matriz. Ejercicio 8. Demostrar que si λ es autovalor de A, entonces λ + c es autovalor de A + ci. Ejercicio 8. Demuestre que si A es invertible y λ es autovalor de A, entonces λ es autovalor de A. Ejercicio 74. Hallar los autovalores de la matriz. Ejercicio 75. Hallar los autovalores de la matriz. Ejercicio 76. Hallar los espacios propios de la matriz 5. Ejercicio 77. Hallar los espacios propios de la matriz 4 A =. Ejercicio 8. Sean A y B matrices n n, con A invertible. a. Demuestre que AB y BA tienen el mismo conjunto de autovalores. ( ) 5 b. Sea C =. Si se sabe que existen matrices simétricas A y B de tamaño tales que C = AB, encuentre los autovalores de C t. Ejercicio 8. Comprobar si 5 es diagonalizable. 4 Ejercicio 84. Comprobar si A = es diagonalizable. 7

18 Ejercicio 85. Determinar si es diagonalizable. Ejercicio 86. Dada la matriz A =. a. Halle sus autovalores y espacios propios. b. Si es diagonalizable, halle la matriz diagonalizante C y la matriz diagonal D. c. Explique por qué la matriz D, si existe, es semejante a la matriz A. Ejercicio 87. Sea A = 5 a. Calcule los autovalores de A y los espacios propios asociados a ellos. b. Diagonalice ortogonalmente a la matriz A. Ejercicio 88. ( Determinar los) autovalores y autovectores de A = cos θ sen θ sen θ cos θ Ejercicio 89. Determinar a, b, c, d, e, f sabiendo que los vectores (,, ), (,, ) y (,, ) son autovectores de la matriz a b c d e f 4 Ejercicio 9. Sea A = q, para qué valores p de p y q es A diagonalizable? Ejercicio 9. Sea A una matriz de tamaño n n, λ uno de sus autovalores y x el autovector asociado a λ. a. Pruebe por inducción que λ k, con k un número entero, es autovalor de A k. ( ) 6 b. Si A =, determine los autovalores de A 5. 4 Ejercicio 9. Sea A = 4 a. Es A diagonalizable? b. Calcule A. 8

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