EJERCICIOS. Ejercicio 1.- Para el modelo de regresión simple siguiente: Y i = βx i + ε i i =1,..., 100. se tienen las siguientes medias muestrales:

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1 EJERCICIOS Tema 2: MODELO DE REGRESION LINEAL SIMPLE Ejercco 1.- Para el modelo de regresón smple sguente: Y = βx + ε =1,..., 100 se tenen las sguentes medas muestrales: ( P y ) /n = ( P y 2 ) /n = ( P x ) /n = ( P x 2 ) /n = ( P x y ) /n = ( P y /x ) /n = ( P y 2 /x 2 ) /n = ( P x 4 ) /n = a) Obtener la estmacón MCO de β yladesvacón típca del estmador MCO de β cuando se cumplen los supuestos habtuales. b) S la varanza del térmno de perturbacón u fuese conocda y tal que σ 2 u =0.25 x 2, cuál sería la verdadera desvacón típca del estmador MCO de β? Interpretar Ejercco 2.- Se ha estmado el modelo y = βx + ε y, para medr la bondad de ajuste, se ha calculado el R 2 y se ha obtendo un valor gual a A qué sedebe este resultado? Ejercco 3.- Para estmar el modelo y = β 0 +β 1 x +u se dspone de dos muestras, AyB.Justfca para cada uno de los sguentes casos, qué muestra sería más deseable: a) la únca dferenca entre ambas muestras es que el número de observacones de la muestra A es menor que el de la muestra B. b) la únca dferenca entre ambas muestras es que P n =1 (x A x A ) 2 < P n =1 (x B x B ) 2 1

2 Ejercco 4.- Los sguentes sumatoros se obtenen a partr de 16 observacones de las varables x e y y 2 = 526 y = 64 x 2 = 657 x =96 x y = 492 a) Calcula P (y ȳ) 2, P (x x) 2 y P (x x)(y ȳ) b) Encuentra las estmacones MCO de la regresón y = β 0 + β 1 x + u. c) Calcula el coefcente de determnacón R 2 y comenta los resultados. Ejercco 5.- Dado el modelo de regresón smple y = β 1 + β 2 x + u, demostrar Var(y) que b 2 = r xy donde r xy es el coefcente de correlacón lneal (muestral) entre Var(x) x e y. Ejercco 6.- En el modelo de regresón smple y = α + βx + ε, =1,..., n bajo las hpótess usuales se han obtendo los sguentes valores: ˆβ = 1.1 y el coefcente de correlacón lneal r =0.89. S se multplcan todos los valores x, por 5 y todos los y por (-10): a) el valor de r sgue sendo 0.89 pero el de ˆβ 1 pasaaser2.2. b) tanto el valor de r como el de ˆβ 1 permanecen constantes. c) camban tanto el valor de r como el de ˆβ 1. d) el valor de r pasa a ser -0.89, pero el de ˆβ 1 permanece constante. Ejercco 7.- La dreccón de una empresa quere estudar la rentabldad de su nversón en publcdad. Para ello ha recogdo datos del volumen de ventas y del gasto en publcdad referdos a los años noventa, en mles de euros 2

3 Año Ventas Gasto publcdad a) Especfca y estma el modelo lneal que explque las ventas de la empresa en funcón de la nversón publctara. Interpreta los parámetros estmados. b) En el año 2003, la empresa va a nvertr euros en publcdad. Calcula el volumen de ventas esperado. c) Se plantea el modelo Y = β + ε =1,...n Halla el estmador mínmo cuadrátco de β. d) Aplca el resultado del apartado anteror para explcar el volumen de ventas en funcón de los gastos en publcdad. Comprueba que la meda de los resduos no es nula. Ejercco 8.- DadoelmodeloY = β 0 + β 1 + ε y realzada su estmacón por mínmos cuadrados ordnaros para una muestra de 6 observacones, se obtene el vector de resduos que aparece en la tercera columna de la tabla sguente, 3

4 Observacón e ? ? Apartrdeestanformacón, recuperar los datos desconocdos en la tabla anteror. Ejercco 9.- En una empresa el salaro anual de cada ndvduo, Y, se determna por la fórmula Y = S +200T donde S es el número de años de estudos del ndvduo y T es el número de años que ha estado empleado. Sea la edad del ndvduo. Calcule Cov(, Y ), Cov(, S) y Cov (, T) para la muestra de ndvduos que fgura en la tabla de abajo y compruebe que yademás Cov (, Y ) = 500Cov (, S) + 200Cov (, T) V (Y )= V (S) V (T ) Cov (S, T ) Deduzca analítcamente estas expresones. Indvduo Edad Años Estudo Años Empleo Salaro

5 Ejercco 10.- La tabla de abajo muestra la tasa meda de crecmento del PIB, g, y del empleo, e, para 25 países de la OCDE para el perodo Adconalmente se presentan los resultados de realzar la regresón de e frente a g : 3.1) Realce un gráfco entre la tasa de empleo y la tasa de crecmento del PIB. 3.2) Descrba cada uno de los conceptos de la salda de ordenador de la regresón, hallando los resultados que faltan e nterprete los coefcentes de la regresón Tasas de crecmento medo del Empleo y PIB Empleo PIB Empleo PIB Australa Corea Austra Luxemburgo Bélgca Holanda Canadá Nueva Zelanda Dnamarca Noruega Fnlanda Portugal Franca España Alemana Sueca Greca Suza Islanda Turquía Irlanda RU Itala EEUU Japón e Coef. Std.Err. t P> t g ? cons ?

6 Ejercco 11.- Usando el conjunto datos de EEUU, un ndvduo realzó laregresón del ngreso por hora, EARNINGS, meddo en dólares, frente a años de educacón, S, y obtuvo el sguente resultado EARNINGS c = S Unsegundondvduoajustalamsmaregresón pero se equvoca y estma la regresón de S frente a EARNINGS y obtene bs = EARNINGS ydeésta derva EAR c NINGS = S Explque por qué exste esta dscrepanca entre esta ecuacón y la que ajustó elprmer ndvduo. Ejercco 12.- Se llama curva de aprendzaje a las mejoras que expermenta un ndvduo en la realzacón de una actvdad cuando éste la repte. Las curvas de aprendzaje se utlzan, por ejemplo, para analzar el coste de ncorporacón de un nuevo trabajador a una cadena de montaje. Supongamos que el número de pezas correctas que hace un operaro en una máquna está determnada por la sguente curva de aprendzaje Y = u donde Y es el número de pezas sn fallos, es el número de veces que ha repetdo la operacón en el mes de ncorporacón a la empresa y u es un térmno de perturbacón. La tabla sguente da los resultados de las prmeras 20 veces que el operaro trabajó en la cadena: va de 0 a 19; los valores de la perturbacón - que a pror son nobservables- se obtuveron de muestrear en una normal con meda cero y varanza 1 y multplcar el valor obtendo por 400; el valor de Y se obtuvo de los valores de y u aplcados a la curva de aprendzaje 6

7 Observacón u Y La regresón de Y frente a se estmó con los datos de esta tabla by =369 (190) (17.1) donde los errores standard están entre paréntess. (a) Explque con sus palabras el sgnfcado de la tabla anteror. 7

8 (b) Porqué el valor estmado de la constante no es gual a 500 y el coefcente de no es gual a 100? (c) Cuál es el sgnfcado del error standard y para qué se utlza? (d) El msmo proceso de aprendzaje se ha repetdo con otros 10 operaros nuevos, generando nuevamente el térmno de perturbacón a partr de una normal, y los resultados de las regresones fueron las sguentes Operaro Constante St.error Coef. de St.error (d.1) Por qué laconstante,elcoefcente de ysuerrorstandardvarían de operaro a operaro? (d.2) Realce un gráfco donde en el eje de abcsas fgure el número de operaro y en el de ordenadas el valor del coefcente de. Qué observa en dcho gráfco? Realce la meda matemátca de los coefcentes de y dscuta su resultado. (d.3) La varanza de es y la de u es Usando la expresón de abajo, demostrar que la desvacón típca del coefcente de es Cree que los errores standard presentados en la tabla son buenas estmacones de la desvacón típca? 8

9 Justfque su respuesta. σ 2 b 2 = σ 2 u nv ar () Ejercco 13.- Un nvestgador cree que la verdadera relacón entre dos varables está dada por la ecuacón Y = β 1 + β 2 + u Dada una muestra de n observacones, el nvestgador estma β 2 como la meda de Y dvdda por la meda de. Dscuta las propedades de este estmador. Qué dferencas habría s hubéramos supuesto β 1 =0? 9