ECONOMETRÍA I. Tema 3: El Modelo de Regresión Lineal Múltiple: estimación

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1 ECONOMETRÍA I Tema 3: El Modelo de Regresión Lineal Múltiple: estimación Patricia Moreno Juan Manuel Rodriguez Poo Alexandra Soberon Departamento de Economía Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 1 / 45

2 Limitaciones del Análisis de Regresión Simple Existen diversos problemas que no pueden ser resueltos con el modelo de regresión simple: Es complicado extraer conclusiones ceteris paribus. A la hora de realizar un análisis causal es mejor controlar más factores que recurrir al supuesto de media condicional cero, E(u x) = 0. Si usamos un único regresor, solamente somos capaces de explicar una parte limitada de la variabilidad de y en función de la información proporcionada por esa x. Sólo se puede incorporar una relación funcional concreta entre x e y (en función de x, logx, etc.) Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 2 / 45

3 Motivación del modelo de regresión múltiple Objetivo: determinar el impacto de la educación (educ) sobre los salarios (wage) cuando también se conoce la experiencia laboral (exper). wage = β 0 + β 1 educ + β 2 exper + u. Este modelo incluye exper para controlar su efecto sobre wage. Incorporar exper expĺıcitamente es importante porque la educación y la experiencia laboral están positivamente correlacionados. En el modelo de regresión lineal la experiencia está incluida en el término de error por lo que el estimador MCO estaría sesgado. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 3 / 45

4 Modelo de regresión lineal múltiple El Modelo de Regresión Lineal Múltiple nos permite explicar relaciones económicas en las que intervienen más de dos variables. donde y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β k x k + u, β 0 : término de intercepto. β j (j = 1,, k): parámetro de la pendiente. Se interpreta como el efecto parcial sobre y de un cambio en x j, ceteris paribus. u: término de error. Supuesto clave: E(u x 1,, x k ) = 0. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 4 / 45

5 Modelo de regresión con 2 variables Objetivo: explicar el efecto del gasto por estudiante (expend) sobre la calificación media en un examen estandarizado (avgscore) controlando también por el ingreso familiar medio (avginc). avgscore = β 0 + β 1 expend + β 2 avginc + u, donde β 0 : intercepto. β 1 : mide cómo cambia avgscore ante un cambio en expend, manteniendo todos los demás factores constantes. β 2 : mide cómo cambia avgscore ante un cambio en avginc, manteniendo todos los demás factores constantes. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 5 / 45

6 Modelo de regresión múltiple Objetivo: estimar un modelo en el cual x 1 y x 2 están correlacionados perfectamente pero no de forma lineal. cons = β 0 + β 1 inc + β 2 inc 2 + u, donde cons es el consumo del hogar e inc es el ingreso del hogar. Como en este caso estimamos un modelo de regresión múltiple pero la renta es el único factor que afecta al consumo, la interpretación de los parámetros cambia dado que x 2 no puede ser cosntante si x 1 cambia. β 1 y β 2 no tienen interpretación por separado. Propensión marginal a consumir: cons inc = β 1 + 2β 2 inc. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 6 / 45

7 Modelo de regresión con 2 variables: MCO Los estimadores MCO resuelven el siguiente problema n ( min β0,β 1,β 2 y i β 0 x β 1i 1 x β ) 2 2i 2. i=1 de modo que los estimadores MCO minimizan el promedio de la diferencia al cuadrado entre los valores actuales y i y los valores predichos (ĺınea estimada). Condiciones de primer orden: n (y i β 0 x β 1i 1 x β ) 2i 2 i=1 n i=1 n x 1i ( y i β 0 x 1i β 1 x 2i β 2 ) x 2i ( y i β 0 x 1i β 1 x 2i β 2 ) = 0, = 0, = 0. i=1 Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 7 / 45

8 Interpretación del modelo de regresión múltiple Sea la ecuación estimada ŷ = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 Los estimadores de las pendientes se interpretan como efectos parciales o ceteris paribus, i.e., ŷ = β 0 + β 1 x 1 + β 2 δx 2, donde β 1 = E[y x1,x2] x 1 : Si x 1 varía 1 unidad, y varía en promedio β 1 unidades de y cuando x 2 se mantiene constante, i.e., cuando x 2 = 0, ŷ = β 1 x 1. β 2 = E[y x1,x2] x 2 : si x 2 varía 1 unidad, y varía en promedio β 2 unidades de y ceteris paribus, i.e., cuando x 1 = 0, ŷ = β 2 x 2. β 0 : valor predicho del promedio de y cuando x 1 = x 2 = 0. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 8 / 45

9 Interpretación del modelo con términos cuadráticos Modelo: Cuando queremos modelizar la relación entre x e y considerando la existencia de efectos marginales crecientes o decrecientes el modelo a considerar es: y = β 0 + β 1 x + β 2 x 2 + u, donde E(u x) = 0 = E(y x) = β 0 + β 1 x + β 2 x 2. Interpretación: cuando x varía 1 unidad, y varía en media en (β 1 + 2β 2 x) unidades de y, i.e. E(y x) x = β 1 + 2β 2 x. β 1 y β 2 no tienen interpetación por separado. Existe un valor crítico (x = β 1 /2β 2 ) en el que el efecto de x sobre E(y x) cambia de signo. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 9 / 45

10 Modelo de regresión lineal múltiple: forma matricial Sea el modelo de regresión con k variables explicativas, Y = Xβ + u. Y es un vector n 1 de observaciones de Y. X es una matriz n k de observaciones de las variables explicativas. u es un vector n 1 de perturbaciones no observables. Y = Y 1 Y 2., X = 1 X 11 X k1 1 X 12 X k , β = β 0 β 1., u = u 1 u 2. Y n 1 X 1n X kn β k u n Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 10 / 45

11 MCO en notación matricial Modelo de regresión ajustado: Y = X β + û, Residuos al cuadrado: û û = X β(y X β) (Y X β) = (Y β X )(Y X β) = Y Y β X Y Y X β + β X X β = Y Y 2 β X Y + β X X β, Condición de primer orden: (û û) β = 2X (Y X β) = 0 k, Esta c.p.o. es la misma que X û = 0. Reordenando X X β = X Y. β = ( X X ) 1 X Y. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 11 / 45

12 Propiedades algebráicas MCO Valores ajustados: Ŷ = X β. Residuos: û = Y Ŷ = Y X β. Propiedades: La suma de los residuos MCO es cero: n i=1 ûi = 0. La media muestral de los residuos es cero. Así Y = Ŷ. La covarianza muestral entre cada una de las variables independientes y los residuos MCO es cero. La ĺınea de regresión MCO siempre va a través de la media de la muestra (Y = X β). Así, X [Y X β] = X û = 0 k. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 12 / 45

13 Bondad de ajuste Dado que la variación total en y i es igual a la suma de la variación total en ŷ i y en û i (y i = ŷ i + û i ) podemos definir: Suma Total de los Cuadrados (STC): STC = n (y i y) 2 STC = Y Y ny 2 = Y M i Y. i=1 Suma de Cuadrados Explicada (SCE): SCE = n (ŷ i y) SCE = Ŷ Ŷ ny 2 = Ŷ M i Ŷ. i=1 Suma de Cuadrados de los Residuos (SCR): SCR = n ûi 2 SCR = û û = Y MY. i=1 donde M i = I n ı(ı ı) 1 ı y M = I X(X X) 1 X. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 13 / 45

14 Bondad de ajuste SST = SSE + SSR. Suponiendo que la variación total en Y no sea cero, R 2 = SSE SST = 1 SSR SST = 1 Y MY Y M i Y, R 2 representa la proporción de la variación muestral en Y que es explicada por la ĺınea de regresión MCO. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 14 / 45

15 Bondad de ajuste R 2 también puede ser entendido como el coeficiente de correlación al cuadrado entre el valor actual y i y el valor predicho ŷ i : ( ni=1 (y i y)(ŷi ŷ)) 2 R 2 = ( ( n ni=1 ). i=1 (y i y) 2 ) (ŷ i ŷ) 2 Propiedades R 2 : 0 R 2 1. R 2 nunca disminuye cuando otra variable independiente es añadida a la regresión. Normalmente aumenta. R 2 no es un instrumento muy confiable para decidir si incluir o no un nuevo regresor en la regresión dado que normalmente siempre aumenta a medida que se incorporar más variables explicativas. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 15 / 45

16 Regresión a través del origen En ocasiones la teoría económica impone la restricción de que cuando X k = 0 el valor esperado de Y es cero, es decir, β 0 = 0. Por ejemplo, si los ingresos son iguales a cero (X = 0) los impuestos asociados al trabajo también son iguales a cero (Y = 0). Modelo: y i = β 1 x 1i + β 2 x 2i + + β k x ki, i = 1,, n. El estimador MCO minimiza el problema n (y i β j x ji ) 2, j = 1,, k. i=1 Condiciones de primer orden: x ji (y i β j x ji ) = 0 i=1 Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 16 / 45

17 Regresión a través del origen Estimador MCO: β j = ni=1 x ji y i ni=1 x 2 ji El ajuste MCO ya no satisface las mismas condiciones que en el caso general: û ya no tienen media muestral cero. Si definimos R 2 = 1 SSR/SST entonces R 2 puede ser negativa. Si β 0 0, los estimadores MCO pueden estar sesgados. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 17 / 45

18 Regresión simple vs regresión múltiple Regresión simple: ỹ i = β 0 + β 1 x 1i. Regresión múltiple: ŷ i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i. Parcializando obtenemos la siguiente relación β 1 = β 1 ni=1 r 1i x 1i ni=1 r 2 1i + β k ni=1 r 1i x ki ni=1 r 2 1i + β k ni=1 r 1i r 2i ni=1 r 2 1i β 1 = β 1 + β k δ 1. Normalmente, β 1 β 1 aunque existen dos casos en que β 1 = β 1. β 2 = 0: el efecto parcial de X 2 sobre Ŷ es cero. δ 1 : X 1 y X 2 no están correlacionadas en la muestra. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 18 / 45

19 Parcialización Objetivo: comparación entre estimación de regresión simple y de regresión múltiple. El modelo lineal general Y = X β + û se puede escribir como Y = X β r r + X β s s + û donde X r y X s son submatrices de dimensión n r y n s, respectivamente. β r es un subvector r 1 que contiene los r primeros parámetros de β y β s es un subvector s 1 que contiene los s = k r restantes de β. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 19 / 45

20 Parcialización Sean H y M matrices de proyección (simétrica e idempotente) H = X(X X) 1 X y M = I X(X X) 1 X. Sea la matriz M s = I n X s (X sx s ) 1 X s, multiplicamos el modelo por M s M s Y = M s X β r r + M s X β s s + M s û y dado que M s X s = 0 y Mû = MMY = MY = û, M s Y = M s X β r r + M s û. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 20 / 45

21 Parcialización: interpretación Estimador MCO: β r = (X rm sm s X r ) 1 X rm sm s Y = (X rm s X r ) 1 X rm s Y. Considerando el caso en que k = 2, Ŷ = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2, ni=1 r i1 y i β 1 = ni=1 r i1 2, donde r i1 son los residuos de la regresión estimada X 1 = γ 0 + γ 2 X 2. Interpretación: sólo la parte de x 1i que está incorrelacionada con x 2i está relacionada con y i. Por lo tanto, estamos estimando el efecto de x 1 sobre y después de que x 2 haya sido parcializado. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 21 / 45

22 Valores esperados del estimador MCO Supuestos: RLM.1:Linealidad en parámetros: Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X β k X k + u. RLM.2:Muestreo aleatorio. Usamos un muestreo aleatorio con n observaciones {(x 1i, x 2i,, x ki ) : i = 1, 2,, n} de acuerdo con el modelo poblacional propuesto. Así, y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + + β k x ki + u i. RLM.3:No hay multicolinealidad perfecta. Ninguno de los regresores es constentes y tampoco existen relaciones lineales exactas entre las variables independientes. RLM.4:Media condicional cero: E(u x 1, x 2,, x k ) = 0. Así, todas las variables explicativas son exógenas. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 22 / 45

23 Valores esperados del estimador MCO Teorema Bajo los supuestos RML.1-RML.4, el estimador MCO β j es insesgado para β j E( β j ) = β j, j = 1,, k, para cualquier valor de los parámetros poblacionales β j. El supuesto clave es RML.3. La propiedad de insesgadez no dice nada sobre el resultado de la estimación. Sólo es una propiedad del método de estimación MCO. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 23 / 45

24 Valores esperados del estimador MCO: matricial Supuestos: (A.1) El modelo puede ser escrito como Y = Xβ + u, donde Y es un vector n 1 observado, X es una matriz observada n k y u es un vector n 1 de términos de error no observados. (A.2) La matriz X tiene rango k. (A.3) Cada error v i tiene media cero, condicional a toda la matrix X, E(u i X) = 0. Teorema: Bajo los supuestos (A.1)-(A.3), el estimador MCO β es insesgado para β. E( β) = β Proof: E( β) = β + E X {(X X) 1 X E(u X)}. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 24 / 45

25 Estimadores MCO: Inclusión de variables irrelevantes Sobre-especificación del modelo de regresión múltiple: cuando una o más regresores están incluidos en el modelo a pesar de que en la población no tienen efecto parcial en y. Sea Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3, donde X 3 no tiene efecto sobre Y una vez controladas por X 1 y X 2 por lo que β 3 = 0, E(Y X 1, X 2, X 3 ) = E(Y X 1, X 2 ) = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2. Efectos de la inclusión de variables irrelevantes: Ninguno. E( β 3 ) = β 3 = 0 y el estimador MCO sigue siendo insesgado. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 25 / 45

26 Estimadores MCO: Omisión de variables relevantes Cuando omitimos una variable relevante (subespecificamos el modelo) incurrimos en un caso particular de error de especificación. Efecto de la subespecificación: los estimadores MCO normalmente serán sesgados. Por qué? Modelo verdadero: Modelo a estimar: wage i = β 0 + β 1 educ i + β 2 abil i + u i. wage i = β 0 + β 1 educ i + v i, v i = β 2 abil i + u i. Estimador MCO: siendo x 1 = educ, β 1 = ni=1 (x 1i x 1 )y i ni=1 (x 1i x 1 ) 2. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 26 / 45

27 Estimadores MCO: Omisión de variables relevantes Reemplazando β 1 en el verdadero modelo y siendo x 2 = abil, n (x 1i x 1 )(β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + u i ) i=1 y usando E(u i ) = 0, ó n i=1 E( β 1 ) = β 1 + β (x 1i x 1 )x 2i 2 n i=1 (x 1i x 1 ) 2 E( β 1 ) = β 1 + β 2 δ1, donde δ 1 es el coeficiente de la pendiente de regresión ( x 2 = δ 0 + δ 1 x 1 ) usando la misma muestra. Así, β 1 está sesgado para estimar β 1 : Sesgo( β 1 ) = E( β 1 ) β 1 = β 2 δ 1. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 27 / 45

28 Estimadores MCO: Omisión de variables relevantes Existen dos situaciones en las cuales β 1 es insesgado: Si β 2 = 0, por lo que x 2 no aparece en el modelo poblacional. Si δ 1 = 0, es decir, la covarianza muestral entre x 1 y x 2 es cero. Signo del sesgo: Sesgo( β 1 ) = E( β 1 ) β 1 = β 2 δ 2. Corr(x 1, x 2 ) > 0 Corr(x 1, x 2 ) > 0 β 2 > 0 Sesgo positivo Sesgo negativo β 2 < 0 Sesgo negativo Sesgo positivo Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 28 / 45

29 Estimadores MCO: Omisión de variables relevantes Objetivo: determinar el impacto de la omisión de múltiples regresores en el modelo estimado. Modelo poblacional: Modelo a estimar: Y = X r β r + X s β s + u. Y = X r β r + ɛ, ɛ = X s β s + u. β r = (X r X r ) 1 X r Y β r = (X r X r ) 1 X r [X r β r + X s β s + u] Sesgo por error de especificación: = β r + (X r X r ) 1 X r X s β s + (X r X r ) 1 X r u. E( β r ) = β r + (X rx r ) 1 X rx s β s. }{{} Sesgo Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 29 / 45

30 Varianza de los estimadores MCO Además de saber que la distribución muestral de β j está centrada, es importante conocer su variabilidad alrededor de β j. Para hallar la varianza debemos añadir el supuesto de homocedasticidad. RLM.5: Homocedasticidad condicional. Dado cualquier valor x para (x 1, x 2,, x k ), el término de error u tiene la misma varianza, es decir, Var(u x 1, x 2,, x k ) = σ 2. Si esto no se cumple, estaríamos en presencia de heterocedasticidad. Los cuatro supuestos sobre la insesgadez (RLM.1-RLM.4) junto con este supuesto de homocedasticidad son conocidos como los supuestos de Gauss-Markov. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 30 / 45

31 Varianza de los estimadores MCO Bajo los supuestos RLM.1-5, condicional en los valores de las variables independientes, Var( β j ) = σ 2 SST j (1 Rj 2 j = 1,, k, ), donde Rj 2 es el R 2 de la regresión de x j sobre todos los demás regresores (y el término constante). SST j es la variación total de x j, es decir, n SST j = (x ij x j ) 2. i=1 Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 31 / 45

32 Varianza MCO: notación matricial E[uu X] = E u 1 u 2. u n ( u 1 u 2 u n ) X = E(u 2 1 X) E(u 1u 2 X) E(u 1 u n X) E(u 1 u 2 X) E(u 2 2 X) E(u 2u n X)... E(u n u 1 X) E(u n u 2 X) E(u 2 n X). Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 32 / 45

33 Varianza MCO: notación matricial Si asumimos que la varianza del término de error es homocedástica, σ E(uu 0 σ 2 0 X) = = σ σ De este modo, E[uu X] = σ 2 I n, donde I n es una matriz diagonal n n. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 33 / 45

34 Varianza MCO: notación matricial Var( β X) [ = E ( β β)( β ] β) X [ ] = E (X X) 1 X uu X(X X) 1 X = (X X) 1 X E(uu X) X(X X) 1 }{{} σ 2 Var( β X) = σ 2 (X X) 1. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 34 / 45

35 Varianza de los estimadores MCO Varianza del error, σ 2 : cuando mayor sea σ 2 mayor será Var( β j ). Es una propiedad de la población, no depende de n y es desconocido. Para reducirla es necesario introducir más variables explicativas. Problema: en ocasiones no siempre es deseable ni posible. Varianza total de x j, SST j : cuanto mayor SST j, menor será Var( β j ). Relación lineal entre los regresores: un mayor Rj 2 a una mayor Var( β j ). está asociado Rj 2 1: X j se puede explicar en gran parte por los otros regresores. A una correlación fuerte (pero no perfecta) entre 2 o más regresores se le conoce como multicolinealidad. Esta situación aumenta Var( β j ), como lo hace una muestra pequeña, todo lo demás igual. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 35 / 45

36 Varianza en los modelos mal especificados A la hora de decidir si incluir una variable o no en la regresión existe un trade-off entre el sesgo y la varianza. Modelo verdadero: Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + u Estimador modelo regresión múltiple: Ŷ = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2. Estimador modelo regresión simple: Ỹ = β 0 + β 1 X 1. Si β 2 0, β 1 estará sesgado. Desde el punto de vista del sesgo β 1 será preferido. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 36 / 45

37 Varianza en los modelos mal especificados Desde el punto de vista de la varianza: Por lo tanto, Var( β 1 ) = Var( β 1 ) = σ 2 SST 1 (1 R 2 1 ) σ 2 SST 1. Var( β 1 ) < Var( β 1 ). Si x 1 y x 2 están correlacionados: Var( β 1 ) = Var( β 1 ). Así, si x 1 y x 2 no están incorrelacionados: Si β 2 0, β 1 es sesgado, β 1 es insesgado y Var( β 1 ) < Var( β 1 ). Si β 2 = 0, β 1 y β 1 son insesgados y Var( β 1 ) < Var( β 1 ). Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 37 / 45

38 Varianza en modelos mal especificados: matrices Modelo verdadero: Y = X r β r + X s β s + u Modelo a estimar: Y = X r β r + ɛ, ɛ = X s β s + u. Estimador MCO: β r = (X rx r ) 1 X ry Varianza del estimador mal especificado: V ( β r ) = σ 2 (X rm s X r ) 1. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 38 / 45

39 Varianza en modelos mal especificados: matrices Varianza del estimador bien especificado: V ( β r ) = E [( β r E( β r ))( β r E( β r )) ] = E [(X rx r ) 1 X ruu X r (X rx r ) 1] = (X rx r ) 1 X r E(uu X r ) X r (X }{{} rx r ) 1 = σ 2 (X rx r ) 1 σ 2 I n Prueba de la varianza del modelo mal especificado: V ( β r ) = E [( β r E( β r ))( β r E( β r )) ] = E [(X rm s X r ) 1 X rm s uu M s X r (X rm s X r ) 1] = (X rm s X r ) 1 X rm s E(uu X r, X s ) M s X r (X }{{} rm s X r ) 1 σ 2 I n = σ 2 (X rm s X r ) 1 X r M s M }{{} s X r (X rm s X r ) 1 = σ 2 (X rm s X r ) 1 M s Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 39 / 45

40 Varianza en modelos mal especificados: matrices Inversa de las dos varianzas: V ( β r ) 1 V ( β r ) 1 = σ 2 X rx r σ 2 X rm s X r = σ 2 X r[i n M s ]X r = σ 2 X r[x s (X sx s )X s]x r. Esta matriz de diferencias será nula si X sx r = 0. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 40 / 45

41 Estimación del error de varianza Hemos visto que σ 2 = E(ui 2 ), por lo que un estimador insesgado de σ 2 es n 1 n i=1 ui 2. Como los errores no son observables, no podemos estimar σ 2. Sin embargo, si podemos utilizar los residuos û i para obtener un estimador de σ 2 σ 2 = SSR n = 1 n ûi 2. n i=1 σ 2 es un estimador sesgado dado que û i satisfacen k + 1 restricciones. El estimador insesgado de σ 2 ajustado por los grados de libertad (n k 1) es σ 2 = 1 n k 1 n i=1 û 2 i = SSR n k 1, Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 41 / 45

42 Estimador de la varianza del error: notación matricial σ 2 = dado que si M = (X X) 1 X, y û û ni=1 n k = ûi 2 n k, û = MY = M[Xβ + u] = Mu û û = (Mu) Mu = u M Mu = u Mu. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 42 / 45

43 Valor esperado de la varianza estimada Bajo los supuestos RLM.1-5, dado que E( σ 2 ) = E ( ) û û = σ 2 n k E(û û) = E(u Mu) = E(tr(u Mu)) = E(tr(Muu )) [ ] = tre(muu ) = tr[me(uu )] = tr M(σ 2 I n ) [ ] = tr σ 2 M = σ 2 trm = σ 2 (n k). Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 43 / 45

44 Estimación del error de varianza Bajo RLM.1-5, E( σ 2 ) = σ 2. Error estándar de la regresión: σ = σ 2. Desviación estándar de β j : sd( β j ) = Error estándar de β j : se( β j ) = σ [SST j (1 R 2 j )]1/2. σ [SST j (1 R 2 j )]1/2. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 44 / 45

45 Teorema de Gauss-Markov Bajo los supuestos RLM.1-5, β 0, β 1,, β k son los estimadores lineales insesgados óptimos de β 0, β 1,, β k, respectivamente, son (ELIOs, también conocido como BLUEs), es decir, el Estimador Lineal Insesgado Óptimo. Entonces, si los supuestos RLM.1-5 se cumplen el estimador MCO es el mejor. Alexandra Soberon (UC) ECONOMETRÍA I 45 / 45