LECTURA N 7: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Transcripción

1 LECTURA N : OERACIONES CON EXRESIONES ALGEBRAICAS Mteril recopildo con fines instruccionles por: Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojs, M. 00. Epresiones Algebrics. Crcs: UNEFA. Vlor Numérico de Epresiones Algebrics Es el número rel que result de reemplzr ls vribles por números determindos en l epresión lgebric. Ejemplo : Se y y y y y y, hllr el vlor numérico de y pr y. Sustituimos el vlor de y en l epresión y, es decir hllmos Respuest: y y Ejemplo : Se, y, hllr el vlor numérico de, y pr, y y y. Sustituimos los vlores de, y en l epresión, y, es decir hllmos, Respuest:, Aun cundo clculr el vlor numérico no es un operción mtemátic como tl sobre ls epresiones lgebrics, es considerd un herrmient útil pr determinr cifrs en comportmientos de crácter económico, físico, químico, biológico, entre otros. Vemos el siguiente ejemplo.

2 00 Ejemplo : Si l epresión C determin el costo totl pr construir un cerc, conociendo que represent los metros lineles de cerc. Cuál será el costo de l mism si se requieren 0 metros lineles de cerc pr su construcción? El vlor de es igul los 0 metros lineles de cerc, los cul se sustituye en 00 0 C Respuest: El costo pr un cerc con ests condiciones es de 0 BsF. Operciones con olinomios: Adición de olinomios r l dición o sum de polinomios es importnte l comprensión del mnejo de términos semejntes, que estudimos en l Lectur Nº. Es conveniente seguir el procedimiento indicdo: Se ordenn los polinomios preferiblemente en form descendente. Se completn los polinomios incompletos, dejndo el espcio en blnco o colocndo cero como coeficiente, junto l potenci de los términos que no precen en el polinomio. Se sumn verticlmente u horizontlmente los coeficientes de los términos semejntes. Ejemplo : Ddos y, hllr Se ordenn los polinomios y se colocn en form verticl. Luego se sumn lgebricmente es decir, usndo l ley de los signos los coeficientes de los términos semejntes. Respuest: Observe que l respuest se ofrece ordend descendentemente con respecto. Ejemplo : Ddos y Se pide encontrr

3 Se ordenn los polinomios en form descendente, en función de l vrible. Se sumn lgebricmente los coeficientes de los términos semejntes. 0 Respuest: Ejemplo : Ddos los siguientes polinomios y. Hllr Respuest: 0 Sustrcción de olinomios Se sigue un procedimiento semejnte l dición o sum de polinomios, pero est vez, considerndo el signo negtivo que precede l sustrendo, se puede reescribir l operción NOTA: Est sum de polinomios, tmbién puede resolverse sumndo horizontlmente los coeficientes de los términos semejntes.

4 como un dición, considerndo que en lugr del polinomio ddo en el sustrendo se utilizrá el polinomio opuesto éste es lo que el signo menos nos está indicndo. Ejemplo : Ddos y. Se pide encontrr. L operción se puede reescribir como [ ]. Ahor se identific polinomio opuesto o simétrico de. Si tenemos entonces. Se ordenn los polinomios y se colocn en form verticl: Luego procedemos sumr lgebricmente ley de los signos los coeficientes de los términos semejntes: Respuest:. NOTA: L rest o sustrcción de polinomios, tmbién puede resolverse horizontlmente, tomndo en cuent el signo negtivo que precede l sustrendo. Ejemplo : Ddos y. Hllr. Se multiplicn los signos -

5 0 Observ que los signos cmbin l ser multiplicdos ley de los signos Agrupmos términos semejntes: Respuest: Ejemplo : Ddos y. Hllr Respuest: Multiplicción de olinomios Monomio por olinomio: Este cso se present con much frecuenci y se resuelve utilizndo l propiedd distributiv de l multiplicción. El grdo del polinomio resultnte de l multiplicción de un monomio por un polinomio, es igul l sum de los grdos de mbos. Ejemplo 0: Multiplique por El grdo del monomio es y el grdo del polinomio es, por lo tnto el grdo del polinomio resultnte es. Vemos continución el producto:

6 Se multiplic por cd uno de los términos del polinomio. En cd término multiplicmos los coeficientes y multiplicmos ls vribles Respuest: Ejemplo : Multiplique y por y y y y y y y Ordenmos el polinomio considerndo l vrible y y y y y Aplicmos el mismo procedimiento del ejemplo nterior, se multiplic los términos del polinomio y y y y y y y En cd término multiplicmos los coeficientes y multiplicmos ls vribles y y y y y y y y por cd uno de En este cso el grdo del polinomio resultnte será, debido que eiste un fctor donde l vrible y tiene eponente. Respuest: y y y y NOTA: Cundo un polinomio tiene dos vribles se debe considerr un de ls dos, tnto pr ordenr el polinomio, como pr determinr su grdo. b olinomio por olinomio: uede resolverse utilizndo l propiedd distributiv o pueden colocrse un polinomio bjo el otro y relizr un multiplicción en form verticl. El grdo del polinomio resultnte de l multiplicción de dos polinomios es l sum de los grdos de cd polinomio. Vemos continución como resolvemos el producto de dos polinomios:

7 Ejemplo : : Ddos los polinomios y, hllr. El grdo del polinomio es y el grdo del polinomio es, por lo que el grdo del polinomio resultnte es. Ambos polinomios están ordendos en form descendente. r multiplicr mbos polinomios vmos colocrlos uno bjo el otro, preferiblemente el de myor número de términos rrib y el de menor cntidd de términos debjo. Si los polinomios no están ordendos, deben ordenrse preferiblemente en form descendente. Y nos qued: Multiplicmos cd término del polinomio de bjo por todos y cd uno de los términos del polinomio de rrib De est form se pueden sumr directmente los términos semejntes, siempre y cundo estén mbos polinomios ordendos en l mism form descendente o scendente. Note que el grdo del polinomio resultnte de l multiplicción es l sum de los grdos de los polinomios. Respuest: 0 Ejemplo : Sen y. Hllr. Multiplicmos cd término del polinomio por cd uno de los términos del polinomio.

8 Multiplicmos los coeficientes y multiplicmos ls vribles y nos qued: Ahor multiplicmos los coeficientes y plicmos ls propieddes de l potencición, y nos qued: Agrupmos los términos semejntes Respuest: 0 Ejemplo : Ddos los polinomios y, hllr:. Multiplicmos cd término del polinomio por cd uno de los términos de

9 Multiplicmos los coeficientes y multiplicmos ls vribles y nos qued: - Ahor multiplicmos ls frcciones, demás, plicremos ls propieddes de l potencición y nos qued: Simplificndo ls frcciones: 0 Agrupmos los términos semejntes: 0 Resolviendo ls frcciones, nos qued que: Respuest:

10 División de olinomios r relizr est operción, el polinomio dividendo debe ser de grdo myor o igul l grdo del polinomio divisor. Al igul que en un división de números reles, los elementos que componen un división entre polinomios son: Dividendo, Divisor, Cociente y Residuo. Si el Residuo es cero l división se clsific como ect. or ejemplo, dividir el polinomio entre el polinomio,, el dividendo es, el divisor es y el cociente C. Además, se define como quel polinomio que cumple con l siguiente relción: C R ; donde R es el residuo. Vemos continución cómo hcer l división entre dos polinomios: olinomio dividido entre monomio: Ejemplo : Se 0 y se. Hllr. 0 Cundo el denomindor es un monomio, se sepr l frcción originl en tres frcciones con igul denomindor, y obtenemos: 0 Luego simplificmos, tnto los coeficientes, como ls vribles: Respuest: Dividiendo los coeficientes: 0 ; ; Dividiendo ls potencis: ; ; Ejemplo : Se y se. Hllr. Simplificndo, tenemos:

11 Respuest:. NOTA: Observe que el resultdo de l división no es un polinomio, y que el eponente del último término es negtivo. Cundo dividimos en generl un polinomio entre otro polinomio o un monomio, el resultdo no siempre es un polinomio. Si observmos en el ejemplo, el eponente del término de menor potenci es menor que el grdo del divisor. Sin embrgo, un cundo no es polinomio sí es un epresión lgebric. b olinomio dividido entre olinomio: El procedimiento que usremos pr resolver l división entre polinomio, será descrito en el siguiente ejemplo: Ejemplo : Hllr El dividendo es y el divisor es. Tnto el dividendo como el divisor tienen que estr completos y ordendos en form descendente; si ello no es sí, entonces éstos deben ordenrse y/o completrse, ntes de comenzr l división. Escribimos el ejercicio de l siguiente form, completndo con el coeficiente CERO los términos que fltn, como es en este cso: y el término independiente. rocedemos resolver: 0 0.-Multiplicmos por y lo colocmos bjo el dividendo, cmbindo el signo del resultdo:.- Dividimos entre usndo el procedimiento de los ejercicios nteriores

12 .-Summos verticlmente y bjmos los términos restntes pr proceder de l mism mner y sí logrr obtener un Residuo prcil. Respuest: Ejemplo : Ddos y. Hllr. r los psos comentdos de l solución refiérse l ejemplo nterior..- Dividimos el término del residuo prcil entre sí.- Repetimos el proceso hst que el grdo del residuo prcil se menor que el grdo del divisor. Observe que ést es un división ect Residuo R Residuo rcil Residuo Cociente: C

13 Como R C y el residuo es diferente de cero, entonces Respuest: Operciones con Epresiones Rcionles: Adición de Epresiones Rcionles r l dición o sum de este tipo de epresiones, es conveniente seguir el procedimiento indicdo: Simplificr ls frcciones dds, si es posible. Si ls epresiones tienen distintos denomindores: Reducirls l mínimo común denomindor, si es posible. b Efectur ls multiplicciones indicds. c Sumr los numerdores de ls frcciones que resulten, grupndo términos semejntes y mnteniendo el denomindor común. d Simplificr l frcción que resulte, si es posible. Si ls epresiones tienen el mismo denomindor, seguir ls instrucciones prtir del literl c, del pso nterior. Ejemplo : Dds ls epresiones m y m, hllr : m m Observ que los denomindores son igules, por lo tnto, procedemos desde el pso c, summos los numerdores y se mntiene el denomindor. m m m m Respuest: m m m Ejemplo 0: Hllr :

14 Como los denomindores son distintos, procedemos clculr el m.c.m entre y que es, luego se divide el m.c.m. entre cd denomindor y el resultdo se multiplic por el numerdor correspondiente. Sumr los numerdores de ls frcciones que resulten y ordenndo: Respuest: Ejemplo : Dds ls epresiones y, hllr :. Observ que los denomindores son distintos. Clculmos el mínimo común múltiplo mcm entre los denomindores, mcm [ ], se divide éste entre cd denomindor y el resultdo se multiplic por el numerdor: Aplicndo propiedd distributiv:

15 0 Finlmente, summos los numerdores de ls frcciones que resulten, grupndo términos semejntes y mnteniendo el denomindor común. Respuest: Sustrcción de Epresiones Rcionles Se sigue un procedimiento semejnte l dición o sum de epresiones rcionles, pero est vez, considerndo el signo negtivo que precede l sustrendo. Ejemplo : Dds ls epresiones y, hllr : Como los denomindores son distintos, reducimos l mínimo común denomindor, luego se divide éste entre cd denomindor y el resultdo se multiplic por el numerdor correspondiente. Sumr los numerdores de ls frcciones que resulten, grupndo términos semejntes y mnteniendo el denomindor común. Recuerde que el signo menos fectn los signos de los dos términos de l epresión. Respuest: Multiplicción de Epresiones Rcionles L multiplicción de epresiones rcionles pueden ser sencills o complejs dependiendo de ls operciones que ésts involucren, tles como: fctorizción, productos notbles, simplificción y/o rcionlizción. En lgunos csos, debes utilizr uno o más de estos

16 procedimientos en el mismo ejercicio. En est oportunidd trtremos l multiplicción de epresiones rcionles sencills y quells que impliquen fctorizción y/o productos notbles, podrán trtrse con myor destrez en el curso Fundmentos de Mtemátic, que verás durnte el primer semestre. En generl, ls regls pr multiplicr epresiones rcionles son en este orden: Se simplific, suprimiendo los fctores comunes entre los numerdores y denomindores. Se multiplicn entre sí ls epresiones que quedn en los numerdores, y se multiplicn entre si ls epresiones que quedn en los denomindores. b Ejemplo : Dds ls epresiones, b y b, hllr : b Simplificmos los fctores comunes entre el numerdor y el denomindor: b b b b b b Se multiplicn entre sí ls epresiones que quedn en los numerdores, y se multiplicn entre sí ls epresiones que quedn en los denomindores. simplificndo el b b b Respuest: b b Divisiones de Epresiones Rcionles Eisten, por lo menos, dos procedimientos pr dividir epresiones rcionles: rimer procedimiento Multiplicndo el dividendo por el inverso divisor Ejemplo : Dds ls epresiones y hllr : b b b b Determinmos el inverso del divisor: b b

17 Epresmos l multiplicción del dividendo por el inverso del divisor b b b b Resolvemos plicndo el procedimiento pr multiplicr epresiones rcionles b b y finlmente simplificmos: b b b b b b b b b Respuest: b b b Segundo procedimiento: Multiplicndo en cruz: Aplicmos este método pr resolver el ejemplo nterior Ejemplo : Dds ls epresiones y. Hllr b b b b Multiplicmos cd numerdor por los denomindores de l otr frcción: b b b b b b b Ejercicios propuestos:. Hllr el vlor numérico de ls siguientes epresiones lgebrics, pr los vlores ddos:. y y pr, y c y y pr, y b. y pr, y. r cd un de ls siguientes epresiones grupe los términos semejntes: { b [ c b c b c ] } b mc [ c mc c mc c ]

18 . Ddos los polinomios,,, R y S: ; ; R ; S Hllr: b - R c -R S 0. r b b, b b b b R b b b, S b b. Hllr: b R c R S. Ddos los polinomios, y, hllr el producto : y y y ; y y b ; m m c m m ; m m m d y y y y. Ddos los polinomios, y, hllr l división y determinr en cd uno de los csos cul es el cociente y cul es el residuo: ; m 0y b ; c d y y e y 0 y y ; y y y

19 LECTURA N : RODUCTOS NOTABLES Tomdo con fines instruccionles de: Sntmrí, J. 00. roductos Notbles. Artículo no publicdo pp.-. Tinquillo, Estdo Cojedes. Al inicir nuestr ventur por el conocimiento de ls mtemátics, lo primero lo que hcemos referenci es l número como clse, según lo plnten lgunos, o como conjunto, según otros. L cuestión es que el hombre, en su inmens necesidd de orgnizrse en sociedd, poco poco, fue implementndo un lenguje simbólico que le sirvió de instrumento en ls ctividdes cotidins, tnto pr comunicrse como pr demrcr y estblecer norms de convivenci. rimero, se d cuent que el medio nturl le ofrece un serie de herrmients pr tl orgnizción; comienz utilizr ls piedrs como mecnismo de conteo; luego, descubre que puede hcer mrcs en los árboles, en el suelo, en ls predes de ls cverns y sí lleg, sin sber, l intuición de número. El estudio de los números, o mejor dicho l fse de estructurción de los números y su plicción en otrs rms de l mtemátic, como l geometrí, l ritmétic y el álgebr, no h sido fácil. Desde mucho ntes de Cristo, con itágors de Smos, psndo por Euclides, Al- Jwārizmī, Fermt, Descrtes, Leibniz, entre otros; todos ellos le dieron form y sentido todo ese conocimiento vgo que desde tiempos remotos, bbilonios y egipcios plicbn en su cotidinidd. or ejemplo, en l ritmétic, que es l prte de l mtemátic que trt del rte o hbilidd pr contr, sólo se utilizn números o cntiddes conocids que medinte operciones de dición, multiplicción y potencición, de cuerdo con cierts propieddes y eistentes, es posible relizr todos los cálculos hbidos y por hber. En el álgebr, rm de l mtemátic que permite generlizr ls plicciones ritmétics, medinte el uso de cntiddes desconocids representds por letrs, tmbién se vlen de ls operciones de dición, multiplicción y potencición pr tles plicciones. Y en l geometrí del griego geō que signific 'tierr' y metrein 'medir', rm de ls mtemátics que se encrg de ls relciones métrics del espcio y sus propieddes, en su form más elementl y no tn elementl; utilizn el álgebr y l ritmétic pr formlizr y sistemtizr sus plicciones. Dentro de tods ests operciones elementles, como l dición, l multiplicción, l potencición, entre otrs, plicbles en tods ls rms de ls mtemátics nteriormente mencionds, trvés de propieddes de composición bien definids, se derivn procedimientos que permiten simplificr con myor fcilidd ls operciones indicds. rocedimientos como el producto notble y l fctorizción son herrmients muy práctics pr l gilizción en l búsqued de un resultdo concreto. Cundo se reliz un producto notble se está plicndo un multiplicción, pero se hce de un form direct reduciendo l operción un mínimo de psos posibles, por ejemplo en ritmétic no es muy frecuente encontrrse con un producto notble, pero se puede ejemplificr un ejercicio pr hcer sencills demostrciones, de l siguiente mner: 0