Física del Estado Sólido Práctico 6 Propiedades Térmicas de los Fonones

Transcripción

1 Físic del Estdo Sólido Práctico 6 Propieddes Térmics de los Fonones. Cpcidd Térmic de Dulong y Petit ) Trbjndo en el ensemble cnónico, demuestre que pr un sistem de N prtículs idéntics libres de ms M l energí intern U E del sistem es U = 3 2 Nk BT y l cpcidd térmic de un mol de prtículs de este gs idel es: U = 3 2 Nk B donde R es un constnte determinr. b) Considerndo que los átomos de un sólido se comportn como oscildores rmónicos independientes en torno sus posiciones de equilibrio, demuestre que l energí intern de este sistem es U = 3Nk B T y hlle su cpcidd térmic. Not: Este vlor es correcto pr lgunos sólidos muy lts temperturs, pero el modelo fll temperturs bjs e intermedis. 2. A prtir del modelo de Plnck pr l energí de un único oscildor rmónico, en que los vlores posibles de su energí son discretos y múltiplos enteros de ω: E n = n ω y de l expresión de l energí medi en el ensemble cnónico: ) Demuestre que: E = ω e ω k B T b) Verifique que pr k B T >> ω se recuper el resultdo clásico pr E. c) Hlle el vlor de E pr k B T << ω y clcule l cpcidd térmic C V del oscildor rmónico. Verifique que tiende cero pr T 0. Observe que en este cso l cpcidd térmic no sigue un ley cúbic C V T 3 como se verific experimentlmente. El modelo fll porque se consider un único oscildor rmónico independiente de oscildores rmónicos vecinos. No se tienen en cuent ls relciones de dispersión ω(k), ls cules juegn un ppel importnte. d) Verifique que el resultdo corresponde lo que se obtendrí pr un rm de fonones ópticos sin dispersión ω(k) = ω 0, en l que l densidd de estdos es proporcionl un delt de Dirc: D(ω) = Nδ(ω ω 0 ). 3. Tnto en el Modelo de Einstein, como en el Modelo de Debye, se consider que l energí de cd oscildor rmónico puede ser E n = n ω. El modelo cuántico del oscildor predice que el estdo de menor energí, correspondiente n = 0, tiene un energí no nul ω/2, de modo que E n = ( n + 2) ω. Qué sucederí en el cálculo de ls cpciddes específics si tuviésemos en cuent el término dicionl que surge de tener en cuent el término ω/2?

2 4. Ley T 3 de Debye ) Utilice l ecución: n(ω) = e ω k B T pr demostrr que, en el equilibrio térmico l tempertur T, l energí promedio de un modo de longitud de ond suficientemente lrg es k B T. b) A temperturs mucho menores que l tempertur de Debye, proximdmente cuántos modos serán excitdos? c) Utilice l respuest nterior pr demostrr que, pr T << Θ D, l cpcidd térmic debido ls vibrciones tómics es C V Nk B ( T Θ) 3, donde N es el número de átomos del cristl. Cuánto vldrí el fctor de proporcionlidd? 5. Rms Acústics Longitudinl y Trnsversles ) I. Intercción entre tres fonones) Consideremos un cristl con dos rms de fonones cústicos, un rm longitudinl ω L = ν L k, y un rm trnsversl ω T = ν T k, en donde ν L y ν T son independientes del vector de ond k, siendo k = k. Si ν L > ν T, demostrr que el proceso norml (N) de intercción entre tres fonones: T + L T no puede stisfcer simultánemente l condición de conservción de l energí y el vector de ond. b) II. Sólido de Debye con tres Rms Acústics) Considere un sólido de Debye con tres rms: dos rms trnsversles y un rm longitudinl, que se comportn como ls estudids en l prte nterior. Verifique que el resultdo pr l cpcidd térmic C V del sistem es equivlente l de un sólido tridimensionl con tres rms igules (donde v es l velocidd del sonido pr tods ls rms), si se sustituye 3 ν 3 νl 3 tnto en el resultdo de C V como en l definición de l frecuenci de Debye ω D. 6. Singulridd de l densidd de estdos ) A prtir de l relción de dispersión pr un red linel monotómic de N átomos con intercciones entre los vecinos más próximos, demuestre que l densidd de modos es: D(ω) = 2N π ω 2 m ω 2 en donde ω m es l frecuenci máxim. b) Suponiendo que un rm de fonones óptic en tres dimensiones tiene l form ω(k) = ω 0 Ak 2 pr k cercno 0, demuestre que l densidd de modos es: D(ω) = L 2π 2π A 3/2 ω0 2 ω2 pr ω < ω 0 y D(ω) = 0 pr ω > ω Cpcidd térmic de un red unidimensionl Demostrr que l cpcidd térmic de un red monotómic, en un dimensión, en l proximción de Debye es proporcionl T/Θ D, pr temperturs T << Θ D, donde Θ D es l tempertur efectiv de Debye en un dimensión definid por Θ D = ω m k B = πν 0 k B donde k B es l constnte de Boltzmnn y l distnci intertómic. + 2 ν 3 T, 2

3 8. Red bidimensionl y Cpcidd térmic de un cp de red ) Hlle l densidd de estdos pr un red bidimensionl. b) Consideremos un cristl dieléctrico constituido de cps de átomos, con coplmientos rígidos entre ls cps, de form que el movimiento de los átomos está restringido l plno de ls misms. Demuestre que l cpcidd térmic de los fonones en l proximción de Debye en el límite de bjs temperturs es proporcionl T Deformción y desplzmiento de l red en el punto cero ) En l proximción de Debye, demuestre que el desplzmiento cudrático medio de un átomo en el cero bsoluto es: R 2 = 3 ω2 D 8π 2 ρv 3 siendo v l velocidd del sonido. Sugerenci: Prtir del resultdo de que el cudrdo de l mplitud de oscilción u 0 de un determindo modo verific que u 2 0 = (n+/2) ρv ω sumndo ω sobre modos independientes de l red. y R 2 divergen en el cso de un red monodimensionl y ) 2 = k k2 u 2 0 como b) Demuestre que k ω k clcule l deformción cudrátic medi. Not: Considere ( R l deformción cudrátic medi. Estudie solmente los modos longitudinles el cso de N átomos, cd uno de ellos de ms M. 0. Fctor de Debye-Wller Estudie l dependenci con l tempertur de un espectro de difrcción de ryos X. Pr ello considere un ond electromgnétic (hz de ryos X incidente) que se dispers inelásticmente debido ls vibrciones térmics de los átomos respecto sus posiciones de equilibrio r n (t) = T + u n (t): ) Procediendo inicilmente como en el Ejercicio 6 (Dispersión Inelástic) del Práctico 5, clcule el promedio térmico de l intensidd de un pico de difrcción y verifique que se puede escribir como: I hkl (T ) = I hkl (0) e i G. u n donde I hkl (0) es l intensidd de difrcción en usenci de vibrción (átomos en reposo en ls posiciones de equilibrio de l red) y G es el vector de l red recíproc correspondiente los plnos (hkl). Not: El promedio térmico, simbolizdo por <... > corresponde con el promedio en el ensemble, que puede sumirse igul l medi temporl. En el resultdo nterior se sume que el vlor e i G. u n es independiente del átomo de l red (índice n). b) Asumiendo que los átomos osciln en vlor medio en torno sus posiciones de equilibrio, siendo su desplzmiento suficientemente pequeño, y que su movimiento es letorio en el espcio, verifique que: e i G. u n 2 i G. u n 2 = 6 G2 u 2 e 6 G2 u 2 x 2 L cntidd W = 6 G2 u 2 es el fctor de Debye-Wller. 3

4 c) Clcule el fctor de Debye-Wller en los siguientes csos: i. El modelo de Einstein, en que todos los átomos vibrn como oscildores rmónicos independientes de frecuenci ω. ii. El modelo de Debye. d) Estime prtir de los resultdos nteriores l dependenci de los picos de difrcción con l tempertur. En prticulr estudie el límite de lts temperturs.. Potencil nrmónico Hciendo uso del potencil nrmónico U(x) = cx 2 gx 3 fx 4 demuestre que: ) L expnsión térmic, estimd prtir del desplzmiento medio de los átomos, primer orden en l tempertur, puede escribirse como: x = 3g 4c 2 k BT b) El clor específico proximdo del oscildor nrmónico clásico en un dimensión es: 2. Decimiento de Fonones ( ) ] 3f C k B [ + 2c 2 + 5g2 8c 3 k B T L ecución de movimiento de un oscildor nrmónico: mü + fu 2 gu2 = 0 posee soluciones periódics en un cierto entorno del origen. Ests soluciones pueden ser hllds en form recursiv trvés de un desrrollo de Fourier (en múltiplos de l frecuenci f ω 0 = m ). Supong que se tom pr u: u = n cos(nω 0 t) n= ) Determine los coeficientes en términos de. b) Discut el resultdo en relción con el decimiento de fonones. 3. Corrimiento en Frecuenci en un Oscildor Anrmónico Supong hor un solución proximd pr el oscildor del problem 2 en torno l posición medi u 0 de l form: u = u 0 + A cos(ωt) + A 2 cos(2ωt) ) Sustituyendo en l ecución del oscildor y desprecindo términos A 2 A, determine u 0 y ω en términos de los prámetros del oscildor. 4

5 b) Supong que el potencil nrmónico describe un átomo en un cden linel. En el límite de lts temperturs, cundo l energí medi puede igulrse k B T, hlle l diltción térmic de l cden. Compre con el ejercicio. 4. Expnsión Térmic El coeficiente de expnsión térmic pr un cristl cúbico es: α = 3V ( ) V T P = ( ) P 3B T V Pr clculr α se debe primero obtener l ecución de estdo del cristl donde prezc l presión. En términos de l energí libre de Helmholtz F = U T S, es: P = ( ) F V T. ) Usndo l relción entre l energí intern y l entropí V constnte, muestre que se puede escribir l ecución de estdo como: P = V [ T U T 0 dτ τ ] τ U(τ, V ) b) A prtir de l expresión de l energí de un islnte en l proximción de pequeñs oscilciones, muestre que: P = V [ U 0 + ks ] 2 ω s(k) + ks ( ) V ( ω s(k)) e β ωs(k) l presión de equilibrio depende entonces de l tempertur sólo si ls frecuencis de los modos normles dependen del volumen de equilibrio del cristl. En un cristl rel ls frecuencis de los fonones dependen del volumen. Qué sucede en el cso de un cristl rmónico? c) Demuestre que: α = 3B ks ( ) V ( ω s(k)) T n s(k) donde n s (k) =. Compre con l fórmul pr el clor específico: e β ωs(k) c v = ks c vs (k) con c vs (k) = ωs(k) V T n s(t ) l contribución por modo. d) Los prámetros de Grüneisen por modo y totl se definen como: γ ks = V ω s (k) ω s (k) V ks γ = γ ksc vs (k) ks c vs(k) Muestre que el coeficiente de diltción se escribe: α = γc v 3B = ln ω s(k) ln V 5

6 e) En el modelo de Debye: ) Qué se puede firmr sobre γ ks y γ? 2) Cómo es l dependenci de α con T en los límites T 0 y T >> θ D? Not: Utilice el hecho de que B vrí débilmente con T. 5. Singulridd de vn Hove Ls singulriddes de l densidd de estdos, de ls cules quells estudids en el Ejercicio 6 son solmente csos prticulres, fueron estudids en detlle por L. Vn Hove. En el presente problem se estudirá cómo qued l densidd de estdos D(ω) en el cso que l relción de dispersión se del tipo: ω( q) = ω c (q 2 + q 2 2 q 2 3) donde q es el vector de ond y q, q 2, y q 3 son sus componentes en coordends crtesins. Como se impone en l proximción de Debye, se considerrá que est relción de dispersión solmente se cumple en un región limitd del espcio recíproco (equivlente un primer zon de Brillouin), que pr simplificr se supondrá esféric y de rdio Q. ) Observndo que l relción de dispersión nterior present simetrí cilíndric, estudie cómo son ls superficies de energí constnte ω( q) = ω 0, pr: i. ω 0 < ω c ii. ω 0 > ω c Sugerenci: Se sugiere hcer un gráfic de q z = q 3 en función de q r = q 2 + q2 2. b) Hlle y grfique l densidd de estdos en torno l frecuenci singulr ω c verificndo que: i. Si ω < ω c entonces: D(ω) Q 2 + ω ω c ii. Si ω > ω c entonces: D(ω) 2 Q 2 + ω ω c ω ω c NOTAS: I - Es posible trbjr en función de q z y q r, clculndo decudmente los elementos de ls superficies hllds en l prte ). Alterntivmente pueden ser de utilidd los cmbios de vribles (q, q 2, q 3 ) (ω, ξ, ϕ) con: i. ω > ω c : q = q 2 = q 3 = ω ω c ω ω c cosh ξ cos ϕ cosh ξ sen ϕ ω ω c senh ξ ii. ω < ω c : q = q 2 = q 3 = ω c ω ω c ω senh ξ cos ϕ senh ξ sen ϕ ω c ω cosh ξ 6

7 II - Estudie decudmente los límites de l región de integrción que estrán ddos por l región de vrición de q r (o ξ) desde su vlor mínimo su vlor máximo (superficie de rdio Q). 7